Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient

==Funkcje wielu zmiennych. Ciągłość. Pochodne cząstkowe==

Przypominamy przykłady funkcji wielu zmiennych, które znamy
z życia codziennego. Do badania przebiegu zmienności funkcji,
badania ciągłości, wyznaczania ekstremów stosujemy analizę
przebiegu poziomic, a następnie wprowadzamy pochodne kierunkowe i
cząstkowe.   

==Przykłady funkcji wielu zmiennych==

<div class="thumb tleft"><div style="width:253px;">
<flash>file=am2m05.0010.swf|width=253|height=253</flash>
<div.thumbcaption>Prognoza pogody</div>
</div></div>

<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
<flash>file=am2m05.0020.swf|width=253|height=253</flash>
<div.thumbcaption>Prognoza pogody</div>
</div></div>

Z funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych spotykamy się na
co dzień. Śledząc prognozę pogody po wieczornym wydaniu wiadomości
w telewizji (w prasie, w internecie) sprawdzamy, jaka temperatura
jest przewidywana na najbliższą noc, na kolejny poranek,
popołudnie, w dniach następnych. Temperatura podawana jest
przeważnie liczbowo dla kilku regionów naszego kraju albo też - w dokładniejszej formie - na mapie z
zaznaczonymi '''''izotermami''''', tj. liniami, które łączą  punkty o
takiej samej temperaturze.

Osoby podatne na zmiany ciśnienia atmosferycznego z
niepokojem śledzą informacje o spodziewanym załamaniu pogody i
wahaniach ciśnienia. Przypomnijmy, że linie łączące punkty o takim
samym ciśnieniu atmosferycznym nazywamy '''''izobarami'''''.

Zagęszczenie izobar nad danym obszarem oznacza dużą
prędkość wiatru w terenie: im izobary są gęstsze, tym prędkość
wiatru większa. Pamiętamy, że wiatr wieje od obszaru o wyższym
ciśnieniu do obszaru o niższym ciśnieniu.

Kierunek wiatru także nie jest przypadkowy: odpowiada
temu kierunkowi, w którym ciśnienie spada najszybciej, co na mapie
odpowiada kierunkowi, w którym izobary najbardziej zagęszczają
się.

Ze względu na czytelność map z prognozą pogody,  obszary zawarte
między kolejnymi poziomicami koloruje się zgodnie z umową tak, że
obszary, nad którymi panuje niskie ciśnienie, bądź niska
temparatura, oznacza się kolorem fioletowym, ciemno niebieskim,
niebieskim. Kolory jasno zielony, zielony, jasno żółty, rezerwuje
się do oznaczania obszarów o przeciętnym ciśnieniu czy
temperaturze, natomiast obszary o najwyższych wartościach koloruje
się na żółto, pomarańczowo, czerwono. Do umowy tej przywykliśmy.
Tak bowiem pokolorowana jest mapa fizyczna (mapa hipsometryczna),
np. ta przedstawiająca nasz kraj.

{|border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flash>file=am2m05.0030.swf|width=253|height=253</flash>
<div.thumbcaption>Prognoza pogody</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flash>file=am2-5.40.swf|width=253|height=253</flash>
<div.thumbcaption>Prognoza pogody</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flash>file=am2m05.0050.swf|width=253|height=253</flash>
<div.thumbcaption>Mapa hipsometryczna</div>
</div></div>
|}

Gdybyśmy  powędrowali palcem po mapie  z południa
na północ Polski, zaczynając od Tatr, które po polskiej stronie
sięgają prawie  2500 metrów nad poziom morza, wystartowalibyśmy z
obszaru pokolorowanego na brązowo, intensywnie czerwono,
pomarańczowo. Kierując się do Krakowa i dalej Wyżyną
Krakowsko-Częstochowską, przemierzalibyśmy obszar pokolorowany na
żółto. Obszar nizinny w centralnej i północnej części naszego
kraju zaznaczono na zielono, z wyjątkiem pasm  wzgórz  na północy,
np. na Kaszubach, które zaznaczono na żółto. Jeśli spojrzymy
trochę na prawo od ujścia Wisły, między Tczewem a Elblągiem,
zauważymy obszar ciemnozielony, którym pokolorowano obszar
depresji, tj. obszar położony poniżej poziomu morza. W końcu
docieramy do brzegu Bałtyku, którego poziom stanowi umowny punkt
odniesienia wysokości obszaru '''''nad poziom morza'''''. Pamiętamy,
że głębokość dna morza  na mapie również została zaznaczona
różnymi kolorami: od białego (którym zaznaczono płytkie obszary
tuż przy brzegu i mielizny), przez niebieski, aż po
ciemnoniebieski, którym zaznaczono głębsze obszary.

<div class="thumb tleft"><div style="width:253px;">
<flash>file=am2m05.0060.swf|width=253|height=253</flash>
<div.thumbcaption>Wycinek mapy Tatr</div>
</div></div>

<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
<flash>file=am2m05.0070.swf|width=253|height=253</flash>
<div.thumbcaption>Wycinek mapy Tatr</div>
</div></div>

Linie na mapie, łączące punkty o samej wysokości nad poziom morza,
nazywamy '''''poziomicami'''''.

Wędrując po górach, w zależności od upodobania, wybieramy szlak,
który krótszą, ale bardziej stromą drogą doprowadzi nas do celu,
bądź też szlak mniej stromy, łagodny. Każdy, kto wędrował choć raz
po górach z mapą w ręku wie, że im gęściej szlak poprzecinany jest
kolejnymi poziomicami, tym jest bardziej stromy i wymaga większego
wysiłku fizycznego. Szlak, który przebiega między dwiema
poziomicami, prawie żadnej nie przecina, jest zdecydowanie
łagodniejszy, bez stromych podejść, nie wymaga wysiłku.

Na ogół szlaki turystyczne w górach omijają obszary,
gdzie poziomice przebiegają bardzo gęsto, bądź wręcz urywają się.
Nic dziwnego: tak na mapie zaznaczono strome zbocza i urwiska.

Zauważmy, że poziomice odpowiadające różnym wysokościom są
krzywymi rozłącznymi. Na mapie, która przeważnie przedstawia
pewien prostokątny (w przybliżeniu) obszar terenu, krzywe te są
zamknięte lub nie. Nasze doświadczenie podpowiada nam, że wewnątrz
obszaru ograniczonego poziomicą, która jest linią zamkniętą,
zawsze da się wskazać punkt położony najwyżej (np. szczyt
wzniesienia) lub najniżej (np. dno doliny).

W ramach Analizy matematycznej I  poznaliśmy twierdzenie,
które opisuje taką sytuację: funkcja ciągła na zbiorze zwartym
osiąga swoje kresy.  Jest to twierdzenie Weierstrassa, które
pozostaje prawdziwe nie tylko w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Mapa fizyczna danego obszaru, mapa rozkładu ciśnienia, mapa
rozkładu temperatury to przykłady graficznej reprezentacji
(wykresu) funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych (długości i
szerokości geograficznej) o wartościach w zbiorze liczb
rzeczywistych, bowiem wysokość punktu nad poziom morza, wartość
ciśnienia atmosferycznego, temperatura to wielkości liczbowe.

==Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych==

Większość pojęć i twierdzeń, którymi będziemy posługiwać się
w tym module, poznaliśmy już przy okazji omawiania własności
funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych. Przypomnijmy parę z
nich.

Niech <math>\displaystyle (X,d)</math>, <math>\displaystyle (Y,\rho)</math> będą przestrzeniami metrycznymi.
Będziemy zajmowali się badaniem funkcji <center><math>\displaystyle f:X\mapsto Y.</math></center>

Większość praktycznych przykładów zastosowania teorii będzie
dotyczyć funkcji określonych na zbiorze <math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>, <math>\displaystyle n=2,3,\dots</math>, z
metryką <math>\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|</math> zadaną przez pewną ustaloną normę
<math>\displaystyle \|\cdot\|</math>  w <math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>, np.
<center><math>\displaystyle 
\aligned
\|x\|_p &=\big(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\big)^{\frac{1}{p}}, \text{ dla } 1\leq p <\infty\\
&\text{ w szczególności }\\
\|x\|_1 &=|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|\\
\|x\|_2 &=\sqrt{|x_1|^2 +|x_2|^2 +\dots+|x_n|^2}\\
&\text{ bądź też }\\
\|x\|_{\infty} &=\max\{|x_1|, \ |x_2|, \ \dots, \ |x_n| \}.
\endaligned
</math></center>

Zbiorem wartości funkcji <math>\displaystyle f</math> najczęściej będzie zbiór liczb
rzeczywistych <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> z metryką zadaną przez wartość bezwzględną,
tj. <math>\displaystyle \rho(a,b)=|a-b|</math>.

