Analiza matematyczna 2/Wykład 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Twierdzenie o funkcjach uwikłanych.

Rozważamy funkcje zadane niejawnie. Formułujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej i przedstawiamy metody badania takiej funkcji. Podajemy metodę mnożników Lagrange'a badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.

Punkty regularne poziomicy

Niech $X,Y,Z$ będą przestrzeniami Banacha i niech $U\subset X\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję

$F:X\times Y\supset U\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in Z$

oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór

$\{F=0\}=\{(x,y)\in U:F(x,y)=0\}$

Ustalmy pewien punkt $P=(a,b)\in \{F=0\}$, $a\in X$, $b\in Y$, na tej poziomicy.

Definicja 9.1.

Mówimy, że punkt $P\in \{F=0\}$ jest punktem regularnym zbioru $\{F=0\}$, jeśli różniczka $d_{P}F$ jest suriekcją przestrzeni $X\times Y$ na przestrzeń $Z$. Punkt poziomicy $\{F=0\}$, który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.

Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:

Uwaga 9.2.

W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze $X=\mathbb {R} ^{n}$, $Y=\mathbb {R} ^{m}$ odwzorowanie liniowe $L:X\times Y\mapsto Y$ jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania $L$ jest maksymalny, tj. równy $m$.

Przykład 9.3.

Niech $X=Y=\mathbb {R}$. Rozważmy $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ i poziomicę zerową tej funkcji

$\{F=0\}=\{x^{2}+y^{2}=1\}$,

czyli okrąg o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu jednostkowym. Różniczka

${\begin{aligned}d_{(x_{0},y_{0})}F&={\frac {\partial F}{\partial x}}(x_{0},y)dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y)dy\\&=2x_{0}dx+2y_{0}dy\end{aligned}}$

w dowolnym punkcie $(x_{0},y_{0})\in \{F=0\}$ ma rząd maksymalny. Rząd różniczki $d_{(x_{0},y_{0})}F$ nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe ${\frac {\partial F}{\partial x}}$, ${\frac {\partial F}{\partial y}}$ zerują się, czyli gdy

$\left\{{\begin{aligned}2x_{0}=0\\2y_{0}=0,\end{aligned}}\right.$

ale punkt $(0,0)$ nie leży na okręgu $\{F=0\}$.

Przykład 9.4.

Niech $X=Y=\mathbb {R}$ i niech $F(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy$. Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji

$\{F=0\}=\{x^{3}+y^{3}=3xy\}$

jest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka

$d_{(x_{0},y_{0})}F=3(x_{0}^{2}-y_{0})dx+3(y_{0}^{2}-x_{0})dy$ nie ma maksymalnego rzędu, gdy $\left\{{\begin{aligned}x_{0}^{2}-y_{0}=0\\y_{0}^{2}-x_{0}=0,\end{aligned}}\right.$

czyli w punktach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (0,0)} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (1, 1)} . Stąd punkt Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (0,0)} jest punktem nieregularnym

liścia Kartezjusza. Drugi punkt Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (1,1)} nie leży na poziomicy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \{F=0\}} .

Przykład 9.5.

Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle X=Y=\mathbb{R}} i niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)} . Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \{F=0\}=\left\{(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\right\} }

nazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} d_{(x_0,y_0)}F&=\left(2(x_0^2+y_0^2)2x_0-4x_0\right)dx+\left(2(x_0^2+y_0^2)2y_0+4y_0\right)dy \\&=4x_0(x_0^2+y_0^2-1)dx+4y_0(x_0^2+y_0^2+1)dy\end{align} }

nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \left\{\begin{align} x_0(x_0^2+y_0^2-1)=0\\ y_0(x_0^2+y_0^2+1)=0,\end{align}\right.}

czyli w trzech punktach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (0,0)} , Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (-1, 0)} i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (1,0)} , spośród których tylko pierwszy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (0,0)} leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.

Przykład 9.6.

