Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 2/Wykład 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

==Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych==

Uogólniamy znane z Analizy matematycznej I pojęcie pochodnej
na przypadek funkcji wielu zmiennych. Definiujemy pochodną funkcji
o wartościach wektorowych oraz różniczkę zupełną w sensie
Frecheta. Dowodzimy własności różniczki zupełnej i wyrażamy ją
za pomocą pochodnych cząstkowych. Definiujemy także różniczki
wyższych rzędów.  

==Pochodna funkcji jednej zmiennej o wartościach wektorowych==

Wprowadzenie pojęcia pochodnej funkcji poprzedziliśmy
przypomnieniem dwóch wielkości fizycznych: prędkości średniej i
prędkości chwilowej w ruchu prostoliniowym. Zwróćmy uwagę na to,
że w otaczającym nas świecie ruch po prostej jest rzadkością, gdyż
większość obiektów, które obserwujemy, porusza się po drodze na
płaszczyźnie dwuwymiarowej, bądź w przestrzeni trójwymiarowej.
Wprowadźmy więc pojęcie pochodnej, które odpowiada m.in. potrzebie
opisu ruchu w realnym świecie.

Niech <math>f: (a,b)\ni t\mapsto f(t)\in Y</math> będzie funkcją określoną na
przedziale otwartym o wartościach w przestrzeni unormowanej <math>Y</math>.
Możemy mieć na myśli na przykład  przestrzeń unormowaną <math>Y=\mathbb{R}^n</math>,
w której długość wektora <math>y=(y_1, y_2, \dots, y_n)</math> wyraża norma
<math>\|y\|=\sqrt{|y_1|^2+|y_2|^2+\dots+|y_n|^2}</math>.

{{definicja|7.1.||
Mówimy, że funkcja <math>f: (a,b)\mapsto Y</math>
jest różniczkowalna w punkcie <math>t_0\in (a,b)</math>,  jeśli istnieje
wektor <math>y_0\in Y</math> taki, że iloraz różnicowy
<math>\frac{1}{h}\big(f(t_0+h)-f(t_0)\big)</math> zmierza do <math>y_0</math> w normie
przestrzeni <math>Y</math>, to znaczy
<center><math>\bigg\|\frac{1}{h}\big(f(t_0+h)-f(t_0)\big)-y_0\bigg\|\to 0, \text{ gdy }h\to 0</math>.</center>
Wektor <math>y_0\in Y</math> nazywamy '''''pochodną funkcji <math>f</math> w punkcie <math>t_0</math>''''' i oznaczamy symbolem <math>\frac{d}{dt}f(t_0)</math> lub <math>f'(t_0)</math>.}}

{{uwaga|7.2.||
W szczególnym przypadku, gdy <math>Y=\mathbb{R}^n</math>,
funkcja
<center><math>f:(a,b)\ni t \mapsto f(t)=\big(f_1 (t), f_2(t), \dots,
f_n(t)\big)\in \mathbb{R}^n</math></center>
jest zestawieniem <math>n</math> funkcji <math>f_k : (a,b)
\ni t\mapsto f_k(t)\in \mathbb{R}</math> o wartościach liczbowych. Stąd
istnienie pochodnej <math>\frac{d}{dt}f(t_0)</math> jest równoważne istnieniu
pochodnych wszystkich składowych funkcji <math>f</math> w punkcie <math>t_0</math>.
Wówczas też pochodna <math>f</math> jest zestawieniem pochodnych swoich
składowych, tzn.
<center><math>\frac{d}{dt}f(t_0)=\big(\frac{d}{dt}f_1(t_0), \frac{d}{dt}f_2(t_0), \dots, \frac{d}{dt}f_n(t_0)\big)</math></center>

}}

{{przyklad|7.3.||
Rozważmy ruch punktu materialnego
opisany równaniami:
<center><math>\left\{\begin{align} x(t)=a\cos t\\ y(t)=b \sin t\end{align} \right.
\ \ \ \ \text{ gdzie }a\geq b>0</math>.</center>
Jak łatwo zauważyć punkt porusza się po '''''elipsie''''' o równaniu <center><math>\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1</math>,</center>
gdyż (na podstawie jedynki trygonometrycznej) mamy równość 
<center><math>\frac{x(t)^2}{a^2}+ \frac{y(t)^2}{b^2}=\cos^2 t+\sin^2 t=1</math>.</center>
Ruch ten jest okresowy, wystarczy więc ograniczyć zbiór wartości parametru <math>t</math> do przedziału <math>[0, 2\pi]</math>. Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych
<center><math>v(t)=\big(\frac{d}{dt} x(t) , \frac{d}{dt}y(t)\big) =(-a \sin t, b\cos t)</math></center>

Długość wektora prędkości <math>v(t)</math> jest pierwiastkiem z
sumy kwadratów składowych tego wektora:
<center><math>|v(t)|=\sqrt{a^2 \sin^2 t+b^2\cos^2 t}=\sqrt{(a^2-b^2) \sin^2 t+b^2}</math></center>

i jest największa wówczas, gdy funkcja <math>t\mapsto \sin^2 t</math>
przyjmuje wartość największą (równą jedności), a więc w przedziale
<math>0\leq t\leq 2\pi</math> w chwili <math>t=\frac{\pi}{2}</math> oraz
<math>t=\frac{3\pi}{2}</math>, tj. w punktach <math>(0,b)</math> oraz <math>(0, -b)</math> elipsy.
Z kolei prędkość <math>|v(t)|</math> jest najmniejsza wówczas, gdy funkcja
<math>t\mapsto \sin^2 t</math> osiąga wartość najmniejszą (równą zeru). W
przedziale <math>0\leq t\leq 2\pi</math> zachodzi to w chwili <math>t=0</math> oraz
<math>t=\pi</math>, co odpowiada położeniu  w punktach <math>(a,0)</math> oraz <math>(-a,0)</math>.
Rozwiązanie zadania jest intuicyjnie oczywiste: chcąc bezpiecznie
pokonać ostrzejszy zakręt, musimy zwolnić. Na łagodnym łuku (na
łuku o małej krzywiźnie) można przyśpieszyć.
}}

{{przyklad|7.4.||
Rozważmy ruch punktu materialnego
opisany równaniami:
<center><math>\left\{\begin{align} x(t)=\cos^3 t\\ y(t)= \sin^3 t\end{align} \right.</math>.</center>
Punkt ten porusza się po krzywej zwanej '''''asteroidą''''' o równaniu <center><math>|x|^\frac{2}{3}+|y|^\frac{2}{3}=1</math>,</center>
gdyż (na mocy jedynki trygonometrycznej) mamy równość <math>|x(t)|^\frac{2}{3}+|y(t)|^\frac{2}{3}=\cos^2 t+\sin^2 t=1</math>.
Prędkość w tym ruchu jest wektorem o dwóch składowych
<center><math>v(t)=\big(\frac{d}{dt} x(t) , \frac{d}{dt}y(t)\big) =(-3\cos^2 t \sin t, 3\sin^2 t\cos t)</math></center>

Długość wektora prędkości <math>v(t)</math> jest pierwiastkiem z sumy
kwadratów jego składowych:
<center><math>\begin{align} |v(t)|&=\sqrt{9\cos^4 t\sin^2 t+9\sin^4 \cos^2t}\\
&=\sqrt{9\cos^2 t\sin^2 t(\cos^2 t+\sin^2 t)}=3|\cos t\sin
t|=\frac{3}{2}|\sin 2t|.\end{align}</math></center>

