Języki, automaty i obliczenia/Wykład 3: Automat skończenie stanowy

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

W rozdziale tym zdefiniujemy automat - drugi, obok gramatyki, model obliczeń. Określimy język rozpoznawany przez automat i podamy warunki równoważne na to, by język był rozpoznawany.

Automaty

Wprowadzimy teraz pojęcie automatu. Jak już wspomnieliśmy w wykładzie drugim automat to drugi, obok gramatyki, model obliczeń będący przedmiotem badań teorii języków i automatów. Model realizujący warunek efektywności analitycznej, czyli taki na podstawie którego możliwe jest sformułowanie algorytmu rozstrzygającego w skończonej liczbie kroków, czy dowolne słowo należy, czy też nie należy do języka rozpoznawanego przez ten automat. Lub inaczej możemy powiedzieć, że taki automat daje algorytm efektywnie rozstrzygający, czy dowolne obliczenie sformułowane nad alfabetem automatu jest poprawne.

Wprowadzony w tym wykładzie automat, zwany automatem skończenie stanowym, jest jednym z najprostszych modeli obliczeń. Jest to model z bardzo istotnie ograniczoną pamięcią. Działanie takiego automatu sprowadza się do zmiany stanu pod wpływem określonego zewnętrznego sygnału czy impulsu.

Pomimo tych ograniczeń urządzenia techniczne oparte o modele takich automatów spotkać możemy dość często. Jako przykład służyć mogą automatyczne drzwi, automaty sprzedające napoje, winda, czy też urządzenia sterujące taśmą produkcyjną.

{{przyklad|1.1.||

Drzwi automatycznie otwierane są sterowane automatem, którego działanie opisać można, przyjmując następujące oznaczenia. Fakt, że osoba chce wejść do pomieszczenia zamykanego przez takie drzwi, identyfikowany przez odpowiedni czujnik, opiszemy symbolem . Zamiar wyjścia symbolem . Symbol będzie związany z równoczesnym zamiarem wejścia jakiejś osoby i wyjścia innej. Wreszcie symbol oznaczał będzie brak osób, które chcą wejść lub wyjść. Zatem zbiór , to alfabet nad którym określimy automat o stanach: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle\{ OTWARTE, ZAMKNIĘTE<\}/math> poniższym grafem. }} {| border="0" align="center" cellspacing="10" |<div class="thumb"><div style="width:270px;"> <flash>file=ja-lekcja03-w-rys6.swf|width=270|height=270</flash> <div.thumbcaption>Rysunek 1</div> </div></div> |<div class="thumb"><div style="width:250px;"> <flashwrap>file=ja-lekcja03-w-rys7.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Animacja 1</div> </div></div> |} Automaty reagują więc na określone sygnały zewnętrzne reprezentowane przez litery alfabetu <math>\displaystyle A} , zmieniając swój stan. Jeśli ustalimy stan początkowy automatu oraz dopuszczalne stany końcowe, to automat będzie testował dowolne słowo z , startując ze stanu początkowego. Jeśli rezultatem finalnym działania automatu (obliczenia) będzie stan końcowy, to słowo będzie rozpoznawane przez automat, a obliczenie określone takim słowem poprawne. Automaty można graficznie reprezentować jako etykietowane grafy skierowane. W takim grafie każdy wierzchołek odpowiada stanowi automatu, a każda strzałka pomiędzy wierzchołkami i , etykietowana symbolem , oznacza przejście automatu ze stanu do stanu pod wpływem litery . Podamy teraz definicję automatu. Niech oznacza dowolny alfabet. Od tego momentu wykładu zakładamy, że alfabet jest zbiorem skończonym.

Definicja 1.1

Automatem nad alfabetem nazywamy system , w którym

- jest dowolnym skończonym zbiorem zwanym zbiorem stanów,

- jest funkcją przejść.

Automat będąc w stanie po przeczytaniu litery zmienia stan na zgodnie z funkcją przejścia .

Funkcję przejść rozszerzamy na cały wolny monoid do postaci

przyjmując:

dla każdego oraz

dla każdego i dla dowolnego

Działanie automatu pokazane jest na poniższej animacji 2.

