Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora
Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora
W tym wykładzie wprowadzamy pojęcia ciągu i szeregu funkcyjnego. Rozważamy dwa rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych: zbieżność punktową i jednostajną. Dowodzimy twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Podajemy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Na zakończenie wprowadzamy szereg Taylora funkcji o środku w danym punkcie (i w szczególności szereg Maclaurina).
Ten wykład jest pierwszym z dwóch wykładów poświęconych ciągom iszeregom funkcyjnym. Z szeregami liczbowymi spotkaliśmy się już na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Przypomnijmy, że liczbę
możemy otrzymać jako sumę szeregu . Okazuje się, że zachodzi ogólniejszy faktZapiszmy ten wzór tak
Jeśli w powyższej sumie weźmiemy tylko skończoną ilość składników, to oczywiście nie dostaniemy dokładnie wartości
, niemniej dostaniemy dobre jej przybliżenie. Pozwala to nam policzyć np. dość dokładnie jako sumę(gdzie zwiększając liczbę składników, zwiększamy dokładność).
Na wykładzie zobaczymy, że wiele funkcji (przy odpowiednich założeniach) można zapisać jako sumę szeregu
, gdzie funkcje są na przykład jednomianami (czyli są postaci jak w powyższym przykładzie z ) albo są funkcjami trygonometrycznymi (patrz szeregi Fouriera). Da nam to możliwość przybliżania funkcji przez sumę początkowych wyrazów szeregu.Przy odpowiednich założeniach będziemy też mogli powiedzieć, czy funkcja
dana jako suma szeregu jest ciągła, różniczkowalna, czy też klasy .Ciągi funkcyjne
Definicja 4.1.
Niech
(1)
Mówimy, że ciąg jest
zbieżny punktowo do funkcji
i piszemy
lub
,
jeśli
co z kolei (z definicji granicy ciągu w przestrzeniach metrycznych; patrz Analiza matematyczna 1 definicja 2.2.) oznacza, że
(2) Mówimy, że ciąg
jest zbieżny jednostajnie do funkcji na zbiorze i piszemy jeśli
Zauważmy, że definicje zbieżności punktowej i jednostajnej różnią się tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji zbieżności punktowej
dobierane do może zmieniać się w zależności od punktu . Natomiast w definicji zbieżności jednostajnej dobrane do nie zależy od . Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.Twierdzenie 4.2.
Jeśli
jest dowolnym zbiorem, przestrzenią metryczną, oraz funkcjami dla , to
Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że jeśli ciąg funkcyjny
ma granicę punktową , to jeśli jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji , to . Innymi słowy jeśli ciąg ma granicę punktową , to jedynym "kandydatem" na granicę jednostajną jest też funkcja . Będzie to bardzo przydatne do badania jednostajnej zbieżności, gdyż na ogół znacznie łatwiej jest wyznaczyć granicę punktową niż granicę jednostajną. Natomiast znajomość granicy punktowej ułatwia badanie zbieżności jednostajnej (patrz uwaga poniżej).Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna
do implikacji w twierdzeniu 4.2.
(czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności
jednostajnej).
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg funkcji
zdefiniowanych przez
dla
Wyrźnie widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji
Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji
. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
Weźmy teraz
. Z naszej hipotezy wynika, że
Ale ponieważ
, gdy , zatem
Zatem
co daje sprzeczność z wyborem
.Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność
jednostajna
Na pierwszym rysunku
mamy ciąg funkcji dla .
Żadna z tych funkcji nie zawiera się w
epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej
(patrz uwaga 4.4.)
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji
dla .
Tutaj widać, że dla dowolnie małego , wszystkie funkcje
począwszy od pewnego znajdą się w pasie
, który jest otoczeniem funkcji
granicznej .
Plik:Am2.m04.w.r03.svg Ciąg funkcji nie jest jednostajnie zbieżny na przedziale |
Plik:Am2.m04.w.r04.svg Ciąg funkcji jest jednostajnie zbieżny na przedziale |
Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych (patrz uwaga 4.4. i 4.7.).
Twierdzenie 4.6. [ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych]
Jeśli
to
(1)
jeśli funkcje są ciągłe w punkcie , to
jest funkcją ciągłą w punkcie ;
(2)
jeśli funkcje są ciągłe, to
jest funkcją ciągłą.
Dowód 4.6.
(Ad (1))
Załóżmy, że funkcje
Ustalmy dowolne .
