Analiza matematyczna 2/Wykład 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
(Nie pokazano 4 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 49: Linia 49:
 
czyli okrąg o środku w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu jednostkowym.
 
czyli okrąg o środku w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu jednostkowym.
 
Różniczka  
 
Różniczka  
<center><math>\displaystyle \aligned d_{(x_0, y_0)}F&=\frac{\partial F}{\partial
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} d_{(x_0, y_0)}F&=\frac{\partial F}{\partial
 
x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy\\&=2x_0
 
x}(x_0, y)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y)dy\\&=2x_0
dx+2y_0 dy\endaligned
+
dx+2y_0 dy\end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 59: Linia 59:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned 2x_0=0\\2y_0=0,\endaligned\right.
+
\left\{\begin{align} 2x_0=0\\2y_0=0,\end{align}\right.
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 76: Linia 76:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\alignedx_0^2-y_0=0\\y_0^2-x_0=0,\endaligned\right.
+
\left\{\begin{align}x_0^2-y_0=0\\y_0^2-x_0=0,\end{align}\right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 94: Linia 94:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned d_{(x_0,y_0)}F&=\left(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0\right)dx+\left(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0\right)dy
+
\begin{align} d_{(x_0,y_0)}F&=\left(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0\right)dx+\left(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0\right)dy
\\&=4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\endaligned
+
\\&=4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 101: Linia 101:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0\\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\endaligned\right.
+
\left\{\begin{align} x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0\\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\end{align}\right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 125: Linia 125:
 
Różniczka odwzorowania <math>\displaystyle F</math> dana wzorem  
 
Różniczka odwzorowania <math>\displaystyle F</math> dana wzorem  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned d_{(x,y,z)}F&=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial
+
\begin{align} d_{(x,y,z)}F&=\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)dx+\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)dy+\frac{\partial
F}{\partial z}(x,y,z)dz\\&= 2xdx+2ydy+2zdz\endaligned
+
F}{\partial z}(x,y,z)dz\\&= 2xdx+2ydy+2zdz\end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 164: Linia 164:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned &&x=y=0, z\neq0\\ &\text{lub}&\\ &&x=z=0, y\neq0 \\ &\text{lub}& \\ &&y=z=0,x\neq0,\endaligned
+
\begin{align} &&x=y=0, z\neq0\\ &\text{lub}&\\ &&x=z=0, y\neq0 \\ &\text{lub}& \\ &&y=z=0,x\neq0,\end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 191: Linia 191:
 
F}{\partial z}=0</math>, tzn. gdy  
 
F}{\partial z}=0</math>, tzn. gdy  
  
<center><math>\displaystyle \left\{\aligned 4x(x^2+y^2+z^2)=3yz\\ 4y(x^2+y^2+z^2)=3xz\\
+
<center><math>\displaystyle \left\{\begin{align} 4x(x^2+y^2+z^2)=3yz\\ 4y(x^2+y^2+z^2)=3xz\\
4z(x^2+y^2+z^2)=3xy.\endaligned \right.
+
4z(x^2+y^2+z^2)=3xy.\end{align} \right.
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 199: Linia 199:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned x^2&=y^2\\y^2&=z^2\\z^2&=x^2,\endaligned\right.
+
\left\{\begin{align} x^2&=y^2\\y^2&=z^2\\z^2&=x^2,\end{align}\right.
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 267: Linia 267:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \f_2(a)=b.
+
F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } f_2(a)=b.
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 289: Linia 289:
 
taką, że  
 
taką, że  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
F(x_1, x_2, f_1(x_1,x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{
+
F(x_1, x_2, f_1(x_1,x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b.
oraz } \ f_1(a)=b.
 
