Analiza matematyczna 2/Wykład 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Uogólniamy znane z Analizy matematycznej I pojęcie pochodnej na przypadek funkcji wielu zmiennych. Definiujemy pochodną funkcji o wartościach wektorowych oraz różniczkę zupełną w sensie Frecheta. Dowodzimy własności różniczki zupełnej i wyrażamy ją za pomocą pochodnych cząstkowych. Definiujemy także różniczki wyższych rzędów.

Pochodna funkcji jednej zmiennej o wartościach wektorowych

Wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji poprzedziliśmy przypomnieniem dwóch wielkości fizycznych: prędkości średniej i prędkości chwilowej w ruchu prostoliniowym. Zwróćmy uwagę na to, że w otaczającym nas świecie ruch po prostej jest rzadkością, gdyż większość obiektów, które obserwujemy, porusza się po drodze na płaszczyźnie dwuwymiarowej, bądź w przestrzeni trójwymiarowej. Wprowadźmy więc pojęcie pochodnej, które odpowiada m.in. potrzebie opisu ruchu w realnym świecie.

Niech $\displaystyle f:(a,b)\ni t\mapsto f(t)\in Y$ będzie funkcją określoną na przedziale otwartym o wartościach w przestrzeni unormowanej $\displaystyle Y$. Możemy mieć na myśli na przykład przestrzeń unormowaną $\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{n}$, w której długość wektora $\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ wyraża norma $\displaystyle \|y\|={\sqrt {|y_{1}|^{2}+|y_{2}|^{2}+\dots +|y_{n}|^{2}}}$.

Definicja 7.1.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:(a,b)\mapsto Y$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle t_{0}\in (a,b)$, jeśli istnieje wektor $\displaystyle y_{0}\in Y$ taki, że iloraz różnicowy $\displaystyle {\frac {1}{h}}{\big (}f(t_{0}+h)-f(t_{0}){\big )}$ zmierza do $\displaystyle y_{0}$ w normie przestrzeni $\displaystyle Y$, to znaczy

$\displaystyle {\bigg \|}{\frac {1}{h}}{\big (}f(t_{0}+h)-f(t_{0}){\big )}-y_{0}{\bigg \|}\to 0,{\text{ gdy }}h\to 0.$ Wektor $\displaystyle y_{0}\in Y$ nazywamy pochodną funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle t_{0}$ i oznaczamy symbolem $\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t_{0})$ lub $\displaystyle f'(t_{0})$.

Uwaga 7.2.

W szczególnym przypadku, gdy $\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{n}$, funkcja

$\displaystyle f:(a,b)\ni t\mapsto f(t)={\big (}f_{1}(t),f_{2}(t),\dots ,f_{n}(t){\big )}\in \mathbb {R} ^{n}$

jest zestawieniem $\displaystyle n$ funkcji $\displaystyle f_{k}:(a,b)\ni t\mapsto f_{k}(t)\in \mathbb {R}$ o wartościach liczbowych. Stąd istnienie pochodnej $\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t_{0})$ jest równoważne istnieniu pochodnych wszystkich składowych funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle t_{0}$. Wówczas też pochodna $\displaystyle f$ jest zestawieniem pochodnych swoich składowych, tzn.

$\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t_{0})={\big (}{\frac {d}{dt}}f_{1}(t_{0}),{\frac {d}{dt}}f_{2}(t_{0}),\dots ,{\frac {d}{dt}}f_{n}(t_{0}){\big )}.$

Przykład 7.3.

Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:

$\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x(t)=a\cos t\\y(t)=b\sin t\end{aligned}}\right.\ \ \ \ {\text{ gdzie }}a\geq b>0.$ Jak łatwo zauważyć punkt porusza się po elipsie o równaniu $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

gdyż (na podstawie jedynki trygonometrycznej) mamy równość

$\displaystyle \displaystyle {\frac {x(t)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y(t)^{2}}{b^{2}}}=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.$

Ruch ten jest okresowy, wystarczy więc ograniczyć zbiór wartości parametru $\displaystyle t$ do przedziału $\displaystyle [0,2\pi ]$. Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych

$\displaystyle v(t)={\big (}{\frac {d}{dt}}x(t),{\frac {d}{dt}}y(t){\big )}=(-a\sin t,b\cos t).$

Długość wektora prędkości $\displaystyle v(t)$ jest pierwiastkiem z sumy kwadratów składowych tego wektora:

$\displaystyle |v(t)|={\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}={\sqrt {(a^{2}-b^{2})\sin ^{2}t+b^{2}}}$

i jest największa wówczas, gdy funkcja $\displaystyle t\mapsto \sin ^{2}t$ przyjmuje wartość największą (równą jedności), a więc w przedziale $\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi$ w chwili $\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}$ oraz $\displaystyle t={\frac {3\pi }{2}}$, tj. w punktach $\displaystyle (0,b)$ oraz $\displaystyle (0,-b)$ elipsy. Z kolei prędkość $\displaystyle |v(t)|$ jest najmniejsza wówczas, gdy funkcja $\displaystyle t\mapsto \sin ^{2}t$ osiąga wartość najmniejszą (równą zeru). W przedziale $\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi$ zachodzi to w chwili $\displaystyle t=0$ oraz $\displaystyle t=\pi$, co odpowiada położeniu w punktach $\displaystyle (a,0)$ oraz $\displaystyle (-a,0)$. Rozwiązanie zadania jest intuicyjnie oczywiste: chcąc bezpiecznie pokonać ostrzejszy zakręt, musimy zwolnić. Na łagodnym łuku (na łuku o małej krzywiźnie) można przyśpieszyć.

Przykład 7.4.

Rozważmy ruch punktu materialnego opisany równaniami:

$\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x(t)=\cos ^{3}t\\y(t)=\sin ^{3}t\end{aligned}}\right..$ Punkt ten porusza się po krzywej zwanej asteroidą o równaniu $\displaystyle |x|^{\frac {2}{3}}+|y|^{\frac {2}{3}}=1,$

gdyż (na mocy jedynki trygonometrycznej) mamy równość $\displaystyle \displaystyle |x(t)|^{\frac {2}{3}}+|y(t)|^{\frac {2}{3}}=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$. Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych

$\displaystyle v(t)={\big (}{\frac {d}{dt}}x(t),{\frac {d}{dt}}y(t){\big )}=(-3\cos ^{2}t\sin t,3\sin ^{2}t\cos t).$

Długość wektora prędkości $\displaystyle v(t)$ jest pierwiastkiem z sumy kwadratów jego składowych:

