Analiza matematyczna 2/Wykład 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe: Różnice pomiędzy wersjami
(Nie pokazano 4 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) | |||
Linia 49: | Linia 49: | ||
czyli okrąg o środku w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu jednostkowym. | czyli okrąg o środku w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu jednostkowym. | ||
Różniczka | Różniczka | ||
− | <center><math>\displaystyle \ | + | <center><math>\displaystyle \begin{align} d_{(x_0, y_0)}F&=\frac{\partial F}{\partial |
x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy\\&=2x_0 | x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy\\&=2x_0 | ||
− | dx+2y_0 dy\ | + | dx+2y_0 dy\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 59: | Linia 59: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} 2x_0=0\\2y_0=0,\end{align}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 76: | Linia 76: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align}x_0^2-y_0=0\\y_0^2-x_0=0,\end{align}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 94: | Linia 94: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} d_{(x_0,y_0)}F&=\left(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0\right)dx+\left(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0\right)dy |
− | \\&=4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\ | + | \\&=4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 101: | Linia 101: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0\\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\end{align}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 125: | Linia 125: | ||
Różniczka odwzorowania <math>\displaystyle F</math> dana wzorem | Różniczka odwzorowania <math>\displaystyle F</math> dana wzorem | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} d_{(x,y,z)}F&=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial |
− | F}{\partial z}(x,y,z)dz\\&= 2xdx+2ydy+2zdz\ | + | F}{\partial z}(x,y,z)dz\\&= 2xdx+2ydy+2zdz\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 164: | Linia 164: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} &&x=y=0, z\neq0\\ &\text{lub}&\\ &&x=z=0, y\neq0 \\ &\text{lub}& \\ &&y=z=0,x\neq0,\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 191: | Linia 191: | ||
F}{\partial z}=0</math>, tzn. gdy | F}{\partial z}=0</math>, tzn. gdy | ||
− | <center><math>\displaystyle \left\{\ | + | <center><math>\displaystyle \left\{\begin{align} 4x(x^2+y^2+z^2)=3yz\\ 4y(x^2+y^2+z^2)=3xz\\ |
− | 4z(x^2+y^2+z^2)=3xy.\ | + | 4z(x^2+y^2+z^2)=3xy.\end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 199: | Linia 199: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} x^2&=y^2\\y^2&=z^2\\z^2&=x^2,\end{align}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 267: | Linia 267: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } | + | F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } f_2(a)=b. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 289: | Linia 289: | ||
taką, że | taką, że | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | F(x_1, x_2, f_1(x_1,x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{ | + | F(x_1, x_2, f_1(x_1,x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b. |
− | oraz } \ f_1(a)=b. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 301: | Linia 300: | ||
taką, że | taką, że | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } | + | F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } f_2(a)=b. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 452: | Linia 451: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x))\\ 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x)).\end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 458: | Linia 457: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} 0=\frac{d}{dx}F_1(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_1}{\partial |
x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial | x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial | ||
y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial | y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial | ||
y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_1}{\partial | y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_1}{\partial | ||
x}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial | x}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial | ||
− | F_1}{\partial y_2}f_2'\ | + | F_1}{\partial y_2}f_2'\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 469: | Linia 468: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} 0=\frac{d}{dx}F_2(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_2}{\partial |
x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial | x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial | ||
y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial | y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial | ||
y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_2}{\partial | y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_2}{\partial | ||
x}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial | x}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial | ||
− | F_2}{\partial y_2}f_2'.\ | + | F_2}{\partial y_2}f_2'.\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 481: | Linia 480: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} -\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial |
y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\\ -\frac{\partial | y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\\ -\frac{\partial | ||
F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_2}{\partial | F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_2}{\partial | ||
y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2' . | y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2' . | ||
− | \ | + | \end{align}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 608: | Linia 607: | ||
<center><math>\displaystyle \displaystyle | <center><math>\displaystyle \displaystyle | ||
− | \ | + | \forall i\in\{1,2,\dots, n\} \ \ \frac{\partial F}{\partial x_i}(a,f(a))=0. |
</math></center> | </math></center> | ||
}} | }} | ||
Linia 617: | Linia 616: | ||
<center><math>\displaystyle \displaystyle | <center><math>\displaystyle \displaystyle | ||