{{definicja|6.1.||
Mówimy, że <math>\displaystyle g\in Y</math> jest '''''granicą
funkcji''''' <math>\displaystyle f:X\mapsto Y</math> w punkcie <math>\displaystyle x</math> będącym punktem skupienia
dziedziny funkcji <math>\displaystyle f</math>, jeśli
<center><math>\displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall y: 0<d(x,y)<\delta
\implies \rho(g,f(y))<\epsilon.</math></center>
}}

{{definicja|6.2.||
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f:X\mapsto Y</math> jest
'''''ciągła w punkcie x''''', jeśli
<center><math>\displaystyle \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall y: d(x,y)<\delta \implies \rho(f(x),f(y))<\epsilon.</math></center>

}}

Pamiętamy również, że zachodzi następujące

{{twierdzenie|6.3.||
Niech <math>\displaystyle X, \ Y</math> będą przestrzeniami
metrycznymi i niech <math>\displaystyle f:X\mapsto Y</math> będzie funkcją. Wówczas
następujące warunki są równoważne:

1) funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ciągła w punkcie <math>\displaystyle a\in X</math>,

2) istnieje granica <math>\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)</math>  i jest równa wartości
funkcji <math>\displaystyle f(a)</math>.

}}

Niech <math>\displaystyle X</math>, <math>\displaystyle Y</math>, <math>\displaystyle Z</math> będą przestrzeniami metrycznymi.

{{twierdzenie|6.4.||
Złożenie <math>\displaystyle g\circ f: X\mapsto Z</math> funkcji
ciągłych <math>\displaystyle f:X\mapsto Y</math> i <math>\displaystyle g: Y\mapsto Z</math> jest funkcją ciągłą.
}}

{{twierdzenie|6.5.||
Jeśli <math>\displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R}</math> oraz <math>\displaystyle g:X\mapsto
\mathbb{R}</math> są funkcjami ciągłymi, to suma <math>\displaystyle f+g</math> oraz iloczyn <math>\displaystyle f\cdot g</math>
są funkcjami ciągłymi. Ponadto odwrotność <math>\displaystyle \displaystyle
\frac{1}{g} :Z\ni x\mapsto \frac{1}{g(x)}\in\mathbb{R}</math> oraz iloraz
<math>\displaystyle \displaystyle \frac{f}{g}: Z\ni x\mapsto \frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb{R}</math>
są funkcjami ciągłymi na zbiorze <math>\displaystyle Z:=X\setminus\{x\in X:
g(x)=0\}</math>. }}

Przypomnijmy jeszcze następujące twierdzenie Weierstrassa o
osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym.
{{twierdzenie|6.6.||
Jeśli <math>\displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R}</math> jest funkcją
ciągłą określoną na przestrzeni  zwartej <math>\displaystyle X</math>, to istnieją punkty
<math>\displaystyle a, b\in X</math>, w których funkcja <math>\displaystyle f</math> osiąga kresy: kres dolny
<math>\displaystyle \inf\{f(x), x\in X\}=f(a)</math> i kres górny <math>\displaystyle \sup\{f(x), x\in
X\}=f(b)</math>.
}}

Rozważmy przykład, który pokazuje, że zachowanie funkcji
wielu zmiennych może wykraczać poza naszą intuicję ukształtowaną
podczas badania funkcji jednej zmiennej. 

{{przyklad|6.7.||
Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\frac{x
y}{x^2 +y^2}</math> określona jest we wszystkich punktach płaszczyzny
<math>\displaystyle \mathbb{R}^2 </math> z wyjątkiem punktu <math>\displaystyle (0,0)</math>. Wyraźmy ją we współrzędnych
biegunowych
<center><math>\displaystyle \Phi:
(r,\varphi)\mapsto \left\{ \aligned x(r,\varphi)=r\cos\varphi\\
y(r,\varphi)=r\sin\varphi \endaligned \right. </math></center>
W punktach
leżących poza początkiem układu współrzędnych, tj. gdy <math>\displaystyle r>0</math>,
otrzymamy:
<center><math>\displaystyle (f\circ\Phi)(r, \varphi)=\frac{r^2\cos\varphi \sin\varphi }{r^2
(\cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi)}=\frac{1}{2}\sin 2\varphi.</math></center>

Zauważmy, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział
<math>\displaystyle [-\frac{1}{2},\frac{1}{2} ]</math>. Ponadto funkcja <math>\displaystyle (r,
\varphi)\mapsto \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math> nie zależy od zmiennej
<math>\displaystyle r</math>. Oznacza to, że zacieśnienie funkcji <math>\displaystyle f</math> do którejkolwiek
półprostej danej równaniem <math>\displaystyle \varphi=\varphi_0</math> (tj. półprostej,
która tworzy z dodatnią półosią osi rzędnych ustalony kąt
<math>\displaystyle \varphi_0</math>) jest funkcją o stałej wartości <math>\displaystyle \frac{1}{2}\sin
2\varphi_0</math>, niezależnej od odległości <math>\displaystyle r</math> punktu od początku
układu współrzędnych. Każde z tych zacieśnień do prostej
<math>\displaystyle \{\varphi=\varphi_0\}\cup \{\varphi=\varphi_0+\pi\}</math> ma granicę
przy <math>\displaystyle r\to 0</math> równą <math>\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2\varphi_0</math>. Jednak wartość
ta zależy od wyboru kąta <math>\displaystyle \varphi_0</math>, stąd nie istnieje granica
funkcji <math>\displaystyle (x,y)\mapsto f(x,y)</math>, gdy <math>\displaystyle (x,y)\to (0,0)</math>. Zauważmy, że
gdy rozważymy osobno funkcje jednej zmiennej, ustalając drugą
zmienną, tzn.  <math>\displaystyle y</math> lub odpowiednio <math>\displaystyle x</math>:
<center><math>\displaystyle \aligned f_y &=f(\cdot , y): \mathbb{R} \ni x\mapsto \frac{xy}{x^2+y^2}\\
f_x &= (x , \cdot ): \mathbb{R} \ni y\mapsto
\frac{xy}{x^2+y^2},\endaligned
</math></center>

to zarówno <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}f_y(x)=0</math>, jak też
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{y\to 0}f_x(y) =0</math>, a więc w szczególności
istnieją  '''''granice iterowane'''''
<center><math>\displaystyle \aligned
\lim_{x\to 0}\big( \lim_{y\to 0} f(x,y) \big) =0,\\
\lim_{y\to 0} \big( \lim_{x\to 0} f(x,y)\big)=0
\endaligned
</math></center>
i są równe.}}

<br>
<center>
<div class="thumb"><div style="width:450px;">
<applet code="applet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/e/e1/Applet.jar" width="450" height="400">
    <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.82:#7e0b9f -0.81:#ce3bf8 -0.64:#ce3bf8 -0.63:#2c4ae5 -0.46:#2c4ae5 -0.45:#2c85e5 -0.28:#2c85e5 -0.27:#2ecca9 -0.10:#2ecca9 -0.09:#2ecc5b 0.09:#2ecc5b 0.10:#97cc2e 0.27:#97cc2e 0.28:#edff27 0.45:#edff27 0.46:#ffba27 0.63:#ffba27 0.64:#ff6e27 0.81:#ff6e27 0.82:#d42555 1:#d42525">
    <param name="coloring" value="mathematica">
    <param name="model" value="images/7/74/Am2m05.0080.mgs.zip">
    <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">
	 <param name="shading" value="0.2">
</applet>
<div.thumbcaption>Wykres funkcji <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2 +y^2}</math></div>
</div></div>
</center>
<br>