$\displaystyle {\begin{aligned}|v(t)|&={\sqrt {9\cos ^{4}t\sin ^{2}t+9\sin ^{4}\cos ^{2}t}}\\&={\sqrt {9\cos ^{2}t\sin ^{2}t(\cos ^{2}t+\sin ^{2}t)}}=3|\cos t\sin t|={\frac {3}{2}}|\sin 2t|.\end{aligned}}$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie ruch ten jest okresowy o okresie $\displaystyle 2\pi$, wystarczy więc zbadać go w przedziale $\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi$. Zauważmy, że w opisanym ruchu prędkość jest największa wówczas, gdy $\displaystyle t\mapsto |\sin 2t|$ przyjmuje największą wartość (równą jedności), co w przedziale $\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi$ ma miejsce w czterech chwilach: gdy $\displaystyle t={\frac {\pi }{4}}$, $\displaystyle t={\frac {3\pi }{4}}$, $\displaystyle t={\frac {5\pi }{4}}$, $\displaystyle t={\frac {7\pi }{4}}$. Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z punktów $\displaystyle (a,a)$, $\displaystyle (-a,a)$, $\displaystyle (-a,-a)$, $\displaystyle (a,-a)$, gdzie $\displaystyle a={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$, które -- jak nietrudno zauważyć -- leżą w środku łagodnego łuku asteroidy. Z kolei w chwili $\displaystyle t=0$, $\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}$, $\displaystyle t={\pi }$, $\displaystyle t={\frac {3\pi }{2}}$ funkcja $\displaystyle t\mapsto |\sin 2t|$ osiąga wartość najmniejszą równą zeru. Punkt materialny znajduje się wówczas w jednym z ostrzy asteroidy: w punkcie $\displaystyle (1,0)$, $\displaystyle (0,1)$, $\displaystyle (-1,0)$ lub $\displaystyle (0,-1)$. Zerowa prędkość punktu w tych położeniach jest również intuicyjnie oczywista: chcąc gładko pokonać tak ostry zakręt, na którym wręcz trzeba zawrócić, należy się na chwilę

zatrzymać.

W ramach kursu Analizy matematycznej I określiliśmy pojęcie pochodnej w punkcie $\displaystyle a$ funkcji $\displaystyle f$ jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych, a na początku tego wykładu rozszerzyliśmy pojęcie pochodnej na przypadek funkcji jednej zmiennej o wartościach w dowolnej przestrzeni wektorowej $\displaystyle Y$ za pomocą granicy ilorazu różnicowego

$\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}},$

którą (o ile istnieje) oznaczamy symbolem $\displaystyle f'(x_{0})$ lub $\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(x_{0})$. Zwróćmy uwagę, że w przypadku, gdy funkcja $\displaystyle f:\mathbb {R} \supset (a,b)\mapsto Y$ osiąga wartości w przestrzeni wektorowej $\displaystyle Y$, pochodna $\displaystyle f'(x_{0})\in Y$ jest wektorem.

Różniczka zupełna

Uwaga 7.5.

Funkcja $\displaystyle f:(a,b)\mapsto Y$ o wartościach w przestrzeni unormowanej $\displaystyle Y$ ma pochodną w punkcie $\displaystyle x_{0}\in (a,b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor $\displaystyle y_{0}\in Y$ taki, że

$\displaystyle \|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-hy_{0}\|=o(|h|)$, czyli $\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-hy_{0}\|_{Y}}{|h|}}=0.$

Dowód 7.5.

Jeśli iloraz różnicowy $\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ zmierza do $\displaystyle f'(a)\in Y$ w normie przestrzeni $\displaystyle Y$, to $\displaystyle \left\|{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-f'(x_{0})\right\|\to 0,{\text{ gdy }}h\to 0,$ czyli $\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-hy_{0}\|_{Y}}{|h|}}=0,$

gdy $\displaystyle y_{0}=f'(x_{0})$. Z kolei z istnienia wektora $\displaystyle y_{0}\in Y$ takiego, że istnieje

$\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-hy_{0}\|_{Y}}{|h|}}=0$

wynika, że istnieje granica ilorazu różnicowego

$\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}},$ i jest równa $\displaystyle y_{0}$, a więc $\displaystyle f'(x_{0})=y_{0}$, gdyż ciąg zbieżny w przestrzeni unormowanej ma granicę określoną jednoznacznie.

Zauważmy, że funkcja

$\displaystyle \mathbb {R} \ni h\mapsto hy_{0}\in Y$

jest liniowa. Spostrzeżenie to prowadzi do uogólnienia pojęcia pochodnej funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji określonej na przestrzeni unormowanej $\displaystyle X$ o wartościach w przestrzeni unormowanej $\displaystyle Y$.

Niech $\displaystyle X$ oraz $\displaystyle Y$ będą przestrzeniami Banacha, tj. zupełnymi przestrzeniami unormowanymi z normami odpowiednio $\displaystyle \|\cdot \|_{X}$ oraz $\displaystyle \|\cdot \|_{Y}$. Niech $\displaystyle U$ będzie podzbiorem otwartym przestrzeni $\displaystyle X$.

Definicja 7.6.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:U\mapsto Y$ jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie $\displaystyle a\in U$ (lub krótko: jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$), jeśli istnieje odwzorowanie $\displaystyle L$ liniowe i ciągłe przestrzeni $\displaystyle X$ w $\displaystyle Y$ takie, że $\displaystyle \|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}=o(\|h\|_{X})$, to znaczy

$\displaystyle {\frac {\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\to 0,{\text{ gdy }}\to 0.$

Odwzorowanie liniowe i ciągłe $\displaystyle L$ nazywamy różniczką zupełną (lub różniczką (w sensie) Frecheta, bądź pochodną (w sensie) Frecheta) funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ i oznaczamy symbolem $\displaystyle d_{a}f$ bądź $\displaystyle f'(a)$. Wartość różniczki funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ na wektorze $\displaystyle h\in X$ oznaczamy symbolem $\displaystyle d_{a}f(h)$ lub $\displaystyle d_{a}f.h$ albo też $\displaystyle f'(a).h$

Do tej pory studiując odwzorowania liniowe w ramach algebry liniowej z geometrią w przypadku skończenie wymiarowym, przywykliśmy do faktu, że

Uwaga 7.7.

Każde odwzorowanie liniowe $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{m}$ określone na przestrzeni o skończonym wymiarze jest ciągłe.

Może więc zastanawiać żądanie ciągłości odwzorowania liniowego $\displaystyle L$ w definicji różniczki Frecheta. Zanim podamy przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, sformułujemy warunki równoważne ciągłości odwzorowania liniowego.

Uwaga 7.8.