Ponieważ zatem
w szczególności
Ponieważ funkcja
jest ciągła w punkcie , więcNiech teraz
będzie taki, że . Wówczas, korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech powyższych nierówności, mamyzatem pokazaliśmy, że
a to oznacza ciągłość funkcji
(Ad (2))
Od razu wynika z (1).

Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w uwadze 4.4. składał się z funkcji ciągłych oraz miał granicę nieciągłą, więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować, że nie jest on jednostajnie zbieżny.
Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu
funkcji
(1) obliczenie granicy ciągu funkcyjnego , a
następnie obliczenie granicy funkcji granicznej w punkcie
oraz
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu w
punkcie , a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym
ciągiem liczbowym granic.
Zachodzi zatem następujący wzór:
Zwróćmy uwagę, że każdy z symboli "
" po lewej i prawej stronie oznacza co innego (raz jest to granica ciągu liczbowego, a raz granica funkcji w punkcie). Formalne sformułowanie powyższego wzoru wraz ze wszystkimi założeniami potrzebnymi do jego zachodzenia podane jest w poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).Twierdzenie 4.8.
Jeśli
są przestrzeniami metrycznymi, przy czym przestrzeń jest zupełna, , oraz są funkcjami dla , jest punktem skupienia zbioru orazto
(1)
ciąg jest zbieżny;
(2)
.
Szeregi funkcyjne
Definicja 4.9.
Niech
Szeregiem
(lub ) nazywamy ciąg
(tzw. ciąg sum częściowych)
, gdzie
,
to znaczy ,
dla .
Mówimy, że szereg jest
zbieżny (punktowo) na do sumy , jeśli
Wówczas piszemy
Mówimy, że szereg
jest
zbieżny jednostajnie na do sumy , jeśli
Twierdzenie 4.10.
Jeśli
jest szeregiem funkcyjnym, toDowód 4.10.
Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna temu, iżjego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.). Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.
Twierdzenie 4.11.
Jeśli
jest szeregiem funkcyjnym, to szereg jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczyDowód 4.11.
"
Załóżmy, że szereg
jest jednostajnie zbieżny
do funkcji
i oznaczmy przez
ciąg sum częściowych tego szeregu.
Ustalmy dowolne .
Z definicji jednostajnej zbieżności ciągu
wynika, że
Zatem dla
mamyA zatem szereg
" "
Załóżmy teraz, że szereg
spełnia warunek Cauchy'ego.
Po pierwsze zauważmy, że wówczas dla dowolnego
szereg liczbowy spełnia
warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych,
a zatem jest zbieżny
(patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.)
punktowo,
powiedzmy do funkcji , to znaczy
dla .
Pokażemy, że szereg jest zbieżny do
jednostajnie.
Niech
ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne . Z warunku Cauchy'ego wiemy, żea to oznacza, że dla
oraz mamyPrzejdźmy w powyższej nierówności do granicy z
(przy ustalonych i ). DostajemyA zatem ciąg
, czyli szereg jest jednostajnie zbieżny do , co należało dowieść.
Analogicznie jak w przypadku ciągów funkcyjnych, zbieżność jednostajna szeregów implikuje zbieżność punktową. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
Twierdzenie 4.12. [Zbieżność a jednostajna zbieżność]
Jeśli
jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do sumy , to (to znaczy szereg jest zbieżny (punktowo) do sumy ).Analogicznie do twierdzenia dotyczącego ciągów, dla szeregów także mamy ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.
Twierdzenie 4.13. [Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych]
Jeśli
(1)
jeśli funkcje są ciągłe w punkcie dla każdego
, to jest funkcją ciągłą w ;
(2)
jeśli funkcje są ciągłe dla każdego ,
to jest funkcją ciągłą.
Dowód 4.13.
(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje Analiza matematyczna 1 twierdzenie 8.9.).
Zatem z twierdzenia 4.6. wnioskujemy, że granica
(która istnieje z założenia) jest funkcją
ciągłą.
(Ad (2))
Wynika wprost z (1).

Dla szeregów zachodzi twierdzenie analogiczne do twierdzenia 4.8.. Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w punkcie, to otrzymamy to samo co licząc granice w punkcie dla poszczególnych wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak otrzymanego szeregu liczbowego. Innymi słowy, w szeregu jednostajnie zbieżnym można przejść do granicy w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy
Dokładne sformułowanie podane jest poniżej. Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na twierdzenia 4.8. zastosowanym do ciągu sum częściowych szeregu.
Twierdzenie 4.14.