Poziomicą zerową funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle F:\mathbb{R}^3\ni(x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1\in\mathbb{R} }

jest sfera o środku w początku układu współrzędnych $(0,0,0)$ i promieniu jednostkowym:

$\{F=0\}=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$

Różniczka odwzorowania $F$ dana wzorem

${\begin{aligned}d_{(x,y,z)}F&={\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y,z)dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y,z)dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x,y,z)dz\\&=2xdx+2ydy+2zdz\end{aligned}}$

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R}$ i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach $\mathbb {R} ^{3}$ poza początkiem układu współrzędnych $(0,0,0)$, w którym rząd ten wynosi zero. Punkt $(0,0,0)$ nie należy jednak do sfery $\{F=0\}$, stąd każdy jej punkt jest regularny.

Przykład 9.7.

Niech $F:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^{2}+z^{2}-1,y^{2}+z^{2}-1)\in \mathbb {R} ^{2}$. Wówczas poziomicą zerową funkcji $F$ jest zbiór

$\{F=0\}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x^{2}+z^{2}=1,y^{2}+z^{2}=1\}$,

który powstaje z przecięcia walca $x^{2}+z^{2}=1$ o osi obrotu $OY$ z walcem $y^{2}+z^{2}=1$ o osi obrotu $OX$. Zauważmy, że różniczka

$d_{(x,y,z)}F=(2xdx+0dy+2zdz,0dx+2ydy+2zdz)$

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R} ^{2}$. Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników

$A=\left[{\begin{array}{rrr}2x&0&2z\\0&2y&2z\end{array}}\right]$

wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy $A$ wynosi zero, gdy $x=y=z=0$ (punkt $(0,0,0)$ nie należy do poziomicy zerowej $\{F=0\}$). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy

${\begin{aligned}&&x=y=0,z\neq 0\\&{\text{lub}}&\\&&x=z=0,y\neq 0\\&{\text{lub}}&\\&&y=z=0,x\neq 0,\end{aligned}}$

co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy $\{F=0\}$, a mianowicie w punktach $(0,0,1)$ oraz $(0,0,-1)$. Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki $d_{(x,y,z)}F$ w pozostałych punktach poziomicy jest maksymalny (tj. wynosi $2$).
wykres

Przykład 9.8.

Niech $F:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}-3xyz\in \mathbb {R}$. Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu

$\{(x,y,z)=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=3xyz\}$

Różniczka $d_{(x,y,z)}F={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz$ jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R}$, nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach $(x,y,z)$, w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe ${\frac {\partial F}{\partial x}}=0,{\frac {\partial F}{\partial y}}=0,{\frac {\partial F}{\partial z}}=0$, tzn. gdy

$\left\{{\begin{aligned}4x(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3yz\\4y(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3xz\\4z(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3xy.\end{aligned}}\right.$

Układ ten spełnia punkt o współrzędnych $(0,0,0)$, a także punkty o współrzędnych $(x,y,z)$, które spełniają układ

$\left\{{\begin{aligned}x^{2}&=y^{2}\\y^{2}&=z^{2}\\z^{2}&=x^{2},\end{aligned}}\right.$

czyli $|x|=|y|=|z|$. Spośród punktów poziomicy $\{F=0\}$ warunek ten spełniają poza punktem $(0,0,0)$ także punkty $(a,a,a)$, $(-a,-a,a)$, $(-a,a,-a)$, $(a,-a,-a)$, gdzie $a={\frac {1}{3}}$. Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy $\{F=0\}$ pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania $F$ ma w nich rząd maksymalny (równy $1$).

<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/e/ec/Am2w09.0010.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Poziomica zerowa funkcji $f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}-3xyz$

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech $X$, $Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $F:U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym $U\subset X\times Y$. Niech $(a,b)\in \{F=0\}$ będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $F$, gdzie $a\in X,b\in Y$. Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę $\{F=0\}$ w otoczeniu punktu $(a,b)$ można przedstawić jako wykres pewnej funkcji $f:X\mapsto Y$ takiej, że $F(x,f(x))=0$ w pewnym otoczeniu otwartym punktu $a\in X$.

Rozważmy dwa proste przykłady.

Przykład 9.9.