− | d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\ | + | d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}, |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 629: | Linia 628: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} &\frac{\partial F}{\partial x_1}(a, f(a))=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial x_2}(a, f(a))=0\\ |
− | &\vdots \\ &\frac{\partial F}{\partial x_n}(a, f(a))=0.\ | + | &\vdots \\ &\frac{\partial F}{\partial x_n}(a, f(a))=0.\end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
}} | }} | ||
Linia 654: | Linia 653: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} 0=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial |
y}f'\bigg)&=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial | y}f'\bigg)&=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial | ||
x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial | x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial | ||
Linia 663: | Linia 662: | ||
x}f'+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial | x}f'+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial | ||
y}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}f'\bigg)f'+\frac{\partial | y}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}f'\bigg)f'+\frac{\partial | ||
− | F}{\partial y}f''.\ | + | F}{\partial y}f''.\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 719: | Linia 718: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} 0=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x} |
\bigg)&=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial | \bigg)&=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial | ||
F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial | F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial | ||
Linia 733: | Linia 732: | ||
z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x} | z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x} | ||
\bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial | \bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial | ||
− | z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.\ | + | z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 770: | Linia 769: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left[\ | + | \left[\begin{align} &\frac{\partial^2 f}{\partial |
x^2}(x_0, y_0) & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, | x^2}(x_0, y_0) & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, | ||
− | y_0)\\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ & | + | y_0)\\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ & |
&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, | &\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, | ||
− | y_0)\ | + | y_0)\end{align}\right]=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, |
− | y_0, z_0)\bigg)^{-1} \left[\ | + | y_0, z_0)\bigg)^{-1} \left[\begin{align} &\frac{\partial^2 F}{\partial |
x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial | x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial | ||
y}(x_0, y_0, z_0)\\ &\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial | y}(x_0, y_0, z_0)\\ &\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial | ||
x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0, | x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0, | ||
− | y_0, z_0)\ | + | y_0, z_0)\end{align}\right] |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 820: | Linia 819: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
&\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial | &\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial | ||
− | y}(x,y,z)=0\\&(x,y,z)\in\{F=0\} \ | + | y}(x,y,z)=0\\&(x,y,z)\in\{F=0\} \end{align} \right. \text{ czyli } |
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} &4x(x^2+y^2+z^2)-3yz=0 \\ |
&4y(x^2+y^2+z^2)-3xz=0\\ &(x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz=0. | &4y(x^2+y^2+z^2)-3xz=0\\ &(x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz=0. | ||
− | \ | + | \end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 845: | Linia 844: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} |
&x=y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ | &x=y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ | ||
&x=y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ | &x=y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\ | ||
&x=-y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\\ | &x=-y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\\ | ||
− | &x=-y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\ | + | &x=-y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 858: | Linia 857: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \ | + | \begin{align} &A_1=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16}, |
\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_2=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, | \frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_2=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, | ||
-\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_3=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, | -\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_3=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16}, | ||
\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_4=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16}, | \frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_4=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16}, | ||
− | -\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \ | + | -\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 1029: | Linia 1028: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} d_{(x,y)}\Phi=0\\g(x,y)=0\end{align} \right. |
\text{ czyli } | \text{ czyli } | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
− | & | + | & \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\ |
− | \\& | + | & \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\ |
− | \\& | + | & g(x,y)=0.\end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
}} | }} | ||
Linia 1072: | Linia 1071: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} d_{(x,y,z)}\Phi=0\\g(x,y,z)=0\end{align} \right. |
\text{ czyli } | \text{ czyli } | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
− | & | + | & \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\ |
− | \\ & | + | & \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\ |
− | \\ & | + | & \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} \\ |