Podobnie jak w poprzednim przykładzie ruch ten jest
okresowy o okresie <math>2\pi</math>, wystarczy więc zbadać go w przedziale
<math>0\leq t\leq 2\pi</math>. Zauważmy, że w opisanym ruchu prędkość jest
największa wówczas, gdy <math>t\mapsto |\sin 2t|</math> przyjmuje największą
wartość (równą jedności), co w przedziale <math>0\leq t\leq 2\pi</math> ma
miejsce w czterech chwilach: gdy <math>t=\frac{\pi}{4}</math>,
<math>t=\frac{3\pi}{4}</math>, <math>t=\frac{5\pi}{4}</math>, <math>t=\frac{7\pi}{4}</math>. Punkt
materialny znajduje się wówczas w jednym z punktów <math>(a,a)</math>,
<math>(-a,a)</math>, <math>(-a,-a)</math>, <math>(a, -a)</math>, gdzie <math>a=\frac{1}{2\sqrt{2}}</math>,
które -- jak nietrudno zauważyć -- leżą w środku łagodnego łuku
asteroidy. Z kolei w chwili <math>t=0</math>, <math>t=\frac{\pi}{2}</math>, <math>t={\pi}</math>,
<math>t=\frac{3\pi}{2}</math> funkcja <math>t\mapsto |\sin 2t|</math> osiąga wartość
najmniejszą równą zeru. Punkt materialny znajduje się wówczas w
jednym z ostrzy asteroidy: w punkcie <math>(1,0)</math>, <math>(0,1)</math>, <math>(-1,0)</math>
lub <math>(0, -1)</math>. Zerowa  prędkość punktu w tych położeniach jest
również intuicyjnie oczywista: chcąc gładko pokonać tak ostry
zakręt, na którym wręcz trzeba zawrócić, należy się na chwilę
zatrzymać. }}

W ramach kursu Analizy matematycznej I określiliśmy  pojęcie
pochodnej w punkcie <math>a</math> funkcji <math>f</math> jednej zmiennej o wartościach
rzeczywistych,  a na początku tego wykładu rozszerzyliśmy pojęcie
pochodnej na przypadek funkcji jednej zmiennej o wartościach w
dowolnej przestrzeni wektorowej <math>Y</math> za pomocą granicy ilorazu
różnicowego
<center><math>\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>,</center>
którą (o ile istnieje) oznaczamy symbolem <math>f'(x_0)</math> lub <math>\frac{d}{dt}f(x_0)</math>.
Zwróćmy uwagę, że w przypadku, gdy funkcja <math>f:\mathbb{R}\supset
(a,b)\mapsto Y</math> osiąga wartości w przestrzeni wektorowej <math>Y</math>,
pochodna <math>f'(x_0)\in Y</math> jest wektorem.

==Różniczka zupełna==

{{uwaga|7.5.||
Funkcja <math>f: (a,b)\mapsto Y</math> o wartościach w przestrzeni
unormowanej <math>Y</math> ma pochodną w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math> wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje wektor <math>y_0\in Y</math> taki, że
<math>\|f(x_0+h)-f(x_0)-hy_0\|=o(|h|)</math>, czyli <center><math>\lim_{h\to
0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}=0</math>.</center>
}}

{{dowod|7.5.||
Jeśli iloraz różnicowy <center><math>\lim_{h\to 0}
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math></center>
zmierza do <math>f'(a)\in Y</math> w normie przestrzeni <math>Y</math>, to <center><math>\left\|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)\right\|\to 0, \text{ gdy } h\to
0</math>,</center>
czyli <center><math>\lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h
y_0\|_Y}{|h|}=0</math>,</center>
gdy  <math>y_0=f'(x_0 )</math>. Z kolei z istnienia
wektora <math>y_0\in Y</math> takiego, że istnieje
<center><math>\lim_{h\to 0}\frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-h y_0\|_Y}{|h|}= 0</math></center>
wynika, że istnieje granica ilorazu różnicowego
<center><math>\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>,</center>
i jest równa <math>y_0</math>, a więc <math>f'(x_0)=y_0</math>, gdyż ciąg zbieżny w przestrzeni unormowanej ma granicę określoną jednoznacznie. }}

Zauważmy, że funkcja <center><math>\mathbb{R} \ni h\mapsto h y_0\in Y</math></center>
jest liniowa.
Spostrzeżenie to prowadzi do uogólnienia  pojęcia pochodnej
funkcji jednej zmiennej na przypadek funkcji określonej na
przestrzeni unormowanej <math>X</math> o wartościach w przestrzeni
unormowanej <math>Y</math>.

Niech <math>X</math> oraz <math>Y</math> będą przestrzeniami Banacha, tj. zupełnymi
przestrzeniami unormowanymi z normami odpowiednio <math>\|\cdot\|_X</math>
oraz <math>\|\cdot\|_Y</math>. Niech <math>U</math> będzie podzbiorem otwartym
przestrzeni <math>X</math>.

{{definicja|7.6.||
Mówimy, że funkcja <math>f: U\mapsto Y</math> jest '''''różniczkowalna w sensie Frecheta''''' w punkcie <math>a\in U</math> (lub krótko: jest '''''różniczkowalna''''' w punkcie <math>a</math>), jeśli istnieje odwzorowanie <math>L</math> liniowe i ciągłe przestrzeni <math>X</math> w <math>Y</math> takie, że
<math>\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}=o(\|h\|_X)</math>, to znaczy
<center><math>\frac{\|f(a+h)-f(a)-L(h)\|_{Y}}{\|h\|_X}\to 0, \text{ gdy }\to
0</math>.</center>
Odwzorowanie liniowe i ciągłe <math>L</math> nazywamy '''''różniczką zupełną''''' (lub '''''różniczką (w sensie) Frecheta''''', bądź '''''pochodną (w sensie) Frecheta''''') funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math> i oznaczamy symbolem <math>d_a f</math> bądź <math>f'(a)</math>. Wartość różniczki funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math> na wektorze <math>h\in X</math> oznaczamy symbolem <math>d_a f(h)</math> lub <math>d_a f.h</math> albo też <math>f'(a).h</math>

}}

Do tej pory studiując odwzorowania liniowe w ramach algebry
liniowej z geometrią w przypadku skończenie wymiarowym,
przywykliśmy do faktu, że

{{uwaga|7.7.||
Każde odwzorowanie liniowe <math>f:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m</math> określone na przestrzeni o skończonym wymiarze jest ciągłe. }}

Może więc zastanawiać żądanie ciągłości odwzorowania liniowego <math>L</math>
w definicji różniczki Frecheta. Zanim podamy przykład
odwzorowania liniowego, które nie jest ciągłe, sformułujemy
warunki równoważne ciągłości odwzorowania liniowego.

{{uwaga|7.8.||
Niech <math>X,Y</math> będą przestrzeniami unormowanymi. Niech <math>L:
X\mapsto Y</math> będzie odwzorowaniem liniowym (tj. addytywnym i
jednorodnym). Następujące warunki są równoważne

1) <math>L</math> jest ciągłe,

2) <math>L</math> jest ciągłe w zerze,

3) <math>L</math> jest ograniczone, tzn. <math>\sup_{x\neq 0}\frac{\|L x\|}{\|x\|}
<\infty</math>.}}

Wobec tych uwag przykład odwzorowania liniowego, które nie jest
ciągłe, musimy podać na przestrzeni unormowanej o nieskończonym
wymiarze.