Niech $\displaystyle X,Y$ będą przestrzeniami unormowanymi. Niech $\displaystyle L:X\mapsto Y$ będzie odwzorowaniem liniowym (tj. addytywnym i jednorodnym). Następujące warunki są równoważne

1) $\displaystyle L$ jest ciągłe,

2) $\displaystyle L$ jest ciągłe w zerze,

3) $\displaystyle L$ jest ograniczone, tzn. $\displaystyle \sup _{x\neq 0}{\frac {\|Lx\|}{\|x\|}}<\infty .$

Wobec tych uwag przykład odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, musimy podać na przestrzeni unormowanej o nieskończonym wymiarze.

Przykład 7.9.

Zbiór $\displaystyle X$ wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym $\displaystyle [0,1]$ o wartościach w $\displaystyle \mathbb {R}$ z normą

$\displaystyle \|x\|=\sup\{|x(t)|,t\in [0,1]\}$

stanowi przestrzeń Banacha, gdyż jest przestrzenią unormowaną z normą $\displaystyle \|\cdot \|$ (co łatwo sprawdzić) i jest zupełna, ponieważ granica (w podanej normie) ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Rozważmy odwzorowanie $\displaystyle L:f\mapsto f'$, które funkcji ciągłej $\displaystyle f$ i różniczkowalnej w $\displaystyle X$ przyporządkowuje jej pochodną $\displaystyle f'$. Z własności pochodnej wynika, że odwzorowanie $\displaystyle L$ jest

-- addytywne, tj. $\displaystyle L(f_{1}+f_{2})=Lf_{1}+Lf_{2}$, dla dowolnych funkcji różniczkowalnych $\displaystyle f_{1}$, $\displaystyle f_{2}$,

-- jednorodne, tj. $\displaystyle L(\lambda f)=\lambda L(f)$, dla dowolnej funkcji różniczkowalnej $\displaystyle f$ i stałej $\displaystyle \lambda$,

jest więc liniowe. Nie jest jednak ciągłe, gdyż nie jest ograniczone. Weźmy na przykład ciąg jednomianów $\displaystyle x^{n}$:

$\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\|x^{n}\|=1.$

Jednomiany te mają normę ograniczoną z góry przez $\displaystyle 1$. Gdyby odwzorowanie $\displaystyle L$ było ciągłe, normy $\displaystyle L(x^{n})$ byłyby ograniczone,

lecz nie są gdyż $\displaystyle \|L(x^{n})\|=\|nx^{n-1}\|=n\to \infty ,{\text{ gdy }}n\to \infty .$

Wynika stąd, że $\displaystyle L:f\mapsto f'$ nie jest ograniczone. Nie jest więc ciągłe, mimo że jest liniowe.

Kolejne twierdzenie podaje podstawowe własności różniczki Frecheta.

Twierdzenie 7.10.

Niech $\displaystyle X,Y$ będą przestrzeniami Banacha.

a) Odwzorowanie afiniczne $\displaystyle F:X\ni x\mapsto x_{0}+\Lambda (x)\in Y,\ {\text{ gdzie }}\Lambda \in L(X,Y),$

jest różniczkowalne w sensie Frecheta w dowolnym punkcie $\displaystyle x\in X$, a jego różniczką w każdym punkcie jest cześć liniowa odwzorowania afinicznego $\displaystyle F$, tzn.

$\displaystyle \forall x\in X\ \exists d_{x}F=\Lambda .$

W szczególności różniczka odwzorowania liniowego i ciągłego jest tym samym odwzorowaniem:

$\displaystyle d_{x}\Lambda =\Lambda ,\ \Lambda \in L(X,Y).$ b) Zestawienie funkcji $\displaystyle F:X\ni x\mapsto F(x)={\big (}f_{1}(x),f_{2}(x){\big )}\in Y_{1}\times Y_{2}$

jest różniczkowalne w punkcie $\displaystyle a\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy różniczkowalne w punkcie $\displaystyle a$ są składowe $\displaystyle f_{1}:X\mapsto Y_{1}$ oraz $\displaystyle f_{2}:X\mapsto Y_{2}$. Zachodzi wówczas równość

$\displaystyle d_{a}F=(d_{a}f_{1},d_{a}f_{2}).$

Innymi słowy różniczka zestawienia funkcji jest zestawieniem różniczek składowych odwzorowania. W szczególnym przypadku, gdy

$\displaystyle F:X\ni x\mapsto {\big (}f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{n}(x){\big )}\in \mathbb {R} ^{n},$

mamy równość

$\displaystyle d_{a}F=(d_{a}f_{1},d_{a}f_{2},\dots ,d_{a}f_{n}).$

c) Suma funkcji różniczkowalnych $\displaystyle f:X\mapsto Y$, $\displaystyle g:X\mapsto Y$ w punkcie $\displaystyle a$ jest funkcją różniczkowalną. Różniczką sumy jest suma różniczek, tzn.

$\displaystyle d_{a}(f+g)=d_{a}f+d_{a}g.$

d) Iloczyn stałej $\displaystyle C$ i funkcji różniczkowalnej $\displaystyle f:X\mapsto Y$ w punkcie $\displaystyle a\in X$ jest funkcją różniczkowalną w tym punkcie, przy czym

$\displaystyle d_{a}(C\,f)=C\,d_{a}f.$

Innymi słowy, stałą można wyłączyć przed różniczkę.

e) Jeśli funkcja $\displaystyle f:X\mapsto Y$ jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie $\displaystyle a$, to w tym punkcie jest ciągła.

Dowód 7.10.

Podane własności różniczki wynikają bezpośrednio z definicji.

Szczegółowe uzasadnienia pomijamy.

Kolejne twierdzenie dotyczy istnienia różniczki złożenia funkcji.

Twierdzenie 7.11.

Niech $\displaystyle X,Y,Z$ będą przestrzeniami Banacha. Jeśli funkcja $\displaystyle f:X\mapsto Y$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$, a funkcja $\displaystyle g:Y\mapsto Y$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle f(a)$, to złożenie $\displaystyle g\circ f:X\mapsto Z$ jest różniczkowalne w punkcie $\displaystyle a$ i zachodzi równość: $\displaystyle d_{a}(g\circ f)=d_{f(a)}g\circ d_{a}f.$ Innymi słowy, różniczka złożenia funkcji jest złożeniem ich różniczek.

Dowód 7.11.

