CWGI Moduł 2

Wykład 2. Elementy przynależne i wspólne w rzutach prostokątnych Wykład poświęcony jest działowi nazwanemu elementy przynależne i wspólne. Na wykładzie zostaną omówione konstrukcje podstawowe w rzutach prostokątnych, oparte o zasady określone w niezmiennikach rzutu równoległego oraz podstawach teoretycznych rzutowania prostokątnego. Wykład stanowi podstawę do realizacji złożonych konstrukcji zapisywanych w grafice inżynierskiej, jako element profesjonalnego, graficznego zapisu postaci konstrukcyjnej złożonych obiektów technicznych.

---

Rzut prostokątny jest rzutem równoległym, zatem obowiązują w tym odwzorowaniu wszystkie własności (niezmienniki) rzutu równoległego, w szczególności przynależność elementów. Jeżeli zatem punkt przynależy do prostej to rzuty tego punktu przynależą do rzutów prostej. Zakładając, że punkt $P\,$ leży na prostej $l\,$ obieramy punkt $P''\,$ leżący na rzucie pionowym $l''\,$ prostej. Rzut poziomy $P'$ tego punktu, będzie leżał na odnoszącej (prostopadłej do osi x) i rzucie $l'$ poziomym prostej $l\,$. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla przynależności prostej do płaszczyzny. Zakładając, że prosta $k\,$ leży w płaszczyźnie dwóch prostych $a\,$ i $b\,$, obieramy dowolny rzut pionowy prostej - $k''$. Prosta $k''$ przecina proste Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a"} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle b"} w punktach $1''$ i $2''$. Rzuty poziome tych punktów będą leżały odpowiednio na odnoszących (prostopadłych do osi x) oraz rzutach poziomych prostych $a'\,$ i $b'\,$.

---

---

---

Punkt jest przynależny do płaszczyzny, jeżeli przynależy do prostej leżącej w płaszczyźnie. Płaszczyzna w tym przypadku określona jest bezśladowo, przez dwie przecinające się proste $a\,$ i $b\,$. Obierzemy dowolny punkt $A\,$, przyjmując jego rzut pionowy $A''\,$ jak na rys. 2.2_1a, i założymy, że leży on na płaszczyźnie dwóch przecinających się prostych ($axb$). Aby wyznaczyć drugi rzut tego punktu poprowadźmy przez rzut pionowy punktu $A''$ dowolną prostą $p''$, która będzie leżała w płaszczyźnie dwóch prostych ($axb$). Jeżeli tak, to prosta $p''\,$ przetnie nam proste $a''$ i $b''$ w punktach odpowiednio $2''$ i $1''$. Rzuty poziome $1'$ i $2'$ tych punktów znajdziemy na przecięciu się odnoszących z rzutami poziomymi $a'\,$ i $b'\,$ prostych $a\,$ i $b\,$. Rzuty poziome $1'\,$ i $2'$ punktów $1\,$ i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 2\,} wyznacza rzut poziomy prostej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p'\,} , leżącej w płaszczyźnie prostych Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a\,} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle b\,} . Prostą Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p\,} prowadzono przez punkt Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A\,} , a więc można jego rzut poziomy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A'} wyznaczyć na przecięciu się odnoszącej, i rzutu poziomego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p'\,} prostej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle p\,} (patrz rys. 2.2_1a).