{{przyklad|7.9.||
Zbiór <math>X</math> wszystkich funkcji ciągłych określonych na
przedziale domkniętym <math>[0,1]</math> o wartościach w <math>\mathbb{R}</math> z normą
<center><math>\|x\|=\sup \{|x(t)|, t\in [0,1]\}</math></center>
stanowi przestrzeń Banacha, gdyż
jest przestrzenią unormowaną z normą <math>\|\cdot \|</math>  (co łatwo
sprawdzić) i jest zupełna, ponieważ granica  (w podanej normie)
ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.    Rozważmy
odwzorowanie <math>L: f\mapsto f'</math>, które funkcji ciągłej <math>f</math> i
różniczkowalnej w <math>X</math> przyporządkowuje jej pochodną <math>f'</math>. Z
własności pochodnej wynika, że odwzorowanie <math>L</math> jest

-- addytywne, tj. <math>L(f_1+f_2)=Lf_1 +Lf_2</math>, dla dowolnych funkcji
różniczkowalnych <math>f_1</math>, <math>f_2</math>,

-- jednorodne, tj. <math>L(\lambda f)=\lambda L(f)</math>, dla dowolnej
funkcji różniczkowalnej  <math>f</math> i stałej <math>\lambda</math>,

jest więc liniowe. Nie jest jednak ciągłe, gdyż nie jest
ograniczone. Weźmy  na przykład ciąg jednomianów <math>x^n</math>:

<center><math>\forall n\in \mathbb{N} : \|x^n\|=1</math>.</center>

Jednomiany te mają normę ograniczoną z góry przez <math>1</math>. Gdyby
odwzorowanie <math>L</math> było ciągłe, normy <math>L(x^n )</math> byłyby ograniczone,
lecz nie są gdyż <center><math>\|L(x^n)\|=\|nx^{n-1}\|=n\to\infty, \text{ gdy }n\to\infty</math>.</center>
Wynika stąd, że <math>L: f\mapsto f'</math> nie jest
ograniczone. Nie jest więc ciągłe, mimo że jest liniowe.

}}

Kolejne twierdzenie podaje podstawowe własności różniczki
Frecheta.

{{twierdzenie|7.10.||
Niech <math>X, Y</math> będą przestrzeniami Banacha.

a) Odwzorowanie afiniczne <center><math>F: X\ni x\mapsto x_0 +\Lambda(x)\in Y,
\ \text{ gdzie } \Lambda \in L(X,Y)</math>,</center>
jest różniczkowalne w
sensie Frecheta w dowolnym punkcie <math>x\in X</math>, a jego różniczką w
każdym punkcie jest cześć liniowa odwzorowania afinicznego <math>F</math>,
tzn.
<center><math>\forall x\in X \ \exists d_x F=\Lambda</math>.</center>

W szczególności różniczka odwzorowania liniowego i ciągłego jest
tym samym odwzorowaniem:
<center><math>d_x \Lambda =\Lambda, \ \Lambda \in L(X, Y)</math>.</center>

b) Zestawienie funkcji <center><math>F: X\ni x\mapsto F(x)=\big(f_1(x),
f_2(x)\big)\in Y_1\times Y_2</math></center>
jest różniczkowalne w punkcie
<math>a\in X</math> wtedy i tylko wtedy, gdy różniczkowalne w punkcie <math>a</math> są
składowe <math>f_1: X\mapsto Y_1</math> oraz <math>f_2: X\mapsto Y_2</math>. Zachodzi
wówczas równość
<center><math>d_a F=(d_a f_1, d_a f_2)</math>.</center>

Innymi słowy różniczka zestawienia funkcji jest zestawieniem
różniczek składowych odwzorowania. W szczególnym przypadku,  gdy
<center><math>F: X\ni x\mapsto \big(f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)\big)\in \mathbb{R}^n</math>,</center>
mamy
równość
<center><math>d_a F=(d_a f_1, d_a f_2, \dots, d_a f_n)</math>.</center>

c) Suma funkcji różniczkowalnych <math>f: X\mapsto Y</math>, <math>g:X\mapsto Y</math> w
punkcie <math>a</math> jest funkcją różniczkowalną. Różniczką sumy jest suma
różniczek, tzn.
<center><math>d_a(f+g)=d_a f+d_a g</math>.</center>

d) Iloczyn stałej <math>C</math> i funkcji różniczkowalnej <math>f: X\mapsto Y</math> w
punkcie <math>a\in X</math> jest funkcją różniczkowalną w tym punkcie, przy
czym
<center><math>d_a (C\,f)=C \, d_a f</math>.</center>

Innymi słowy, stałą można wyłączyć przed różniczkę.

e) Jeśli funkcja <math>f: X\mapsto Y</math> jest różniczkowalna w sensie
Frecheta w punkcie <math>a</math>, to w tym punkcie jest ciągła.

}}

{{dowod|7.10.||
Podane własności różniczki wynikają bezpośrednio z definicji.
Szczegółowe uzasadnienia pomijamy. }}

Kolejne twierdzenie dotyczy istnienia różniczki złożenia funkcji.

{{twierdzenie|7.11.||
Niech <math>X, Y, Z</math> będą przestrzeniami Banacha. Jeśli funkcja <math>f: X\mapsto Y</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>a</math>, a funkcja <math>g:Y\mapsto Y</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>f(a)</math>, to złożenie <math>g\circ f : X\mapsto Z</math> jest różniczkowalne w punkcie <math>a</math> i zachodzi równość: <center><math>d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a f</math>.</center>
Innymi słowy, różniczka złożenia funkcji jest złożeniem ich różniczek.}}

{{dowod|7.11.||
Funkcja <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>a</math>, a funkcja <math>g</math>
-- w punkcie <math>y=f(a)</math>, więc
<center><math>\begin{align} &\|f(a+h)-f(a)-d_a f(h)\|_Y&=o(\|h\|_X)\\
&\|g(y+k)-g(y)-d_y g(k)\|_Z&=o(\|k\|_Y).
\end{align}
</math></center>

Stąd wobec ograniczoności różniczek <math>d_a f</math> oraz <math>d_y g</math>
dostajemy
<center><math>\|g(f(a+h))-g(f(a))-(d_y g\circ d_a f)(h)\|_Z=o(\|h\|_X), \text{ gdzie }y=f(a)</math>,</center>
co dowodzi różniczkowalności złożenia <math>g\circ f</math>
w punkcie <math>a</math> oraz równości <math>d_a (g\circ f)=d_{f(a)}g \circ d_a
f</math>. Szczegółowe przekształcenia pomijamy (można je znaleźć np. w
podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy,
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977).

}}

Ważnym twierdzeniem w teorii różniczki Frecheta jest twierdzenie
o różniczce odwzorowania odwrotnego.

{{twierdzenie|7.12.||
Niech <math>f:X\supset U\ni x\mapsto f(x) \in Y</math> będzie funkcją
określoną na otwartym podzbiorze <math>U</math> przestrzeni Banacha <math>X</math> o wartościach w przestrzeni Banacha <math>Y</math>. 
Jeśli w pewnym otoczeniu <math>U_1</math> punktu <math>a\in X</math> funkcja <math>f</math> ma ciągłą różniczkę <center><math>U_1\ni x\mapsto d_x f\in L(X, Y)</math></center> 
oraz różniczka <math>d_a f\in L(X,Y)</math> jest izomorfizmem przestrzeni <math>X</math> i <math>Y</math>, to

1) w pewnym otoczeniu <math>U_2\subset U_1</math> punktu <math>a</math> funkcja <math>f:
U_2\mapsto Y</math> jest różnowartościowa;

2) funkcja odwrotna <math>g: Y\supset f(U_2)\mapsto U_2\subset X</math> do
funkcji <math>f</math> (zacieśnionej do zbioru <math>U_2</math>) jest ciągła;

3) funkcja odwrotna <math>g</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>f(a)</math> i zachodzi równość <center><math>d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1}</math>.</center>
Innymi słowy, różniczka funkcji odwrotnej jest odwrotnością różniczki.

