Analiza matematyczna 2/Wykład 3: Norma. Iloczyn skalarny
Norma. Iloczyn skalarny
W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie normy i przestrzeni unormowanej. Pokazujemy, że kule w przestrzeniach unormowanych są zbiorami wypukłymi. Wprowadzamy pojęcia iloczynu skalarnego i przestrzeni unitarnej. Dowodzimy nierówność Schwarza, warunek równoległoboku i twierdzenie Pitagorasa.
Przestrzenie unormowane
Przypomnijmy, że na pierwszym wykładzie z Analizy Matematycznej 2 wprowadziliśmy pojęcie metryki, czyli funkcji, która każdym dwóm punktom danego zbioru przyporządkowuje ich odległość. W przypadku, gdy dany zbiór jest przestrzenią wektorową, możemy wprowadzić funkcję mierzącą "długość" wektora. Funkcję tę nazwiemy normą. Okaże się (zgodnie z intuicją, jak dla przypadku płaszczyzny
), że jeśli umiemy zmierzyć długość wektorów przestrzeni wektorowej to możemy także mierzyć odległość między punktami zbioruPojęcie normy jest szczególnie przydatne w przestrzeniach funkcji (np. przestrzeniach funkcji liniowych lub przestrzeniach funkcji ciągłych). Norma będzie nam również przydatna w przyszłości do zdefiniowania pochodnych wyższych rzędów dla funkcji wielu zmiennych.
Wprowadźmy formalną definicję (wektor zerowy przestrzeni wektorowej
będziemy oznaczać przez ).Definicja 3.1.
Niech
Odwzorowanie
nazywamy normą w jeśli:
(1)
;
(2)
(jednorodność);
(3)
(subaddytywność).
Parę nazywamy
przestrzenią unormowaną.
Zauważmy, że definicja powyższa precyzuje nasze naturalne
wymagania w stosunku do długości wektora, a mianowicie:
(1)
długość wektora wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor
jest zerowy;
(2)
długość iloczynu wektora przez liczbę, to iloczyn długości
tego wektora i wartości bezwzględnej tej liczby;
(3)
długość sumy wektorów jest nie większa od sumy ich długości.
Przykład 3.2.
W przestrzeni wektorowej
(norma euklidesowa),
(norma taksówkowa),
(normamaksimowa).
Dowód faktu, że powyższe odwzorowania są normami, pozostawiamy
na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 3.1.).
Nazwy powyższych norm nie są przypadkowe
(patrz uwaga 3.4.).
Okazuje się, że każda przestrzeń unormowana jest w naturalny sposób przestrzenią metryczną. Mówi o tym następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3.3.
Jeśli
Mówimy, że jest
metryką zadaną przez normę
Dowód 3.3.
Załóżmy, że
(1)
Zauważmy, że dla dowolnych :
oraz
(2) Dla dowolnych
mamy(3) Dla dowolnych
mamya więc zachodzi warunek trójkąta dla
Pokazaliśmy zatem, że
jest metryką.
(1)
Z powyższego twierdzenia wynika, że każda norma zadaje
metrykę.
(2)
Nie każda metryka jest zadana przez normę
(patrz wniosek 3.13.).
(3)
Zbieżność w sensie metryki zadanej przez normę nazywamy
zbieżnością silną lub
zbieżnością w normie, to znaczy
jeśli jest ciągiem, to
(4) Normy: euklidesowa, taksówkowa, maksimowa, zdefiniowane w przykładzie 3.2., zadają odpowiednio metryki: euklidesową, taksówkową, maksimową (patrz ćwiczenie 3.2.).
W przypadku norm można rozważać ich równoważność.
Definicja 3.5.
Dwie normy
i w przestrzeni unormowanej nazywamy równoważnymi, jeśliRównoważność norm ma następujące własności.
(1)
Relacja równoważności norm jest relacją
równoważnościową w zbiorze wszystkich norm na danej
przestrzeni unormowanej.
(2)
Normy: euklidesowa ; maksimowa taksówkowa są równoważne
(będzie to pokazane na ćwiczeniach; patrz ćwiczenie 3.3.).
Okazuje się, że w przestrzeniach wektorowych skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne.
Twierdzenie 3.7.
Twierdzenie to podajemy tu bez dowodu. Wszystkie normy w
są równoważne.Kolejne twierdzenie mówi, że odwzorowanie normy
jest ciągłe (oczywiście w przestrzeni rozważamy metrykę zadaną przez normę, a w metrykę euklidesową).Twierdzenie 3.8.
Wszystkie normy w
są równoważne.Twierdzenie 3.9. [ciągłość normy]
Norma jest funkcją ciągłą, to znaczy
W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat, będący wariantem nierówności trójkąta.
Lemat 3.9.
Jeśli
jest przestrzenią unormowaną, toDowód 3.9.
Korzystając z subaddytywności normy, dla dowolnych
mamyczyli
Analogicznie pokazujemy, że
Obie powyższe nierówności implikują nierówność w tezie lematu.