<flashwrap>file=ja-lekcja03-w-rys1.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Animacja 2

Zdefiniowany powyżej automat nazywamy skończonym lub skończenie stanowym ze względu na założenie skończoności zbioru stanów .

Przykład 1.2.

Niech będzie alfabetem, a automatem takim, że

, a funkcja przejść zadana jest przy pomocy tabelki


Automat możemy również jednoznacznie określić przy pomocy grafu.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys2.swf|width=350|height=150</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 2


Podamy teraz bardzo interesujący przykład zastosowania automatów skończonych. Przedstawimy mianowicie wykorzystanie tak zwanych automatów synchronizujących w przemyśle. Automat synchronizujący nad alfabetem to automat o następującej własności: istnieje stan oraz słowo takie, że dla każdego stanu tego automatu . Istnieje więc pewne uniwersalne słowo , pod wpływem którego wszystkie stany przechodzą w jeden, ustalony stan automatu . Mówimy, że następuje wtedy synchronizacja wszystkich stanów automatu.

Poniżej prezentujemy przykład zaczerpnięty z pracy Ananicheva i Volkova (D. S. Ananichev, M. V. Volkov, Synchronizing Monotonic Automata, Lecture Notes in Computer Science, 2710(2003), 111-121.), ukazujący ideę użycia automatów synchronizujących w tej dziedzinie.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys-s1.swf|width=250|height=100</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 3

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys-s2.swf|width=250|height=100</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 4

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys-s3.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 5

Przykład 1.3.

Załóżmy, że pewna fabryka produkuje detale w kształcie kwadratu z "wypustką" na jednym boku (patrz rys. 3). Po wyprodukowaniu detale należy umieścić w opakowaniach w ten sposób, by wszystkie były w tej samej orientacji - mianowicie "wypustką" w lewo.

Załóżmy ponadto dla uproszczenia, że detale mogą przyjmować jedną z czterech orientacji (rys. 4): "wypustką" w górę, w dół, w lewo lub w prawo.

Należy zatem skonstruować takie urządzenie (orienter), które będzie ustawiało wszystkie detale w żądanej orientacji. Oczywiście istnieje wiele metod rozwiązania tego problemu, ale z praktycznego punktu widzenia potrzebne jest rozwiązanie najprostsze i najtańsze. Jednym z takich sposobów jest umieszczanie detali na pasie transmisyjnym z zamontowaną wzdłuż niego pewną ilością przeszkód dwojakiego rodzaju: niskich (low) oraz wysokich (HIGH). Wysoka przeszkoda ma tę własność, że każdy detal, który ją napotka, zostanie obrócony o 90 stopni w prawo (zakładamy, że elementy jadą od lewej do prawej strony). Przeszkoda niska obróci o 90 stopni w prawo tylko te detale, które są ułożone "wypustką" w dół. Na rys. 5 przedstawione zostały przejścia pomiędzy orientacjami detali w zależności od napotkania odpowiedniej przeszkody.

Można zauważyć, że automat z rysunku 5 jest automatem synchronizującym. Słowem, które go synchronizuje, jest następująca sekwencja przeszkód:

low-HIGH-HIGH-HIGH-low-HIGH-HIGH-HIGH-low.

Niezależnie od tego, w jakiej orientacji początkowej znajduje się detal, po przejściu przez powyższą sekwencję przeszkód zawsze będzie ułożony "wypustką" w lewo. Sytuację przedstawia poniższa animacja 3:

<flashwrap>file=ja-lekcja03-w-anim-s4.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Animacja 3

Rozszerzymy teraz wprowadzone pojęcie automatu w ten sposób, by uzyskać możliwość efektywnego rozstrzygania, czy dowolne słowo utworzone nad alfabetem reprezentuje poprawne obliczenie, czyli spełnia kryteria określone przez rozszerzony automat.

Definicja 1.2.

Język jest rozpoznawany (akceptowany) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje automat skończony stan oraz zbiór takie, że

Stan nazywamy stanem początkowym, a zbiorem stanów końcowych automatu .

Rozszerzony w powyższy sposób automat, poprzez dodanie stanu początkowgo i zbioru stanów końcowych, w dalszym ciągu nazywamy automatem i oznaczamy jako piątkę lub czwórkę , jeśli wiadomo, nad jakim alfabetem rozważamy działanie automatu.

