Języki, automaty i obliczenia/Wykład 3: Automat skończenie stanowy

W rozdziale tym zdefiniujemy automat - drugi, obok gramatyki, model obliczeń. Określimy język rozpoznawany przez automat i podamy warunki równoważne na to, by język był rozpoznawany.

Automaty

Wprowadzimy teraz pojęcie automatu. Jak już wspomnieliśmy w wykładzie drugim automat to drugi, obok gramatyki, model obliczeń będący przedmiotem badań teorii języków i automatów. Model realizujący warunek efektywności analitycznej, czyli taki na podstawie którego możliwe jest sformułowanie algorytmu rozstrzygającego w skończonej liczbie kroków, czy dowolne słowo należy, czy też nie należy do języka rozpoznawanego przez ten automat. Lub inaczej możemy powiedzieć, że taki automat daje algorytm efektywnie rozstrzygający, czy dowolne obliczenie sformułowane nad alfabetem automatu jest poprawne.

Wprowadzony w tym wykładzie automat, zwany automatem skończenie stanowym, jest jednym z najprostszych modeli obliczeń. Jest to model z bardzo istotnie ograniczoną pamięcią. Działanie takiego automatu sprowadza się do zmiany stanu pod wpływem określonego zewnętrznego sygnału czy impulsu.

Pomimo tych ograniczeń urządzenia techniczne oparte o modele takich automatów spotkać możemy dość często. Jako przykład służyć mogą automatyczne drzwi, automaty sprzedające napoje, winda, czy też urządzenia sterujące taśmą produkcyjną.

Przykład 1.1.

Drzwi automatycznie otwierane są sterowane automatem, którego działanie opisać można, przyjmując następujące oznaczenia. Fakt, że osoba chce wejść do pomieszczenia zamykanego przez takie drzwi, identyfikowany przez odpowiedni czujnik, opiszemy symbolem $\displaystyle WE$. Zamiar wyjścia symbolem $\displaystyle WY$. Symbol $\displaystyle WEWY$ będzie związany z równoczesnym zamiarem wejścia jakiejś osoby i wyjścia innej. Wreszcie symbol $\displaystyle BRAK$ oznaczał będzie brak osób, które chcą wejść lub wyjść. Zatem zbiór $\displaystyle \{WE,WY,WEWY,BRAK\}$, to alfabet nad którym określimy automat o $\displaystyle 2$ stanach: Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle OTWARTE, ZAMKNIĘTE} poniższym grafem.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys6.swf|width=270|height=270</flash> <div.thumbcaption>Rysunek 1

<flashwrap>file=ja-lekcja03-w-rys7.swf|size=small</flashwrap> <div.thumbcaption>Animacja 1

Automaty reagują więc na określone sygnały zewnętrzne reprezentowane przez litery alfabetu $\displaystyle A$, zmieniając swój stan. Jeśli ustalimy stan początkowy automatu oraz dopuszczalne stany końcowe, to automat będzie testował dowolne słowo z $\displaystyle A^{*}$ , startując ze stanu początkowego. Jeśli rezultatem finalnym działania automatu (obliczenia) będzie stan końcowy, to słowo będzie rozpoznawane przez automat, a obliczenie określone takim słowem poprawne. Automaty można graficznie reprezentować jako etykietowane grafy skierowane. W takim grafie każdy wierzchołek odpowiada stanowi automatu, a każda strzałka pomiędzy wierzchołkami $\displaystyle u$ i $\displaystyle v$, etykietowana symbolem $\displaystyle a$, oznacza przejście automatu ze stanu $\displaystyle u$ do stanu $\displaystyle v$ pod wpływem litery $\displaystyle a$. Podamy teraz definicję automatu. Niech $\displaystyle A$ oznacza dowolny alfabet. Od tego momentu wykładu zakładamy, że alfabet jest zbiorem skończonym.

Definicja 1.1

Automatem nad alfabetem $\displaystyle A$ nazywamy system $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,f)$, w którym

$\displaystyle S$ - jest dowolnym skończonym zbiorem zwanym zbiorem stanów,

$\displaystyle f:S\times A\rightarrow S$ - jest funkcją przejść.

Automat będąc w stanie $\displaystyle s_{i}$ po przeczytaniu litery $\displaystyle a$ zmienia stan na $\displaystyle s_{j}$ zgodnie z funkcją przejścia $\displaystyle f(s_{i},a)=s_{j}$ .

Funkcję przejść rozszerzamy na cały wolny monoid $\displaystyle A^{*}$ do postaci

$\displaystyle f:S\times A^{*}\rightarrow S,$

przyjmując:

dla każdego $\displaystyle s\in S\;\;\;f(s,1)=s$ oraz

dla każdego $\displaystyle s\in S,\;\;a\in A$ i dla dowolnego $\displaystyle w\in A^{*}$

$\displaystyle f(s,wa)=f(f(s,w),a).$

Działanie automatu pokazane jest na poniższej animacji 2.

<flashwrap>file=ja-lekcja03-w-rys1.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Animacja 2

Zdefiniowany powyżej automat $\displaystyle {\mathcal {A}}$ nazywamy skończonym lub skończenie stanowym ze względu na założenie skończoności zbioru stanów Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle S} .