Dowód 3.8.
Warunek
oznacza, żeUstalmy dowolne
Z powyższej równości wynika, żeZatem dla
mamyZatem pokazaliśmy, że

(1)
Implikacja odwrotna do implikacji w twierdzenieu 3.7. nie jest prawdziwa.
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg
zadany przez
Wówczas
ale sam ciąg
(2)
Jeżeli granicą ciągu jest
(wektor "zerowy" przestrzeni wektorowej),
to implikację w twierdzenieu 3.7. można odwrócić, to znaczy zachodzi równoważność:
(dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie).
W przestrzeniach wektorowych możemy mówić o wypukłości zbiorów.
Definicja 3.11.
Niech
(1)
Jeśli
to odcinkiem w łączącym punkty i
nazywamy zbiór
(2) Mówimy, że zbiór
jest wypukły, jeśliPlik:AM2.M03.W.R04.svg Zbiór, który nie jest wypukły |
W szczególnych przestrzeniach metrycznych, jakimi są przestrzenie unormowane, kule mają tę przydatną własność, że są wypukłe.
Twierdzenie 3.12.
Kule i kule domknięte w przestrzeniach unormowanych są
wypukłe.
Dowód 3.12.
Niech
oraz Pokażemy, że kula jest zbiorem wypukłym. W tym celu wybierzmy dowolne Z definicji kuli wynika, żeNiech
Należy pokazać, że Z definicji odcinka w wiemy, żeZatem
Zatem pokazaliśmy, że
Dowód, że jest zbiorem wypukłym, jest analogiczny.
Powyższe twierdzenie dostarcza nam pewnego warunku koniecznego na to, aby dana przestrzeń metryczna była zadana przez normę.
Wniosek 3.13.
Metryka kolejowa i metryka rzeka w przykład 1.5. oraz przykład 1.6.).
Plik:AM2.M03.W.R08.svg Kula w metryce rzece nie jest wypukła |
Plik:AM2.M03.W.R09.svg Kula w metryce kolejowej nie jest wypukła |
Przypomnijmy, że przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego tej przestrzeni ma granicę (patrz definicja 2.10.). Wśród przestrzeni unormowanych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unormowane zupełne.
Definicja 3.13. [przestrzeń Banacha]
Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną.
Przykład 3.14.
(1)
wniosek 2.21.).
(2)
Przestrzeń
z normą
jest przestrzenią Banacha
(patrz ćwiczenie 3.5.).
Przestrzenie unitarne
W przestrzeniach wektorowych możemy wprowadzić pojęcie iloczynu skalarnego. Dzięki niemu będziemy mogli mówić o prostopadłości wektorów. Okaże się, że przestrzenie z iloczynem skalarnym są także przestrzeniami unormowanymi z naturalnie wprowadzoną normą.
Definicja 3.15.
Niech
(1)
i
(2)
(3)
(4)
(symetria).
Parę nazywamy
przestrzenią unitarną.
(a) Warunki (2) i (3)
mówią, że iloczyn skalarny jest liniowy
ze względu na pierwszą zmienną.
(b) Ze względu na symetrię (4),
iloczyn skalarny jest także liniowy ze względu na drugą
zmienną, zatem jest on dwuliniowy.
Przykład 3.17
Odwzorowanie zdefiniowane przez
jest iloczynem skalarnym w
Nazywamy go standardowym iloczynem skalarnym w . Iloczyn ten znamy ze szkoły dla przestrzeni i .Sprawdzimy kolejno punkty definicji iloczynu skalarnego.
(1)
Dla dowolnego mamy
oraz
(2) Dla dowolnych
oraz mamy(3) Dla dowolnych
mamy(4) Dla dowolnych
mamyZatem pokazaliśmy, że odwzorowanie
jest iloczynem skalarnym w .Okazuje się, że przestrzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną.
Twierdzenie 3.18.
Jeśli
Mówimy, że jest
normą zadaną przez iloczyn skalarny
W dowodzie wykorzystamy następującą nierówność Schwarza, zachodzącą w przestrzeniach unitarnych.
Lemat 3.19. [nierówność Schwarza]
Jeśli
jest przestrzenią unitarną, toDowód 3.20.
Ustalmy dowolne
Jeśli to powyższa nierówność jest oczywistą równością. Załóżmy, że Niech Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego, mamy:Zatem mamy
skąd
a zatem
co należało dowieść.