Funkcja $\displaystyle f$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$, a funkcja $\displaystyle g$ -- w punkcie $\displaystyle y=f(a)$, więc

$\displaystyle {\begin{aligned}&\|f(a+h)-f(a)-d_{a}f(h)\|_{Y}&=o(\|h\|_{X})\\&\|g(y+k)-g(y)-d_{y}g(k)\|_{Z}&=o(\|k\|_{Y}).\end{aligned}}$

Stąd wobec ograniczoności różniczek $\displaystyle d_{a}f$ oraz $\displaystyle d_{y}g$ dostajemy

$\displaystyle \|g(f(a+h))-g(f(a))-(d_{y}g\circ d_{a}f)(h)\|_{Z}=o(\|h\|_{X}),{\text{ gdzie }}y=f(a),$

co dowodzi różniczkowalności złożenia $\displaystyle g\circ f$ w punkcie $\displaystyle a$ oraz równości $\displaystyle d_{a}(g\circ f)=d_{f(a)}g\circ d_{a}f.$ Szczegółowe przekształcenia pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977).

Ważnym twierdzeniem w teorii różniczki Frecheta jest twierdzenie o różniczce odwzorowania odwrotnego.

Twierdzenie 7.12.

Niech $\displaystyle f:X\supset U\ni x\mapsto f(x)\in Y$ będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze $\displaystyle U$ przestrzeni Banacha $\displaystyle X$ o wartościach w przestrzeni Banacha $\displaystyle Y$.

Jeśli w pewnym otoczeniu $\displaystyle U_{1}$ punktu $\displaystyle a\in X$ funkcja $\displaystyle f$ ma ciągłą różniczkę $\displaystyle U_{1}\ni x\mapsto d_{x}f\in L(X,Y)$

oraz różniczka $\displaystyle d_{a}f\in L(X,Y)$ jest izomorfizmem przestrzeni $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$, to

1) w pewnym otoczeniu $\displaystyle U_{2}\subset U_{1}$ punktu $\displaystyle a$ funkcja $\displaystyle f:U_{2}\mapsto Y$ jest różnowartościowa;

2) funkcja odwrotna $\displaystyle g:Y\supset f(U_{2})\mapsto U_{2}\subset X$ do funkcji $\displaystyle f$ (zacieśnionej do zbioru $\displaystyle U_{2}$) jest ciągła;

3) funkcja odwrotna $\displaystyle g$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle f(a)$ i zachodzi równość $\displaystyle d_{f(a)}g=(d_{a}f)^{-1}.$

Innymi słowy, różniczka funkcji odwrotnej jest odwrotnością różniczki.

Dowód 7.12.

(szkic) Szczegóły dowodu (które pomijamy) można znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977. Zauważmy, że jeśli funkcja $\displaystyle g$ jest odwrotna do $\displaystyle f$, to złożenie $\displaystyle g(f(x))=x$, dla każdego $\displaystyle x\in X$, tzn. $\displaystyle g\circ f:X\mapsto X$ jest identycznością na przestrzeni $\displaystyle X$. Ponieważ $\displaystyle \mathrm {id} \,:X\mapsto X$ odwzorowaniem liniowym i ciągłym, więc jest różniczkowalne i jego różniczką jest $\displaystyle \mathrm {id} \,$. Stąd na mocy twierdzenia o różniczce złożenia mamy

$\displaystyle d_{f(a)}g\circ d_{a}f=d_{a}(g\circ f)=d_{a}\mathrm {id} \,=\mathrm {id} \,.$

Wobec założenia o izomorficzności $\displaystyle d_{a}f\in L(X,Y)$ istnieje odwzorowanie odwrotne $\displaystyle (d_{a}f)^{-1}\in L(Y,X)$, które

jest różniczką funkcji odwrotnej $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle f(a)$, czyli $\displaystyle d_{f(a)}g=(d_{a}f)^{-1}$.

Twierdzenie, które sformułowaliśmy, nazywa się twierdzeniem o lokalnej odwracalności odwzorowania lub twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie.

Wyrażenie różniczki Frecheta za pomocą pochodnych cząstkowych

W poprzednim module zdefiniowaliśmy pochodną kierunkową funkcji $\displaystyle f:X\mapsto \mathbb {R}$ w punkcie $\displaystyle a$ w kierunku $\displaystyle v\neq 0$. Możemy tę samą definicję powtórzyć również w przypadku funkcji $\displaystyle f:X\mapsto Y$, w przypadku, gdy zbiorem wartości funkcji $\displaystyle f:X\mapsto Y$, jest dowolna przestrzeń unormowana $\displaystyle Y$:

$\displaystyle \partial _{v}f(a)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}},$

gdzie $\displaystyle t\in \mathbb {R}$, a zbieżność ilorazów różnicowych do granicy $\displaystyle \partial _{v}f(a)\in Y$ przy $\displaystyle t\to 0$ rozumiemy w sensie zbieżności w normie przestrzeni $\displaystyle Y$.

Uwaga 7.13.

Niech $\displaystyle v\in X$ będzie dowolnym wektorem jednostkowym z przestrzeni $\displaystyle X$, tzn. $\displaystyle \|v\|=1$. Jeśli funkcja $\displaystyle f:X\mapsto Y$ jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie $\displaystyle a$, to istnieje pochodna kierunkowa $\displaystyle \partial _{v}f(a)$ w dowolnym kierunku $\displaystyle v$,

przy czym zachodzi równość $\displaystyle \partial _{v}f(a)=d_{a}f(v){\text{ dla }}\|v\|=1.$ Ponadto funkcja $\displaystyle v\mapsto \partial _{v}f(a)$ jest liniowa i ciągła.

Dowód 7.13.

Skoro $\displaystyle \displaystyle {\frac {\|f(a+h)-f(a)-d_{a}f(h)\|}{\|h\|}}\to 0,{\text{ przy }}\|h\|\to 0,$ więc w szczególności dla $\displaystyle h=tv$ mamy $\displaystyle {\frac {\|f(a+tv)-f(a)-d_{a}f(tv)\|}{\|tv\|}}\to 0.$

Wobec liniowości różniczki $\displaystyle d_{a}f(tv)=td_{a}f(v)$ oraz faktu, że $\displaystyle \|tv\|=|t|$, mamy

$\displaystyle {\bigg \|}{\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}-d_{a}f(v){\bigg \|}\to 0,$ czyli iloraz różnicowy $\displaystyle {\frac {f(a+tv)-f(a)}{t}}$ zmierza przy $\displaystyle t\to 0$ do granicy $\displaystyle d_{a}f(v)$, więc istnieje pochodna kierunkowa $\displaystyle \partial _{v}f(a)$ i jest równa wartości różniczki zupełnej funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ na wektorze $\displaystyle v$. Stąd funkcja $\displaystyle v\mapsto \partial _{v}f(a)=d_{a}f(v)$ jest liniowa i ciągła.

Uwaga 7.14.

Niech $\displaystyle f:X\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $\displaystyle a\in X$. Wówczas $\displaystyle d_{a}f=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się

pochodna kierunkowa $\displaystyle \partial _{v}f(a)=0$ w dowolnym kierunku.