}}

{{dowod|7.12.||
(szkic) Szczegóły dowodu (które pomijamy) można znaleźć np. w
podręczniku  Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy,
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977. Zauważmy, że
jeśli funkcja <math>g</math> jest odwrotna do <math>f</math>, to złożenie <math>g(f(x))=x</math>,
dla każdego <math>x\in X</math>, tzn.  <math>g\circ f: X \mapsto X</math> jest
identycznością na przestrzeni <math>X</math>. Ponieważ <math>\mathrm{id}\,: X\mapsto X</math>
odwzorowaniem liniowym i ciągłym, więc jest różniczkowalne i jego różniczką jest <math>\mathrm{id}\ </math>,. Stąd na mocy twierdzenia o różniczce złożenia mamy 
<center><math>d_{f(a)}g\circ d_a f = d_a (g\circ f)=d_a\mathrm{id}\, =\mathrm{id}\ </math>,.</center>
Wobec założenia o izomorficzności <math>d_a f\in L(X,Y)</math>
istnieje odwzorowanie odwrotne <math>(d_a f)^{-1} \in L(Y,X)</math>, które
jest różniczką funkcji odwrotnej <math>g</math> w punkcie <math>f(a)</math>, czyli <math>d_{f(a)}g=(d_a f)^{-1}</math>. }}

Twierdzenie, które sformułowaliśmy, nazywa się '''''twierdzeniem o lokalnej odwracalności odwzorowania''''' lub '''''twierdzeniem o lokalnym dyfeomorfizmie'''''.

==Wyrażenie różniczki Frecheta za pomocą pochodnych cząstkowych==

W poprzednim module zdefiniowaliśmy pochodną kierunkową
funkcji <math>f:X\mapsto \mathbb{R}</math> w punkcie <math>a</math> w kierunku <math>v\neq 0</math>.
Możemy tę samą definicję powtórzyć również w przypadku funkcji
<math>f:X\mapsto Y</math>, w przypadku, gdy zbiorem wartości funkcji
<math>f:X\mapsto Y</math>, jest dowolna przestrzeń unormowana <math>Y</math>:
<center><math>\partial_v f(a)=\lim_{t\to 0}\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}</math>,</center>

gdzie <math>t\in \mathbb{R}</math>, a zbieżność ilorazów różnicowych do granicy
<math>\partial_v f(a)\in Y</math> przy <math>t\to 0</math> rozumiemy w sensie zbieżności
w normie przestrzeni <math>Y</math>.

{{uwaga|7.13.||
Niech <math>v\in X</math> będzie dowolnym wektorem jednostkowym z
przestrzeni <math>X</math>, tzn. <math>\|v\|=1</math>. Jeśli funkcja <math>f: X\mapsto Y</math>
jest różniczkowalna w sensie Frecheta w punkcie <math>a</math>, to istnieje
pochodna kierunkowa <math>\partial_v f(a)</math> w dowolnym kierunku <math>v</math>,
przy czym zachodzi równość <center><math>\partial_v f(a)=d_a f(v) \text{ dla }
\|v\|=1</math>.</center>
Ponadto funkcja <math>v\mapsto \partial_v f(a)</math> jest liniowa i ciągła. }}

{{dowod|7.13.||
Skoro <center><math>\frac{\|f(a+h)-f(a)-d_a f
(h)\|}{\|h\|}\to 0, \text{ przy }\|h\|\to 0</math>,</center>
więc w szczególności dla <math>h=tv</math> mamy <center><math>\frac{\|f(a+tv)-f(a)-d_a f
(tv)\|}{\|tv\|}\to 0</math>.</center>
Wobec liniowości różniczki <math>d_a f(tv)=t
d_a f(v)</math> oraz faktu, że <math>\|tv \|=|t|</math>, mamy
<center><math>\bigg\|\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}-d_a f (v)\bigg\|\to 0</math>,</center>
czyli iloraz różnicowy <math>\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}</math> zmierza przy <math>t\to 0</math> do granicy <math>d_a f(v)</math>, więc istnieje pochodna kierunkowa <math>\partial_v f(a)</math> i jest równa wartości różniczki zupełnej funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math> na wektorze <math>v</math>. Stąd funkcja <math>v\mapsto \partial_v f(a)=d_a f (v)</math> jest liniowa i ciągła.}}

{{uwaga|7.14.||
Niech <math>f:X\mapsto Y</math> będzie funkcją różniczkowalną w punkcie
<math>a\in X</math>. Wówczas <math>d_a f=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się
pochodna kierunkowa <math>\partial_v f(a)=0</math> w dowolnym kierunku. }}

Powstaje pytanie o istnienie różniczki Frecheta funkcji <math>f:
X\mapsto Y</math> w punkcie, w którym istnieją pochodne kierunkowe
w dowolnym kierunku. Negatywną odpowiedź na to pytanie podaje

{{przyklad|7.15.||
Funkcja <math>f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^3}</math> ma w punkcie <math>0\in
\mathbb{R}^2</math> pochodne kierunkowe <math>\partial_v f(0)</math> w dowolnym kierunku
<math>\|v\|=1</math>, nie jest jednak różniczkowalna w sensie Frecheta w
tym punkcie. Zauważmy, że dowolny wektor <math>\|v\|=1</math> można na
płaszczyźnie <math>\mathbb{R}^2</math> jednoznacznie przedstawić w postaci
<math>v=(\cos\varphi, \sin\varphi)</math>, gdzie <math>0\leq \varphi <2\pi</math>. Stąd
<math>\lim_{t\to
0}\frac{f(0+tv)-f(0)}{t}=\sqrt{\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}</math>.
Jednak funkcja <math>v\mapsto \partial_v f(0)</math> nie jest liniowa. }}

{{przyklad|7.16.||
Funkcja <center><math>f(x,y)=\left\{\begin{align} \frac{x^2 y}{x^2+y^2},
\text{ dla } (x,y)\neq 0\\ 0, \text{ dla } (x,y)=0\end{align}
\right.</math>.</center>
ma w punkcie <math>0</math> pochodną kierunkową w każdym kierunku, nie ma jednak różniczki Frecheta w tym punkcie.}}

Z praktycznego punktu widzenia w zastosowaniach najważniejsza jest
możliwość wyrażenia różniczki w sensie Frecheta za pomocą
pochodnych cząstkowych.