Przykład 1.2.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A=\left\{ a,b\right\} } będzie alfabetem, a Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathcal{A}=(S,f) } automatem takim, że

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle S=\left\{ s_{0},s_{1},s_{2}\right\} } , a funkcja przejść zadana jest przy pomocy tabelki

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {c|c|c|c|c|} f & s_0 & s_1 & s_2\\ \hline a & s_1 & s_2 & s_2\\ \hline b & s_0 & s_0 & s_0\\ \hline \end{array} }

Automat możemy również jednoznacznie określić przy pomocy grafu.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys2.swf|width=350|height=150</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 2

Podamy teraz bardzo interesujący przykład zastosowania automatów skończonych. Przedstawimy mianowicie wykorzystanie tak zwanych automatów synchronizujących w przemyśle. Automat synchronizujący nad alfabetem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A} to automat Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle (S,f)} o następującej własności: istnieje stan Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle t \in S} oraz słowo Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle w \in A^*} takie, że dla każdego stanu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle s} tego automatu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle f(s, w)=t} . Istnieje więc pewne uniwersalne słowo Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle w} , pod wpływem którego wszystkie stany przechodzą w jeden, ustalony stan automatu Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle t \in S} . Mówimy, że następuje wtedy synchronizacja wszystkich stanów automatu.

Poniżej prezentujemy przykład zaczerpnięty z pracy Ananicheva i Volkova (D. S. Ananichev, M. V. Volkov, Synchronizing Monotonic Automata, Lecture Notes in Computer Science, 2710(2003), 111-121.), ukazujący ideę użycia automatów synchronizujących w tej dziedzinie.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys-s1.swf|width=250|height=100</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 3

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys-s2.swf|width=250|height=100</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 4

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys-s3.swf|width=250|height=250</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 5

Przykład 1.3.

Załóżmy, że pewna fabryka produkuje detale w kształcie kwadratu z "wypustką" na jednym boku (patrz rys. 3). Po wyprodukowaniu detale należy umieścić w opakowaniach w ten sposób, by wszystkie były w tej samej orientacji - mianowicie "wypustką" w lewo.

Załóżmy ponadto dla uproszczenia, że detale mogą przyjmować jedną z czterech orientacji (rys. 4): "wypustką" w górę, w dół, w lewo lub w prawo.

Należy zatem skonstruować takie urządzenie (orienter), które będzie ustawiało wszystkie detale w żądanej orientacji. Oczywiście istnieje wiele metod rozwiązania tego problemu, ale z praktycznego punktu widzenia potrzebne jest rozwiązanie najprostsze i najtańsze. Jednym z takich sposobów jest umieszczanie detali na pasie transmisyjnym z zamontowaną wzdłuż niego pewną ilością przeszkód dwojakiego rodzaju: niskich (low) oraz wysokich (HIGH). Wysoka przeszkoda ma tę własność, że każdy detal, który ją napotka, zostanie obrócony o 90 stopni w prawo (zakładamy, że elementy jadą od lewej do prawej strony). Przeszkoda niska obróci o 90 stopni w prawo tylko te detale, które są ułożone "wypustką" w dół. Na rys. 5 przedstawione zostały przejścia pomiędzy orientacjami detali w zależności od napotkania odpowiedniej przeszkody.

Można zauważyć, że automat z rysunku 5 jest automatem synchronizującym. Słowem, które go synchronizuje, jest następująca sekwencja przeszkód:

low-HIGH-HIGH-HIGH-low-HIGH-HIGH-HIGH-low.

Niezależnie od tego, w jakiej orientacji początkowej znajduje się detal, po przejściu przez powyższą sekwencję przeszkód zawsze będzie ułożony "wypustką" w lewo. Sytuację przedstawia poniższa animacja 3:

<flashwrap>file=ja-lekcja03-w-anim-s4.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Animacja 3

Rozszerzymy teraz wprowadzone pojęcie automatu w ten sposób, by uzyskać możliwość efektywnego rozstrzygania, czy dowolne słowo utworzone nad alfabetem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle A} reprezentuje poprawne obliczenie, czyli spełnia kryteria określone przez rozszerzony automat.

Definicja 1.2.

Język Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \; L~\subset A^* \;} jest rozpoznawany (akceptowany) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje automat skończony Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \mathcal{A} \displaystyle = (S,f) , \;} stan Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \; s_0 \in S \;} oraz zbiór Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \; T \subset S \;} takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle L = \{ w \in A^* \; : \; f(s_0,w) \in T \}. }

Stan $\displaystyle s_{0}\;$ nazywamy stanem początkowym, a $\displaystyle \;T\;$ zbiorem stanów końcowych automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}$ .

Rozszerzony w powyższy sposób automat, poprzez dodanie stanu początkowgo i zbioru stanów końcowych, w dalszym ciągu nazywamy automatem i oznaczamy jako piątkę $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,A,f,s_{0},T)$ lub czwórkę $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,f,s_{0},T)$, jeśli wiadomo, nad jakim alfabetem rozważamy działanie automatu.