Niech $(a,b)$ będzie punktem okręgu $x^{2}+y^{2}=1$, który stanowi poziomicę zerową funkcji

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \ni (x,y)\mapsto F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1\in \mathbb {R}$

Jeśli $b>0$, to w otoczeniu punktu $a\in (-1,1)$ można określić funkcję

$f_{1}:x\mapsto f_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

taką, że

$F(x,f_{1}(x))=x^{2}+({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}-1=0\ {\text{ oraz }}\ f_{1}(a)=b$

Z kolei, jeśli $b<0$, to w otoczeniu punktu $a\in (-1,1)$ znajdziemy funkcję

$f_{2}:x\mapsto f_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$

taką, że

$F(x,f_{2}(x))=x^{2}+(-{\sqrt {1-x^{2}}})^{2}-1=0\ {\text{ oraz }}f_{2}(a)=b$

Jedynymi punktami $(a,b)$ okręgu $x^{2}+y^{2}=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $f:x\mapsto f(x)$ takiej, że $f(a)=b$ i $F(x,f(x))=0$, są punkty $(-1,0)$ oraz

$(1,0)$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa ${\frac {\partial F}{\partial y}}$.

Przykład 9.10.

Niech $a=(a_{1},a_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$, $b\in \mathbb {R}$. Niech $(a,b)\in \mathbb {R} ^{3}$ będzie punktem sfery $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+z^{2}=1$, która stanowi poziomicę zerową funkcji $F(x_{1},x_{2},z)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+z^{2}-1$. Jeśli $b>0$, to w otoczeniu punktu $a=(a_{1},a_{2})$ wewnątrz okręgu $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1$ można określić funkcję

$f_{1}:(x_{1},x_{2})\mapsto f_{1}(x_{1},x_{2})={\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}$

taką, że

$F(x_{1},x_{2},f_{1}(x_{1},x_{2}))=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{\big (}{\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}{\big )}^{2}-1=0\ {\text{ oraz }}\ f_{1}(a)=b$

Z kolei, jeśli $b<0$ znajdziemy funkcję

$f_{2}:(x_{1},x_{2})\mapsto f_{1}(x_{1},x_{2})=-{\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}$

taką, że

$F(x_{1},x_{2},f_{2}(x_{1},x_{2}))=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{\big (}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}{\big )}^{2}-1=0\ {\text{ oraz }}f_{2}(a)=b$

Jedynymi punktami $(a,b)$ sfery $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+z^{2}=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $f:(x_{1},x_{2})\mapsto f(x_{1},x_{2})$ takiej, że $f(a)=b$ i $F(x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}))=0$, są punkty okręgu $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ zawartego w płaszczyźnie $z=0$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa ${\frac {\partial F}{\partial z}}=2z$.

Uogólnijmy to spostrzeżenie, formułując

Twierdzenie 9.11.[twierdzenie o funkcji uwikłanej]

Niech $F:U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym $U\subset X\times Y$. Niech $(a,b)\in \{F=0\}$ (gdzie $a\in X,b\in Y$) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $F$ takim, że zacieśnienie różniczki $d_{(a,b)}F_{|Y}$ do podprzestrzeni $Y\subset X\times Y$ jest izomorfizmem. Wówczas

1) istnieje pewne otoczenie otwarte $V\subset X$ punktu $a$ oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu $f:V\mapsto Y$ taka, że $f(a)=b$ oraz $F(x,f(x))=0$ dla dowolnego $x\in V$. Ponadto

2) funkcja $f$ jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze

$V$ daną wzorem $d_{x}f=-{\big (}d_{(x,y)}F_{|Y}{\big )}^{-1}\circ {\big (}d_{(x,y)}F_{|X}{\big )}$, gdzie $y=f(x)$, natomiast

$d_{(x,y)}F_{|X}$ oznacza zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $X\subset X\times Y$ a $(d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}$ jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki $d_{(x,y)}F_{|Y}$.

Dowód 9.11.

[Szkic] Pominiemy dowód istnienia funkcji $f$. Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy

wpierw jednak, że

Uwaga 9.12.

Jeśli $Y=\mathbb {R} ^{n}$, to odwzorowanie liniowe $L:Y\mapsto Y$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. $\det L\neq 0$.