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 301: Linia 300:
 
taką, że  
 
taką, że  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } \f_2(a)=b.
+
F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } f_2(a)=b.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 452: Linia 451:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x))\\ 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x)).\endaligned \right.
+
\left\{\begin{align} 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x))\\ 0&=F_1(x, f_1(x), f_2 (x)).\end{align} \right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 458: Linia 457:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned 0=\frac{d}{dx}F_1(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_1}{\partial  
+
\begin{align} 0=\frac{d}{dx}F_1(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_1}{\partial  
 
x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial
 
x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial
 
y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial
 
y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_1}{\partial
 
y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_1}{\partial
 
y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_1}{\partial
 
x}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial
 
x}+\frac{\partial F_1}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial
F_1}{\partial y_2}f_2'\endaligned
+
F_1}{\partial y_2}f_2'\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 469: Linia 468:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned 0=\frac{d}{dx}F_2(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_2}{\partial
+
\begin{align} 0=\frac{d}{dx}F_2(x, f_1(x), f_2 (x))&=\frac{\partial F_2}{\partial
 
x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial
 
x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial
 
y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial
 
y_1}\frac{df_1}{dx}+\frac{\partial F_2}{\partial
 
y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_2}{\partial
 
y_2}\frac{df_2}{dx}\\&= \frac{\partial F_2}{\partial
 
x}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial
 
x}+\frac{\partial F_2}{\partial y_1}f_1'+\frac{\partial
F_2}{\partial y_2}f_2'.\endaligned
+
F_2}{\partial y_2}f_2'.\end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 481: Linia 480:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned -\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial
+
\left\{\begin{align} -\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial
 
y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\\ -\frac{\partial
 
y_1}f_1'+\frac{\partial F_1}{\partial y_2}f_2'\\ -\frac{\partial
 
F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_2}{\partial
 
F_2}{\partial x}=\frac{\partial F_2}{\partial
 
y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2' .
 
y_1}f_1'+\frac{\partial F_2}{\partial y_2}f_2' .
\endaligned\right.
+
\end{align}\right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 608: Linia 607:
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle  
\foralli\in\{1,2,\dots, n\} \ \ \frac{\partial F}{\partial x_i}(a,f(a))=0.
+
\forall i\in\{1,2,\dots, n\} \ \ \frac{\partial F}{\partial x_i}(a,f(a))=0.
 
</math></center>
 
</math></center>
 
}}
 
}}
Linia 617: Linia 616:
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle  
d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circd_{(x,y)}F_{|X},
+
d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X},
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 629: Linia 628:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned &\frac{\partial F}{\partial x_1}(a, f(a))=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial x_2}(a, f(a))=0\\
+
\left\{\begin{align} &\frac{\partial F}{\partial x_1}(a, f(a))=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial x_2}(a, f(a))=0\\
&\vdots \\ &\frac{\partial F}{\partial x_n}(a, f(a))=0.\endaligned \right.
+
&\vdots \\ &\frac{\partial F}{\partial x_n}(a, f(a))=0.\end{align} \right.
 
</math></center>  
 
</math></center>  
 
}}
 
}}
Linia 654: Linia 653:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned 0=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial
+
\begin{align} 0=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial
 
y}f'\bigg)&=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial
 
y}f'\bigg)&=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial
 
x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial
 
x}\bigg)+\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial
Linia 663: Linia 662:
 
x}f'+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial
 
x}f'+\bigg(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial
 
y}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}f'\bigg)f'+\frac{\partial
 
y}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}f'\bigg)f'+\frac{\partial
F}{\partial y}f''.\endaligned
+
F}{\partial y}f''.\end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 719: Linia 718:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned 0=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}
+
\begin{align} 0=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}
 
\bigg)&=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial
 
\bigg)&=\frac{\partial }{\partial x}\bigg(\frac{\partial
 
F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial
 
F}{\partial x}\bigg)+\frac{\partial }{\partial
Linia 733: Linia 732:
 
z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x}
 
z}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\frac{\partial f}{\partial x}
 
\bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial
 
\bigg)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial
z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.\endaligned
+
z}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.\end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 770: Linia 769:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left[\aligned &\frac{\partial^2 f}{\partial
+
\left[\begin{align} &\frac{\partial^2 f}{\partial
 
x^2}(x_0, y_0) & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,
 
x^2}(x_0, y_0) & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,
y_0)\\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ & \
+
y_0)\\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ &  
 
&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,
 
&\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,
y_0)\endaligned\right]=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,
+
y_0)\end{align}\right]=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,
y_0, z_0)\bigg)^{-1} \left[\aligned &\frac{\partial^2 F}{\partial
+
y_0, z_0)\bigg)^{-1} \left[\begin{align} &\frac{\partial^2 F}{\partial
 
x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial
 
x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial
 
y}(x_0, y_0, z_0)\\ &\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial
 
y}(x_0, y_0, z_0)\\ &\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial
 
x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0,
 
x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0,
y_0, z_0)\endaligned\right]
+
y_0, z_0)\end{align}\right]
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 820: Linia 819:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
 