Fakt, że język jest rozpoznawany przez automat zapisujemy jako

Rodzinę wszystkich języków rozpoznawalnych nad alfabetem oznaczamy przez .

Podobnie jak w przypadku gramatyk nie ma jednoznacznej odpowiedniości pomiędzy językami rozpoznawalnymi a automatami. Wprowadza się więc relację, która identyfikuje automaty rozpoznające ten sam język.

Definicja 1.3.

Automaty i równoważne, jeśli rozpoznają ten sam język, czyli

W dalszych rozważaniach języków rozpoznawanych ograniczymy się do automatów , które spełniają warunek Nie zawęża to naszych rozważań. Jeśli bowiem język jest rozpoznawany przez pewien automat , to jest również rozpoznawany przez automat

który spełnia powyższy warunek. Zauważmy, że przyjmując to założenie, upraszczamy strukturę automatu. Z punktu widzenia grafu automatu można powiedzieć, że nie występują w nim wierzchołki (stany) nieosiagalne z . Poniżej przedstawiamy algorytm usuwający z automatu stany nieosiągalne ze stanu początkowego.

Algorytm UsuńStanyNieosiągalne - usuwa z automatu stany nieosiągalne



  1  Wejście:  - automat.
  2  Wyjście:  - automat równoważny automatowi  bez
stanów nieosiągalnych. 3 for each do 4 zaznaczone; 5 end for 6 zaznaczone; 7 OZNACZ; 8 Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S' \leftarrow \{s \in S:\} zaznaczone ; 9 ; 10 flagfalse jeśli nie dodamy stanu to na końcu pętli nadal flag=false 11 ; 12 for each do 13 for each do 14 if NULL then 15 ; była nieokreślona 16 flag true; 17 end if 18 end for 19 end for 20 if flag=true then 21 ; 22 end if 23 return ;


Algorytm Procedure Oznacz



  1  procedure OZNACZ
  2  for each  
  3    flagfalse
  4    for each  do
  5      if  then
  6        flagtrue
  7      end if
  8    end for
  9    if flag=true and zaznaczone then
 10      zaznaczone;
 11      OZNACZ;
 12    end if
 13  end for
 14  end procedure



Powyższy algorytm, dla ustalonego alfabetu , posiada złożoność , czyli liniową względem liczby stanów.

Przedstawiając automat przy pomocy grafu przyjmujemy następującą konwencję. Jeśli w automacie występuje stan początkowy, oznaczać go będziemy zieloną strzałką wchodzącą do tego stanu. Jeśli w automacie występują stany końcowe, oznaczać je będziemy niebieską obwódką.


Przykład 1.4.

Jeśli w przykładzie 1.2 (patrz przykład 1.2.) przyjmiemy stan jako stan początkowy, jako zbiór stanów końcowych, to automat rozpoznaje język

złożony ze słów, kończących się na .

Słowo nie jest akceptowane.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys3.swf|width=350|height=350</flash>

<div.thumbcaption>Animacja 4

Słowo jest akceptowane.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys4.swf|width=350|height=350</flash>

<div.thumbcaption>Animacja 5


Każdy automat wyznacza w wolnym monoidzie prawą kongruencję, nazywaną prawą kongruencją automatową, określoną w następujący sposób:

Dla automatu skończonego (o skończonym zbiorze stanów), a takie rozważamy, relacja ma skończony indeks, czyli skończoną liczbę klas równoważności.

Przykład 1.5.

Automat z przykładu 1.2 (patrz przykład 1.2.) ze stanem jako początkowym wyznacza relację równoważności o trzech klasach:

,<br\> ,<br\>

Na odwrót, każda prawa kongruencja wyznacza automat, zwany ilorazowym, w następujący sposób:

jest automatem ze stanem początkowym . jest automatem skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy relacja ma skończony indeks.
Z definicji prawej kongruencji wynika, że funkcja przejść jest określona poprawnie.

Definicja 1.4.

Niech i będą dowolnymi automatami. Odwzorowanie nazywamy homomorfizmem automatów wtedy i tylko

wtedy, jeśli

Homomorfizm automatów oznaczamy .

Twierdzenie 1.1.