{{twierdzenie|7.17.||
Niech <math>f=(f_1, f_2, \dots, f_m):\mathbb{R}^n \supset U\mapsto
\mathbb{R}^m</math> będzie funkcją różniczkowalną w sensie Frecheta w punkcie
<math>a\in U</math>. Istnieją wówczas pochodne cząstkowe

<center><math>\begin{align} &\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a), &\frac{\partial f_1}{\partial
x_2}(a), &\dots, &\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\
&\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a), &\frac{\partial
f_2}{\partial
x_2}(a), &\dots, &\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a)\\
&\vdots &\vdots \quad &\dots &\vdots\\
&\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a), &\frac{\partial
f_m}{\partial x_2}(a), &\dots, &\frac{\partial f_m}{\partial
x_n}(a)\end{align}</math></center>

i są one wyrazami macierzy odwzorowania liniowego <math>d_a
f\in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)</math> w bazie kanonicznej, to znaczy, dla
dowolnego wektora <math>h\in \mathbb{R}^n</math> wartość <math>d_a f(h)</math> odwzorowania
<math>d_a f</math> na wektorze <math>h</math> jest wektorem z <math>\mathbb{R}^m</math> o współrzędnych
<center><math>\bigg(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) h_j,
\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a)
h_j,\dots, \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_m}{\partial x_j}(a)
h_j\bigg)</math>.</center>

}}

{{dowod|7.17.||
Wykazaliśmy, że zachodzi równość <math>\partial_v
f(a)=d_a f (v)</math>. Ponieważ <math>d_a f =(d_a f_1, d_a f_2, \dots, d_a
f_m)</math>, więc wystarczy wykazać twierdzenie dla składowych
odwzorowania <math>f</math>, tj. dla funkcji <math>f_i: \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}</math>. W
dalszym ciągu dowodu będziemy pomijać indeks dolny <math>i</math>,
zakładając, że <math>f_i=f</math> jest funkcją o wartościach w zbiorze liczb
rzeczywistych. Dla dowolnego wektora <math>e_i</math>, <math>i=1,2,\dots, n</math> bazy
kanonicznej przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math> mamy (z definicji pochodnej
cząstkowej) równość <math>\partial_{e_i} f(a)=\frac{\partial
f}{\partial x_i}(a)</math>, więc dla dowolnego wektora
<math>h=h_1e_1+h_2e_2+\dots+h_ne_n</math> mamy
<center><math>\begin{align} d_a f(h)&=d_a
f(h_1e_1+h_2e_2+\dots+h_ne_n)\\ &=h_1 d_a f(e_1)+h_2 d_a
f(e_2)+\dots+h_n d_a f(e_n)\\
&=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+h_2\frac{\partial
f}{\partial x_2}(a)+\dots+h_n\frac{\partial f}{\partial
x_n}(a).\end{align}</math></center>

}}

{{uwaga|7.18.||
W ramach kursu algebry liniowej zwykliśmy zapisywać wektory
<math>h=(h_1, h_2, \dots, h_n)\in \mathbb{R}^n</math> w postaci macierzy kolumnowej:
<center><math>\left[\begin{array}{r} h_1\\h_2\\\vdots\\h_n\end{array} \right]</math>.</center>

Jeśli w taki sam sposób zapiszemy również zestawienie różniczek
funkcji <math>f=(f_1, f_2, \dots, f_m)</math>:
<center><math>\left[\begin{array}{r}  d_a f_1\\d_a f_2\\\vdots\\d_a f_m\end{array} \right]</math>,</center>

to macierz pochodnych cząstkowych <math>\frac{\partial f_i}{\partial
x_j}(a)</math>, <math>i=1,2,\dots, m</math>, <math>j=1,2,\dots, n</math>, powinniśmy zapisać
następująco:
<center><math>
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial
x_n}(a)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial
x_n}(a)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial
x_n}(a)
\end{array}
\right]</math>,</center>

aby móc stosować algorytm mnożenia (składania) macierzy:
<center><math>
\left[\begin{array}{r}  d_a f_1\\d_a f_2\\\vdots\\d_a
f_m\end{array} \right]=
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial
x_n}(a)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial
x_n}(a)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial
x_n}(a)
\end{array}
\right]\, \left[\begin{array}{r} 
h_1\\h_2\\\vdots\\h_n\end{array} \right]</math>,</center>

który w tym przypadku prowadzi do uzyskanego przez nas wzoru:
<center><math>\begin{align} d_a f_i(h)&=\frac{\partial f_i}{\partial x_1}(a)h_1+\frac{\partial f_i}{\partial
x_2}(a)h_2+\dots+\frac{\partial f_i}{\partial
x_n}(a)h_n\\
&=\sum_{k=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(a)h_k,
\end{align}</math></center>

gdzie <math>i=1,2,\dots, m</math>.

}}

{{definicja|7.19.||
Macierz <math>\left[\frac{\partial f_i }{\partial x_j}(a)\right]</math>,
<math>i=1,2,\dots, m</math>, <math>j=1,2,\dots, n</math>, tj. macierz
<center><math>
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial
x_n}(a)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial
x_n}(a)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial
x_n}(a)
\end{array}
\right]</math>,</center>

nazywamy '''''macierzą Jacobiego''''' funkcji (odwzorowania)
<math>f:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m</math> w punkcie <math>a\in\mathbb{R}^n</math>. Zwróćmy uwagę, że
macierz Jacobiego jest macierzą prostokątną o <math>n</math> kolumnach i <math>m</math>
wierszach. W szczególnym przypadku, gdy <math>n=m</math> (tj: <math>f:
\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^n</math>) możemy policzyć '''''wyznacznik macierzy
Jacobiego'''''
<center><math>\text{jac}_a f: =\det
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial
x_n}(a)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial
x_n}(a)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial
x_n}(a)
\end{array}
\right]</math>,</center>

który nazywamy '''''jakobianem''''' funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math> i
oznaczamy symbolami <math>\text{jac}_a f</math>, <math>\text{jac} f(a)</math>, <math>J_a f</math>,
<math>|f'(a)|</math>, <math>|d_a f|</math> lub <math>\det d_a f</math>.

}}

{{uwaga|7.20.||
Autorzy podręczników używają wielu różnych (często
niejednolitych) oznaczeń na oznaczenie macierzy Jacobiego i
jakobianu. Pamiętajmy jednak, że jakobian jest liczbą 
równą wyznacznikowi macierzy  Jacobiego, tj. macierzy
pochodnych cząstkowych funkcji <math>f:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^n</math>. }}

Kolejny wniosek dotyczy wyrażenia różniczki złożenia dwóch
funkcji. Jest bardzo często wykorzystywany w praktycznych
obliczeniach

{{wniosek|7.21.||
Niech <math>f=(f_1, f_2, \dots, f_m): \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m</math> będzie
funkcją różniczkowalną w punkcie <math>a\in \mathbb{R}^n</math> i niech <math>g=(g_1,
g_2, \dots, g_k) : \mathbb{R}^m\mapsto \mathbb{R}^k</math> będzie funkcją
różniczkowalną w punkcie <math>f(a)</math>. Wiemy już, że istnieje różniczka
złożenia <math>g\circ f: \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^k</math> w punkcie <math>a</math> i jest
złożeniem różniczek <math>d_{f(a)}g</math> oraz <math>d_a f</math>. Różniczkę <math>d_a f</math>
reprezentuje macierz pochodnych cząstkowych:
<center><math>
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial
x_n}(a)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial
x_n}(a)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial
x_n}(a)
\end{array}
\right]</math>,</center>

a różniczkę <math>d_{f(a)}g</math> macierz
<center><math>
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial g_1}{\partial x_1}(b) & \frac{\partial
g_1}{\partial x_2}(b) & \dots & \frac{\partial g_1}{\partial
x_n}(b)\\
\frac{\partial g_2}{\partial x_1}(b) & \frac{\partial
g_2}{\partial x_2}(b) & \dots & \frac{\partial g_2}{\partial
x_n}(b)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial g_m}{\partial x_1}(b) & \frac{\partial
g_m}{\partial x_2}(b) & \dots & \frac{\partial g_m}{\partial
x_n}(b)
\end{array}
\right]</math>,</center>

gdzie <math>b=f(a)</math>. Złożenie odwzorowań liniowych <math>d_{f(a)}g\circ d_a
f</math> reprezentuje iloczyn podanych macierzy:
<center><math>
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial g_1}{\partial x_1}(b) & \frac{\partial
g_1}{\partial x_2}(b) & \dots & \frac{\partial g_1}{\partial
x_n}(b)\\
\frac{\partial g_2}{\partial x_1}(b) & \frac{\partial
g_2}{\partial x_2}(b) & \dots & \frac{\partial g_2}{\partial
x_n}(b)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial g_m}{\partial x_1}(b) & \frac{\partial
g_m}{\partial x_2}(b) & \dots & \frac{\partial g_m}{\partial
x_n}(b)
\end{array}
\right]</math>,</center>