Fakt, że język $\displaystyle \;L\;$ jest rozpoznawany przez automat $\displaystyle {\mathcal {A}},$ zapisujemy jako

$\displaystyle L=L({\mathcal {A}}).$

Rodzinę wszystkich języków rozpoznawalnych nad alfabetem $\displaystyle A$ oznaczamy przez $\displaystyle {\mathcal {REC}}({\mathcal {A}}^{*})$ .

Podobnie jak w przypadku gramatyk nie ma jednoznacznej odpowiedniości pomiędzy językami rozpoznawalnymi a automatami. Wprowadza się więc relację, która identyfikuje automaty rozpoznające ten sam język.

Definicja 1.3.

Automaty $\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}$ i $\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}$ są równoważne, jeśli rozpoznają ten sam język, czyli

$\displaystyle L({\mathcal {A}}_{1})=L({\mathcal {A}}_{2}).$

W dalszych rozważaniach języków rozpoznawanych ograniczymy się do automatów $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,A,f,s_{0},T)$, które spełniają warunek $\displaystyle f(s_{0},A^{*})=S.$ Nie zawęża to naszych rozważań. Jeśli bowiem język $\displaystyle \;L\;$ jest rozpoznawany przez pewien automat $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,A,f,s_{0},T)$, to jest również rozpoznawany przez automat

$\displaystyle {\mathcal {B}}=\left(f(s_{0},A^{*}),A,f|_{f(s_{0},A^{*})\times A^{*}},s_{0},T\cap f(s_{0},A^{*})\right),$

który spełnia powyższy warunek. Zauważmy, że przyjmując to założenie, upraszczamy strukturę automatu. Z punktu widzenia grafu automatu można powiedzieć, że nie występują w nim wierzchołki (stany) nieosiagalne z $\displaystyle s_{0}$. Poniżej przedstawiamy algorytm usuwający z automatu stany nieosiągalne ze stanu początkowego.

Algorytm UsuńStanyNieosiągalne - usuwa z automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}$ stany nieosiągalne

---

  1  Wejście: $\displaystyle {\mathcal {A}}=(S,A,f,s_{0},T)$ - automat.
  2  Wyjście: $\displaystyle {\mathcal {A}}'=(S',A,f',s_{0},T')$ - automat równoważny automatowi $\displaystyle {\mathcal {A}}$ bez
     stanów nieosiągalnych.
  3  for each $\displaystyle p\in S$ do
  4    zaznaczone$\displaystyle [p]\leftarrow 0$;
  5  end for
  6  zaznaczone$\displaystyle [s_{0}]\leftarrow 1$;
  7  OZNACZ$\displaystyle (s_{0})$;
  8  Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle S' \leftarrow \{s \in S:\}
 zaznaczone $\displaystyle [s]=1\}$;
  9  $\displaystyle T'\leftarrow T\cap S'$;
 10  flag$\displaystyle \leftarrow$false   $\displaystyle \triangleright$ jeśli nie dodamy stanu to na końcu pętli nadal flag=false
 11  $\displaystyle f'\leftarrow f$;
 12  for each $\displaystyle p\in S$ do
 13    for each $\displaystyle a\in A$ do
 14      if $\displaystyle f'(p,a)=$NULL then
 15        $\displaystyle f'(p,a)\leftarrow s_{f}$;                         $\displaystyle \triangleright \displaystyle f'(p,a)$ była nieokreślona
 16        flag $\displaystyle \leftarrow$true; 
 17      end if
 18    end for
 19  end for
 20  if flag=true then
 21    $\displaystyle S'\leftarrow S'\cup \{s_{f}\}$;
 22  end if 
 23  return $\displaystyle {\mathcal {A}}'=(S',A,f',s_{0},T')$;

Algorytm Procedure Oznacz

---

  1  procedure OZNACZ$\displaystyle (x\in S)$
  2  for each $\displaystyle p\in S$ 
  3    flag$\displaystyle \leftarrow$false
  4    for each $\displaystyle a\in A$ do
  5      if $\displaystyle f(x,a)=p$ then
  6        flag$\displaystyle \leftarrow$true
  7      end if
  8    end for
  9    if flag=true and zaznaczone$\displaystyle [p]=0$ then
 10      zaznaczone$\displaystyle [p]\leftarrow 1$;
 11      OZNACZ$\displaystyle (p)$;
 12    end if
 13  end for
 14  end procedure

Powyższy algorytm, dla ustalonego alfabetu $\displaystyle A$, posiada złożoność $\displaystyle O(|A|\cdot |S|)$, czyli liniową względem liczby stanów.

Przedstawiając automat przy pomocy grafu przyjmujemy następującą konwencję. Jeśli w automacie występuje stan początkowy, oznaczać go będziemy zieloną strzałką wchodzącą do tego stanu. Jeśli w automacie występują stany końcowe, oznaczać je będziemy niebieską obwódką.

Przykład 1.4.

Jeśli w przykładzie 1.2 (patrz przykład 1.2.) przyjmiemy stan $\displaystyle s_{0}$ jako stan początkowy, $\displaystyle T=\left\{s_{2}\right\}$ jako zbiór stanów końcowych, to automat $\displaystyle {\mathcal {A}}=(S,A,f,s_{0},T)$ rozpoznaje język

$\displaystyle L({\mathcal {A}})=A^{*}\left\{a^{2}\right\}$

złożony ze słów, kończących się na $\displaystyle a^{2}$ .