Prawdziwe są następujące fakty:

(1) Dla dowolnej prawej kongruencji

(2) Dowolny automat jest izomorficzny z automatem ,

(3) Dla dowolnych automatów i prawdziwa jest równoważność

istnieje epimorfizm taki, że .

Dowód

(1) Identyczność relacji wynika wprost z definicji automatu ilorazowego oraz prawej kongruencji .

(2) Rozważmy automat i odwzorowanie

gdzie

Istnienie słowa wynika z faktu, że jest stanem początkowym, natomiast z definicji relacji wynika, że odwzorowanie jest poprawnie określone.
Odwzorowanie ma być homomorfizmem, czyli dla każdego stanu i dowolnego słowa spełniać warunek

Warunek ten wynika z następujących równości

gdzie .

Z prostych obserwacji wynika, że jest suriekcją i iniekcją.

(3) Dowód implikacji ""
Załóżmy, że . Niech

będzie odwzorowaniem takim, że

Stąd, że jest stanem początkowym automatu wynika, że istnieje słowo potrzebne do określenia epimorfizmu .
Z założenia wynika, że jest poprawnie zdefiniowaną funkcją.
Uzasadnienie faktu, że jest homomorfizmem, jest analogiczne jak w punkcie (2) dla .
jest suriekcją, gdyż jest stanem początkowym automatu .
ponieważ .
Dowód implikacji ""
Niech będzie epimorfizmem takim, że .
Wówczas prawdziwy jest następujący ciąg wnioskowań.

To oznacza, że .

End of proof.gif

Symbolem oznaczamy rodzinę wszystkich funkcji określonych na zbiorze i przyjmujących wartości w . Łatwo zauważyć, iż rodzina ta wraz ze składaniem odwzorowań jest monoidem .

Definicja 1.5.

Niech będzie dowolnym automatem. Reprezentacją automatu nazywamy funkcję , określoną dla dowolnych i równością

Reprezentacja automatu jest homomorfizmem monoidu w monoid , bowiem dla dowolnych spełnione są warunki

Definicja 1.6.

Niech będzie dowolnym automatem. Monoidem przejść automatu nazywamy monoid

Następujące wnioski są konsekwencjami rozważań przeprowadzonych powyżej.

Wniosek 1.1.

(1) Monoid przejść automatu jest podmonoidem monoidu i zbiór jest zbiorem

generatorów tego monoidu.

Wynika to z faktu, że jest epimorfizmem i z twierdzenia 2.1 z wykładu 1. (patrz twierdzenie 2.1. wykład 1)

(2) Monoid przejść automatu skończonego jest skończony.

(3) Monoid przejść automatu jest izomorficzny z monoidem ilorazowym .

Jest to wniosek z twierdzenia o rozkładzie epimorfizmu, które w tym przypadku ilustruje poniższy diagram.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys5.swf|width=350|height=200</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 6

Przykład 1.6.

Określimy monoid przejść dla automatu z przykładu 1.2 (patrz przykład 1.2.). Wypisujemy kolejne funkcje dla . Zauważmy, że ze względu na występujące w tabelce powtórzenia, będące wynikiem równości, np. nie ma potrzeby określać funkcji dla . Podobna obserwacja ma miejsce w innych przypadkach, co sprawia, że tabelka zawiera skończoną liczbę różnych funkcji.




Poniżej zamieszczamy algorytm obliczający monoid przejść dla automatu skończenie stanowego.

Algorytm WyznaczMonoidPrzejść - wyznacza monoid przejść dla automatu



  1  Wejście:  - automat
  2  Wyjście:  - monoid przejść dla 
  3  ;   jest listą
  4  ;
  5  for each  do
  6    insert;   gdzie  dla każdego 
  7  end for
  8  while ; do 
  9    first ;
 10   ;
 11   for each  do
 12     for each  do
 13        ;
 14      end for
 15      if  
 16        insert;
 17      end if
 18    end for
 19  end while
 20  return ;


Procedura insert wkłada na koniec listy element . Funkcja first wyjmuje pierwszy element znajdujący się na liście i zwraca go. Algorytm działa w następujący sposób: najpierw na listę wkładane są elementy monoidu przejść dla każdej litery . Te funkcje można obliczyć bezpośrednio z tabelki reprezentującej funkcję przejścia automatu . Następnie z listy po kolei ściągane są poszczególne funkcje . Każda z nich dodawana jest do zbioru , a następnie algorytm sprawdza dla każdej litery , czy funkcja istnieje już na liście lub w zbiorze . Jeśli nie, to funkcja ta dodawana jest do listy. Procedura powyższa trwa do czasu, gdy lista zostanie pusta. Wtedy wszystkie elementy monoidu przejść znajdą się w zbiorze .