Powstaje pytanie o istnienie różniczki Frecheta funkcji $\displaystyle f:X\mapsto Y$ w punkcie, w którym istnieją pochodne kierunkowe w dowolnym kierunku. Negatywną odpowiedź na to pytanie podaje

Przykład 7.15.

Funkcja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\root{3}\of{x^3+y^3}} ma w punkcie $\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{2}$ pochodne kierunkowe $\displaystyle \partial _{v}f(0)$ w dowolnym kierunku $\displaystyle \|v\|=1$, nie jest jednak różniczkowalna w sensie Frecheta w tym punkcie. Zauważmy, że dowolny wektor $\displaystyle \|v\|=1$ można na płaszczyźnie $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ jednoznacznie przedstawić w postaci $\displaystyle v=(\cos \varphi ,\sin \varphi )$, gdzie $\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi$. Stąd $\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(0+tv)-f(0)}{t}}={\sqrt {\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}$.

Jednak funkcja $\displaystyle v\mapsto \partial _{v}f(0)$ nie jest liniowa.

Przykład 7.16.

Funkcja $\displaystyle f(x,y)=\left\{{\begin{aligned}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},{\text{ dla }}(x,y)\neq 0\\0,{\text{ dla }}(x,y)=0\end{aligned}}\right.$ ma w punkcie $\displaystyle 0$ pochodną kierunkową w każdym kierunku, nie ma jednak różniczki Frecheta w tym punkcie.

Z praktycznego punktu widzenia w zastosowaniach najważniejsza jest możliwość wyrażenia różniczki w sensie Frecheta za pomocą pochodnych cząstkowych.

Twierdzenie 7.17.

Niech $\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}):\mathbb {R} ^{n}\supset U\mapsto \mathbb {R} ^{m}$ będzie funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie $\displaystyle a\in U$. Istnieją wówczas pochodne cząstkowe

$\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a),&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a),&\dots ,&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(a),&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(a),&\dots ,&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(a)\\&\vdots &\vdots \quad &\dots &\vdots \\&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a),&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a),&\dots ,&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{aligned}}$

i są one wyrazami macierzy odwzorowania liniowego $\displaystyle d_{a}f\in L(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})$ w bazie kanonicznej, to znaczy, dla dowolnego wektora $\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}$ wartość $\displaystyle d_{a}f(h)$ odwzorowania $\displaystyle d_{a}f$ na wektorze $\displaystyle h$ jest wektorem z $\displaystyle \mathbb {R} ^{m}$ o współrzędnych

$\displaystyle {\bigg (}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(a)h_{j},\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{j}}}(a)h_{j},\dots ,\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{j}}}(a)h_{j}{\bigg )}.$

Dowód 7.17.

Wykazaliśmy, że zachodzi równość $\displaystyle \partial _{v}f(a)=d_{a}f(v)$. Ponieważ $\displaystyle d_{a}f=(d_{a}f_{1},d_{a}f_{2},\dots ,d_{a}f_{m})$, więc wystarczy wykazać twierdzenie dla składowych odwzorowania $\displaystyle f$, tj. dla funkcji $\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$. W dalszym ciągu dowodu będziemy pomijać indeks dolny $\displaystyle i$, zakładając, że $\displaystyle f_{i}=f$ jest funkcją o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Dla dowolnego wektora $\displaystyle e_{i}$, $\displaystyle i=1,2,\dots ,n$ bazy kanonicznej przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ mamy (z definicji pochodnej cząstkowej) równość $\displaystyle \partial _{e_{i}}f(a)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)$, więc dla dowolnego wektora $\displaystyle h=h_{1}e_{1}+h_{2}e_{2}+\dots +h_{n}e_{n}$ mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}d_{a}f(h)&=d_{a}f(h_{1}e_{1}+h_{2}e_{2}+\dots +h_{n}e_{n})\\&=h_{1}d_{a}f(e_{1})+h_{2}d_{a}f(e_{2})+\dots +h_{n}d_{a}f(e_{n})\\&=h_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)+h_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)+\dots +h_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a).\end{aligned}}$

Uwaga 7.18.

W ramach kursu algebry liniowej zwykliśmy zapisywać wektory $\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ w postaci macierzy kolumnowej:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{r}h_{1}\\h_{2}\\\vdots \\h_{n}\end{array}}\right].$

Jeśli w taki sam sposób zapiszemy również zestawienie różniczek funkcji $\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})$:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{r}d_{a}f_{1}\\d_{a}f_{2}\\\vdots \\d_{a}f_{m}\end{array}}\right],$

to macierz pochodnych cząstkowych $\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)$, $\displaystyle i=1,2,\dots ,m$, $\displaystyle j=1,2,\dots ,n$, powinniśmy zapisać następująco:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{array}}\right],$

aby móc stosować algorytm mnożenia (składania) macierzy:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{r}d_{a}f_{1}\\d_{a}f_{2}\\\vdots \\d_{a}f_{m}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{r}h_{1}\\h_{2}\\\vdots \\h_{n}\end{array}}\right],$

który w tym przypadku prowadzi do uzyskanego przez nas wzoru:

$\displaystyle {\begin{aligned}d_{a}f_{i}(h)&={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{1}}}(a)h_{1}+{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{2}}}(a)h_{2}+\dots +{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{n}}}(a)h_{n}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}(a)h_{k},\end{aligned}}$

gdzie $\displaystyle i=1,2,\dots ,m$.

Definicja 7.19.

Macierz $\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]$, $\displaystyle i=1,2,\dots ,m$, $\displaystyle j=1,2,\dots ,n$, tj. macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{array}}\right],$

nazywamy macierzą Jacobiego funkcji (odwzorowania) $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{m}$ w punkcie $\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}$. Zwróćmy uwagę, że macierz Jacobiego jest macierzą prostokątną o $\displaystyle n$ kolumnach i $\displaystyle m$ wierszach. W szczególnym przypadku, gdy $\displaystyle n=m$ (tj: $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}$) możemy policzyć wyznacznik macierzy Jacobiego

$\displaystyle {\text{jac}}_{a}f:=\det \left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{array}}\right],$

który nazywamy jakobianem funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ i oznaczamy symbolami $\displaystyle {\text{jac}}_{a}f$, $\displaystyle {\text{jac}}f(a)$, $\displaystyle J_{a}f$, $\displaystyle |f'(a)|$, $\displaystyle |d_{a}f|$ lub $\displaystyle \det d_{a}f$.

Uwaga 7.20.