<br>
<center><math>
\left[
\begin{array}{rrrr} 
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_1}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial
x_n}(a)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_2}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial
x_n}(a)\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial
f_m}{\partial x_2}(a) & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial
x_n}(a)
\end{array}
\right]</math>,</center>

Stąd pochodną cząstkową <math>i</math>-tej składowej złożenia <math>g\circ f</math> wyraża suma 
<center><math>\frac{\partial (g\circ f)_i}{\partial
x_j}(a)=\sum_{r=1}^m \frac{\partial g_i}{\partial y_r} (f(a))\cdot
\frac{\partial f_r}{\partial x_j}(a)</math>.</center>

}}

{{uwaga|7.22.||
Otrzymany wzór na pochodne cząstkowe złożenia często zapisuje
się bez wyszczególniania argumentów w postaci
<center><math>\frac{\partial (g\circ f)_i}{\partial
x_j}=\sum_{r=1}^m \bigg(\frac{\partial g_i}{\partial y_r}\circ
f\bigg)\cdot \frac{\partial f_r}{\partial x_j}</math>.</center>
Czasem też wzór
ten upraszcza się (gdy nie ma obawy nieporozumienia)
<center><math>\frac{\partial g_i}{\partial
x_j}=\sum_{r=1}^m \frac{\partial g_i}{\partial y_r} \cdot
\frac{\partial f_r}{\partial x_j}</math>.</center>
lub jeszcze prościej
<center><math>\frac{\partial g_i}{\partial
x_j}=\sum_{r=1}^m \frac{\partial g_i}{\partial y_r} \cdot
\frac{\partial y_r}{\partial x_j}</math>,</center>
gdzie przez <math>y=(y_1, \dots,
y_r, \dots, y_m)</math> rozumie się zmienną niezależną (po której
różniczkuje się funkcję <math>g_i</math> w pierwszym czynniku), a
równocześnie <math>(y_1, \dots, y_r, \dots, y_m)=f</math> oznacza składowe
funkcji <math>f</math>.
}}

{{uwaga|7.23.||
W wielu klasycznych podręcznikach symbolem <math>dx_i : \mathbb{R}^n \ni
(x_1, x_2, \dots, x_i, \dots, x_n)\mapsto x_i\in \mathbb{R}</math> oznacza się
rzutowanie na <math>i</math>-tą współrzędną. Zwróćmy uwagę, że każde z
rzutowań <math>dx_1, dx_2, \dots, dx_n</math> jest odwzorowaniem liniowym i
ciągłym z <math>\mathbb{R}^n</math> do <math>\mathbb{R}</math>. Wobec tego zamiast przedstawiać
wartość różniczki na wektorze <math>h=(h_1, h_2, \dots, h_n)</math> za pomocą sumy <center><math>d_a f(h)=h_1\frac{\partial f(a)}{\partial
x_1}+h_2\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}+\dots+h_n\frac{\partial
f(a)}{\partial x_n}</math></center>
możemy zapisać bezargumentowo jako
kombinację liniową rzutowań <math>dx_i</math> o współczynnikach liczbowych
<math>\frac{\partial f(a)}{\partial x_i}</math>, czyli
<center><math>d_a f=\frac{\partial f(a)}{\partial
x_1}dx_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}dx_2
+\dots+\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}dx_n</math>.</center>
Wówczas wartość
różniczki <math>d_a f</math> na wektorze <math>h=(h_1, h_2, \dots, h_n)</math> wyraża
się tym samym wzorem, co poprzednio:
<center><math>\begin{align}
d_a f(h) &=\bigg(\frac{\partial f(a)}{\partial
x_1}dx_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2}dx_2
+\dots+\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}dx\bigg)(h)\\
&=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}dx_1(h)+\frac{\partial
f(a)}{\partial x_2}dx_2(h) +\dots+\frac{\partial f(a)}{\partial
x_n}dx_n(h)\\
&=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1 } h_1+\frac{\partial
f(a)}{\partial x_2 } h_2 + \dots + \frac{\partial f(a)}{\partial
x_n} h_n .\end{align}</math></center>

}}

{{wniosek|7.24.||
Jeśli <math>f : \mathbb{R}^n \supset U\mapsto \mathbb{R}</math> jest funkcją
różniczkowalną w punkcie <math>a\in U</math>, to dla dowolnego wektora <math>h\in
\mathbb{R}^n</math> wartość różniczki <math>d_a f</math> na wektorze <math>h</math> jest iloczynem
skalarnym gradientu <math>\mathrm{grad}\, f(a)</math> funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math> i wektora <math>h</math>, tj. 
<center><math>d_a f(h)=(\mathrm{grad}\, f(a) | h)=\frac{\partial
f(a)}{\partial x_1 } h_1+\frac{\partial f(a)}{\partial x_2 } h_2 +
\dots + \frac{\partial f(a)}{\partial x_n} h_n</math>,</center>
gdzie <math>(x |
y)=x_1 y_1+x_2y_2+\dots+x_n y_n</math> oznacza iloczyn skalarny wektorów
<math>x=(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> i <math>y=(y_1, y_2, \dots, y_n)</math> w
przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>. }}

Ponieważ iloczyn skalarny wektorów <math>x</math> oraz <math>y</math> oznacza się
także często za pomocą kropki: <math>x.y</math> albo <math>x\cdot y</math>, stąd wartość
różniczki <math>d_a f</math> funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math> na wektorze <math>h</math>
oznacza się też czasem symbolem: <math>d_a f.h</math> zamiast <math>d_a f(h)</math>.