Jeśli
, jest punktem skupienia zbioru , są funkcjami dla , szereg jest jednostajnie zbieżny orazto
(1)
jest szeregiem liczbowym zbieżnym;
(2) istnieje granica
oraz
.
Dla szeregów funkcyjnych podamy jedno kryterium zbieżności. Jest ono odpowiednikiem kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych. Mówi ono, że jeśli wyrazy szeregu funkcyjnego są wspólnie ograniczone przez wyrazy szeregu liczbowego zbieżnego, to szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Zauważmy, że kryterium to ma dość silne założenie wspólnej ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność (punktową), ale aż zbieżność jednostajną.
Twierdzenie 4.15. [Kryterium Weierstrassa]
Jeśli
są funkcjami dla , szereg jest zbieżny oraz , to szereg jest jednostajnie zbieżny na .Dowód 4.15.
Na mocy twierdzenia 4.11. wiemy, że wystarczy pokazać zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego . W tym celu ustalmy dowolne . Ponieważ szereg jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.), zatem
Zatem dla
oraz dla dowolnego mamy
Zatem pokazaliśmy, że szereg
spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów, a więcjest jednostajnie zbieżny.
W kolejnym przykładzie wykorzystamy kryterium Weierstrassa do zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.
Przykład 4.16.
Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego
. Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na .Aby skorzystać z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów, należy pokazać, że wyrazy szeregu
są ograniczone przez wyrazy pewnego zbieżnego szeregu liczbowego. Wyznaczmy ekstrema funkcji . Obliczamy pochodne:
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum (zauważmy, że funkcje
są klasy ) otrzymujemyZauważając ponadto, że
, stwierdzamy, że funkcja ma ekstrema globalne w punktach . ZatemPonieważ szereg Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), zatem wyjściowy szereg funkcyjny jest zbieżny (i to bezwzględnie) dla każdego oraz z kryterium Weierstrassa (patrz twierdzenie 4.15.) jest zbieżny jednostajnie w .
jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem ; patrzKorzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych (patrz twierdzenie 4.13.), otrzymujemy, że funkcja będąca sumą badanego
szeregu jest ciągła.Plik:Am2.m04.w.r06.svg Wykresy funkcji dla |
Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale nie koniecznego zbieżności szeregów funkcyjnych. Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.
Przykład 4.17.
Pokazać jednostajną zbieżność szeregu
na przedziale , gdzie
Należy zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.
Oznaczmy przez
ciąg sum częściowych szeregu . Ponieważ przedziały są parami rozłączne, więc
Zatem
Ponieważ funkcje
na przedziale są dodatnie i przyjmują maximum w środku tego przedziału wynoszące , zatemwięc
Zauważmy ponadto, że
oraz każdy szereg Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.). Zatem założenia twierdzenia Weierstrassa
nie są spełnione. taki, że , jest rozbieżny z kryterium porównawczego (patrzSzereg Taylora
Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 10.9.).
Twierdzenie 4.18. [Wzór Taylora z resztą Lagrange'a]
Jeśli
jest przedziałem, jest funkcją -krotnie różniczkowalną, , togdzie
Niech
Możemy rozważać szereg
zwany
szeregiem Taylora funkcji
W szczególności dla mamy
zwany szeregiem Maclaurina.
Z twierdzenia 4.18. (o wzorze Taylora)
wynika, że
warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora
był zbieżny, jest aby
, gdzie oznacza resztę Lagrange'a
we wzorze Taylora.
Twierdzenie 4.19.
Szeregi Maclaurina funkcji:
, oraz są zbieżne w , a ich sumy równe są tym funkcjom. Mówimy krótko, że funkcje te są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli dla mamy
Dowód 4.19.
Ponieważ wszystkie pochodne funkcji
wynoszą dla , zatem wzór Maclaurina tej funkcji ma postać:gdzie
dla pewnego (lub , gdy ). ZatemAby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina
do funkcji , należy wykazać, że ciąg reszt zmierza do zera (dla dowolnego ). MamyOstatnie wyrażenie przy dowolnym ustalonym
zmierza do gdy . A zatemDowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.

Plik:Am2.m04.w.r09.svg Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora |
Plik:Am2.m04.w.r10.svg Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora |
Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy
jest równa tej funkcji. Przykładem takiej funkcji jestAby to pokazać, należy obliczyć pochodne funkcji
w (z definicji). Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę de l'Hospitala oraz indukcję matematyczną.Funkcje, które w pewnym otoczeniu punktu
są równe sumie swojego szereg Taylora o środku w nazywamy analitycznymi.