Autorzy podręczników używają wielu różnych (często niejednolitych) oznaczeń na oznaczenie macierzy Jacobiego i jakobianu. Pamiętajmy jednak, że jakobian jest liczbą równą wyznacznikowi macierzy Jacobiego, tj. macierzy

pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}$.

Kolejny wniosek dotyczy wyrażenia różniczki złożenia dwóch funkcji. Jest bardzo często wykorzystywany w praktycznych obliczeniach

Wniosek 7.21.

Niech $\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}):\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{m}$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}$ i niech $\displaystyle g=(g_{1},g_{2},\dots ,g_{k}):\mathbb {R} ^{m}\mapsto \mathbb {R} ^{k}$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie $\displaystyle f(a)$. Wiemy już, że istnieje różniczka złożenia $\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{k}$ w punkcie $\displaystyle a$ i jest złożeniem różniczek $\displaystyle d_{f(a)}g$ oraz $\displaystyle d_{a}f$. Różniczkę $\displaystyle d_{a}f$ reprezentuje macierz pochodnych cząstkowych:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{array}}\right],$

a różniczkę $\displaystyle d_{f(a)}g$ macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\displaystyle {\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{2}}}(b)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{n}}}(b)\\\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial x_{1}}}(b)&\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial x_{2}}}(b)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial x_{n}}}(b)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial g_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\displaystyle {\frac {\partial g_{m}}{\partial x_{2}}}(b)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial g_{m}}{\partial x_{n}}}(b)\end{array}}\right],$

gdzie $\displaystyle b=f(a)$. Złożenie odwzorowań liniowych $\displaystyle d_{f(a)}g\circ d_{a}f$ reprezentuje iloczyn podanych macierzy:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\displaystyle {\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{2}}}(b)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{n}}}(b)\\\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial x_{1}}}(b)&\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial x_{2}}}(b)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial x_{n}}}(b)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial g_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\displaystyle {\frac {\partial g_{m}}{\partial x_{2}}}(b)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial g_{m}}{\partial x_{n}}}(b)\end{array}}\right],$

$\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(a)\\\displaystyle \dots &\dots &\dots &\dots \\\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\dots &\displaystyle {\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{array}}\right],$

Stąd pochodną cząstkową $\displaystyle i$-tej składowej złożenia $\displaystyle g\circ f$ wyraża suma

$\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)_{i}}{\partial x_{j}}}(a)=\sum _{r=1}^{m}{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{r}}}(f(a))\cdot {\frac {\partial f_{r}}{\partial x_{j}}}(a).$

Uwaga 7.22.

Otrzymany wzór na pochodne cząstkowe złożenia często zapisuje się bez wyszczególniania argumentów w postaci

$\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)_{i}}{\partial x_{j}}}=\sum _{r=1}^{m}{\bigg (}{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{r}}}\circ f{\bigg )}\cdot {\frac {\partial f_{r}}{\partial x_{j}}}.$

Czasem też wzór ten upraszcza się (gdy nie ma obawy nieporozumienia)

$\displaystyle {\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}=\sum _{r=1}^{m}{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{r}}}\cdot {\frac {\partial f_{r}}{\partial x_{j}}}.$

lub jeszcze prościej

$\displaystyle {\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}=\sum _{r=1}^{m}{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{r}}}\cdot {\frac {\partial y_{r}}{\partial x_{j}}},$

gdzie przez $\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{r},\dots ,y_{m})$ rozumie się zmienną niezależną (po której różniczkuje się funkcję $\displaystyle g_{i}$ w pierwszym czynniku), a równocześnie $\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{r},\dots ,y_{m})=f$ oznacza składowe funkcji $\displaystyle f$.

Uwaga 7.23.

W wielu klasycznych podręcznikach symbolem $\displaystyle dx_{i}:\mathbb {R} ^{n}\ni (x_{1},x_{2},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})\mapsto x_{i}\in \mathbb {R}$ oznacza się rzutowanie na $\displaystyle i$-tą współrzędną. Zwróćmy uwagę, że każde z rzutowań $\displaystyle dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n}$ jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ do $\displaystyle \mathbb {R}$. Wobec tego zamiast przedstawiać

wartość różniczki na wektorze $\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})$ za pomocą sumy $\displaystyle d_{a}f(h)=h_{1}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}+h_{2}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}+\dots +h_{n}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}$

możemy zapisać bezargumentowo jako kombinację liniową rzutowań $\displaystyle dx_{i}$ o współczynnikach liczbowych $\displaystyle {\frac {\partial f(a)}{\partial x_{i}}}$, czyli

$\displaystyle d_{a}f={\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}dx_{n}.$

Wówczas wartość różniczki $\displaystyle d_{a}f$ na wektorze $\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})$ wyraża się tym samym wzorem, co poprzednio:

$\displaystyle {\begin{aligned}d_{a}f(h)&={\bigg (}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}dx{\bigg )}(h)\\&={\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}dx_{1}(h)+{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}dx_{2}(h)+\dots +{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}dx_{n}(h)\\&={\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}h_{1}+{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}h_{2}+\dots +{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}h_{n}.\end{aligned}}$

Wniosek 7.24.

Jeśli $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\supset U\mapsto \mathbb {R}$ jest funkcją różniczkowalną w punkcie $\displaystyle a\in U$, to dla dowolnego wektora $\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}$ wartość różniczki $\displaystyle d_{a}f$ na wektorze $\displaystyle h$ jest iloczynem skalarnym gradientu $\displaystyle \mathrm {grad} \,f(a)$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ i wektora $\displaystyle h$, tj.

$\displaystyle d_{a}f(h)=(\mathrm {grad} \,f(a)|h)={\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}h_{1}+{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}h_{2}+\dots +{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}h_{n},$

gdzie $\displaystyle (x|y)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots +x_{n}y_{n}$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ i $\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ w

przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$.

Ponieważ iloczyn skalarny wektorów $\displaystyle x$ oraz $\displaystyle y$ oznacza się także często za pomocą kropki: $\displaystyle x.y$ albo $\displaystyle x\cdot y$, stąd wartość różniczki $\displaystyle d_{a}f$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ na wektorze $\displaystyle h$ oznacza się też czasem symbolem: $\displaystyle d_{a}f.h$ zamiast $\displaystyle d_{a}f(h)$.

Pamiętamy, że dla dowolnych wektorów $\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ oraz $\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ zachodzi nierówność Schwarza:

$\displaystyle |(x|y)|\leq \|x\|\ \|y\|,$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |x_1 y_1+x_2y_2+\dots+x_n y_n|\leq \sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\dots+|x_n|^2} \ \sqrt{|y_1|^2+|y_2|^2+\dots+|y_n|^2},}

przy czym równość w tej nierówności zachodzi wówczas, gdy wektory $\displaystyle x$ oraz $\displaystyle y$ są liniowo zależne. Wnioskiem z nierówności Schwarza jest więc

Uwaga 7.25.