Słowo $\displaystyle aba$ nie jest akceptowane.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys3.swf|width=350|height=350</flash>

<div.thumbcaption>Animacja 4

Słowo $\displaystyle abaa$ jest akceptowane.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys4.swf|width=350|height=350</flash>

<div.thumbcaption>Animacja 5

Każdy automat $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,A,f,s_{0},T)$ wyznacza w wolnym monoidzie $\displaystyle A^{*}$ prawą kongruencję, nazywaną prawą kongruencją automatową, określoną w następujący sposób:
$\displaystyle \forall u,v\in A^{*}$

$\displaystyle u\sim _{\mathcal {A}}v\Longleftrightarrow f(s_{0},u)=f(s_{0},v).$

Dla automatu skończonego (o skończonym zbiorze stanów), a takie rozważamy, relacja $\displaystyle \sim _{A}$ ma skończony indeks, czyli skończoną liczbę klas równoważności.

Przykład 1.5.

Automat z przykładu 1.2 (patrz przykład 1.2.) ze stanem $\displaystyle s_{0}$ jako początkowym wyznacza relację równoważności o trzech klasach:

$\displaystyle [1]=A^{*}\left\{b\right\}\cup \left\{1\right\}$,<br\> $\displaystyle [a]=A^{*}\left\{ba\right\}\cup \left\{a\right\}$,<br\> $\displaystyle [a^{2}]=A^{*}\left\{a^{2}\right\}.$

Na odwrót, każda prawa kongruencja $\displaystyle \rho \subset (A^{*})^{2}$ wyznacza automat, zwany ilorazowym, w następujący sposób:

$\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }=(A^{*}/_{\rho },f^{*}),\;\;gdzie\;\;f^{*}([w]_{\rho },u)=[wu]_{\rho }.$

$\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle _{\rho }$ jest automatem ze stanem początkowym $\displaystyle [1]_{\rho }$. $\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }$ jest automatem skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy relacja $\displaystyle \rho$ ma skończony indeks.
Z definicji prawej kongruencji wynika, że funkcja przejść $\displaystyle f^{*}$ jest określona poprawnie.

Definicja 1.4.

Niech $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,f)$ i $\displaystyle \,{\mathcal {B}}\displaystyle =(T,g)$ będą dowolnymi automatami. Odwzorowanie $\displaystyle \varphi :S\longrightarrow T$ nazywamy homomorfizmem automatów wtedy i tylko

wtedy, jeśli $\displaystyle \forall s\in S,\;\;\forall w\in A^{*}\;\;\;\varphi (f(s,w))\;=\;g(\varphi (s),w).$

Homomorfizm automatów oznaczamy $\displaystyle \varphi :{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$ .

Twierdzenie 1.1.

Prawdziwe są następujące fakty:

(1) Dla dowolnej prawej kongruencji $\displaystyle \;\rho \;\subset \;(A^{*})^{2}$

$\displaystyle \sim _{{\mathcal {A}}_{\rho }}=\rho ,$

(2) Dowolny automat $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,A,f,s_{0},T)$ jest izomorficzny z automatem $\displaystyle {\mathcal {A}}_{\sim _{\mathcal {A}}}$ ,

(3) Dla dowolnych automatów $\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\displaystyle =(S_{1},A,f_{1},s_{0}^{1},T_{1})$ i $\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}\displaystyle =(S_{2},A,f_{2},s_{0}^{2},T_{2})$ prawdziwa jest równoważność

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \sim _{\mathcal{A}_1}\: \subseteq \: \sim _{\mathcal{A}_2}\: \: \Longleftrightarrow \: } istnieje epimorfizm $\displaystyle \varphi :{\mathcal {A}}_{1}\longrightarrow {\mathcal {A}}_{2}$ taki, że $\displaystyle \varphi (s_{0}^{1})=s_{0}^{2}$.

Dowód

(1) Identyczność relacji wynika wprost z definicji automatu ilorazowego $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle _{\rho }$ oraz prawej kongruencji $\displaystyle \sim _{A_{\rho }}$ .

(2) Rozważmy automat $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,A,f,s_{0},T)$ i odwzorowanie

$\displaystyle \psi :{\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {A}}_{\sim _{\mathcal {A}}},$

gdzie $\displaystyle \forall s\in S$

$\displaystyle \psi (s)=[w]_{\sim _{\mathcal {A}}}\;\;{\text{dla}}\;\;w\in A^{*}\;\;{\text{i}}\;\;f(s_{0},w)=s.$

Istnienie słowa $\displaystyle w$ wynika z faktu, że $\displaystyle s_{0}$ jest stanem początkowym, natomiast z definicji relacji $\displaystyle \sim _{\mathcal {A}}$ wynika, że odwzorowanie $\displaystyle \psi$ jest poprawnie określone.
Odwzorowanie $\displaystyle \psi$ ma być homomorfizmem, czyli dla każdego stanu $\displaystyle s\in S$ i dowolnego słowa $\displaystyle w\in A^{*}$ spełniać warunek

$\displaystyle \psi (f(s,w))=f^{*}(\psi (s),w).$

Warunek ten wynika z następujących równości

$\displaystyle {\begin{array}{c}f^{*}(\psi (s),w)=f^{*}([u]_{\sim _{\mathcal {A}}},w)=[uw]_{\sim _{\mathcal {A}}}=\\=\left\{v\in A^{*}:f(s_{0},uw)=f(s_{0},v)\right\}=\\\left\{v\in A^{*}:f(f(s_{0},u),w)=f(s_{0},v)\right\}=\\=\left\{v\in A^{*}:f(s,w)=f(s_{0},v)\right\}=\psi (f(s,w))\end{array}}$

gdzie $\displaystyle f(s_{0},u)=s$.