− | \\ & | + | & g(x,y,z)=0.\end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
}} | }} | ||
Linia 1091: | Linia 1090: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
& \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda | & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda | ||
\frac{\partial g}{\partial x}\\ | \frac{\partial g}{\partial x}\\ | ||
Linia 1098: | Linia 1097: | ||
& \displaystyle \frac{\partial | & \displaystyle \frac{\partial | ||
f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} | f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} | ||
− | \\& \displaystyle g(x,y,z)=0\ | + | \\& \displaystyle g(x,y,z)=0\end{align} \right. \text{ czyli } |
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
& \displaystyle 1=2\lambda x \\ | & \displaystyle 1=2\lambda x \\ | ||
& \displaystyle-2=2\lambda y\\ | & \displaystyle-2=2\lambda y\\ | ||
& \displaystyle 2=2\lambda z\\ | & \displaystyle 2=2\lambda z\\ | ||
& \displaystyle x^2+y^2+z^2=1. | & \displaystyle x^2+y^2+z^2=1. | ||
− | \ | + | \end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 1157: | Linia 1156: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} d_{(x,y,z)}\Phi=0\\G(x,y,z)=0\end{align} \right. |
\text{ czyli } | \text{ czyli } | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
& \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} | & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} | ||
\\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y} | \\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y} | ||
\\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} | \\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} | ||
\\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 | \\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 | ||
− | \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\ | + | \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\end{align} \right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 1201: | Linia 1200: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
& \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial | & \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial | ||
g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} | g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x} | ||
Linia 1207: | Linia 1206: | ||
\\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} | \\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z} | ||
\\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 | \\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0 | ||
− | \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\ | + | \\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\end{align} \right. |
\text{ czyli } | \text{ czyli } | ||
− | \left\{\ | + | \left\{\begin{align} |
& \displaystyle 1=2\lambda_1 x\\ | & \displaystyle 1=2\lambda_1 x\\ | ||
& \displaystyle -1=2\lambda_2 y\\ | & \displaystyle -1=2\lambda_2 y\\ | ||
Linia 1215: | Linia 1214: | ||
& \displaystyle x^2+z^2-1=0\\ | & \displaystyle x^2+z^2-1=0\\ | ||
& \displaystyle y^2+z^2-1=0. | & \displaystyle y^2+z^2-1=0. | ||
− | \ | + | \end{align}\right. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 1236: | Linia 1235: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
F\big(-\frac{\sqrt{2}}{2}, | F\big(-\frac{\sqrt{2}}{2}, | ||
− | \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz | + | \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz } F\big(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, |
− | } F\big(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, | ||
-\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=2\sqrt{2}. | -\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=2\sqrt{2}. | ||
</math></center> | </math></center> |
Aktualna wersja na dzień 23:43, 23 wrz 2020
Twierdzenie o funkcjach uwikłanych.
Rozważamy funkcje zadane niejawnie. Formułujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej i przedstawiamy metody badania takiej funkcji. Podajemy metodę mnożników Lagrange'a badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.
Punkty regularne poziomicy
Niech
będą przestrzeniami Banacha i niech będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcjęoraz jej poziomicę zerową tj. zbiór
Ustalmy pewien punkt
, , , na tej poziomicy.Definicja 9.1.
Mówimy, że punkt
jest punktem regularnym zbioru , jeśli różniczka jest suriekcją przestrzeni na przestrzeń . Punkt poziomicy , który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:
W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze
, odwzorowanie liniowe jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania jest maksymalny, tj. równy .Przykład 9.3.
Niech
. Rozważmy i poziomicę zerową tej funkcjiczyli okrąg o środku w punkcie
i promieniu jednostkowym. Różniczkaw dowolnym punkcie
ma rząd maksymalny. Rząd różniczki nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe , zerują się, czyli gdyale punkt
nie leży na okręgu .Przykład 9.4.
Niech
i niech . Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcjijest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka
czyli w punktach
liścia Kartezjusza. Drugi punkt i . Stąd punkt jest punktem nieregularnym nie leży na poziomicy .Przykład 9.5.
Niech
i niech . Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywąnazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka
nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy
czyli w trzech punktach
, i , spośród których tylko pierwszy leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.Przykład 9.6.
Poziomicą zerową funkcji
jest sfera o środku w początku układu współrzędnych
i promieniu jednostkowym:Różniczka odwzorowania
dana wzoremjest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z
do i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach poza początkiem układu współrzędnych , w którym rząd ten wynosi zero. Punkt nie należy jednak do sfery , stąd każdy jej punkt jest regularny.Przykład 9.7.
Niech
. Wówczas poziomicą zerową funkcji jest zbiórktóry powstaje z przecięcia walca
o osi obrotu z walcem o osi obrotu . Zauważmy, że różniczkajest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z
do . Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynnikówwynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy
wynosi zero, gdy (punkt nie należy do poziomicy zerowej ). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdyco ma miejsce w dwóch punktach poziomicy
wykres
Przykład 9.8.