Niech $\displaystyle \|v\|=1$ będzie wektorem o jednostkowej długości w $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$. Pochodna kierunkowa $\displaystyle \partial _{v}f(a)$ osiąga największą wartość (co do wartości bezwzględnej) w kierunku wektora gradientu.

Dowód 7.25.

Skoro $\displaystyle d_{a}f(v)=\partial _{v}f(a)$ oraz $\displaystyle d_{a}f(v)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{k}}}v_{k}=(\mathrm {grad} \,f(a)|v)$, więc $\displaystyle \partial _{v}f(a)=(\mathrm {grad} \,f(a)|v)$. Stąd na mocy nierówności Schwarza:

$\displaystyle |\partial _{v}f(a)|=|(\mathrm {grad} \,f(a)|v)|\leq \|\mathrm {grad} \,f(a)\|\ \|v\|,$ przy czym funkcja $\displaystyle S^{n-1}\supset v\mapsto |\partial _{v}f(a)|$ osiąga wartość największą na sferze jednostkowej $\displaystyle S^{n-1}=\{v\in \mathbb {R} ^{n}:(v|v)=1\}$, gdy wektor $\displaystyle v$ jest równoległy do wektora gradientu $\displaystyle \mathrm {grad} \,f(a)$.

Powstaje naturalne pytanie o warunki, jakie powinny spełniać pochodne cząstkowe, aby istniała różniczka. Warunek taki podaje

Twierdzenie 7.26.

(twierdzenie o istnieniu różniczki) Niech $\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}):\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{m}$ będzie funkcją określoną w pewnym

otwartym otoczeniu $\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}$ punktu $\displaystyle \alpha$. Jeśli pochodne cząstkowe $\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\alpha )$ istnieją i są ciągłe w otoczeniu punktu $\displaystyle \alpha$, to istnieje różniczka $\displaystyle d_{\alpha }f$.

Dowód twierdzenia pomijamy (można go znaleźć np. na stronie 175. podręcznika Ryszarda Rudnickiego, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).

Interpretacja geometryczna różniczki

Pamiętamy, że jeśli funkcja jednej zmiennej $\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ jest różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$, to jej wykres ma styczną w punkcie $\displaystyle (a,f(a))$ o równaniu $\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$. Innymi słowy pochodna funkcji jednej zmiennej jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie $\displaystyle (a,f(a))$.

Uwaga 7.27.

Jeśli $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ jest funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie $\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$, to powierzchnia o równaniu $\displaystyle z=f(x,y)$, która jest wykresem funkcji $\displaystyle f$, ma płaszczyznę styczną w punkcie $\displaystyle (a,b,f(a,b))$ o równaniu

$\displaystyle z-f(a,b)={\frac {\partial f(a,b)}{\partial x}}(x-a)+{\frac {\partial f(a,b)}{\partial y}}(y-b).$

Przykład 7.28.

Płaszczyzna styczna do paraboloidy $\displaystyle P=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:z=x^{2}+y^{2}\}$

w punkcie $\displaystyle (a,b,a^{2}+b^{2})\in P$ ma równanie

$\displaystyle z-(a^{2}+b^{2})=2(x-a)+2(y-b).$

Różniczki wyższych rzędów

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

Niech $\displaystyle X,Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $\displaystyle f:U\mapsto Y$ będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym $\displaystyle U\subset X$. Załóżmy, że w każdym punkcie $\displaystyle a\in U$ istnieje różniczka $\displaystyle d_{a}f\in L(X,Y)$, która -- przypomnijmy -- jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\displaystyle X$ do $\displaystyle Y$.

Definicja 7.29.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f:U\mapsto Y$ jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a$, jeśli różniczkowalna jest w punkcie $\displaystyle a$ funkcja $\displaystyle d.f:U\ni x\mapsto d_{x}f\in L(X,Y)$. Różniczkę funkcji $\displaystyle d.f$ w punkcie $\displaystyle a$, która jest elementem przestrzeni $\displaystyle L(X,L(X,Y))$, nazywamy drugą różniczką funkcji $\displaystyle f$ (lub różniczką rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$) w punkcie $\displaystyle a$ i oznaczamy symbolem $\displaystyle d_{a}^{2}f$.

Uwaga 7.30.

W ramach algebry liniowej dowodzi się, że przestrzenie $\displaystyle L(X,L(X,Y))$ oraz $\displaystyle L^{2}(X,Y)$ (czyli przestrzeń odwzorowań dwuliniowych ciągłych na $\displaystyle X$ o wartościach w $\displaystyle Y$) są izomorficzne. Stąd też często mówimy, że różniczka rzędu drugiego jest odwzorowaniem dwuliniowym ciągłym na $\displaystyle X$ o wartościach w $\displaystyle Y$.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, nazwijmy różniczką rzędu zerowego funkcji $\displaystyle f$ samą funkcję $\displaystyle f$, tzn. $\displaystyle d^{0}f=f$. Ponadto, aby uprościć zapis i wypowiedzi twierdzeń, przyjmijmy, że $\displaystyle L^{0}(X,Y):=Y$.

Załóżmy, że w każdym punkcie $\displaystyle a\in U$ istnieje $\displaystyle d_{a}^{k}f$ różniczka rzędu $\displaystyle k$ funkcji $\displaystyle f:U\mapsto Y$, $\displaystyle k\geq 0$, która jest elementem przestrzeni $\displaystyle L^{k}(X,Y)$ odwzorowań $\displaystyle k$ liniowych ciągłych na $\displaystyle X$ o wartościach w przestrzeni $\displaystyle Y$.

Definicja 7.31.

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest $\displaystyle k+1$ krotnie różniczkowalna w punkcie $\displaystyle a\in U$, jeśli w punkcie tym różniczkowalna jest funkcja $\displaystyle d.^{k}f:U\ni x\mapsto d_{x}^{k}f\in L^{k}(X,Y)$. Różniczkę funkcji $\displaystyle d.^{k}f$ w punkcie $\displaystyle a$, która jest elementem przestrzeni (izomorficznej w przestrzenią) $\displaystyle L(X,L^{k}(X,Y))$, będziemy oznaczać symbolem $\displaystyle d_{a}^{k+1}f$ i będziemy nazywać różniczką rzędu $\displaystyle k+1$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ (lub krócej:

$\displaystyle k+1$ różniczką funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$).

Uwaga 7.32.