Z prostych obserwacji wynika, że $\displaystyle \psi$ jest suriekcją i iniekcją.

(3) Dowód implikacji "$\displaystyle \Rightarrow$"
Załóżmy, że Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \: \sim _{\mathcal{A}_1}\: \subseteq \: \sim _{\mathcal{A}_2 } } . Niech

$\displaystyle \varphi :{\mathcal {A}}_{1}\longrightarrow {\mathcal {A}}_{2}$

będzie odwzorowaniem takim, że

$\displaystyle \forall s\in S_{1}$ $\displaystyle \varphi (s)=f_{2}(s_{0}^{2},w),\;\;{\text{gdzie}}\;\;w\in A^{*}\;\;i\;\;f_{1}(s_{0}^{1},w)=s.$

Stąd, że $\displaystyle s_{0}^{1}$ jest stanem początkowym automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},$ wynika, że istnieje słowo $\displaystyle \;w\in A^{*}\;$ potrzebne do określenia epimorfizmu $\displaystyle \varphi$.
Z założenia Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \: \sim _{\mathcal{A}_1}\: \subseteq \: \sim _{\mathcal{A}_2} } wynika, że $\displaystyle \varphi \;$ jest poprawnie zdefiniowaną funkcją.
Uzasadnienie faktu, że $\displaystyle \varphi$ jest homomorfizmem, jest analogiczne jak w punkcie (2) dla $\displaystyle \psi$.
$\displaystyle \varphi$ jest suriekcją, gdyż $\displaystyle \;s_{0}^{2}\;$ jest stanem początkowym automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}$ .
$\displaystyle \;\varphi (s_{0}^{1})=s_{0}^{2},\;$ ponieważ $\displaystyle \;f_{1}(s_{0}^{1},1)=s_{0}^{1}$.
Dowód implikacji "$\displaystyle \Leftarrow$"
Niech $\displaystyle \varphi :{\mathcal {A}}_{1}\longrightarrow {\mathcal {A}}_{2}$ będzie epimorfizmem takim, że $\displaystyle \;\varphi (s_{0}^{1})=s_{0}^{2}\;$.
Wówczas prawdziwy jest następujący ciąg wnioskowań.

$\displaystyle {\begin{array}{c}u\sim _{{\mathcal {A}}_{1}}v\Leftrightarrow f_{1}(s_{0}^{1},u)=f_{1}(s_{0}^{1},v)\Rightarrow \\\Rightarrow \varphi (f_{1}(s_{0}^{1},u))=\varphi (f_{1}(s_{0}^{1},v))\Rightarrow f_{2}(s_{0}^{2},u)=f_{2}(s_{0}^{2}v)\Leftrightarrow u\sim _{{\mathcal {A}}_{2}}v\end{array}}$

To oznacza, że $\displaystyle \sim _{{\mathcal {A}}_{1}}\subseteq \sim _{{\mathcal {A}}_{2}}$ .

Symbolem $\displaystyle S^{S}$ oznaczamy rodzinę wszystkich funkcji określonych na zbiorze $\displaystyle S$ i przyjmujących wartości w $\displaystyle S$. Łatwo zauważyć, iż rodzina ta wraz ze składaniem odwzorowań jest monoidem $\displaystyle (S^{S},\circ )$ .

Definicja 1.5.

Niech $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,f)$ będzie dowolnym automatem. Reprezentacją automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}$ nazywamy funkcję $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}:A^{*}\longrightarrow S^{S}$ , określoną dla dowolnych $\displaystyle w\in A^{*}$ i $\displaystyle \;s\in S\;$ równością

$\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(w)(s)=f(s,w).$

Reprezentacja automatu jest homomorfizmem monoidu $\displaystyle A^{*}$ w monoid $\displaystyle S^{S}$, bowiem dla dowolnych $\displaystyle v,w\in A^{*}$ spełnione są warunki

$\displaystyle {\begin{array}{c}\tau _{\mathcal {A}}(vw)=\tau _{\mathcal {A}}(w)\circ \tau _{\mathcal {A}}(v),\\\tau _{\mathcal {A}}(1)=id_{S}.\end{array}}$

Definicja 1.6.

Niech $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,f)$ będzie dowolnym automatem. Monoidem przejść automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}$ nazywamy monoid

$\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})=\tau _{\mathcal {A}}(A^{*})\subset S^{S}.$

Następujące wnioski są konsekwencjami rozważań przeprowadzonych powyżej.