Przykład pokazuje więc, że

{{wniosek|6.8.||
Z istnienia  '''''granic iterowanych'''''
<center><math>\displaystyle \aligned
\lim_{x\to a}\big( \lim_{y\to b} f(x,y) \big)\\
\lim_{y\to b} \big( \lim_{x\to a} f(x,y)\big)\endaligned
</math></center>
i równości tych granic
nie wynika istnienie granicy funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle (a,b)</math>.
}}

Prawdziwa natomiast jest implikacja:

{{uwaga|6.9.||
Jeśli funkcja <math>\displaystyle f: \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mapsto
\mathbb{R}</math> ma granicę w punkcie <math>\displaystyle (a,b)</math>, to istnieją obie granice
iterowane
<center><math>\displaystyle \aligned
\lim_{x\to a}\big( \lim_{y\to b} f(x,y) \big)\\
\lim_{y\to b} \big( \lim_{x\to a} f(x,y)\big)\endaligned
</math></center>
i są równe granicy funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle (a,b)</math>.
}}

Uwaga ta stanowi '''''warunek konieczny istnienia granicy'''''
<math>\displaystyle \displaystyle\lim_{(x,y)\to (a, b)}f(x,y)</math>. Jeśli bowiem nie
istnieje któraś z granic iterowanych, bądź nie są one równe, to
funkcja <math>\displaystyle f</math> nie ma granicy w punkcie <math>\displaystyle (a,b)</math>. Podkreślmy jeszcze
raz fakt, że istnienie i równość obu granic iterowanych nie
gwarantuje istnienia granicy funkcji.

==Poziomice==

Niech <math>\displaystyle f:X\mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją określoną na przestrzeni
metrycznej <math>\displaystyle X</math> o wartościach rzeczywistych.

{{definicja|6.10.||
'''''Poziomicą''''' funkcji <math>\displaystyle f</math>
odpowiadającą wartości <math>\displaystyle a\in \mathbb{R}</math> nazywamy zbiór <center><math>\displaystyle \{f=a\}=\{x\in
X: f(x)=a\},
</math></center>
czyli przeciwobraz zbioru jednopunktowego <math>\displaystyle \{a\}</math> przez funkcję <math>\displaystyle f</math>. }}

Często pobieżna nawet analiza przebiegu poziomic pozwala ustalić,
czy dana funkcja osiąga ekstrema (zob. definicja ekstremum w
module 9 Analizy matematycznej 1), czy też nie.

{{przyklad|6.11.||
Niech <math>\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2-4</math>.
<br>
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient/Przykład 6.11.|wykres]]
<br>
Poziomica <math>\displaystyle \{f=a\}=\{(x,y): x^2+y^2-4=a\}</math> jest okręgiem o środku
w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu <math>\displaystyle \sqrt{4+a}</math>, gdy <math>\displaystyle a>-4</math>.  Poziomica
<math>\displaystyle \{f=-4\}</math> składa się tylko z jednego punktu <math>\displaystyle (0,0)</math>, natomiast
jeśli <math>\displaystyle a<-4</math>, to poziomica <math>\displaystyle \{f=a\}</math> jest zbiorem pustym. Funkcja
<math>\displaystyle f</math> osiąga minimum globalne w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> równe <math>\displaystyle f(0,0)=-4</math>.
}}

{{przyklad|6.12.||
Niech <math>\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2</math>.
<br>
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient/Przykład 6.12.|wykres]]
<br>

Poziomica zerowa <math>\displaystyle \{f=0\}=\{(x,y): x^2-y^2=0\}=\{x=y\}\cup
\{x=-y\}</math> jest sumą dwóch prostych: <math>\displaystyle x=y</math> i <math>\displaystyle x=-y</math>. Jeśli <math>\displaystyle a\neq
0</math> poziomica <math>\displaystyle \{f=a\}=\{x^2-y^2=a\}</math> jest hiperbolą o asymptotach
<math>\displaystyle x=y</math> i <math>\displaystyle x=-y</math>. Przebieg poziomic pozwala ustalić, że funkcja <math>\displaystyle f</math>
w żadnym punkcie płaszczyzny nie osiąga ekstremum, bowiem w
dowolnie małym otoczeniu każdego punktu <math>\displaystyle (x,y)</math> potrafimy z
łatwością wskazać punkty, w których funkcja przyjmuje zarówno
wartości mniejsze jak i większe od wartości funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie
<math>\displaystyle (x,y)</math>.

}}

{{przyklad|6.13.||
Niech <math>\displaystyle f(x,y)=|x|+|y|</math>.
<br>
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient/Przykład 6.13.|wykres]]
<br>
Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest normą w <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>, przyjmuje więc wyłącznie
wartości nieujemne, stąd <math>\displaystyle \{f=a\}=\emptyset</math>, gdy <math>\displaystyle a<0</math>. Poziomica
zerowa <math>\displaystyle \{f=0\}=\{(0,0)\}</math> składa się tylko z jednego punktu. Gdy
<math>\displaystyle a>0</math>, poziomica <math>\displaystyle \{f=a\}=\{|x|+|y|=a\}</math> jest kwadratem o
wierzchołkach <math>\displaystyle (a,0)</math>, <math>\displaystyle (0,a)</math>, <math>\displaystyle (-a, 0)</math>, <math>\displaystyle (0, -a)</math>. Funkcja <math>\displaystyle f</math>
osiąga minimum globalne w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>, gdyż <math>\displaystyle f(x,y)>0</math> w
dowolnym punkcie <math>\displaystyle (x,y)\neq (0,0)</math>. Podobnie jak w poprzednim
przykładzie przebieg poziomic pozwala ustalić, że funkcja <math>\displaystyle f</math> w
żadnym punkcie płaszczyzny poza punktem <math>\displaystyle (0,0)</math> nie osiąga
ekstremum, bowiem w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu
<math>\displaystyle (x,y)\neq (0,0)</math> potrafimy z łatwością wskazać punkty, w których
funkcja przyjmuje zarówno wartości mniejsze jak i większe od
wartości funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle (x,y)</math>.

}}

{{przyklad|6.14.||
Niech
<math>\displaystyle f(x,y)=|x|^{\frac{2}{3}}+|y|^{\frac{2}{3}}</math>.
<br>
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient/Przykład 6.14.|wykres]]
<br>
Funkcja <math>\displaystyle f</math>  przyjmuje  wyłącznie wartości nieujemne, stąd
<math>\displaystyle \{f=a\}=\emptyset</math>, gdy <math>\displaystyle a<0</math>. Poziomica zerowa
<math>\displaystyle \{f=0\}=\{(0,0)\}</math> składa się tylko z jednego punktu. Gdy <math>\displaystyle a>0</math>,
poziomica <math>\displaystyle \{f=a\}=\{|x|^{\frac{2}{3}}+|y|^{\frac{2}{3}}=a\}</math> jest
krzywą zawartą w kwadracie o wierzchołkach <math>\displaystyle (\sqrt{a^3},0)</math>,
<math>\displaystyle (0,\sqrt{a^3})</math>, <math>\displaystyle (-\sqrt{a^3}, 0)</math>, <math>\displaystyle (0, -\sqrt{a^3})</math>. Krzywą
tę nazywamy '''''asteroidą'''''. Zauważmy, że funkcja osiąga minimum
globalne w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>, gdyż <math>\displaystyle f(x,y)>0</math>, w dowolnym punkcie
<math>\displaystyle (x,y)\neq (0,0)</math>. Podobnie jak w poprzednich przykładach przebieg
poziomic pozwala stwierdzić, że jest to jedyne ekstremum tej
funkcji na płaszczyźnie <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>.
}}