Niech
Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniuRóżniczka
jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do , nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach , w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe , tzn. gdyUkład ten spełnia punkt o współrzędnych
, a także punkty o współrzędnych , które spełniają układczyli
. Spośród punktów poziomicy warunek ten spełniają poza punktem także punkty , , , , gdzie . Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania ma w nich rząd maksymalny (równy ).
<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">
<param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525"> <param name="coloring" value="maple"> <param name="model" value="images/e/ec/Am2w09.0010.mgs.zip"> <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">
<param name="shading" value="0.2"> </applet>
<div.thumbcaption>Poziomica zerowa funkcji
Twierdzenie o funkcji uwikłanej
Niech
, będą przestrzeniami Banacha i niech będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym . Niech będzie punktem poziomicy zerowej funkcji , gdzie . Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę w otoczeniu punktu można przedstawić jako wykres pewnej funkcji takiej, że w pewnym otoczeniu otwartym punktu .Rozważmy dwa proste przykłady.
Przykład 9.9.
Niech
będzie punktem okręgu , który stanowi poziomicę zerową funkcjiJeśli
, to w otoczeniu punktu można określić funkcjętaką, że
Z kolei, jeśli
, to w otoczeniu punktu znajdziemy funkcjętaką, że
Jedynymi punktami
okręgu , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji takiej, że i , są punkty oraz . Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa .Przykład 9.10.
Niech
, . Niech będzie punktem sfery , która stanowi poziomicę zerową funkcji . Jeśli , to w otoczeniu punktu wewnątrz okręgu można określić funkcjętaką, że
Z kolei, jeśli
znajdziemy funkcjętaką, że
Jedynymi punktami
sfery , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji takiej, że i , są punkty okręgu zawartego w płaszczyźnie . Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa .Uogólnijmy to spostrzeżenie, formułując
Twierdzenie 9.11.[twierdzenie o funkcji uwikłanej]
Niech
będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym . Niech (gdzie ) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji takim, że zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni jest izomorfizmem. Wówczas1) istnieje pewne otoczenie otwarte
punktu oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu taka, że oraz dla dowolnego . Ponadto2) funkcja
jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze daną wzoremoznacza zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni a jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki .
Dowód 9.11.
[Szkic] Pominiemy dowód istnienia funkcji
wpierw jednak, że . Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy
Jeśli
, to odwzorowanie liniowe jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. .Przypadek I. Niech
i niech Jeśli funkcja spełnia równanie , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równośćStąd
Z założenia zacieśnienie różniczki
jest izomorfizmem przestrzeni do , co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa . Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzoremPrzypadek II. Niech
Jeśli funkcja spełnia równanie , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą w punktach poziomicyoraz
Izomorficzność zawężenia różniczki
również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa . Wówczas z powyższych równości dostajemyoraz
gdzie
. Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych, można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania):oraz
Przypadek III. Niech
, i niechZałóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna
taka, że
to znaczy
Stąd - korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji - dostajemy
oraz
Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi
, , które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej :Zapiszmy ten układ w formie macierzowej
W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki
do podprzestrzeni oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje :jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa
reprezentuje zacieśnienie różniczki
do podprzestrzeni . Macierz niewiadomych , :reprezentuje różniczkę
funkcji uwikłanej . Stąd układ równań z niewiadomymi , przedstawia równaniew którym niewiadomą jest różniczka
. Izomorficzność zacieśnienia gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego , dzięki czemu otrzymujemyW języku algebry nieosobliwość macierzy
gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania
jest
lub równoważnie:
Ekstrema funkcji uwikłanej
Niech
i niechbędzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym
.Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji
uwikłanej równaniem nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji . Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.Twierdzenie 9.13.[warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej]
Jeśli funkcja
uwikłana równaniem osiąga ekstremum w pewnym punkcie takim, że pochodna cząstkowa , to w punkcie zerują się pochodne cząstkowe funkcji po zmiennych , tzn.Dowód
Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji
, który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równośćto wobec izomorficzności
która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że ) różniczka zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy . Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie pochodnych cząstkowych funkcji po zmiennych , czyli
Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej
, aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja osiąga maksimum, minimum, czy też w ogóle nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:
Przypadek I. Niech
będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję uwikłaną równaniem . Różniczkując tę równość po zmiennej , otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równośćRóżniczkując względem zmiennej
powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamyOtrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie
, w którym . Otrzymamy wówczas równośćz której - wobec założenia, że
- otrzymamygdzie
.Przypadek II. Niech
będzie funkcją uwikłaną równaniem , gdzie jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe oraz :Policzymy pochodną cząstkową
po zmiennej obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw:oraz
Wobec tego
W punkcie
, w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy , , a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać:gdzie
. W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej , które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie przyjmują postać:Stąd - wobec założenia, że
- otrzymujemy:W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.