Wniosek 1.1.

(1) Monoid przejść automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}$ jest podmonoidem monoidu $\displaystyle S^{S}$ i zbiór $\displaystyle \left\{\tau _{\mathcal {A}}(a):a\in A\right\}$ jest zbiorem

generatorów tego monoidu. $\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})=\left\{\tau _{\mathcal {A}}(a):a\in A\right\}^{*}.$

Wynika to z faktu, że $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}$ jest epimorfizmem i z twierdzenia 2.1 z wykładu 1. (patrz twierdzenie 2.1. wykład 1)

(2) Monoid przejść automatu skończonego jest skończony.

(3) Monoid przejść automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}$ jest izomorficzny z monoidem ilorazowym $\displaystyle A^{*}/_{Ker_{\tau _{\mathcal {A}}}}$ .

Jest to wniosek z twierdzenia o rozkładzie epimorfizmu, które w tym przypadku ilustruje poniższy diagram.

<flash>file=ja-lekcja03-w-rys5.swf|width=350|height=200</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek 6

Przykład 1.6.

Określimy monoid przejść dla automatu z przykładu 1.2 (patrz przykład 1.2.). Wypisujemy kolejne funkcje $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(w)$ dla $\displaystyle w\in \{a,b\}^{*}$ . Zauważmy, że ze względu na występujące w tabelce powtórzenia, będące wynikiem równości, np. $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b^{2})=\tau _{\mathcal {A}}(b),$ nie ma potrzeby określać funkcji $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b^{n})$ dla $\displaystyle n\geq 3$ . Podobna obserwacja ma miejsce w innych przypadkach, co sprawia, że tabelka zawiera skończoną liczbę różnych funkcji.

$\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|}&s_{0}&s_{1}&s_{2}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(1)&s_{0}&s_{1}&s_{2}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(a)&s_{1}&s_{2}&s_{2}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(b)&s_{0}&s_{0}&s_{0}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(a^{2})&s_{2}&s_{2}&s_{2}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(ab)&s_{0}&s_{0}&s_{0}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(ba)&s_{1}&s_{1}&s_{1}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(b^{2})&s_{0}&s_{0}&s_{0}\\\hline \tau _{\mathcal {A}}(aba)&s_{1}&s_{1}&s_{2}\\\hline ...&...&...&...\\\hline \end{array}}$

$\displaystyle M({\mathcal {A}})=\left\{\tau _{\mathcal {A}}(1),\tau _{\mathcal {A}}(a),\tau _{\mathcal {A}}(b),\tau _{\mathcal {A}}(a^{2}),\tau _{\mathcal {A}}(b),\tau _{\mathcal {A}}(ba),\tau _{\mathcal {A}}(aba)\right\}.$

Poniżej zamieszczamy algorytm obliczający monoid przejść dla automatu skończenie stanowego.

Algorytm WyznaczMonoidPrzejść - wyznacza monoid przejść dla automatu

---

  1  Wejście: $\displaystyle {\mathcal {A}}=(S,A,f,s_{0},T)$ - automat
  2  Wyjście: $\displaystyle M$ - monoid przejść dla $\displaystyle {\mathcal {A}}$
  3  $\displaystyle L\leftarrow \emptyset$;  $\displaystyle \triangleright L$ jest listą
  4  $\displaystyle M\leftarrow \emptyset$;
  5  for each $\displaystyle a\in A\cup \{1\}$ do
  6    insert$\displaystyle (L,\{\tau _{\mathcal {A}}(a)\})$;  $\displaystyle \triangleright$ gdzie $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a)(s)=f(s,a)$ dla każdego $\displaystyle s\in S$
  7  end for
  8  while $\displaystyle L\not =\emptyset$; do 
  9   $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(w)\leftarrow$ first $\displaystyle (L)$;
 10   $\displaystyle M\leftarrow M\cup \tau _{\mathcal {A}}(w)$;
 11   for each $\displaystyle a\in A$ do
 12     for each $\displaystyle s\in S$ do
 13        $\displaystyle \tau '_{\mathcal {A}}(wa)(s)\leftarrow f(\tau _{\mathcal {A}}(w)(s),a)$;
 14      end for
 15      if $\displaystyle \tau '_{\mathcal {A}}(wa)\not \in L\cup M$ 
 16        insert$\displaystyle (L,\tau '_{\mathcal {A}}(wa))$;
 17      end if
 18    end for
 19  end while
 20  return $\displaystyle M$;

Procedura insert$\displaystyle (L,x)$ wkłada na koniec listy $\displaystyle L$ element $\displaystyle x$. Funkcja first$\displaystyle (L)$ wyjmuje pierwszy element znajdujący się na liście $\displaystyle L$ i zwraca go. Algorytm działa w następujący sposób: najpierw na listę $\displaystyle L$ wkładane są elementy monoidu przejść $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a)$ dla każdej litery $\displaystyle a\in A\cup 1$. Te funkcje można obliczyć bezpośrednio z tabelki reprezentującej funkcję przejścia automatu $\displaystyle {\mathcal {A}}$. Następnie z listy po kolei ściągane są poszczególne funkcje $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(w)$. Każda z nich dodawana jest do zbioru $\displaystyle M$, a następnie algorytm sprawdza dla każdej litery $\displaystyle a\in A$, czy funkcja $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(wa)$ istnieje już na liście $\displaystyle L$ lub w zbiorze $\displaystyle M$. Jeśli nie, to funkcja ta dodawana jest do listy. Procedura powyższa trwa do czasu, gdy lista $\displaystyle L$ zostanie pusta. Wtedy wszystkie elementy monoidu przejść znajdą się w zbiorze $\displaystyle M$.