{{przyklad|6.15.|prz_6_15|
Niech <math>\displaystyle f(x,y)=x y (1-x-y)</math>.
<br>
Poziomicą zerową <math>\displaystyle \{f=0\}</math> tej funkcji jest suma trzech prostych:
<math>\displaystyle x=0</math>, <math>\displaystyle y=0</math> oraz <math>\displaystyle x+y=1</math>. Zauważmy, że w dowolnie małym otoczeniu
któregokolwiek punktu leżącego na tej poziomicy znajdziemy punkty,
w których funkcja osiąga zarówno wartości mniejsze jak i większe
od zera. Stąd w żadnym punkcie zbioru <math>\displaystyle \{f=0\}</math> funkcja <math>\displaystyle f</math> nie
osiąga ekstremum. Zwróćmy jednak uwagę, że wnętrze trójkąta o
wierzchołkach <math>\displaystyle (0,0)</math>, <math>\displaystyle (1,0)</math>, <math>\displaystyle (0,1)</math> zawarte jest w zbiorze
<math>\displaystyle \{f<0\}</math> tych punktów, w których funkcja przyjmuje wartości
ujemne. W sumie mnogościowej  z brzegiem trójkąta o podanych
wierzchołkach zbiór ten jest zwarty. Z twierdzenia Weierstrassa o
osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika,
że we wnętrzu tego trójkąta funkcja <math>\displaystyle f</math> osiąga minimum.  Dalsza
analiza przebiegu poziomic we wnętrzu trójkąta nie jest efektywnym
narzędziem prowadzącym do precyzyjne określenia, w którym punkcie
minimum to jest osiągane, ponieważ kreślenie poziomic <math>\displaystyle \{f=a\}</math>,
gdy <math>\displaystyle a\neq 0</math>, nie jest prostym zadaniem. Warto jednak zauważyć,
że żaden punkt leżący na poziomicy zerowej funkcji <math>\displaystyle f</math> nie może
być jej punktem ekstremalnym, gdyż w otoczeniu któregokolwiek
punktu z tej poziomicy funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie
jak i ujemne.
}}
<br>
<center>
<div class="thumb"><div style="width:450px;">
<applet code="applet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/e/e1/Applet.jar" width="450" height="400">
    <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.82:#7e0b9f -0.81:#ce3bf8 -0.64:#ce3bf8 -0.63:#2c4ae5 -0.46:#2c4ae5 -0.45:#2c85e5 -0.28:#2c85e5 -0.27:#2ecca9 -0.10:#2ecca9 -0.09:#2ecc5b 0.09:#2ecc5b 0.10:#97cc2e 0.27:#97cc2e 0.28:#edff27 0.45:#edff27 0.46:#ffba27 0.63:#ffba27 0.64:#ff6e27 0.81:#ff6e27 0.82:#d42555 1:#d42525">
    <param name="coloring" value="mathematica">
    <param name="model" value="images/6/65/Am2m05.0130.mgs.zip">
    <param name="scale" value="1.0 1.0 0.1">
	 <param name="shading" value="0.2">
</applet>
<div.thumbcaption>Wykres funkcji <math>\displaystyle f(x,y)=x y (1-x-y)</math></div>
</div></div>
</center>
<br>
[[grafika:Kartezjusz.jpg|thumb|right||Kartezjusz (1596-1650)<br>[[Biografia Kartezjusz|Zobacz biografię]]]]
{{przyklad|6.16.|prz_6_16|
Niech <math>\displaystyle f(x,y)=x^3+y^3-3xy</math>.
<br>
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient/Przykład 6.16.|wykres]]
<br>

Poziomicą zerową <math>\displaystyle \{f=0\}</math> tej funkcji jest nieograniczona krzywa,
którą nazywamy '''''liściem Kartezjusza'''''. Krzywa ta ma asymptotę o
równaniu <math>\displaystyle x+y+1=0</math>. W pierwszej ćwiartce <math>\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\geq
0, y\geq 0\}</math> tworzy petlę ograniczającą obszar, we wnętrzu
którego funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartości ujemne. Podobnie jak w
poprzednim przykładzie, z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu
kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym wynika, że we
wnętrzu pętli liścia Kartezjusza funkcja <math>\displaystyle f</math>  osiąga minimum.
Dalsza analiza przebiegu poziomic  nie prowadzi efektywnie do
precyzyjne określenia, w którym punkcie minimum to jest osiągane.
Warto jednak zauważyć, że w żadnym z punktów liścia Kartezjusza
funkcja <math>\displaystyle f</math> nie może osiągać ekstremum, gdyż w dowolnie małym
otoczeniu któregokolwiek punktu tej krzywej funkcja <math>\displaystyle f</math> osiąga
wartości dodatnie jak i ujemne.

}}

{{przyklad|6.17.|prz_6_17|
Niech <math>\displaystyle f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2 (x^2-
y^2)</math>.
<br>
[[Grafika:Wykres.gif]] [[Analiza matematyczna 2/Wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient/Przykład 6.17.|wykres]]
<br>
[[grafika:Bernoulli.jpg|thumb|right||Jakob Bernoulli (1654-1705)<br>[[Biografia Bernoulli|Zobacz biografię]]]]
Poziomicą zerową <math>\displaystyle \{f=0\}</math> tej funkcji jest krzywa, zwana
'''''lemniskatą Bernoullego'''''. Przebieg lemniskaty <math>\displaystyle \{f=0\}</math>
najwygodniej zbadać we współrzędnych biegunowych:
<center>
<math>\displaystyle \aligned (x^2+y^2)^2&=2 (x^2- y^2)\\
(r^2 \cos^2 \varphi+r^2 \sin^2 \varphi)^2 &=2 (r^2 \cos^2 \varphi-r^2 \sin^2 \varphi)\\
r^4 &=2 r^2 \cos 2 \varphi \\
r=0 &\text{ lub } r=\sqrt{2 \cos 2 \varphi},
\endaligned
</math>
</center>
przy czym wyrażenie pod znakiem pierwiastka jest nieujemne dla
<math>\displaystyle \varphi\in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]\cup [\frac{3\pi}{4},
\frac{5\pi}{4}]</math>. Lemniskata Bernoullego jest więc zawarta w
części wspólnej koła o promieniu <math>\displaystyle \sqrt{2}</math> i dwóch obszarów
wyciętych z płaszczyzny półprostymi tworzącymi z osią rzędnych
kąty <math>\displaystyle -\frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{3\pi}{4},\
-\frac{3\pi}{4}</math>. Zauważmy, że we wnętrzu obszaru ograniczonego
lemniskatą Bernoullego funkcja <math>\displaystyle f</math> osiąga wartości ujemne. Na
zewnątrz zaś - dodatnie. Podobnie jak w obu poprzednich
przykładach twierdzenie Weierstrassa gwarantuje istnienie minimum
lokalnego w obszarze <math>\displaystyle \{(x,y): f(x,y)\leq 0\}</math> ograniczonym
lemniskatą Bernoullego. Z kolei w dowolnie małym otoczeniu każdego
punktu poziomicy zerowej <math>\displaystyle \{f=0\}</math> funkcja przyjmuje zarówno
wartości dodatnie jak i ujemne. Funkcja <math>\displaystyle f</math> nie osiąga więc
ekstremum w żadnym punkcie należącym do swojej poziomicy zerowej.

}}

Trzy ostatnie przykłady każą nam szukać doskonalszego narzędzia do
precyzyjnego lokalizownia punktów ekstremalnych funkcji wielu
zmiennych, gdy analiza przebiegu poziomic jest niewystarczająca.
Tym narzędziem są

==Pochodna kierunkowa i pochodne cząstkowe==

Niech <math>\displaystyle A\subset X</math> będzie otwartym podzbiorem przestrzeni
unormowanej <math>\displaystyle X</math>. Niech <math>\displaystyle v\neq 0, v\in X</math> będzie ustalonym
niezerowym wektorem tej przestrzeni.