Pamiętamy, że dla dowolnych wektorów <math>x=(x_1, x_2, \dots,
x_n)</math> oraz <math>y=(y_1, y_2, \dots, y_n)</math> zachodzi '''''nierówność Schwarza''''': 
<center><math>|(x|y)|\leq \|x\| \ \|y\|</math>,</center>
czyli
<center><math>|x_1 y_1+x_2y_2+\dots+x_n y_n|\leq
\sqrt{|x_1|^2+|x_2|^2+\dots+|x_n|^2} 
\sqrt{|y_1|^2+|y_2|^2+\dots+|y_n|^2}</math>,</center>
przy czym równość w tej
nierówności zachodzi wówczas, gdy wektory <math>x</math> oraz <math>y</math> są liniowo
zależne. Wnioskiem z nierówności Schwarza jest więc

{{uwaga|7.25.||
Niech <math>\|v\|=1</math> będzie wektorem o jednostkowej długości w <math>\mathbb{R}^n</math>. Pochodna kierunkowa <math>\partial_v f(a)</math> osiąga największą wartość (co do wartości bezwzględnej) w kierunku wektora gradientu.}}

{{dowod|7.25.||
Skoro <math>d_a f (v)=\partial_v f(a)</math> oraz <math>d_a f(v)=\sum_{k=1}^n
\frac{\partial f(a)}{\partial x_k}v_k=(\mathrm{grad}\, f(a) | v)</math>, więc
<math>\partial_v f(a)=(\mathrm{grad}\, f(a) | v)</math>. Stąd na mocy nierówności
Schwarza:
<center><math>|\partial_v f(a)|=|(\mathrm{grad}\, f (a) |v )|\leq \|\mathrm{grad}\,
f (a)\| \ \|v\|</math>,</center>
przy czym funkcja <math>S^{n-1}\supset v\mapsto
|\partial_v f (a)|</math> osiąga wartość największą na sferze jednostkowej <math>S^{n-1}=\{v\in \mathbb{R}^n: (v|v)=1\}</math>, gdy wektor <math>v</math> jest równoległy do wektora gradientu <math>\mathrm{grad}\, f(a)</math>. }}

Powstaje naturalne pytanie o warunki, jakie powinny spełniać
pochodne cząstkowe, aby istniała różniczka. Warunek taki podaje

{{twierdzenie|7.26.||
(twierdzenie o istnieniu różniczki) Niech <math>f=(f_1, f_2,
\dots, f_m ):\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}^m</math> będzie funkcją określoną w pewnym
otwartym otoczeniu <math>U\subset \mathbb{R}^n</math> punktu <math>\alpha</math>. Jeśli pochodne cząstkowe <math>\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\alpha)</math> istnieją i są ciągłe w otoczeniu punktu <math>\alpha</math>, to istnieje różniczka <math>d_\alpha f</math>.}}

Dowód twierdzenia pomijamy (można go znaleźć np. na stronie 175.
podręcznika Ryszarda Rudnickiego, Wykłady z analizy
matematycznej,  Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).

==Interpretacja geometryczna różniczki==

Pamiętamy, że jeśli funkcja jednej zmiennej <math>f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}</math>
jest różniczkowalna w punkcie <math>a</math>, to jej wykres ma styczną w
punkcie <math>(a, f(a))</math> o równaniu <math>y-f(a)=f'(a)(x-a)</math>. Innymi słowy
pochodna funkcji jednej zmiennej jest współczynnikiem kierunkowym
stycznej do wykresu funkcji w punkcie <math>(a, f(a))</math>.

{{uwaga|7.27.||
Jeśli <math>f:\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}</math> jest funkcją różniczkowalną w
sensie Frecheta w punkcie <math>(a,b)\in \mathbb{R}^2</math>, to powierzchnia o
równaniu <math>z=f(x,y)</math>, która jest wykresem funkcji <math>f</math>, ma
płaszczyznę styczną w punkcie <math>(a,b, f(a,b))</math> o równaniu
<center><math>z-f(a,b)=\frac{\partial f(a,b)}{\partial x}(x-a)+\frac{\partial f(a,b)}{\partial
y}(y-b)</math>.</center>

}}

{{przyklad|7.28.||
Płaszczyzna styczna do paraboloidy <center><math>P=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 :
z=x^2+y^2\}</math></center>
w punkcie <math>(a,b, a^2+b^2)\in P</math> ma równanie
<center><math>z-(a^2+b^2) = 2(x-a)+2(y-b)</math>.</center>
}}

==Różniczki wyższych rzędów==
[[grafika:Banach.jpg|thumb|right||Stefan Banach (1892-1945) <br>[[Biografia Banach|Zobacz biografię]]]]
Niech <math>X, Y</math> będą przestrzeniami Banacha i niech <math>f: U\mapsto Y</math>
będzie funkcją określoną na zbiorze otwartym <math>U\subset X</math>.
Załóżmy, że w każdym punkcie <math>a\in U</math> istnieje różniczka <math>d_a f\in
L(X,Y)</math>, która -- przypomnijmy -- jest odwzorowaniem liniowym i
ciągłym z <math>X</math> do <math>Y</math>.

{{definicja|7.29.||
Mówimy, że funkcja <math>f: U\mapsto Y</math> jest
dwukrotnie różniczkowalna w punkcie <math>a</math>, jeśli różniczkowalna jest
w punkcie <math>a</math> funkcja <math>d.  f: U\ni x\mapsto d_x f\in L(X, Y)</math>.
Różniczkę funkcji <math>d. f</math> w punkcie <math>a</math>, która jest elementem
przestrzeni <math>L(X, L(X, Y))</math>, nazywamy ''''' drugą różniczką
funkcji <math>f</math>''''' (lub '''''różniczką rzędu drugiego funkcji <math>f</math>''''') w
punkcie <math>a</math> i oznaczamy symbolem <math>d_a ^2 f</math>.

}}

{{uwaga|7.30.||
W ramach algebry liniowej dowodzi się,
że przestrzenie <math>L(X, L(X,Y))</math> oraz <math>L^2 (X,Y)</math> (czyli przestrzeń
odwzorowań dwuliniowych ciągłych na <math>X</math> o wartościach w <math>Y</math>) są
izomorficzne. Stąd też często mówimy, że różniczka rzędu drugiego
jest odwzorowaniem dwuliniowym ciągłym na <math>X</math> o wartościach w <math>Y</math>.
}}

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej,  nazwijmy
różniczką rzędu zerowego funkcji <math>f</math> samą funkcję <math>f</math>, tzn. <math>d^0
f=f</math>. Ponadto, aby uprościć zapis i wypowiedzi twierdzeń,
przyjmijmy, że <math>L^0 (X,Y):=Y</math>.

Załóżmy, że w każdym punkcie <math>a\in U</math> istnieje <math>d^k _a f</math>
różniczka rzędu <math>k</math> funkcji <math>f: U\mapsto Y</math>, <math>k\geq 0</math>, która jest
elementem przestrzeni <math>L^k (X, Y)</math> odwzorowań <math>k</math> liniowych
ciągłych na <math>X</math> o wartościach w przestrzeni <math>Y</math>.

{{definicja|7.31.||
Mówimy, że funkcja <math>f</math> jest <math>k+1</math>
krotnie różniczkowalna  w punkcie <math>a\in U</math>, jeśli w punkcie tym
różniczkowalna jest funkcja <math>d.^{k}f : U\ni x\mapsto d^{k}_x f\in
L^k (X, Y)</math>. Różniczkę funkcji <math>d.^k f</math> w punkcie <math>a</math>, która jest
elementem przestrzeni (izomorficznej w przestrzenią) <math>L(X, L^k (X,
Y))</math>, będziemy oznaczać symbolem <math>d^{k+1} _a f</math> i będziemy nazywać
''''' różniczką rzędu <math>k+1</math> funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math>''''' (lub krócej:
'''''<math>k+1</math> różniczką funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math>'''''). }}

{{uwaga|7.32.||
Dowodzi się, że także przestrzenie <math>L(X, L^k (X, Y))</math> oraz <math>L^{k+1} (X, Y)</math> (czyli przestrzeń odwzorowań <math>k+1</math> liniowych i ciągłych na <math>X</math> o wartościach w przestrzeni <math>Y</math>) są izomorficzne, więc często różniczkę rzędu <math>k+1</math> funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math> będziemy nazywać odwzorowaniem <math>k+1</math> liniowym i ciągłym na <math>X</math> o wartościach w <math>Y</math>. }}