Przeanalizujmy działanie algorytmu dla automatu z przykładu 1.2 (patrz przykład 1.2.).

Na początku na listę $\displaystyle L$ włożone zostaną funkcje $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(1)$, $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a)$ oraz $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b)$. Z listy zdejmujemy funkcję $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(1)$ i dodajemy ją do zbioru $\displaystyle M$. Ponieważ $\displaystyle \forall a\in A\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(1a)=\tau _{\mathcal {A}}(a)$, a funkcje $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a)$ oraz $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b)$ znajdują się już na liście, zatem nie dodajemy ich do $\displaystyle L$. Bierzemy kolejny element listy, $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a)$, dodajemy go do $\displaystyle M$ i obliczamy funkcje $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(aa)$ oraz $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ab)$. Ponieważ $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(aa)$ nie jest tożsama z żadną funkcją ze zbioru $\displaystyle L\cup M$, dodajemy ją do listy. Funkcja $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ab)$ również nie jest równa żadnej z funkcji należących do zbioru $\displaystyle L\cup M$, zatem wstawiamy ją na koniec listy. Na liście $\displaystyle L$ mamy zatem teraz następujące elementy: $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b)$, $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a^{2})$ oraz $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ab)$. Zdejmujemy z listy funkcję $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b)$, dodajemy ją do $\displaystyle M$ i obliczamy $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ba)$ oraz $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(bb)$. Pierwsza z tych funkcji jest nowa, tzn. nie jest tożsama z żadną funkcją ze zbioru $\displaystyle L\cup M$ więc dodajemy ją na koniec listy. Druga z nich równa jest funkcji $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b)$, więc nie dodajemy jej do listy. W tym momencie zbiór $\displaystyle M$ zawiera następujące elementy: $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(1)$, $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a)$, $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(b)$, natomiast lista zawiera elementy $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a^{2})$, $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ab)$, $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ba)$. Zdejmujemy z $\displaystyle L$ funkcję $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a^{2})$, dodajemy ja do $\displaystyle M$ i ponieważ $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a^{2}a)=\tau _{\mathcal {A}}(a^{2})$ i $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(a^{2}b)=\tau _{\mathcal {A}}(b)$, nic nie dodajemy do $\displaystyle L$. Zdejmujemy teraz z listy funkcję $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ab)$, dodajemy ją do $\displaystyle M$ i ponieważ $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(aba)$ nie należy do $\displaystyle L\cup M$ dodajemy ją do listy. $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(abb)=\tau _{\mathcal {A}}(b)$, więc tej funkcji nie dodajemy do $\displaystyle L$. Z $\displaystyle L$ ściągamy $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(ba)$, dodajemy ją do $\displaystyle M$ i widzimy, że $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(baa)=\tau _{\mathcal {A}}(a^{2})$ oraz $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(bab)=\tau _{\mathcal {A}}(b)$, więc nic nie dodajemy do $\displaystyle L$. Na liście pozostała funkcja $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(aba)$. Ściągamy ją z listy i dodajemy do $\displaystyle M$. Widzimy, że $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(abaa)=\tau _{\mathcal {A}}(a^{2})$ i $\displaystyle \tau _{\mathcal {A}}(abab)=\tau _{\mathcal {A}}(b)$, zatem nic nie dodajemy do listy $\displaystyle L$. Lista jest w tym momencie pusta i działanie algorytmu zakończyło się. Ostatecznie mamy

$\displaystyle M({\mathcal {A}})=\{\tau _{\mathcal {A}}(1),\tau _{\mathcal {A}}(a),\tau _{\mathcal {A}}(b),\tau _{\mathcal {A}}(a^{2}),\tau _{\mathcal {A}}(ab),\tau _{\mathcal {A}}(ba),\tau _{\mathcal {A}}(aba)\},$

co zgadza się z wynikiem otrzymanym w przykładzie.

Twierdzenie poniższe zbiera dotychczas uzyskane charakteryzacje języków rozpoznawanych.

Twierdzenie 1.2.