{{definicja|6.18.||
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f:A\mapsto \mathbb{R}</math> ma w
punkcie <math>\displaystyle a</math> pochodną kierunkową w kierunku wektora <math>\displaystyle v</math>, jeśli
istnieje granica ilorazu różnicowego: <center><math>\displaystyle \lim_{h\to
0}\frac{f(a+hv)-f(a)}{h}.</math></center>
Granicę tę oznaczamy symbolem
<math>\displaystyle \partial_v f(a)</math> i nazywamy '''''pochodną kierunkową''''' funkcji <math>\displaystyle f</math>
w kierunku wektora <math>\displaystyle v</math> w punkcie <math>\displaystyle a</math>.
}}

Zwróćmy uwagę, że zbiór <math>\displaystyle \{a+t v, t\in \mathbb{R}\}</math> jest prostą
przechodzącą przez punkt <math>\displaystyle a</math> równoległą do wektora <math>\displaystyle v</math>. Stąd
pochodna <math>\displaystyle \partial_v f(a)</math> jest w istocie pochodną w punkcie <math>\displaystyle t=0</math>
funkcji jednej zmiennej rzeczywistej <math>\displaystyle t\mapsto f(a+tv)</math>, czyli
restrykcji funkcji <math>\displaystyle f</math> do podzbioru otwartego <math>\displaystyle A\cap \{a+t v, t\in
\mathbb{R}\}</math> rozważanej prostej <math>\displaystyle \{a+t v, t\in \mathbb{R}\}</math>. Wobec tego możemy
powtórzyć jednowymiarowy '''''warunek konieczny istnienia
ekstremum''''' w punkcie, w którym istnieje pochodna kierunkowa
funkcji (zob. moduł 9, Analiza matematyczna I).

{{twierdzenie|6.19.||
Niech <math>\displaystyle A\subset X</math> będzie otwartym
podzbiorem przestrzeni unormowanej <math>\displaystyle X</math> i niech <math>\displaystyle v\in X</math>, <math>\displaystyle v\neq
0</math>. Jeśli funkcja <math>\displaystyle f:A\mapsto \mathbb{R}</math> osiąga ekstremum w punkcie
<math>\displaystyle a\in A</math> i istnieje pochodna kierunkowa <math>\displaystyle \partial_v f(a)</math>, to
pochodna ta zeruje się. }}

{{dowod|6.19.||
Jeśli funkcja <math>\displaystyle A\ni x\mapsto f(x)\in \mathbb{R}</math> osiąga maksimum
(odpowiednio: minimum) w punkcie <math>\displaystyle a</math>, to funkcja jednej zmiennej
<math>\displaystyle t\mapsto f(a+tv)</math> osiąga maksimum (odpowiednio: minimum) w
punkcie <math>\displaystyle t=0</math>. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji
jednej zmiennej wynika, że pochodna (o ile istnieje) funkcji
<math>\displaystyle t\mapsto f(a+tv)</math> zeruje się w punkcie <math>\displaystyle t=0</math>. Stąd <math>\displaystyle \partial_v
f(a)=0</math> }}

O ile w przypadku funkcji określonej na otwartym przedziale
prostej <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> sytuacja jest oczywista (na prostej  mamy tylko
jeden kierunek), o tyle już w przypadku funkcji dwóch zmiennych
(na płaszczyźnie można wskazać nieskończenie wiele kierunków!)
powstaje pytanie o liczbę kierunków, które należy ustalić, aby
rozwiązać praktyczny problem lokalizacji punktów ekstremalnych
danej funkcji. Warto zauważyć, że w przypadku funkcji określonej
na <math>\displaystyle n</math> wymiarowej przestrzeni unormowanej <math>\displaystyle X</math> nie ma potrzeby
rozważać pochodnych kierunkowych w kierunku wektorów liniowo
zależnych, a więc większej niż wynosi wymiar przestrzeni.
Wyróżnijmy wobec tego pochodne kierunkowe w kierunku wektorów
bazowych.

Niech <math>\displaystyle X=\mathbb{R}^n</math> i niech <math>\displaystyle e_1=(1,0,0,\dots, 0)</math>, <math>\displaystyle e_2=(0,1,0,\dots,
0)</math>, ..., <math>\displaystyle e_n=(0,0,0,\dots, 1)</math> będzie bazą kanoniczną tej
przestrzeni. Niech <math>\displaystyle A</math> będzie otwartym podzbiorem przestrzeni
<math>\displaystyle \mathbb{R}^n</math>.

{{definicja|6.20.||
Pochodne kierunkowe (o ile istnieją)
<math>\displaystyle \partial_{e_1} f(a)</math>, <math>\displaystyle \partial_{e_2} f(a)</math>, ..., <math>\displaystyle \partial_{e_n}
f(a)</math> funkcji <math>\displaystyle f:A\mapsto \mathbb{R}</math> w kierunku wektorów bazy <math>\displaystyle \{e_1,
e_2, \dots, e_n\}</math> nazywamy '''''pochodnymi cząstkowymi''''' funkcji
<math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle a</math>. Pochodną cząstkową funkcji <math>\displaystyle (x_1, x_2, \dots,
x_n) \mapsto f(x_1, x_2, \dots, x_n)\in \mathbb{R}</math> w kierunku wektora
<math>\displaystyle e_i</math> oznaczamy tradycyjnie symbolem: <center><math>\displaystyle \frac{\partial f}{\partial
x_i}(a), \ \frac{\partial}{\partial x_i}f(a), \ f_{x_i}(a) \
\text{ lub } \ f'_{x_i}(a).</math></center>
W przypadku, gdy nie numerujemy
współrzędnych argumentu funkcji <math>\displaystyle (x,y,z)\mapsto f(x,y,z)</math> pochodne
cząstkowe oznaczamy symbolami 
<center><math>\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(a), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(a), \quad\frac{\partial f}{\partial z}(a)</math>.</center> }}

Przeformułujmy '''''warunek konieczny istnienia ekstremum''''' funkcji
określonej na zbiorze otwartym <math>\displaystyle A\subset \mathbb{R}^n</math>.

{{twierdzenie|6.21.||
Jeśli funkcja <math>\displaystyle f:A\mapsto \mathbb{R}</math> osiąga
ekstremum w punkcie <math>\displaystyle a\in A</math>, w którym istnieją pochodne cząstkowe
<math>\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_k}f(a)</math>, <math>\displaystyle k\in\{1,2,\dots, n\}</math>, to
pochodne te zerują się w tym punkcie, tj.
<center><math>\displaystyle \forall k\in\{1,2,\dots, n\} : \frac{\partial}{\partial
x_k}f(a)=0.</math></center>
}}

Zwróćmy uwagę, że twierdzenie podaje jedynie warunek konieczny
istnienia ekstremum. Punkt <math>\displaystyle a</math>, który spełnia układ równań:
<center><math>\displaystyle 
\left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial
x_1}(a)&=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a)&=0\\
&\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)&=0\endaligned \right.
</math></center>

nie musi być punktem ekstremalnym funkcji <math>\displaystyle f</math>.

Wróćmy do przykładów, w których stwierdziliśmy potrzebę
znalezienia dokładniejszego narzędzia do lokalizacji ekstremów.

{{przyklad|6.22.||
Z przebiegu poziomicy zerowej funkcji
<math>\displaystyle f(x,y)=xy (1-x-y)</math> wywnioskowaliśmy - w oparciu o twierdzenie
Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze
zwartym - że funkcja ta osiąga minimum w pewnym punkcie wewnątrz
trójkąta o wierzchołkach <math>\displaystyle (0,0)</math>, <math>\displaystyle (1, 0)</math>, <math>\displaystyle (0,1)</math>. Rozwiązując
układ dwóch równań
<center><math>\displaystyle \left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial x}=0\\
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \endaligned \right .\ \ \Longleftrightarrow \ \left\{\aligned y-2xy-y^2=0\\
x-x^2 -2xy=0 \endaligned \right .</math></center>
otrzymujemy układ
<center><math>\displaystyle \left\{\aligned y=0 \text{ lub } 1-2x-y=0\\
x=0 \text{ lub } 1-x -2y=0 \endaligned \right . ,</math></center>
który
spełniają współrzędne czterech punktów <math>\displaystyle P_1=(0,0)</math>, <math>\displaystyle P_2=(1,0)</math>,
<math>\displaystyle P_3=(0,1)</math>, <math>\displaystyle P_4=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})</math>. Jedynym punktem z
wnętrza wskazanego trójkąta jest punkt <math>\displaystyle P_4</math>, w którym funkcja <math>\displaystyle f</math>
osiąga minimum równe <math>\displaystyle f(P_4)=\frac{1}{27}</math>. Pozostałe punkty
<math>\displaystyle P_1</math>, <math>\displaystyle P_2</math>, <math>\displaystyle P_3</math> leżą na poziomicy zerowej funkcji <math>\displaystyle f</math>, która
- jak już sprawdziliśmy - nie może zawierać żadnego punktu
ekstremalnego funkcji <math>\displaystyle f</math> (zob. [[#prz_6_15|przykład 6.15.]]).
}}