&\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial
 
&\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=0 \\ &\frac{\partial F}{\partial
y}(x,y,z)=0\\&(x,y,z)\in\{F=0\} \endaligned \right. \text{ czyli }
+
y}(x,y,z)=0\\&(x,y,z)\in\{F=0\} \end{align} \right. \text{ czyli }
\left\{\aligned &4x(x^2+y^2+z^2)-3yz=0 \\
+
\left\{\begin{align} &4x(x^2+y^2+z^2)-3yz=0 \\
 
&4y(x^2+y^2+z^2)-3xz=0\\ &(x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz=0.
 
&4y(x^2+y^2+z^2)-3xz=0\\ &(x^2+y^2+z^2)^2 -3 xyz=0.
\endaligned \right.
+
\end{align} \right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 845: Linia 844:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned
+
\begin{align}
 
&x=y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\
 
&x=y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\
 
&x=y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\
 
&x=y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=\frac{3}{8},\\
 
&x=-y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\\
 
&x=-y=\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\\
&x=-y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\endaligned
+
&x=-y=-\frac{3\sqrt{2}}{16}, \ &&z=-\frac{3}{8},\end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 858: Linia 857:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned &A_1=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16},
+
\begin{align} &A_1=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16},
 
\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_2=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16},
 
\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_2=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16},
 
-\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_3=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16},
 
-\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_3=\big(-\frac{3\sqrt{2}}{16},
 
\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_4=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16},
 
\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \\ &A_4=\big(\frac{3\sqrt{2}}{16},
-\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \endaligned
+
-\frac{3\sqrt{2}}{16}\big), \end{align}
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 1029: Linia 1028:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned d_{(x,y)}\Phi=0\\g(x,y)=0\endaligned \right.
+
\left\{\begin{align} d_{(x,y)}\Phi=0\\g(x,y)=0\end{align} \right.
 
\text{ czyli }
 
\text{ czyli }
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
& \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}
+
& \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\
\\& \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}
+
& \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\
\\& \displaystyleg(x,y)=0.\endaligned \right.
+
& g(x,y)=0.\end{align} \right.
 
</math></center>
 
</math></center>
 
}}
 
}}
Linia 1072: Linia 1071:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned d_{(x,y,z)}\Phi=0\\g(x,y,z)=0\endaligned \right.
+
\left\{\begin{align} d_{(x,y,z)}\Phi=0\\g(x,y,z)=0\end{align} \right.
 
\text{ czyli }
 
\text{ czyli }
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
& \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}
+
& \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x} \\
\\ & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}
+
& \frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y} \\
\\ & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z}
+
& \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z} \\
\\ & \displaystyleg(x,y,z)=0.\endaligned \right.
+
& g(x,y,z)=0.\end{align} \right.
 
</math></center>
 
</math></center>
 
}}
 
}}
Linia 1091: Linia 1090:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
 
& \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda
 
& \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda
 
\frac{\partial g}{\partial x}\\
 
\frac{\partial g}{\partial x}\\
Linia 1098: Linia 1097:
 
& \displaystyle \frac{\partial
 
& \displaystyle \frac{\partial
 
f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z}
 
f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z}
\\& \displaystyle g(x,y,z)=0\endaligned \right. \text{ czyli }  
+
\\& \displaystyle g(x,y,z)=0\end{align} \right. \text{ czyli }  
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
 
& \displaystyle 1=2\lambda x \\
 
& \displaystyle 1=2\lambda x \\
 
& \displaystyle-2=2\lambda y\\
 
& \displaystyle-2=2\lambda y\\
 
& \displaystyle 2=2\lambda z\\
 
& \displaystyle 2=2\lambda z\\
 
& \displaystyle x^2+y^2+z^2=1.
 
& \displaystyle x^2+y^2+z^2=1.
\endaligned \right.
+
\end{align} \right.
 
</math></center>  
 
</math></center>  
  
Linia 1157: Linia 1156:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned d_{(x,y,z)}\Phi=0\\G(x,y,z)=0\endaligned \right.
+
\left\{\begin{align} d_{(x,y,z)}\Phi=0\\G(x,y,z)=0\end{align} \right.
 