---

---

Analogiczne zagadnienie można rozpatrzyć, zakładając, iż dana płaszczyzna określona jest śladami Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v_\alpha} i $h_{\alpha }$(patrz rys. 2.2_2a, b)Przyjmijmy dowolny rzut poziomy punktu $A'$. Zakładając, iż punkt należy do płaszczyzny $\alpha \,$ wyznaczymy drugi rzut punktu. Prosta należy do płaszczyzny, jeżeli ma z nią, co najmniej dwa punkty wspólne. W konstrukcjach śladowych prosta leży na płaszczyźnie, jeżeli ślady prostej leżą na śladach płaszczyzny. Przez rzut poziomy punktu prowadzimy rzut poziomy prostej $l(l')$, dla której zakładamy przynależność do płaszczyzny $\alpha \,$. Rzut pionowy punktu $A''$ wyznaczymy pośrednio poprzez wyznaczenie drugiego rzutu prostej $l''$. Wyznaczamy ślad poziomy $H_{l}$ prostej $l\,$ - oraz pokrywający się z nim rzut poziomy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_l’} tego śladu . Rzut pionowy śladu poziomego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_l”} prostej $l\,$ będzie leżał na przecięciu się z osią x, wystawionej ze śladu poziomego prostej $l\,$. Rzut poziomy śladu pionowego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V_l”} będzie leżał na przecięciu się rzutu poziomego prostej $l\,$ z osią x. Rzut pionowy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle V_l”} śladu pionowego $V_{l}$ będzie leżał na przecięciu się odnoszącej, wystawionej z tego punktu, aż do przecięcia się z rzutem pionowym Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle l”} prostej $l\,$. Otrzymaliśmy w ten sposób rzuty pionowe śladów prostej $l\,$, które wyznaczają rzut pionowy prostej $l''$. Na rzucie tym leży szukany rzut $A''$ punktu $A\,$, który będzie należał do płaszczyzny $\alpha$ Na rys. 2.2_2 b przedstawiono analogiczną konstrukcję, korzystając z pośrednictwa prostej poziomej $p\,$ leżącej w płaszczyźnie $\alpha \,$.

---

---

Wyznaczanie krawędzi przecięcia się dwu płaszczyzn należy do zagadnień rozdziału o nazwie Elementy wspólne. W technice z zagadnieniem takim mamy do czynienia powszechnie. Na rys.2.3_1a,b przedstawiono wyznaczanie krawędzi przecięcia się płaszczyzn dla przypadku, gdy płaszczyzny są zadane przy pomocy postaci śladów. W celu wyznaczenia wspólnej krawędzi płaszczyzny $\alpha \,$ i $\beta \,$ należy ustalić dwa punkty wspólne tych płaszczyzn, ponieważ one jednoznacznie określają prostą, będącą krawędzią wspólną płaszczyzn. Punkty te łatwo ustalić, ponieważ ślady płaszczyzn są to proste należące do tych płaszczyzn i jednocześnie leżące na rzutniach. Punkty przecięcia się jednoimiennych śladów wyznaczają nam ślady wspólnej prostej Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle "k"} , zwanej krawędzią przecięcia się płaszczyzn. Mając ślady krawędzi $V_{k}$ i $H_{k}$ można wyznaczyć rzuty śladów. Jak już wcześniej powiedziano rzut pionowy śladu pionowego pokrywa się ze śladem pionowym, rzut poziomy tego śladu znajduje się na osi x. Podobnie rzut poziomy śladu poziomego pokrywa się ze śladem poziomym, natomiast rzut pionowy tego śladu znajduje się na osi x. W konsekwencji rzuty $k'\,$ i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k"} krawędzi otrzymamy łącząc jednoimienne rzuty śladów. Wyznaczanie krawędzi przecięcia się płaszczyzn w konstrukcjach bezśladowych zostanie omówione w dalszej części wykładu.

---

---

Położenie płaszczyzn może przyjmować charakter szczególny. Jednak poszukiwanie krawędzi oparte jest na tych samych zasadach. Na rys. 2.3_2a,b rozważono przypadek płaszczyzn śladowych, z których jedna jest równoległa do osi x, druga natomiast jest w położeniu takim, że jej ślady (pionowy i poziomy) pokrywają się. Wyznaczenie krawędzi rozpoczynamy od wyznaczenia punktów przecięcia się jednoimiennych śladów płaszczyzn, które będą odpowiednio śladami (pionowym i poziomym) krawędzi. Wyznaczając rzuty śladów przez jednoimienne rzuty śladów poprowadzimy poszukiwane rzuty krawędzi przecięcia się płaszczyzn.