{{przyklad|6.23.||
Z przebiegu poziomicy zerowej funkcji
<math>\displaystyle f(x,y)=x^3+y^3-3xy</math> wywnioskowaliśmy - w oparciu o twierdzenie
Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze
zwartym - że funkcja ta osiąga minimum w pewnym punkcie wewnątrz
pętli liścia Kartezjusza. Rozwiązując układ dwóch równań
<center><math>\displaystyle \left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial x}=0\\
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \endaligned \right .\ \ \Longleftrightarrow \ \left\{\aligned 3x^2-3y=0\\
3y^2-3x=0 \endaligned \right .</math></center>
otrzymujemy układ
<center><math>\displaystyle \left\{\aligned y=0 &\text{ lub } y=1\\
x&=y^2  \endaligned \right . ,</math></center>
który spełniają współrzędne dwóch
punktów <math>\displaystyle P_1=(0,0)</math>, <math>\displaystyle P_2=(1,1)</math>. Jedynym punktem z wnętrza
obszaru ograniczonego przez pętlę liścia Kartezjusza   jest punkt
<math>\displaystyle P_2</math>, w którym funkcja <math>\displaystyle f</math> osiąga minimum równe <math>\displaystyle f(P_2)=-1</math>.
Punkt <math>\displaystyle P_1</math> leży na poziomicy zerowej funkcji <math>\displaystyle f</math>, która - jak
już sprawdziliśmy - nie może zawierać żadnego punktu
ekstremalnego funkcji <math>\displaystyle f</math> (zob. [[#prz_6_16|przykład 6.16.]]).
}}

{{przyklad|6.24.||
Podobnie jak w obu poprzednich
przykładach z przebiegu poziomicy zerowej funkcji
<math>\displaystyle f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)</math> wywnioskowaliśmy - w oparciu o
twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą
na zbiorze zwartym - że funkcja ta osiąga minimum  w pewnym
punkcie wewnątrz obszaru ograniczonego lemniskatą Bernoullego.
Rozwiązując układ dwóch równań
<center><math>\displaystyle \left\{\aligned \frac{\partial f}{\partial x}=0\\
\frac{\partial f}{\partial y}=0 \endaligned \right .\ \ \Longleftrightarrow \ \left\{\aligned 2(x^2+y^2)2x-4x=0\\
2(x^2+y^2)2y+4y=0 \endaligned \right .</math></center>
otrzymujemy układ
<center><math>\displaystyle \left\{\aligned x=0 \text{ lub } x^2+y^2-1=0\\
y=0 \text{ lub } x^2+y^2+1=0 \endaligned \right . ,</math></center>
który
spełniają współrzędne trzech punktów <math>\displaystyle P_1=(0,0)</math>, <math>\displaystyle P_2=(-1,0)</math>,
<math>\displaystyle P_3=(1,0)</math>. We wnętrzu obszaru ograniczonego lemniskatą
Bernoullego leżą punkty <math>\displaystyle P_2</math> i <math>\displaystyle P_3</math>, w których funkcja <math>\displaystyle f</math>
osiąga minima równe <math>\displaystyle f(P_2)=f(P_3)=-1</math>. Punkt <math>\displaystyle P_1</math> leży na
poziomicy zerowej funkcji <math>\displaystyle f</math>, która - jak już sprawdziliśmy -
nie może zawierać żadnego punktu ekstremalnego funkcji <math>\displaystyle f</math> (zobacz [[#prz_6_17|przykład 6.17.]]).
}}

==Pochodne cząstkowe wyższych rzędów==

Rozważmy funkcję <math>\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}</math>, która punktowi
<math>\displaystyle x\in U</math> przyporządkowuje pochodną cząstkową funkcji <math>\displaystyle f</math> po
zmiennej <math>\displaystyle x_i</math> w punkcie <math>\displaystyle a</math>, czyli funkcję
<center><math>\displaystyle \frac{\partial f}{\partial
x_i}: U\ni a\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}.</math></center>

{{definicja|6.25.||
Jeśli w punkcie <math>\displaystyle a\in U</math> istnieje
pochodna cząstkowa funkcji <math>\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}</math> po
zmiennej <math>\displaystyle x_j</math>, to mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> ma '''''pochodną
cząstkową rzędu drugiego po zmiennych <math>\displaystyle x_i</math> oraz <math>\displaystyle x_j</math>'''''. Pochodną
tę oznaczamy symbolem <math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j
}\frac{\partial }{\partial x_i }f (a)</math>, bądź krótko
<math>\displaystyle \frac{\partial ^2}{\partial x_j\partial x_i}f(a)</math> lub
<math>\displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_j\partial x_i}</math>. Gdy <math>\displaystyle i=j</math>
piszemy <math>\displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_i^2}</math> zamiast
<math>\displaystyle \frac{\partial ^2f (a)}{\partial x_i\partial x_i}</math>. }}

{{uwaga|6.26.||
Jeśli <math>\displaystyle f: \mathbb{R}^n \ni (x,y, z, \dots, t)\mapsto f(x,y, z,
\dots, t)\in \mathbb{R}</math> jest funkcją <math>\displaystyle n</math> zmiennych, to często zamiast
pisać <center><math>\displaystyle \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x^2}, \ \frac{\partial^2
f(a)}{\partial x\partial y}, \ \frac{\partial^2 f(a)}{\partial
x\partial z}, \dots, </math></center>
piszemy
<center><math>\displaystyle f_{xx}(a), \ f_{xy}(a), \ f_{xz}(a), \dots,</math></center>

bądź
<center><math>\displaystyle f'_{xx}(a), \ f'_{xy}(a), \ f'_{xz}(a), \dots</math></center>

}}

Powstaje naturalne pytanie, czy zachodzi równość między pochodnymi
<math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial }{\partial x_i }f
(a)</math> oraz <math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_i }\frac{\partial
}{\partial x_j }f (a)</math>, jeśli obie istnieją.

Zanim sformułujemy twierdzenie, które stanowi pozytywną odpowiedź
na pytanie, rozważmy następujący

{{przyklad|6.27.||
Funkcja <center><math>\displaystyle f(x,y)=\left\{\aligned
&\frac{xy (x^2-y^2)}{x^2+y^2},  &\text{ gdy } (x,y)\neq (0,0)\\
&0, &\text{ gdy } (x,y)=(0,0)\endaligned \right.</math></center>
ma w punkcie
<math>\displaystyle (0,0)</math> obie pochodne cząstkowe mieszane <math>\displaystyle \frac{\partial
}{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f (0,0)</math> oraz
<math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x }f
(0,0)</math>, lecz są one różne.  A mianowice <math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial
x }\frac{\partial }{\partial y}f (0,0)=1</math>, podczas gdy
<math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial y }\frac{\partial }{\partial x}f
(0,0)=-1.</math> }}

Okazuje się jednak, że wystarczy przyjąć naturalne założenie o
ciągłości pochodnych cząstkowych mieszanych <math>\displaystyle \frac{\partial
}{\partial x }\frac{\partial }{\partial y}f</math> oraz <math>\displaystyle \frac{\partial
}{\partial y }\frac{\partial }{\partial x }f</math> w otoczeniu punktu
<math>\displaystyle a</math>, aby mieć gwarancję ich równości  w danym punkcie.