\text{ czyli }
 
\text{ czyli }
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
 
& \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x}
 
& \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x}
 
\\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y}
 
\\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial y}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial y}
 
\\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z}
 
\\ & \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z}
 
\\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0
 
\\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0
\\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\endaligned \right.
+
\\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\end{align} \right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 1201: Linia 1200:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
 
& \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial
 
& \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=\lambda_1 \frac{\partial
 
g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x}
 
g_1}{\partial x}+\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial x}
Linia 1207: Linia 1206:
 
\\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z}
 
\\ & \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\lambda_1 \frac{\partial g_1}{\partial z} +\lambda_2 \frac{\partial g_2}{\partial z}
 
\\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0
 
\\ & \displaystyle g_1(x,y,z)=0
\\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\endaligned \right.
+
\\ & \displaystyle g_2(x,y,z)=0\end{align} \right.
 
\text{ czyli }
 
\text{ czyli }
\left\{\aligned
+
\left\{\begin{align}
 
& \displaystyle 1=2\lambda_1 x\\
 
& \displaystyle 1=2\lambda_1 x\\
 
& \displaystyle -1=2\lambda_2 y\\  
 
& \displaystyle -1=2\lambda_2 y\\  
Linia 1215: Linia 1214:
 
& \displaystyle x^2+z^2-1=0\\
 
& \displaystyle x^2+z^2-1=0\\
 
& \displaystyle y^2+z^2-1=0.
 
& \displaystyle y^2+z^2-1=0.
\endaligned\right.
+
\end{align}\right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 1236: Linia 1235:
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
 
F\big(-\frac{\sqrt{2}}{2},
 
F\big(-\frac{\sqrt{2}}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz
+
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz } F\big(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2},
} F\big(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2},
 
 
-\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=2\sqrt{2}.
 
-\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=2\sqrt{2}.
 
</math></center>   
 
</math></center>   

Aktualna wersja na dzień 23:43, 23 wrz 2020

Twierdzenie o funkcjach uwikłanych.

Rozważamy funkcje zadane niejawnie. Formułujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej i przedstawiamy metody badania takiej funkcji. Podajemy metodę mnożników Lagrange'a badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.

Punkty regularne poziomicy

Niech będą przestrzeniami Banacha i niech będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję

oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór

Ustalmy pewien punkt , , , na tej poziomicy.

Definicja 9.1.

Mówimy, że punkt jest punktem regularnym zbioru , jeśli różniczka jest suriekcją przestrzeni na przestrzeń . Punkt poziomicy , który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.

Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:

Uwaga 9.2.

W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze , odwzorowanie liniowe jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania jest maksymalny, tj. równy .

Przykład 9.3.

Niech . Rozważmy i poziomicę zerową tej funkcji

czyli okrąg o środku w punkcie i promieniu jednostkowym. Różniczka

w dowolnym punkcie ma rząd maksymalny. Rząd różniczki nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe , zerują się, czyli gdy

ale punkt nie leży na okręgu .

Przykład 9.4.

Niech i niech . Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji

jest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka

nie ma maksymalnego rzędu, gdy

czyli w punktach i . Stąd punkt jest punktem nieregularnym

liścia Kartezjusza. Drugi punkt nie leży na poziomicy .

Przykład 9.5.

Niech i niech . Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą

nazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka

nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy

czyli w trzech punktach , i , spośród których tylko pierwszy leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.

Przykład 9.6.

Poziomicą zerową funkcji

jest sfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu jednostkowym:

Różniczka odwzorowania dana wzorem

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach poza początkiem układu współrzędnych , w którym rząd ten wynosi zero. Punkt nie należy jednak do sfery , stąd każdy jej punkt jest regularny.

Przykład 9.7.

Niech . Wówczas poziomicą zerową funkcji jest zbiór

który powstaje z przecięcia walca o osi obrotu z walcem o osi obrotu . Zauważmy, że różniczka

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do . Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników

wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy wynosi zero, gdy (punkt nie należy do poziomicy zerowej ). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy

co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy , a mianowicie w punktach oraz . Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki w pozostałych punktach poziomicy jest maksymalny (tj. wynosi ).
Wykres.gif wykres

Przykład 9.8.