Pamiętamy, że jeśli <math>X=\mathbb{R}^n</math> i <math>Y=\mathbb{R}</math>, to wartość różniczki <math>d_a
f\in L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})</math> na wektorze <math>h=(h_1, h_2, \dots, h_n)\in\mathbb{R}^n</math>
wyraża suma
<center><math>d_a f(h)=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1} h_1 + \frac{\partial f(a)}{\partial
x_2} h_2+ \dots +\frac{\partial f(a)} {\partial x_n} h_n</math></center>
Sumę
tę  można także wyrazić bez argumentu <math>h</math>
<center><math>d_a f=\frac{\partial f(a)}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f(a)}{\partial
x_2} dx_2+ \dots +\frac{\partial f(a)} {\partial x_n} dx_n</math></center>

gdzie <center><math>dx_i :\mathbb{R}^n \ni h=(h_1, h_2, \dots, h_n)\mapsto dx_i
(h)=h_i\in\mathbb{R}</math></center>
jest rzutowaniem na <math>i</math>-tą współrzędną.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej definiujemy
funkcje klasy <math>C^k</math>.

{{definicja|7.33.||
Mówimy, że <math>f: X\supset U\mapsto Y</math>
jest klasy <math>C^k</math> w zbiorze <math>U</math> (<math>k=0,1,2,\dots</math>), jeśli w każdym
punkcie <math>a\in U</math> istnieje różniczka rzędu <math>k</math> funkcji <math>f</math> i
odwzorowanie <math>U\ni a\mapsto d^k _a f\in L^k (X,Y)</math> jest ciągłe.
}}

{{wniosek|7.34.||
Jeśli <math>f</math> jest klasy <math>C^2 (U)</math>, to w
każdym punkcie tego zbioru pochodne cząstkowe mieszane są równe,
tzn. zachodzi równość
<center><math>\frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f
(a)= \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial }{\partial x_j
}f(a)</math></center>
dla dowolnych <math>i, j\in\{1,2,\dots, n\}</math> w dowolnym punkcie
<math>a\in U</math>.

Innymi słowy: druga różniczka <math>d^2 _a f</math> jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym. }}

Załóżmy, że <math>f\in C^m (U)</math>, gdzie <math>U\subset \mathbb{R}^n</math> jest podzbiorem
otwartym przestrzeni skończenie wymiarowej <math>\mathbb{R}^n</math>. Wówczas
różniczkę rzędu <math>m</math> można wyrazić efektywnie za pomocą pochodnych
cząstkowych rzędu <math>m</math>.

{{twierdzenie|7.35.||
Jeśli <math>f\in C^m (U)</math>, to w dowolnym
punkcie <math>a\in U</math> wartość
różniczki rzędu <math>m</math> na  <math>m</math>-ce jednakowych wektorów  <math>h=(h_1, h_2, \dots, h_n)\in \mathbb{R}^n</math>
wyraża suma
<center><math>d^m _a f\underbrace{(h,h, \dots, h)}_{m \text{ wektorów }h}
=\sum_{|\alpha|=m} \binom{m}{\alpha} \frac{\partial ^m}{\partial
x^\alpha} f(a)h^\alpha</math>,</center>
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich
możliwych wielowskaźnikach (<math>n</math>-wskaźnikach) <center><math>\alpha=(\alpha_1,
\alpha_2, \dots, \alpha_n)\in \mathbb{N}_0^n</math></center>
o długości
<center><math>|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n= m</math>,</center>
natomiast
<center><math>\binom{m}{\alpha}:=\frac{m!}{(m-|\alpha|)!\,\alpha!}</math>,</center>

jest uogólnieniem symbolu Newtona, w którym silnię wielowskaźnika
<math>\alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)</math> definiujemy za
pomocą iloczynu silni jego współrzędnych, tj.
<center><math>\alpha !=\alpha_1 !\, \alpha_2 ! \dots \alpha_n !</math></center>
oraz
<center><math>h^\alpha =h_1 ^{\alpha_1} \, h_2 ^{\alpha_2} \dots h_n
^{\alpha_n}</math>.</center>

}}

{{uwaga|7.36.||
Wzór <center><math>d^m _a f(h, h, \dots, h)
=\sum_{|\alpha|=m} \binom{m}{\alpha} \frac{\partial ^m}{\partial
x^\alpha} f(a)h^\alpha</math>,</center>
który podaliśmy w tezie twierdzenia
czasem zapisuje się bez wyszczególniania  argumentów w
następującej postaci
<center><math>d^m _a f =\sum_{|\alpha|=m} \binom{m}{\alpha} \frac{\partial
^m f(a)}{\partial x^\alpha} dx^\alpha</math></center>
lub <center><math>d^m_. f
=\sum_{|\alpha|=m} \binom{m}{\alpha} \frac{\partial ^m f}{\partial
x^\alpha} dx^\alpha</math>,</center>
gdzie <math>dx^\alpha : \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}</math>
definiujemy na wektorze <math>h\in \mathbb{R}^n</math> wzorem <center><math>dx^\alpha
(h):=h^\alpha=h_1^{\alpha_1} h_2^{\alpha_2} \dots h_n^{\alpha_n}
\in \mathbb{R}</math>.</center>
}}
{{dowod|7.36.||
Wykażemy podany wzór w przypadku funkcji dwóch zmiennych, aby
uprościć notację. W ogólnym przypadku uzasadnienie jest podobne.
Jeśli <math>f:\mathbb{R}^2 \supset U\ni (x_1, x_2)\mapsto f(x_1, x_2)</math> jest
różniczkowalna, to wartość jej różniczki w punkcie <math>a\in U</math> na
wektorze <math>h=(h_1, h_2)</math> wyraża suma <center><math>d_a f (h)=\frac{\partial
}{\partial x_1} f(a) h_1+\frac{\partial }{\partial x_2} f(a)h_2</math></center>

Jeśli <math>f</math> jest dwukrotnie różniczkowalna, to
<center><math>\begin{align} d^2 f &
=d\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\bigg)
\\&=\frac{\partial }{\partial x_1}
\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\bigg)dx_1
+\frac{\partial }{\partial x_2}\big(\frac{\partial f}{\partial
x_1}dx_1 +\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\big)dx_2\\&=
\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial
x_1}dx_1dx_1+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial
x_1}dx_2dx_1+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial
x_2}dx_1dx_2+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial
x_2}dx_2dx_2\\&= \frac{\partial ^2 f}{\partial
x_1^2}dx_1^2+2\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial
x_2}dx_1dx_2+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}dx_2^2\\&=
\binom{2}{0}\frac{\partial ^2 f}{\partial
x_1^2}dx_1^2+\binom{2}{1}\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial
x_2}dx_1dx_2+\binom{2}{2}\frac{\partial ^2 f}{\partial
x_2^2}dx_2^2\\&=\sum_{|\alpha|=2}\binom{2}{\alpha}\frac{\partial^\alpha
f}{\partial x^\alpha}dx^\alpha,\end{align}</math></center>
gdyż pochodne
cząstkowe mieszane <math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial
x_2}</math> oraz <math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2\partial x_1}</math> są
równe wobec założenia o klasie funkcji <math>f</math>. Następnie zakładając,
że wzór zachodzi dla różniczki rzędu <math>2\leq k<m</math>, dowodzimy go dla różniczki rzędu <math>k+1</math>. Szczegółowe przekształcenia pomijamy.}}