{{uwaga|6.28.||
Jeśli <math>\displaystyle f:\mathbb{R}^n \supset U\ni x\mapsto
f(x) \in \mathbb{R}</math> jest funkcją, która w punkcie <math>\displaystyle a\in U</math> ma ciągłe
pochodne cząstkowe <math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial
}{\partial x_i }f </math> oraz <math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_i
}\frac{\partial }{\partial x_j }f </math>, to w punkcie <math>\displaystyle a</math> są one
równe, tj. <center><math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_j }\frac{\partial
}{\partial x_i }f (a)= \frac{\partial }{\partial x_i
}\frac{\partial }{\partial x_j }f(a).
</math></center>
}}

Dowód uwagi pomijamy (można go znaleźć np. w podręczniku
Ryszarda Rudnickiego Wykłady z analizy matematycznej, 
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001).

W podobny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Wprowadźmy wygodne oznaczenie pochodnych cząstkowych za pomocą
wielowskaźników <math>\displaystyle \alpha =(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\in
\mathbb{N}_0^n</math>. Niech <math>\displaystyle f:\mathbb{R}^n\supset U\mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją
określoną na zbiorze otwartym <math>\displaystyle U</math>.

Oznaczmy symbolem <math>\displaystyle \frac{\partial^{\alpha_i}}{\partial
x_i^{\alpha_i}}</math> operację, która funkcji <math>\displaystyle f</math> przypisuje pochodną
cząstkową rzędu <math>\displaystyle \alpha_i</math> po zmiennej <math>\displaystyle x_i</math>, o ile ta pochodna
istnieje.

{{definicja|6.29.||
Załóżmy, że istnieją kolejno pochodne cząstkowe
<center><math>\displaystyle \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial
x_n^{\alpha_n}} \bigg(\dots \frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial
x_2^{\alpha_2}} \big(\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial
x_1^{\alpha_1}}f\big)\dots\bigg) (a)</math></center>
i nie zależą od kolejności
różniczkowania. Mówimy wówczas, że funkcja <math>\displaystyle f</math> ma '''''pochodną
cząstkową <center><math>\displaystyle \frac{\partial ^{|\alpha|}f(a)}{\partial
x^\alpha}:=\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}}
\bigg(\dots\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}}
\big(\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial
x_i^{\alpha_1}}f\big)\dots\bigg) (a)</math></center>
rzędu
<math>\displaystyle |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n</math> w punkcie <math>\displaystyle a</math>'''''.
Pochodną tę notujemy też często symbolem <math>\displaystyle D^\alpha f (a)</math>.

}}

==Pochodne cząstkowe w fizyce. Elementy teorii pola==

Niech <math>\displaystyle f:D\mapsto \mathbb{R}</math> będzie funkcją określoną na pewnym
zbiorze otwartym <math>\displaystyle D\subset \mathbb{R}^n</math>. Załóżmy, że w pewnym punkcie
<math>\displaystyle a\in D</math> istnieją pochodne cząstkowe <math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial
f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots,
\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)</math>. 

{{definicja|6.30.||
Wektor <math>\displaystyle \displaystyle \mathrm{grad}\,
f(a)=\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial
f}{\partial x_1}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial
x_1}(a)\bigg)\in \mathbb{R}^n</math> nazywamy '''''gradientem''''' funkcji <math>\displaystyle f</math> w
punkcie <math>\displaystyle a</math>. Wektor ten oznaczamy też często symbolem '''''nabla''''':
<math>\displaystyle \nabla f(a)</math>. Punkt <math>\displaystyle a</math>,
w którym wyznaczamy gradient funkcji <math>\displaystyle f</math>, zapisujemy  czasem w
formie indeksu dolnego: <math>\displaystyle \mathrm{grad}\,_a f</math>, <math>\displaystyle \nabla_a f</math>.

}}

{{uwaga|6.31.||
Jeśli funkcje <math>\displaystyle f,g: \mathbb{R}^n\supset
D\mapsto \mathbb{R}</math> mają w punkcie <math>\displaystyle a\in D</math> pochodne cząstkowe
<math>\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math>, <math>\displaystyle \frac{\partial g}{\partial
x_i}(a)</math>, <math>\displaystyle i=1,2,\dots, n</math>, to

a) <math>\displaystyle \mathrm{grad}\, (f+g)(a)=\mathrm{grad}\, f(a) +\mathrm{grad}\, g(a),</math>

b)  <math>\displaystyle \mathrm{grad}\, (f g)(a)=g(a) \mathrm{grad}\, f(a) +f(a) \mathrm{grad}\, g(a).</math>

}}

{{dowod|6.31.||
Korzystając z twierdzenia o pochodnej sumy i iloczynu funkcji
<math>\displaystyle f,g</math>, wyznaczamy kolejne współrzędne wektorów <math>\displaystyle \mathrm{grad}\,(f+g)(a)</math>
oraz <math>\displaystyle \mathrm{grad}\,(fg)(a)</math>:
<center><math>\displaystyle \frac{\partial}{\partial x_i}(f+g)(a)=\frac{\partial}{\partial
x_i}f(a)+\frac{\partial}{\partial x_i}g(a)</math></center>
oraz
<center><math>\displaystyle \frac{\partial}{\partial
x_i}(fg)(a)=g(a)\frac{\partial}{\partial x_i}f(a)+
f(a)\frac{\partial}{\partial x_i}g(a),</math></center>
gdy <math>\displaystyle i=1,2,\dots, n</math>.
Stąd otrzymujemy równości a) oraz b).

}}

W ramach następnego modułu wykażemy, że 

{{uwaga|6.32.||
Pochodna kierunkowa w kierunku gradientu
jest największa. }}

W fizyce funkcję <math>\displaystyle f:\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R} </math> o wartościach liczbowych
nazywa się '''''funkcją skalarną''''', natomiast funkcję <math>\displaystyle F:
\mathbb{R}^3\mapsto \mathbb{R}^3</math> nazywa się '''''polem (wektorowym)'''''.
Przykładem funkcji skalarnych są np. temperatura, potencjał pola
grawitacyjnego. Przykładem pola, które znamy ze szkoły, jest
'''''pole grawitacyjne'''''. Jeśli w początku układu współrzędnych w
przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math> znajduje się punkt materialny o masie <math>\displaystyle M</math>, to
- zgodnie z '''''prawem powszechnego ciążenia Newtona''''' - na
dowolny inny
punkt materialny położony w punkcie <math>\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)</math> o masie <math>\displaystyle m</math> działa siła
<math>\displaystyle F=(F_x, F_y,
F_z)</math>, której składowe wynoszą:
<center><math>\displaystyle \aligned F_x (\vec{r})&=-k\frac{x}{r^3},\\ F_y
(\vec{r})&=-k\frac{y}{r^3},\\ F_z
(\vec{r})&=-k\frac{z}{r^3},\endaligned</math></center>
gdzie <math>\displaystyle k=G m M</math> jest
iloczynem mas obu punktów materialnych i '''''stałej grawitacji'''''
<center><math>\displaystyle G=6,67259... \cdot 10^{-11} N\cdot m^2\cdot kg^{-2},</math></center>
natomiast
<math>\displaystyle r=\|\vec{r}\|_2=\|(x,y,z)\|_2=\sqrt{x^2 +y^2+z^2}</math> jest
odległością obu punktów. Zwróćmy uwagę, że
<center><math>\displaystyle F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r},</math></center>
stąd
<center><math>\displaystyle \|F(\vec{r})\|_2=\frac{k}{r^3}\|\vec{r}\|_2=\frac{k}{r^3}r=\frac{k}{r^2}</math></center>

siła ta jest odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odległości obu punktów materialnych.