---

---

W celu wyznaczenia punktu przebicia płaszczyzny $\alpha \,$ prostą $l\,$ należy przez tą prostą poprowadzić dowolną płaszczyznę $\beta \,$ a następnie wyznaczyć krawędź $k\,$ przecięcia się płaszczyzn $\alpha \,$ i $\beta \,$. W miejscu przecięcia się dwóch prostych $k\,$ i $l\,$ otrzymamy punkt $P\,$ - wspólny dla prostej $l\,$ i płaszczyzny $\alpha \,$ czyli punkt przebicia płaszczyzny $\alpha \,$ prostą $l\,$. Na rys. 2.4_1.b przedstawiony został przykład wyznaczania punktu przebicia prostej $l\,$ z płaszczyzną $\Delta (ABC)$. Zgodnie z wcześniej omówionym schematem postępowania, w pierwszej kolejności przez daną prostą $l\,$ poprowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą $\beta \,$. Jeżeli prosta ma leżeć w płaszczyźnie $\beta \,$ to rzut pionowy płaszczyzny, będący jednocześnie śladem pionowym płaszczyzny powinien pokrywać się z rzutem pionowym prostej $l''$. Każdy element płaski leżący w płaszczyźnie pionowo - rzutującej będzie miał rzut pionowy zawierający się w śladzie pionowym (rzucie pionowym) płaszczyzny. Kolejny etap - to wyznaczenie krawędzi przecięcia się płaszczyzn $\alpha \,$ i $\beta \,$. Rzut pionowy krawędzi wyznaczymy natychmiast, ponieważ musi on, zgodnie z wcześniejszymi ustaleniami, leżeć na rzucie pionowym płaszczyzny $\beta \,$. Otrzymujemy, zatem rzut pionowy krawędzi $k''$. Ponieważ krawędź $k\,$ jest prostą leżącą w płaszczyźnie trójkąta musi zatem przecinać boki tego trójkąta. Punkty przecięcia rzutu pionowego $k''$ krawędzi z rzutami pionowymi boków oznaczono odpowiednio cyframi $1''$ i $2''$. Rzuty poziome tych punktów $1'\,$ i $2'\,$, które wyznaczymy na odpowiednich rzutach poziomych boków trójkąta pozwolą wyznaczyć rzut poziomy krawędzi $k'\,$. Ostatni etap tego zadania to poszukiwanie punktu $P\,$ - przecięcia się krawędzi $k\,$ z prostą $l\,$, który jest punktem przebicia płaszczyzny $\alpha \,$ prostą $l\,$. W rzucie pionowym proste Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k"} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle l"} pokrywają się, ale w rzucie poziomym punkt przecięcia jest wyraźnie widoczny. Oznaczając rzut poziomy punktu $P'\,$ możemy następnie wyznaczyć jego rzut pionowy, poprzez przecięcie się odnoszącej prostopadłej do osi x z rzutem pionowym prostej $k''$. Przyjmując założenie, że płaszczyzna trójkąta jest nieprzezroczysta powinniśmy oznaczyć jeszcze widoczność prostej. Podobnie jak postępowaliśmy poprzednio, widoczność w danym rzucie oznaczamy analizując rzut drugi. I tak, chcąc rozpatrzyć widoczność prostej w rzucie poziomym analizujemy rzut pionowy. Ocenimy, czy punkt $2\,$ leżący na boku $BC\,$ ma większą głębokość (odległość od rzutni pionowej) niż punkt $3\,$ leżący na prostej $l\,$. Ocenę tego faktu możemy zaobserwować w rzucie poziomym. Punkt $2\,$ leżący na boku $BC\,$ jest bardziej oddalony od rzutni pionowej (ma większą głębokość), zatem bok $BC\,$ w rzucie pionowym jest widoczny, prosta $l\,$ natomiast, na której leży punkt $3\,$ jest niewidoczna. Podobną analizę możemy przeprowadzić dla rzutu poziomego, oceniając wysokość punktów $4\,$ i $5\,$ (w rzucie pionowym) należących odpowiednio do prostej $l\,$ i boku $AB\,$. Prosta $l\,$ będzie niewidoczna, natomiast bok $AB\,$ w rzucie poziomym będzie widoczny.