Dowodzi się, że także przestrzenie $\displaystyle L(X,L^{k}(X,Y))$ oraz $\displaystyle L^{k+1}(X,Y)$ (czyli przestrzeń odwzorowań $\displaystyle k+1$ liniowych i ciągłych na $\displaystyle X$ o wartościach w przestrzeni $\displaystyle Y$) są izomorficzne, więc często różniczkę rzędu $\displaystyle k+1$ funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle a$ będziemy nazywać odwzorowaniem $\displaystyle k+1$ liniowym i ciągłym na $\displaystyle X$ o wartościach w $\displaystyle Y$.

Pamiętamy, że jeśli $\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}$ i $\displaystyle Y=\mathbb {R}$, to wartość różniczki $\displaystyle d_{a}f\in L(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ na wektorze $\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ wyraża suma

$\displaystyle d_{a}f(h)={\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}h_{1}+{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}h_{2}+\dots +{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}h_{n}.$

Sumę tę można także wyrazić bez argumentu $\displaystyle h$

$\displaystyle d_{a}f={\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{n}}}dx_{n},$

gdzie

$\displaystyle dx_{i}:\mathbb {R} ^{n}\ni h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})\mapsto dx_{i}(h)=h_{i}\in \mathbb {R}$

jest rzutowaniem na $\displaystyle i$-tą współrzędną.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej definiujemy funkcje klasy $\displaystyle C^{k}$.

Definicja 7.33.

Mówimy, że $\displaystyle f:X\supset U\mapsto Y$ jest klasy $\displaystyle C^{k}$ w zbiorze $\displaystyle U$ ($\displaystyle k=0,1,2,\dots$), jeśli w każdym punkcie $\displaystyle a\in U$ istnieje różniczka rzędu $\displaystyle k$ funkcji $\displaystyle f$ i odwzorowanie $\displaystyle U\ni a\mapsto d_{a}^{k}f\in L^{k}(X,Y)$ jest ciągłe.

Wniosek 7.34.

Jeśli $\displaystyle f$ jest klasy $\displaystyle C^{2}(U)$, to w każdym punkcie tego zbioru pochodne cząstkowe mieszane są równe, tzn. zachodzi równość

$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(a)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}f(a)$

dla dowolnych $\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$ w dowolnym punkcie $\displaystyle a\in U$.

Innymi słowy: druga różniczka $\displaystyle d_{a}^{2}f$ jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym.

Załóżmy, że $\displaystyle f\in C^{m}(U)$, gdzie $\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni skończenie wymiarowej $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$. Wówczas różniczkę rzędu $\displaystyle m$ można wyrazić efektywnie za pomocą pochodnych cząstkowych rzędu $\displaystyle m$.

Twierdzenie 7.35.

Jeśli $\displaystyle f\in C^{m}(U)$, to w dowolnym punkcie $\displaystyle a\in U$ wartość różniczki rzędu $\displaystyle m$ na $\displaystyle m$-ce jednakowych wektorów $\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ wyraża suma

$\displaystyle d_{a}^{m}f\underbrace {(h,h,\dots ,h)} _{m{\text{ wektorów }}h}=\sum _{|\alpha |=m}{\binom {m}{\alpha }}{\frac {\partial ^{m}}{\partial x^{\alpha }}}f(a)h^{\alpha },$

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich

możliwych wielowskaźnikach ($\displaystyle n$-wskaźnikach) $\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}$

o długości

$\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}=m,$

natomiast

$\displaystyle {\binom {m}{\alpha }}:={\frac {m!}{(m-|\alpha |)!\,\alpha !}},$

jest uogólnieniem symbolu Newtona, w którym silnię wielowskaźnika $\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$ definiujemy za pomocą iloczynu silni jego współrzędnych, tj.

$\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\,\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!$

oraz

$\displaystyle h^{\alpha }=h_{1}^{\alpha _{1}}\,h_{2}^{\alpha _{2}}\dots h_{n}^{\alpha _{n}}.$

Uwaga 7.36.

Wzór $\displaystyle d_{a}^{m}f(h,h,\dots ,h)=\sum _{|\alpha |=m}{\binom {m}{\alpha }}{\frac {\partial ^{m}}{\partial x^{\alpha }}}f(a)h^{\alpha },$

który podaliśmy w tezie twierdzenia czasem zapisuje się bez wyszczególniania argumentów w następującej postaci

$\displaystyle d_{a}^{m}f=\sum _{|\alpha |=m}{\binom {m}{\alpha }}{\frac {\partial ^{m}f(a)}{\partial x^{\alpha }}}dx^{\alpha }$ lub $\displaystyle d_{.}^{m}f=\sum _{|\alpha |=m}{\binom {m}{\alpha }}{\frac {\partial ^{m}f}{\partial x^{\alpha }}}dx^{\alpha },$

gdzie $\displaystyle dx^{\alpha }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$

definiujemy na wektorze $\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}$ wzorem $\displaystyle dx^{\alpha }(h):=h^{\alpha }=h_{1}^{\alpha _{1}}h_{2}^{\alpha _{2}}\dots h_{n}^{\alpha _{n}}\in \mathbb {R} .$

Dowód 7.36.

Wykażemy podany wzór w przypadku funkcji dwóch zmiennych, aby uprościć notację. W ogólnym przypadku uzasadnienie jest podobne. Jeśli $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\supset U\ni (x_{1},x_{2})\mapsto f(x_{1},x_{2})$ jest różniczkowalna, to wartość jej różniczki w punkcie $\displaystyle a\in U$ na

wektorze $\displaystyle h=(h_{1},h_{2})$ wyraża suma $\displaystyle d_{a}f(h)={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(a)h_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(a)h_{2}.$

Jeśli $\displaystyle f$ jest dwukrotnie różniczkowalna, to

$\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}f&=d{\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}{\bigg )}\\&={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}{\bigg )}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\big (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}{\big )}dx_{2}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}dx_{1}dx_{1}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}dx_{2}dx_{1}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}dx_{1}dx_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}dx_{2}dx_{2}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}dx_{1}^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}dx_{1}dx_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}dx_{2}^{2}\\&={\binom {2}{0}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}dx_{1}^{2}+{\binom {2}{1}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}dx_{1}dx_{2}+{\binom {2}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}dx_{2}^{2}\\&=\sum _{|\alpha |=2}{\binom {2}{\alpha }}{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}dx^{\alpha },\end{aligned}}$

gdyż pochodne cząstkowe mieszane $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}$ oraz $\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}$ są równe wobec założenia o klasie funkcji $\displaystyle f$. Następnie zakładając,

że wzór zachodzi dla różniczki rzędu $\displaystyle 2\leq k<m$, dowodzimy go dla różniczki rzędu $\displaystyle k+1$. Szczegółowe przekształcenia pomijamy.