Przypadek I. Niech $X=Y=\mathbb {R}$ i niech $F:\mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb {R}$. Jeśli funkcja $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ spełnia równanie $F(x,f(x))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość

$0={\frac {d}{dx}}F(x,f(x))={\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y){\frac {df}{dx}}(x),{\text{ gdzie }}y=f(x)$

Stąd

$-{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial ,F}{\partial y}}(x,y){\frac {df}{dx}}(x)$

Z założenia zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F_{|Y}$ jest izomorfizmem przestrzeni $\mathbb {R}$ do $\mathbb {R}$, co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa ${\dfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$. Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzorem

${\frac {df}{dx}}(x)=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y),{\text{ gdzie }}y=f(x)$

Przypadek II. Niech $F:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},y)\mapsto F(x_{1},x_{2},y)\in \mathbb {R}$. Jeśli funkcja $f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ spełnia równanie $F(x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą w punktach $(x_{1},x_{2},y)$ poziomicy $\{F=0\}$

${\begin{array}{lll}0={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F{\big (}x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}){\big )}&=&{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\&=&{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}+0+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\end{array}}$

oraz

${\begin{array}{lll}0={\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F{\big (}x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}){\big )}&=&{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\\&=&0+{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\end{array}}$

Izomorficzność zawężenia różniczki $d_{(x_{1},x_{2},y)}F_{|Y}$ również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa ${\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x_{1},x_{2},y)\neq 0$. Wówczas z powyższych równości dostajemy

${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x_{1},x_{2})=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{1},x_{2},y)\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(x_{1},x_{2},y)$

oraz

${\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(x_{1},x_{2})=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{1},x_{2},y)\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}(x_{1},x_{2},y)$,

gdzie $y=f(x_{1},x_{2})$. Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych, można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania):

${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}$

oraz

${\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}$

Przypadek III. Niech $X=\mathbb {R}$, $Y=\mathbb {R} ^{2}$ i niech

$F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y_{1},y_{2})\mapsto F(x,y_{1},y_{2})=\left(F_{1}(x,y_{1},y_{2}),F_{2}(x,y_{1},y_{2})\right)\in \mathbb {R} ^{2}$

Załóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna

$f:\mathbb {R} \ni x\mapsto (f_{1}(x),f_{2}(x))\in \mathbb {R} ^{2}$

taka, że

$0=F(x,f(x))={\bigg (}F_{1}{\big (}x,f_{1}(x),f_{2}(x){\big )},\ F_{2}{\big (}x,f_{1}(x),f_{2}(x){\big )}{\bigg )}$,

to znaczy

$\left\{{\begin{aligned}0&=F_{1}(x,f_{1}(x),f_{2}(x))\\0&=F_{1}(x,f_{1}(x),f_{2}(x)).\end{aligned}}\right.$

Stąd - korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji - dostajemy

${\begin{aligned}0={\frac {d}{dx}}F_{1}(x,f_{1}(x),f_{2}(x))&={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}{\frac {df_{1}}{dx}}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}{\frac {df_{2}}{dx}}\\&={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}f_{2}'\end{aligned}}$

oraz

${\begin{aligned}0={\frac {d}{dx}}F_{2}(x,f_{1}(x),f_{2}(x))&={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}{\frac {df_{1}}{dx}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}{\frac {df_{2}}{dx}}\\&={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}f_{2}'.\end{aligned}}$

Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi $f_{1}'$, $f_{2}'$, które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej $f=(f_{1},f_{2})$:

$\left\{{\begin{aligned}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}={\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}f_{2}'\\-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}f_{2}'.\end{aligned}}\right.$

Zapiszmy ten układ w formie macierzowej

$-\left[{\begin{array}{r}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}\\&\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{r}f_{1}'\\f_{2}'\end{array}}\right]$

W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $Y\subset X\times Y$ oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje $d_{(x,y)F_{|Y}}$:

$\left[{\begin{array}{rr}{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}\\&\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}\end{array}}\right]$

jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa

$\left[{\begin{array}{r}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}\end{array}}\right]$

reprezentuje zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $X\subset X\times Y$. Macierz niewiadomych $f_{1}'$, $f_{2}'$:

$\left[{\begin{array}{r}f_{1}'\\f_{2}'\end{array}}\right]$

reprezentuje różniczkę $d_{x}f$ funkcji uwikłanej $f=(f_{1},f_{2})$. Stąd układ równań z niewiadomymi $f_{1}'$, $f_{2}'$ przedstawia równanie