Przeanalizujmy działanie algorytmu dla automatu z przykładu 1.2 (patrz przykład 1.2.).

Na początku na listę włożone zostaną funkcje , oraz . Z listy zdejmujemy funkcję i dodajemy ją do zbioru . Ponieważ , a funkcje oraz znajdują się już na liście, zatem nie dodajemy ich do . Bierzemy kolejny element listy, , dodajemy go do i obliczamy funkcje oraz . Ponieważ nie jest tożsama z żadną funkcją ze zbioru , dodajemy ją do listy. Funkcja również nie jest równa żadnej z funkcji należących do zbioru , zatem wstawiamy ją na koniec listy. Na liście mamy zatem teraz następujące elementy: , oraz . Zdejmujemy z listy funkcję , dodajemy ją do i obliczamy oraz . Pierwsza z tych funkcji jest nowa, tzn. nie jest tożsama z żadną funkcją ze zbioru więc dodajemy ją na koniec listy. Druga z nich równa jest funkcji , więc nie dodajemy jej do listy. W tym momencie zbiór zawiera następujące elementy: , , , natomiast lista zawiera elementy , , . Zdejmujemy z funkcję , dodajemy ja do i ponieważ i , nic nie dodajemy do . Zdejmujemy teraz z listy funkcję , dodajemy ją do i ponieważ nie należy do dodajemy ją do listy. , więc tej funkcji nie dodajemy do . Z ściągamy , dodajemy ją do i widzimy, że oraz , więc nic nie dodajemy do . Na liście pozostała funkcja . Ściągamy ją z listy i dodajemy do . Widzimy, że i , zatem nic nie dodajemy do listy . Lista jest w tym momencie pusta i działanie algorytmu zakończyło się. Ostatecznie mamy

co zgadza się z wynikiem otrzymanym w przykładzie.

Twierdzenie poniższe zbiera dotychczas uzyskane charakteryzacje języków rozpoznawanych.

Twierdzenie 1.2.

Niech będzie dowolnym językiem. Równoważne są następujące warunki:

(1) Język jest rozpoznawalny,
(2) Język jest sumą wybranych klas równoważności pewnej prawej kongruencji na o skończonym indeksie:
(3) Język jest sumą wybranych klas równoważności pewnej kongruencji na o skończonym indeksie:
(4) Istnieje skończony monoid i istnieje epimorfizm taki, że

Dowód

Dowód równoważności czterech powyższych warunków przeprowadzimy zgodnie z następującym schematem:

Dany jest homomorfizm

gdzie jest skończonym monoidem.
Określamy relację na , przyjmując dla dowolnych

Tak określona relacja jest kongruencją. Natomiast jej skończony indeks wynika z faktu, że monoid jest skończony. Pokażemy teraz, że:

Inkluzja jest oczywista.
Inkluzja w przeciwną stronę () oznacza, że każda klasa równoważności relacji albo cała zawiera się w języku , albo cała zawiera się w uzupełnieniu języka .
Załóżmy, że dla pewnego Oznacza to, że

Implikuje to ostatecznie, że .

Każda kongruencja jest prawą kongruencją.

Niech będzie prawą kongruencją o skończonym indeksie na taką, że

Automat dla którego

akceptuje język .

Niech język , gdzie .
Określamy odwzorowanie

przyjmując dla każdego

Jest to odwzorowanie kanoniczne monoidu na monoid ilorazowy, a więc jest to epimorfizm.
jest monoidem skończonym, ponieważ jest zbiorem skończonym.

Dla dowodu równości wystarczy udowodnić inkluzję . (Inkluzja wynika z definicji przeciwobrazu.)
Niech Oznacz to, że

W szczególności

czyli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle u \in L. }}}

End of proof.gif