Zauważmy, że nierówność Cauchy'ego (patrz lemat 3.8.) jest szczególnym przypadkiem nierówności Schwarza, gdy w przestrzeni mamy standardowy iloczyn skalarny.
Dowód 3.21.
(1)
a więc pierwszy warunek w definicji normy jest spełniony.
(2)
zatem drugi warunek (jednorodność) w definicji normy jest spełniony.
(3)
Korzystając z nierówności Schwarza, mamy
a więc
zatem trzeci warunek (subaddytywność) w definicji normy jest spełniony.

Przykład 3.22.
Podobnie jak dla przestrzeni unormowanych, tak i dla przestrzeni unitarnych szczególną rolę odgrywają przestrzenie unitarne zupełne.
Definicja 3.23.
Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną.
Twierdzenie 3.24. [ciągłość iloczynu skalarnego]
Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej jest funkcją ciągłą, to znaczy
(oczywiście zbieżność
oznacza zbieżność w normie zadanej przez iloczyn skalarny ).Dowód 3.24. [dowód nadobowiązkowy]
Niech
będzie ciągiem takim, że i Oznacza to, że
oraz z ciągłości normy (patrz twierdzenie 3.7.), mamy
Korzystając z nierówności Schwarza, mamy
Z wyżej wskazanych zbieżności w
wynika, że prawa strona nierówności, a zatem także lewa, zmierza do zera, gdy Oznacza to, że co należało dowieść.
W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić pojęcie prostopadłości wektorów.
Definicja 3.25.
Niech
(1)
Jeśli to mówimy, że wektory
i są ortogonalne (lub prostopadłe)
i piszemy
(2) Niech
będzie podprzestrzenią wektorową Mówimy, że wektor jest ortogonalny (prostopadły, normalny) do podprzestrzeni jeśli
Piszemy
(3) Mówimy, że wektory
tworzą układ ortogonalny, jeśli
(4) Mówimy, że wektory
tworzą układ ortonormalny, jeśli
(to znaczy wektory
są parami ortogonalne oraz mają normę ).
Poniższe twierdzenie podamy tu bez dowodu.
Twierdzenie 3.26.
Każda przestrzeń unitarna skończenie wymiarowa posiada bazę ortonormalną (to znaczy bazę tworzącą układ ortonormalny).
Przykład 3.27.
Baza kanoniczna w
jest bazą ortonormalną.Twierdzenie 3.28. [warunek równoległoboku]
Jeśli
jest przestrzenią unitarną oraz jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to
Dowód 3.28.
Dla dowolnych ustalonych
liczymy
oraz
Dodając stronami powyższe równości, dostajemy tezę twierdzenia.

Twierdzenie 3.29. [Twierdzenie Pitagorasa]
Jeśli
jest przestrzenią unitarną oraz jest normą zadaną przez iloczyn skalarny, to
Dowód 3.29.