$-d_{(x,y)}F_{|X}=d_{(x,y)}F_{|Y}\circ d_{x}f,\ \ \ \ \ {\text{ gdzie }}y=f(x)$,

w którym niewiadomą jest różniczka $d_{x}f$. Izomorficzność zacieśnienia $d_{(x,y)}F_{|Y}$ gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego $\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}$, dzięki czemu otrzymujemy

$d_{x}f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}$

W języku algebry nieosobliwość macierzy

$\left[{\begin{array}{rr}{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}\\&\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}\end{array}}\right]$

gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania

$-\left[{\begin{array}{r}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rr}{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}\\&\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{r}f_{1}'\\f_{2}'\end{array}}\right]$

jest

$\left[{\begin{array}{r}f_{1}'\\f_{2}'\end{array}}\right]=-\left(\left[{\begin{array}{rr}{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}\\&\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}&{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}\end{array}}\right]\right)^{-1}\left[{\begin{array}{r}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}\end{array}}\right]$

lub równoważnie:

$d_{x}f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}$

Ekstrema funkcji uwikłanej

Niech $X=\mathbb {R} ^{n},Y=\mathbb {R}$ i niech

$F:X\times \mathbb {R} \ni (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y)\mapsto F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y)\in \mathbb {R}$

będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym $U\subset X\times \mathbb {R}$.

Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji $f$ uwikłanej równaniem $F(x,f(x))=0$ nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji $f$. Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja $f$ może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.

Twierdzenie 9.13.[warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej]

Jeśli funkcja $f$ uwikłana równaniem $F(x,f(x))=0$ osiąga ekstremum w pewnym punkcie $a\in X$ takim, że pochodna cząstkowa ${\frac {\partial F}{\partial y}}(a,f(a))\neq 0$, to w punkcie $(a,f(a))$ zerują się pochodne cząstkowe funkcji $F$ po zmiennych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, tzn.

$\forall i\in \{1,2,\dots ,n\}\ \ {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}(a,f(a))=0$

Dowód

Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji $f$, który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równość

$d_{x}f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}$,

to wobec izomorficzności $d_{(x,y)}F_{|Y}$ która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że ${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)\neq 0$) różniczka $d_{a}f$ zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy $d_{(a,f(a))}F_{|X}=0$. Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie $(a,f(a))$ pochodnych cząstkowych funkcji $F$ po zmiennych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, czyli

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(a,f(a))=0\\&{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}(a,f(a))=0\\&\vdots \\&{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(a,f(a))=0.\end{aligned}}\right.$

Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej $f$, aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja $f$ osiąga maksimum, minimum, czy też w ogóle nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.

Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:

Przypadek I. Niech $F:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję $f$ uwikłaną równaniem $F(x,f(x))=0$. Różniczkując tę równość po zmiennej $x$, otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równość

$0={\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}f'$

Różniczkując względem zmiennej $x$ powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamy

${\begin{aligned}0={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}f'{\bigg )}&={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}f'{\bigg )}\\&={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\bigg )}f'+{\frac {\partial F}{\partial y}}f''\\&={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}f'+{\bigg (}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}f'{\bigg )}f'+{\frac {\partial F}{\partial y}}f''.\end{aligned}}$

Otrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie $x_{0}$, w którym $f'(x_{0})=0$. Otrzymamy wówczas równość

$0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})f''(x_{0})$,

z której - wobec założenia, że ${\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0$ - otrzymamy

$f''(x_{0})=-{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0}){\bigg )}^{-1}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0}),$

gdzie $y_{0}=f(x_{0})$.

Przypadek II. Niech $f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $F(x,y,f(x,y))=0$, gdzie $F:\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R}$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy $\{F=0\}$ otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}$ oraz ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}$:

$0={\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial x}}$ $0={\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.$

Policzymy pochodną cząstkową ${\frac {\partial }{\partial x}}$ po zmiennej $x$ obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw:

${\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}$

oraz

${\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\bigg )}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x}}$

Wobec tego

${\begin{aligned}0={\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg )}&={\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg )}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\bigg )}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\bigg (}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg )}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}.\end{aligned}}$

W punkcie $(x_{0},y_{0})$, w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})=0$, ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=0$, a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać:

$0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})$,

gdzie $z_{0}=f(x_{0},y_{0})$. W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej $f$, które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie $(x_{0},y_{0})$ przyjmują postać:

$0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})$, $0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})$, $0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0})$

Stąd - wobec założenia, że ${\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\neq 0$ - otrzymujemy:

$\left[{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})&\ &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})\\&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})\ &&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0})\end{aligned}}\right]=-{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\bigg )}^{-1}\left[{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0},z_{0})&\ &{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})\\&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})\ &\ &{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0},z_{0})\end{aligned}}\right]$

W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.