Niech $\displaystyle \;L\subset A^{*}\;$ będzie dowolnym językiem. Równoważne są następujące warunki:

(1) Język $\displaystyle \;L\;$ jest rozpoznawalny,

(2) Język $\displaystyle \;L\;$ jest sumą wybranych klas równoważności pewnej prawej kongruencji $\displaystyle \rho$ na $\displaystyle \;A^{*}\;$ o skończonym indeksie: $\displaystyle L=\bigcup _{w\in L}[w]_{\rho }.$

(3) Język $\displaystyle \;L\;$ jest sumą wybranych klas równoważności pewnej kongruencji $\displaystyle \rho$ na $\displaystyle \;A^{*}\;$ o skończonym indeksie: $\displaystyle L=\bigcup _{w\in L}[w]_{\rho }.$

(4) Istnieje skończony monoid $\displaystyle \;M\;$ i istnieje epimorfizm $\displaystyle \varphi :A^{*}\longrightarrow M$ taki, że $\displaystyle L=\varphi ^{-1}(\varphi (L)).$

Dowód

Dowód równoważności czterech powyższych warunków przeprowadzimy zgodnie z następującym schematem:

$\displaystyle 4\Longrightarrow 3\Longrightarrow 2\Longrightarrow 1\Longrightarrow 4$

$\displaystyle 4\Longrightarrow 3$

Dany jest homomorfizm $\displaystyle \varphi :A^{*}\longrightarrow M,$

gdzie $\displaystyle M$ jest skończonym monoidem.
Określamy relację $\displaystyle \;\rho \;$ na $\displaystyle A^{*}$, przyjmując dla dowolnych $\displaystyle u,v\in A^{*}$

$\displaystyle u\;\rho \;v\;\;\Longleftrightarrow \;\;\varphi (u)=\varphi (v).$

Tak określona relacja jest kongruencją. Natomiast jej skończony indeks wynika z faktu, że monoid $\displaystyle \;M\;$ jest skończony. Pokażemy teraz, że:

$\displaystyle L=\bigcup _{w\in L}[w]_{\rho }.$

Inkluzja $\displaystyle \;\subseteq \;$ jest oczywista.
Inkluzja w przeciwną stronę ($\displaystyle L\supseteq \bigcup _{w\in L}[w]_{\rho },$) oznacza, że każda klasa równoważności relacji $\displaystyle \;\rho \;$ albo cała zawiera się w języku $\displaystyle L$, albo cała zawiera się w uzupełnieniu języka $\displaystyle L$.
Załóżmy, że $\displaystyle \;u\in [w]_{\rho }$ dla pewnego $\displaystyle w\in L.\;$ Oznacza to, że

$\displaystyle u\;\rho \;w\Leftrightarrow \varphi (u)=\varphi (w)\in \varphi (L)\Rightarrow u\in \varphi ^{-1}(\varphi (u))\;\;\subset \varphi ^{-1}(\varphi (L))=L.$

Implikuje to ostatecznie, że $\displaystyle u\in L$.

$\displaystyle 3\Longrightarrow 2$

Każda kongruencja jest prawą kongruencją.

$\displaystyle 2\Longrightarrow 1$

Niech $\displaystyle \;\rho \;$ będzie prawą kongruencją o skończonym indeksie na $\displaystyle \;A^{*}\;$ taką, że

$\displaystyle L=\bigcup _{w\in L}[w]_{\rho }.$

Automat $\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }\displaystyle =(A^{*}/\rho ,f^{*},[1]_{\rho },T),$ dla którego

$\displaystyle f^{*}([w]_{\rho },u)=[wu]_{\rho }\;,\;\;\;\;\;T=\{[w]_{\rho }\;:\;w\in L\}$

akceptuje język $\displaystyle L$.

$\displaystyle 1\Longrightarrow 4$

Niech język $\displaystyle \;L=L({\mathcal {A}})\;$, gdzie $\displaystyle {\mathcal {A}}\displaystyle =(S,f,s_{0},T)$.
Określamy odwzorowanie

$\displaystyle \varphi :A^{*}\longrightarrow A^{*}/_{Ker\tau _{\mathcal {A}}},$

przyjmując dla każdego $\displaystyle v\in A^{*}$

$\displaystyle \varphi (v)=[v]_{Ker\tau _{\mathcal {A}}}.$

Jest to odwzorowanie kanoniczne monoidu $\displaystyle \;A^{*}\;$ na monoid ilorazowy, a więc jest to epimorfizm.
$\displaystyle A^{*}/_{Ker\tau _{\mathcal {A}}}$ jest monoidem skończonym, ponieważ $\displaystyle \;S\;$ jest zbiorem skończonym.

Dla dowodu równości $\displaystyle L=\varphi ^{-1}(\varphi (L))$ wystarczy udowodnić inkluzję $\displaystyle L\supset \varphi ^{-1}(\varphi (L))$. (Inkluzja $\displaystyle \;L\subseteq \varphi ^{-1}(\varphi (L))\;$ wynika z definicji przeciwobrazu.)
Niech $\displaystyle \;u\in \varphi ^{-1}(\varphi (L)).\;$ Oznacz to, że

$\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi (u)\in \varphi (L)\Leftrightarrow \exists v\in L:\varphi (u)=\varphi (v)\Leftrightarrow \exists v\in L:[u]_{_{Ker\tau _{\mathcal {A}}}}=[v]_{_{Ker\tau _{\mathcal {A}}}}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \exists v\in L:\tau _{\mathcal {A}}(u)=\tau _{\mathcal {A}}(v)\Leftrightarrow ,\exists v\in L:\forall s\in S\;f(s,u)=f(s,v)\end{array}}$ W szczególności $\displaystyle f(s_{0},u)=f(s_{0},v)\in T,$

czyli Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle u \in L. }}}