Niech Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu

Różniczka jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z do , nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach , w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe , tzn. gdy

Układ ten spełnia punkt o współrzędnych , a także punkty o współrzędnych , które spełniają układ

czyli . Spośród punktów poziomicy warunek ten spełniają poza punktem także punkty , , , , gdzie . Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania ma w nich rząd maksymalny (równy ).


<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/e/ec/Am2w09.0010.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Poziomica zerowa funkcji


Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech , będą przestrzeniami Banacha i niech będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym . Niech będzie punktem poziomicy zerowej funkcji , gdzie . Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę w otoczeniu punktu można przedstawić jako wykres pewnej funkcji takiej, że w pewnym otoczeniu otwartym punktu .

Rozważmy dwa proste przykłady.

Przykład 9.9.

Niech będzie punktem okręgu , który stanowi poziomicę zerową funkcji

Jeśli , to w otoczeniu punktu można określić funkcję

taką, że

Z kolei, jeśli , to w otoczeniu punktu znajdziemy funkcję

taką, że

Jedynymi punktami okręgu , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji takiej, że i , są punkty oraz

. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa .

Przykład 9.10.

Niech , . Niech będzie punktem sfery , która stanowi poziomicę zerową funkcji . Jeśli , to w otoczeniu punktu wewnątrz okręgu można określić funkcję

taką, że

Z kolei, jeśli znajdziemy funkcję

taką, że

Jedynymi punktami sfery , w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji takiej, że i , są punkty okręgu zawartego w płaszczyźnie . Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa .

Uogólnijmy to spostrzeżenie, formułując

Twierdzenie 9.11.[twierdzenie o funkcji uwikłanej]

Niech będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym . Niech (gdzie ) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji takim, że zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni jest izomorfizmem. Wówczas

1) istnieje pewne otoczenie otwarte punktu oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu taka, że oraz dla dowolnego . Ponadto

2) funkcja jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze

daną wzorem
gdzie , natomiast

oznacza zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni a jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki .

Dowód 9.11.

[Szkic] Pominiemy dowód istnienia funkcji . Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy

wpierw jednak, że End of proof.gif
Uwaga 9.12.

Jeśli , to odwzorowanie liniowe jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. .

Przypadek I. Niech i niech Jeśli funkcja spełnia równanie , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość

Stąd

Z założenia zacieśnienie różniczki jest izomorfizmem przestrzeni do , co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa . Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzorem

Przypadek II. Niech Jeśli funkcja spełnia równanie , to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą w punktach poziomicy

oraz

Izomorficzność zawężenia różniczki również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa . Wówczas z powyższych równości dostajemy

oraz

gdzie . Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych, można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania):

oraz

Przypadek III. Niech , i niech

Załóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna

taka, że

to znaczy

Stąd - korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji - dostajemy

oraz

Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi , , które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej :

Zapiszmy ten układ w formie macierzowej

W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki do podprzestrzeni oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje :

jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa

reprezentuje zacieśnienie różniczki do podprzestrzeni . Macierz niewiadomych , :

reprezentuje różniczkę funkcji uwikłanej . Stąd układ równań z niewiadomymi , przedstawia równanie

w którym niewiadomą jest różniczka . Izomorficzność zacieśnienia gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego , dzięki czemu otrzymujemy

W języku algebry nieosobliwość macierzy

gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania

jest

lub równoważnie:

Ekstrema funkcji uwikłanej

Niech i niech

będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym .

Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji uwikłanej równaniem nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji . Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.

Twierdzenie 9.13.[warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej]

Jeśli funkcja uwikłana równaniem osiąga ekstremum w pewnym punkcie takim, że pochodna cząstkowa , to w punkcie zerują się pochodne cząstkowe funkcji po zmiennych , tzn.

Dowód

Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji , który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równość

to wobec izomorficzności która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że ) różniczka zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy . Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie pochodnych cząstkowych funkcji po zmiennych , czyli

End of proof.gif

Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej , aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja osiąga maksimum, minimum, czy też w ogóle nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.

Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:

Przypadek I. Niech będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję uwikłaną równaniem . Różniczkując tę równość po zmiennej , otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równość

Różniczkując względem zmiennej powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamy

Otrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie , w którym . Otrzymamy wówczas równość

z której - wobec założenia, że - otrzymamy

gdzie .