Wniosek 9.14.
Niech
, będzie funkcją uwikłaną równaniem , gdzie jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu , gdzie . Niech i niech różniczka . Wówczas druga różniczka funkcji uwikłanej w punkcie wynosiPrzykład 9.15.
Wyznaczmy ekstrema funkcji
danej w postaci uwikłanej , gdzieObserwacja poziomicy zerowej
każe przypuszczać, że w otoczeniu czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów na płaszczyznę zmiennych oraz jednoznacznie określone funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać maksima, a pozostałe dwie - minima.Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej
szukamy punktów , których współrzędne spełniają układ równań:Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej
) wymaga sprawdzenia założenia:Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych
spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż . Obserwacja poziomicy wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji z równania w żadnym otoczeniu punktu . Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnychw których spełniony jest warunek
. Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach odpowiednio punktówistnieją jedyne funkcje
, , , , które spełniają warunekoraz odpowiednio
, . Analiza poziomicy (lub określoności drugiej różniczki ) pozwala stwierdzić, że funkcje i osiągają w punktach , maksimum, zaś i osiągają w punktach , minimum.Dalsze przykłady wyznaczania ekstremów funkcji uwikłanej analizujemy w ramach ćwiczeń.
Ekstrema warunkowe. Metoda mnożników Lagrange'a
Dotychczas wyznaczaliśmy ekstrema funkcji określonej w pewnym otwartym podzbiorze
przestrzeni unormowanej (przy czym w praktycznych przykładach zajmowaliśmy się przykładami, gdy , ). Równie ważne z praktycznego punktu widzenia są także rozważania polegające na wyznaczaniu ekstremów funkcji zacieśnionej do zbioru, który nie jest otwarty w .Przykład 9.16.
Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji
na sferze
Sfera ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, jest więc zwarta. Stąd na na mocy twierdzenia Weierstassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą wnioskujemy, że wielomian
osiąga na tej sferze zarówno wartość najmniejszą, jak i największą. Nasze dotychczasowe doświadczenie podpowiada nam, że zadanie można by sprowadzić do badania funkcji dwóch zmiennych np. poprzez odwikłanie zmiennejz równania sfery i zbadania funkcji dwóch zmiennych
danych w kole wzorami:Niezbyt skomplikowane (choć nieco żmudne rachunki) prowadzą do wyznaczenia ekstremów tych funkcji, a co za tym idzie: wartości ekstremalnych funkcji
na danej sferze.Podamy jednak pewną metodę, która pozwala wyznaczać ekstremum funkcji
zacieśnionej do poziomicy zerowej pewnej funkcji również w przypadku, gdy odwikłanie zmiennej z równania nie jest tak proste jak w podanym przykładzie.Sprecyzujmy jednak wpierw problem.
Niech
będą przestrzeniami Banacha i niech , będą funkcjami.Definicja 9.17.
Mówimy, że funkcja
osiąga ekstremum warunkowe w punkcie przy warunku , jeśli zacieśnienie funkcji do poziomicy osiąga ekstremum w tym punkcie.Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę metody mnożników Lagrange'a.
Niech
będą przestrzeniami Banacha.Twierdzenie 9.18.
Niech
, będą funkcjami różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego poziomicy (co - przypomnijmy - oznacza, że różniczka jest suriekcją przestrzeni na ). Jeśli funkcja osiąga ekstremum warunkowe w punkcie regularnym poziomicy zerowej funkcji , to istnieje funkcjonał liniowy i ciągły taki, że zachodzi równość .Prawdziwe jest również twierdzenie, które na podstawie określoności drugiej różniczki pozwala stwierdzić, czy funkcja
osiąga minimum, czy maksimum warunkowe w punkcie .Twierdzenie 9.19.