---

---

Celem naszych rozważań jest wyznaczenie linii przenikania dwóch wielokątów płaskich: trójkąta $ABC\,$ i równoległoboku $DEFG\,$ (rys. 2.4_2b). Jednocześnie przyjmując założenie, że płaszczyzny wielokątów są nieprzezroczyste ustalona zostanie widoczność krawędzi w poszczególnych rzutach. Linia przenikania figur płaskich to nic innego jak odcinek krawędzi przecięcia się płaszczyzn, zdefiniowanych przez te figury, wspólny dla obu płaszczyzn. Należy, zatem wyznaczyć wspólną krawędź przecięcia się płaszczyzn reprezentowanych przez trójkąt i równoległobok. Krawędź wyznaczymy metodą pośrednią, poszukując punktów przebicia bokiem jednej z figur płaszczyzny drugiej figury. Wyznaczenie dwóch punktów przebicia, czyli dwóch punktów wspólnych tych płaszczyzn określi nam krawędź przecięcia się płaszczyzn (dwa punkty, jednoznacznie, określają prostą). Wyznaczmy punkt przebicia boku $BC\,$ trójkąta z płaszczyzną równoległoboku. W tym celu poprowadzimy płaszczyznę pionowo - rzutującą $\alpha \,$ przez bok $BC\,$ trójkąta. Płaszczyzna jest rzutująca, a więc krawędź przecięcia się tej płaszczyzny z płaszczyzną równoległoboku $k_{1}$ będzie leżała w płaszczyźnie $\alpha \,$, ale również w płaszczyźnie równoległoboku. Rzut pionowy tej krawędzi będzie pokrywał się z rzutem pionowym płaszczyzny $\alpha \,$ oraz z rzutem pionowym boku Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle B"C"} . Przynależność krawędzi $k_{1}$ do płaszczyzny równoległoboku oznacza, że punkty Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1"} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 2"} są rzutami punktów przecięcia się krawędzi z rzutami boków Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle D"G"} oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle E"F"} . Rzuty poziome tych punktów znajdziemy na przecięciu się odnoszących prostopadłych do osi x z rzutami poziomymi boków równoległoboku $D'G'$ oraz $E'F'$. W ten sposób znajdujemy rzuty krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k_1”} oraz Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k_1’} . W rzucie poziomym otrzymamy szukany punkt przebicia $Q'\,$ boku $B'C'$ trójkąta z płaszczyzną równoległoboku. Rzut pionowy tego punktu wyznaczymy jako przecięcie odnoszącej z rzutem pionowym krawędzi Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle k_1”} (oraz boku Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle B"C"} ). Podobną konstrukcję przeprowadzamy z inną parą boków, np. równoległoboku oraz płaszczyzny trójkąta $ABC$. Wybierzmy do rozważań bok $DG\,$ równoległoboku, przez który poprowadzimy płaszczyznę $\beta \,$ a następnie, w drodze postępowania analogicznego jak poprzednio, wyznaczymy krawędź przecięcia się płaszczyzny $\beta \,$ z płaszczyzną trójkąta oraz w konsekwencji punkt przebicia $P\,$ boku $DG\,$ z trójkątem $ABC$. Podobnie jak w przypadku opisanym w na rys. 2.4_1b ustalamy widoczność poszczególnych krawędzi analizując odpowiednio wysokość i głębokość punktów znajdujących się na przecięciu się rzutów poszczególnych boków figur płaskich.

---

---