Wniosek 9.14.

Niech $f:x\mapsto f(x)$, $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $F(x,f(x))=0$, gdzie $F:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb {R}$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu $(a,b)$, gdzie $b=f(a)$. Niech ${\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b)\neq 0$ i niech różniczka $d_{a}f=0$. Wówczas druga różniczka funkcji uwikłanej $f$ w punkcie $a$ wynosi

$d_{a}^{2}f=-{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b){\bigg )}^{-1}d_{(a,b)}F_{|X}$, czyli ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(a)=-{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b){\bigg )}^{-1}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(a,b)$, dla dowolnych $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Przykład 9.15.

Wyznaczmy ekstrema funkcji $f$ danej w postaci uwikłanej $F(x,y,f(x,y))=0$, gdzie

$F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}-3xyz$

Obserwacja poziomicy zerowej $\{F=0\}$ każe przypuszczać, że w otoczeniu czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów na płaszczyznę zmiennych $(x,y)$ oraz jednoznacznie określone funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać maksima, a pozostałe dwie - minima.

Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej $f$ szukamy punktów $(x,y)$, których współrzędne spełniają układ równań:

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y,z)=0\\&{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y,z)=0\\&(x,y,z)\in \{F=0\}\end{aligned}}\right.{\text{ czyli }}\left\{{\begin{aligned}&4x(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3yz=0\\&4y(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3xz=0\\&(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}-3xyz=0.\end{aligned}}\right.$

Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej $f$) wymaga sprawdzenia założenia:

${\frac {\partial F}{\partial z}}(x,y,z)=4z(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3xy\neq 0$

Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych $(0,0,0)$ spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż ${\frac {\partial F}{\partial z}}(0,0,0)=0$. Obserwacja poziomicy $\{F=0\}$ wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji $(x,y)\mapsto f(x,y)$ z równania $F(x,y,f(x,y))=0$ w żadnym otoczeniu punktu $(0,0,0)$. Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnych

${\begin{aligned}&x=y={\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z={\frac {3}{8}},\\&x=y=-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z={\frac {3}{8}},\\&x=-y={\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z=-{\frac {3}{8}},\\&x=-y=-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z=-{\frac {3}{8}},\end{aligned}}$

w których spełniony jest warunek ${\frac {\partial F}{\partial z}}(x,y,z)\neq 0$. Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach $U_{1},U_{2},U_{3},U_{4}\subset \mathbb {R} ^{2}$ odpowiednio punktów

${\begin{aligned}&A_{1}={\big (}{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\\&A_{2}={\big (}-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\\&A_{3}={\big (}-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\\&A_{4}={\big (}{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\end{aligned}}$

istnieją jedyne funkcje $f_{1}:U_{1}\mapsto \mathbb {R}$, $f_{2}:U_{2}\mapsto \mathbb {R}$, $f_{3}:U_{3}\mapsto \mathbb {R}$, $f_{4}:U_{4}\mapsto \mathbb {R}$, które spełniają warunek

$F{\big (}x,y,f_{i}(x,y){\big )}=0,{\text{ gdy }}(x,y)\in U_{i},\ i\in \{1,2,3,4\}$

oraz odpowiednio $f_{1}(A_{1})=f_{2}(A_{2})={\frac {3}{8}}$, $f_{3}(A_{3})=f_{4}(A_{4})=-{\frac {3}{8}}$. Analiza poziomicy $\{F=0\}$ (lub określoności drugiej różniczki $d_{A_{i}}^{2}f,\ i\in \{1,2,3,4\}$) pozwala stwierdzić, że funkcje $f_{1}$ i $f_{2}$ osiągają w punktach $A_{1}$, $A_{2}$ maksimum, zaś $f_{3}$ i $f_{4}$ osiągają w punktach $A_{3}$,