Niech
, będą funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego poziomicy . Jeśli istnieje funkcjonał liniowy i ciągły taki, że zachodzi równość oraz forma kwadratowajest dodatnio określona (odpowiednio: ujemnie określona) na podprzestrzeni
przestrzeni , to funkcja osiąga w punkcie minimum (odpowiednio: maksimum) warunkowe.Definicja 9.20.
Dowody obu twierdzeń pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977). Podamy jednak interpretację tego twierdzenia w kilku najczęściej spotykanych sytuacjach.
Jeśli
są funkcjami różniczkowalymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia punktu na poziomicy oraz stałej , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane, to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy dany wzorem taki, że różniczka , o ile punkt jest punktem regularnym poziomicy . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy , punkt jest regularny, jeśli rząd różniczkiwynosi 1. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie
różniczka , czyli czy którakolwiek pochodna cząstkowa lub jest różna od zera. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczejgdzie stałą
(nazywaną tradycyjnie mnożnikiem Lagrange'a) wyznaczamy z układu równańJeśli
są funkcjami różniczkowalnymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia - podobnie jak w poprzednim przypadku - punktu na poziomicy oraz stałej , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy dany wzorem , taki, że różniczka , o ile punkt jest punktem regularnym poziomicy . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy punkt jest regularny, jeśli rząd (odwzorowania liniowego z do ) jest maksymalny, czyli wynosi . Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie różniczkanie zeruje się, czyli czy któraś z pochodnych cząstkowych
, , jest różna od zera. Zagadnienie można sprowadzić do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczejgdzie stałą
wyznaczamy z układu równańPrzykład 9.23.
Powróćmy do zadania polegającego na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji
na sferze . Rozwiążemy je metodą mnożników Lagrange'a opisaną w poprzednich uwagach. Dana sfera jest poziomicą zerową funkcji . Wykazaliśmy już, że każdy punkt sfery jest regularny. Niech . Rozwiązujemy układ równańUkład ten spełniają liczby
oraz
Ponieważ sfera jest zbiorem zwartym, wystarczy wyznaczyć wartości funkcji w obu punktach i porównać je, gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, w jednym z tych dwóch punktów funkcja
musi osiągać kres dolny, a w drugim kres górny wartości na sferze . Mamyczyli
osiąga w pierwszym z tych punktów wartość najmniejszą równą , a w drugim punkcie - wartość największą na sferze równą .Jeśli funkcja
, zaś , zagadnienie znalezienia ekstremów warunkowych funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia punktów zbioru , w których zeruje się różniczka funkcji . Funkcjonał Lagrange'a w tym przypadku jest odwzorowaniem liniowym z , jest więc reprezentowany przez macierz złożoną z dwóch liczb: , . Funkcja jest zestawieniem dwóch funkcji o wartościach rzeczywistych, stądMetoda mnożników Lagrange'a sprowadza się więc do znalezienia rozwiązań układu równań
w punktach regularnych poziomicy
, czyli tych, w których rząd różniczki jest maksymalny (tj. równy , gdyż różniczka jest odwzorowaniem liniowym z do ). Zwróćmy uwagę, że funkcja może osiągać ekstremum w punktach, które należą do poziomicy a nie są regularne. Metoda mnożników Lagrange'a nie rozstrzyga w tym przypadku o istnieniu ekstremum.Przykład 9.25.
Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji
na przecięciu się dwóch walców
Zauważmy, że każdy z walców z osobna nie jest zbiorem zwartym, gdyż nie jest ograniczony, lecz ich przecięcie jest zbiorem zwartym (gdyż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zawartym między innymi w sześcianie
). Podany warunek można opisać za pomocą poziomicy zerowej funkcji . Zbadaliśmy już, że spośród punktów poziomicy tylko dwa nie są regularne: oraz . Poza tymi dwoma punktami możemy zastosować metodę mnożników Lagrange'a, która sprowadza się do wyznaczenia rozwiązań układu równań:Układ ten ma dwa rozwiązania
oraz
Wartość funkcji
w tych punktach wynosiW obu punktach nieregularnych poziomicy
mamyPo porównaniu tych wartości:
stwierdzamy, że największą wartość na na poziomicy równą funkcja osiąga w punkcie , a najmniejszą, równą , w punkcie