Przypadek II. Niech będzie funkcją uwikłaną równaniem , gdzie jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe oraz :

Policzymy pochodną cząstkową po zmiennej obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw:

oraz

Wobec tego

W punkcie , w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy , , a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać:

gdzie . W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej , które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie przyjmują postać:

Stąd - wobec założenia, że - otrzymujemy:

W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.

Wniosek 9.14.

Niech , będzie funkcją uwikłaną równaniem , gdzie jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu , gdzie . Niech i niech różniczka . Wówczas druga różniczka funkcji uwikłanej w punkcie wynosi

czyli
dla dowolnych .

Przykład 9.15.

Wyznaczmy ekstrema funkcji danej w postaci uwikłanej , gdzie

Obserwacja poziomicy zerowej każe przypuszczać, że w otoczeniu czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów na płaszczyznę zmiennych oraz jednoznacznie określone funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać maksima, a pozostałe dwie - minima.

Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej szukamy punktów , których współrzędne spełniają układ równań:

Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej ) wymaga sprawdzenia założenia:

Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż . Obserwacja poziomicy wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji z równania w żadnym otoczeniu punktu . Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnych

w których spełniony jest warunek . Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach odpowiednio punktów

istnieją jedyne funkcje , , , , które spełniają warunek

oraz odpowiednio , . Analiza poziomicy (lub określoności drugiej różniczki ) pozwala stwierdzić, że funkcje i osiągają w punktach , maksimum, zaś i osiągają w punktach , minimum.

Dalsze przykłady wyznaczania ekstremów funkcji uwikłanej analizujemy w ramach ćwiczeń.

Ekstrema warunkowe. Metoda mnożników Lagrange'a

Dotychczas wyznaczaliśmy ekstrema funkcji określonej w pewnym otwartym podzbiorze przestrzeni unormowanej (przy czym w praktycznych przykładach zajmowaliśmy się przykładami, gdy , ). Równie ważne z praktycznego punktu widzenia są także rozważania polegające na wyznaczaniu ekstremów funkcji zacieśnionej do zbioru, który nie jest otwarty w .

Przykład 9.16.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

na sferze

Sfera ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, jest więc zwarta. Stąd na na mocy twierdzenia Weierstassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą wnioskujemy, że wielomian osiąga na tej sferze zarówno wartość najmniejszą, jak i największą. Nasze dotychczasowe doświadczenie podpowiada nam, że zadanie można by sprowadzić do badania funkcji dwóch zmiennych np. poprzez odwikłanie zmiennej

z równania sfery i zbadania funkcji dwóch zmiennych danych w kole wzorami:

Niezbyt skomplikowane (choć nieco żmudne rachunki) prowadzą do wyznaczenia ekstremów tych funkcji, a co za tym idzie: wartości ekstremalnych funkcji na danej sferze.

Podamy jednak pewną metodę, która pozwala wyznaczać ekstremum funkcji zacieśnionej do poziomicy zerowej pewnej funkcji również w przypadku, gdy odwikłanie zmiennej z równania nie jest tak proste jak w podanym przykładzie.

Sprecyzujmy jednak wpierw problem.

Niech będą przestrzeniami Banacha i niech , będą funkcjami.

Definicja 9.17.

Mówimy, że funkcja osiąga ekstremum warunkowe w punkcie przy warunku , jeśli zacieśnienie funkcji do poziomicy osiąga ekstremum w tym punkcie.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę metody mnożników Lagrange'a.

Niech będą przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie 9.18.

Niech , będą funkcjami różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego poziomicy (co - przypomnijmy - oznacza, że różniczka jest suriekcją przestrzeni na ). Jeśli funkcja osiąga ekstremum warunkowe w punkcie regularnym poziomicy zerowej funkcji , to istnieje funkcjonał liniowy i ciągły taki, że zachodzi równość .

Prawdziwe jest również twierdzenie, które na podstawie określoności drugiej różniczki pozwala stwierdzić, czy funkcja osiąga minimum, czy maksimum warunkowe w punkcie .

Twierdzenie 9.19.

Niech , będą funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego poziomicy . Jeśli istnieje funkcjonał liniowy i ciągły taki, że zachodzi równość oraz forma kwadratowa

jest dodatnio określona (odpowiednio: ujemnie określona) na podprzestrzeni przestrzeni , to funkcja osiąga w punkcie minimum (odpowiednio: maksimum) warunkowe.