{{definicja|6.33.||
Pole wektorowe <math>\displaystyle F:\mathbb{R}^3\supset D \mapsto
\mathbb{R}^3</math> nazywamy '''''polem potencjalnym''''', jeśli istnieje funkcja
skalarna <math>\displaystyle U:D\mapsto \mathbb{R}</math> taka, że <math>\displaystyle \mathrm{grad}\, U(a)=F(a)</math> w dowolnym
punkcie <math>\displaystyle a</math> zbioru otwartego <math>\displaystyle D\subset \mathbb{R}^3</math>. Funkcję <math>\displaystyle U</math>
nazywamy wówczas '''''potencjałem pola wektorowego''''' <math>\displaystyle F</math>. }}

{{uwaga|6.34.||
Pole grawitacyjne <math>\displaystyle \displaystyle
F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r}</math> jest polem potencjalnym.
Potencjałem tego pola jest funkcja skalarna
<math>\displaystyle U(\vec{r})=\dfrac{k}{r}</math>, gdzie (jak powyżej) <math>\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)</math>
oraz <math>\displaystyle r=\|\vec{r}\|_2=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>. }}

{{dowod|6.34.||
Policzmy pochodne cząstkowe funkcji
<math>\displaystyle U(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{k}{r}</math> określonej w
zbiorze otwartym <math>\displaystyle D=\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}</math>, czyli wszędzie w
przestrzeni <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math> poza początkiem układu współrzędnych. Mamy
<center><math>\displaystyle  \aligned \frac{\partial}{\partial x}U(\vec{r})&=\frac{\partial}{\partial
x}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial
x}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 x}{2 r}=-\frac{k}{r^3}x\\
\frac{\partial}{\partial y}U(\vec{r})&=\frac{\partial}{\partial
y}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial
y}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 y}{2 r}=-\frac{k}{r^3}y\\
\frac{\partial}{\partial z}U(\vec{r})&=\frac{\partial}{\partial
z}\frac{k}{r}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{\partial r}{\partial
z}=-\frac{k}{r^2}\cdot \frac{2 z}{2
r}=-\frac{k}{r^3}z,\endaligned</math></center>
czyli
<center><math>\displaystyle \aligned  \mathrm{grad}\, U(\vec{r})&= \mathrm{grad}\,
U(x,y,z)=(-\frac{k}{r^3} x, -\frac{k}{r^3} y, -\frac{k}{r^3}
z)\\&=-\frac{k}{r^3} (x,y,z)=-\frac{k}{r^3} \vec{r}\\&=
F(\vec{r}).\endaligned </math></center>
}}

{{definicja|6.35.||
'''''Dywergencją''''' pola wektorowego
<math>\displaystyle F=(F_x, F_y, F_z):\mathbb{R}^3\supset D\mapsto \mathbb{R}^3 </math> w punkcie <math>\displaystyle a\in
D</math> nazywamy liczbę
<center><math>\displaystyle \mathrm{div}\, F(a)=\frac{\partial F_x}{\partial x}(a)+\frac{\partial
F_y}{\partial y}(a)+\frac{\partial F_z}{\partial z}(a),</math></center>
o ile
istnieją pochodne cząstkowe <math>\displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}(a), \
\frac{\partial F_y}{\partial y}(a), \ \frac{\partial F_z}{\partial
z}(a)</math>. Jeśli w dowolnym punkcie <math>\displaystyle a\in D</math> dywergencja <math>\displaystyle \mathrm{div}\,
F(a)=0</math>, to pole wektorowe <math>\displaystyle F</math> nazywamy '''''polem bezźródłowym'''''.

}}

{{uwaga|6.36.||
Pole grawitacyjne <math>\displaystyle \displaystyle
F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r}</math> jest polem bezźródłowym w
<math>\displaystyle \mathbb{R}^3\setminus\{0\}</math>. }}

{{dowod|6.36.||
W dowolnym punkcie <math>\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)\neq 0</math> mamy
<center><math>
\begin{array}{lll}
\displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x}(\vec{r})&=&\displaystyle \frac{\partial }{\partial
x}\bigg(-\frac{k}{r^3} x\bigg)=-k\bigg(\frac{\partial x}{\partial
x}\frac{1}{r^3}+x\frac{\partial }{\partial
x}\frac{1}{r^3}\bigg)\\
&=&\displaystyle -k\bigg(\frac{1}{r^3}+x\cdot
\frac{(-3)}{r^4}\frac{\partial r}{\partial
x}\bigg)=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3x^2}{r^5}\bigg)
\end{array}</math></center>
i
podobnie <center><math>\displaystyle \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial
y}(\vec{r})=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3y^2}{r^5}\bigg) \text{
oraz } \frac{\partial F_z}{\partial
z}(\vec{r})=-k\bigg(\frac{1}{r^3}- \frac{3z^2}{r^5}\bigg).</math></center>
Stąd
<center><math>\displaystyle \aligned \mathrm{div}\, F(\vec{r})&=\frac{\partial F_x}{\partial x}(\vec{r})+\frac{\partial
F_y}{\partial y}(\vec{r})+\frac{\partial F_z}{\partial
z}(\vec{r})\\&=-k\bigg(\frac{1}{r^3}-
\frac{3x^2}{r^5}\bigg)-k\bigg(\frac{1}{r^3}-
\frac{3y^2}{r^5}\bigg)-k\bigg(\frac{1}{r^3}-
\frac{3z^2}{r^5}\bigg)\\&=-k\bigg(\frac{3}{r^3}-
\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}\bigg)=-k\bigg(\frac{3}{r^3}-
\frac{3r^2}{r^5}\bigg)=0.\endaligned </math></center>

}}

{{definicja|6.37.||
'''''Rotacją''''' pola wektorowego <math>\displaystyle F=(F_x,
F_y, F_z):\mathbb{R}^3\supset D\mapsto \mathbb{R}^3 </math> w punkcie <math>\displaystyle a\in D</math>
nazywamy wektor <center><math>\displaystyle \mathrm{rot}\, F(a)=\bigg(\frac{\partial F_z}{\partial
y}(a)-\frac{\partial F_y}{\partial z}(a), \ \frac{\partial
F_x}{\partial z}(a)-\frac{\partial F_z}{\partial x}(a), \
\frac{\partial F_y}{\partial x}(a)-\frac{\partial F_x}{\partial
y}(a) \bigg).</math></center>
Wektor ten oznaczamy też czasem symbolem
<math>\displaystyle \nabla\times F(a)</math>. Jeśli w każdym punkcie <math>\displaystyle a\in D</math> rotacja <math>\displaystyle \mathrm{rot}\,
F(a)=0</math>, to pole wektorowe <math>\displaystyle F</math> nazywamy '''''bezwirowym'''''.

}}

{{uwaga|6.38.||
Pole grawitacyjne <math>\displaystyle \displaystyle
F(\vec{r})=-\frac{k}{r^3}\vec{r}</math> jest polem bezwirowym w
<math>\displaystyle \mathbb{R}^3\setminus\{0\}</math>. }}

{{dowod|6.38.||
W dowolnym punkcie <math>\displaystyle \vec{r}=(x,y,z)\neq 0</math> mamy
<center><math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}F_z(\vec{r})=\frac{\partial
}{\partial y}\bigg(-k\frac{1}{r^3}z\bigg)=-kz\frac{\partial
}{\partial
y}\bigg(\frac{1}{r^3}\bigg)=-kz\frac{(-3)}{r^4}\frac{\partial r
}{\partial y}=3kz \frac{y}{r^5}=zy\frac{3k}{r^5}</math></center>
oraz podobnie
<center><math>\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}F_y(\vec{r})=yz\frac{3k}{r^5}. </math></center>

Pierwsza współrzędna wektora rotacji jest więc równa zeru, gdyż
<center><math>\displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial
y}(\vec{r})-\frac{\partial F_y}{\partial
z}(\vec{r})=zy\frac{3k}{r^5}-yz\frac{3k}{r^5}=0.</math></center>
W ten sam
sposób sprawdzamy, że również druga i trzecia współrzędna wektora
rotacji zerują się:
<center><math>\displaystyle \aligned \frac{\partial F_x}{\partial
z}(\vec{r})-\frac{\partial F_z}{\partial
x}(\vec{r})&=xz\frac{3k}{r^5}-zx\frac{3k}{r^5}=0\\ \frac{\partial
F_y}{\partial x}(\vec{r})-\frac{\partial F_x}{\partial
y}(\vec{r})&=yx\frac{3k}{r^5}-xy\frac{3k}{r^5}=0.\endaligned </math></center>

Stąd <math>\displaystyle \mathrm{rot}\, F(\vec{r})=0</math>, dla <math>\displaystyle \vec{r}\neq 0</math>.

}}