Definicja 9.20.

Funkcjonał , który występuje w wypowiedzi obu powyższych twierdzeń, nazywamy funkcjonałem Lagrange'a.

Dowody obu twierdzeń pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977). Podamy jednak interpretację tego twierdzenia w kilku najczęściej spotykanych sytuacjach.

Uwaga 9.21.

Jeśli są funkcjami różniczkowalymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia punktu na poziomicy oraz stałej , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane, to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy dany wzorem taki, że różniczka , o ile punkt jest punktem regularnym poziomicy . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy , punkt jest regularny, jeśli rząd różniczki

wynosi 1. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie różniczka , czyli czy którakolwiek pochodna cząstkowa lub jest różna od zera. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

gdzie stałą (nazywaną tradycyjnie mnożnikiem Lagrange'a) wyznaczamy z układu równań

Uwaga 9.22.

Jeśli są funkcjami różniczkowalnymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia - podobnie jak w poprzednim przypadku - punktu na poziomicy oraz stałej , która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy dany wzorem , taki, że różniczka , o ile punkt jest punktem regularnym poziomicy . Przypomnijmy, że w przypadku, gdy punkt jest regularny, jeśli rząd (odwzorowania liniowego z do ) jest maksymalny, czyli wynosi . Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie różniczka

nie zeruje się, czyli czy któraś z pochodnych cząstkowych , , jest różna od zera. Zagadnienie można sprowadzić do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

gdzie stałą wyznaczamy z układu równań

Przykład 9.23.

Powróćmy do zadania polegającego na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji na sferze . Rozwiążemy je metodą mnożników Lagrange'a opisaną w poprzednich uwagach. Dana sfera jest poziomicą zerową funkcji . Wykazaliśmy już, że każdy punkt sfery jest regularny. Niech . Rozwiązujemy układ równań

Układ ten spełniają liczby

oraz

Ponieważ sfera jest zbiorem zwartym, wystarczy wyznaczyć wartości funkcji w obu punktach i porównać je, gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, w jednym z tych dwóch punktów funkcja musi osiągać kres dolny, a w drugim kres górny wartości na sferze . Mamy

czyli osiąga w pierwszym z tych punktów wartość najmniejszą równą , a w drugim punkcie - wartość największą na sferze równą .

Uwaga 9.24.

Jeśli funkcja , zaś , zagadnienie znalezienia ekstremów warunkowych funkcji przy warunku sprowadza się do znalezienia punktów zbioru , w których zeruje się różniczka funkcji . Funkcjonał Lagrange'a w tym przypadku jest odwzorowaniem liniowym z , jest więc reprezentowany przez macierz złożoną z dwóch liczb: , . Funkcja jest zestawieniem dwóch funkcji o wartościach rzeczywistych, stąd

Metoda mnożników Lagrange'a sprowadza się więc do znalezienia rozwiązań układu równań

w punktach regularnych poziomicy , czyli tych, w których rząd różniczki jest maksymalny (tj. równy , gdyż różniczka jest odwzorowaniem liniowym z do ). Zwróćmy uwagę, że funkcja może osiągać ekstremum w punktach, które należą do poziomicy a nie są regularne. Metoda mnożników Lagrange'a nie rozstrzyga w tym przypadku o istnieniu ekstremum.

Przykład 9.25.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

na przecięciu się dwóch walców

Zauważmy, że każdy z walców z osobna nie jest zbiorem zwartym, gdyż nie jest ograniczony, lecz ich przecięcie jest zbiorem zwartym (gdyż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zawartym między innymi w sześcianie ). Podany warunek można opisać za pomocą poziomicy zerowej funkcji . Zbadaliśmy już, że spośród punktów poziomicy tylko dwa nie są regularne: oraz . Poza tymi dwoma punktami możemy zastosować metodę mnożników Lagrange'a, która sprowadza się do wyznaczenia rozwiązań układu równań:

Układ ten ma dwa rozwiązania

oraz

Wartość funkcji w tych punktach wynosi

W obu punktach nieregularnych poziomicy mamy

Po porównaniu tych wartości: stwierdzamy, że największą wartość na na poziomicy równą funkcja osiąga w punkcie , a najmniejszą, równą , w punkcie