Analiza matematyczna 2/Wykład 5: Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

W tym wykładzie zajmujemy się najpierw szeregami potęgowymi. Definiujemy promień zbieżności i podajemy efektywny wzór na jego wyliczenie. Na przykładach badamy przedział zbieżności szeregu potęgowego. Podajemy twierdzenie mówiące o ciągłości sumy szeregu potęgowego oraz o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie. Następnie zajmujemy się szeregami Fouriera. Podajemy definicję i wzory Eulera-Fouriera na współczynniki tego szeregu, jak też kryterium Dirichleta mówiące o jego zbieżności.

Szeregi potęgowe

Wśród szeregów funkcyjnych szczególną rolę odgrywają szeregi potęgowe, to znaczy szeregi, których wyrazy są jednomianami kolejnych stopni. Przykładem szeregu potęgowego jest szereg Taylora funkcji klasy $\displaystyle C^{\infty }$.

Definicja

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie $\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R}$ i współrzędnych $\displaystyle c_{n}\in \mathbb {R}$ ($\displaystyle n\in \mathbb {N}$), nazywamy szereg funkcyjny postaci

$\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}$

(umowa: $\displaystyle (x-x_{0})^{0}=1$ nawet dla $\displaystyle x=x_{0}$).

Uwaga

(1) Gdy $\displaystyle x_{0}=0$, to mamy szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$.
(2) Szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}$ jest zawsze zbieżny w swoim środku, to znaczy dla $\displaystyle x=x_{0}$, bo wtedy dostajemy szereg zerowy.
(3) Dla wygody będziemy w dalszym wykładzie zakładali, że środek $\displaystyle x_{0}=0$, ale wszystkie twierdzenia można łatwo przenieść na przypadek gdy środkiem jest dowolne $\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R}$.

Zacznijmy od kilku prostych obserwacji dotyczących szeregów potęgowych.

Twierdzenie

Jeśli szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest zbieżny dla pewnego $\displaystyle x_{1}\neq 0$, to jest:
(1) bezwzględnie zbieżny dla dowolnego $\displaystyle |x|<|x_{1}|$;
(2) zbieżny jednostajnie na każdym przedziale $\displaystyle (-r,r)$ gdzie $\displaystyle r<|x_{1}|$.

Dowód

Zbieżność szeregu $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ dla $\displaystyle x_{1}$ oznacza zbieżność szeregu liczbowego $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{1}^{n}$, a to z kolei implikuje, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_nx_1^n \ =\ 0 }

(patrz warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych; Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0030|). W szczególności ciąg $\displaystyle \{c_{n}x_{1}^{n}\}$ jest ograniczony, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ \big|c_nx_1^n\big|\le M. }

Przystąpimy teraz do dowodu (1) i (2).
(Ad (1)) Niech $\displaystyle x$ będzie takie, że $\displaystyle |x|<|x_{1}|$. Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|c_nx^n\big| \ =\ \bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1^n}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{x}{x_1}\bigg|^n\big|c_n x_1^n\big| \ \le\ Mq^n, }

gdzie $\displaystyle \displaystyle q={\bigg |}{\frac {x}{x_{1}}}{\bigg |}<1$. Możemy zatem zastosować kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0090|), z którego wynika, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest bezwzględnie zbieżny.
(Ad (2)) Niech $\displaystyle r<|x_{1}|$. Wówczas dla dowolnego $\displaystyle x$ takiego, że $\displaystyle |x|<r$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|c_nx^n\big| \ =\ \bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1}\bigg| \ \le\ Mq^n, }

gdzie $\displaystyle \displaystyle q={\frac {r}{|x_{1}|}}<1$ (zauważmy, że $\displaystyle q$ nie jest zależne od $\displaystyle x$). Korzystając z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.02.0140|) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest zbieżny jednostajnie w przedziale $\displaystyle (-r,r)$.

Definicja

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ nazywamy kres górny zbioru modułów wszystkich liczb $\displaystyle x$, dla których szereg ten jest zbieżny.

Uwaga

Z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.03.0030|(1) wynika, że jeśli $\displaystyle R$ jest promieniem zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$, to szereg ten jest zbieżny (i to bezwzględnie) w przedziale $\displaystyle (-R,R)$ oraz jest rozbieżny dla $\displaystyle |x|>R$. Tłumaczy to nazwę "promień zbieżności". Nic nie wiemy natomiast o zbieżności dla $\displaystyle x=R$ i $\displaystyle x=-R$. W każdej jednak sytuacji obszarem zbieżności szeregu potęgowego jest przedział w $\displaystyle \mathbb {R}$.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregów:
(1) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$;
(2) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$;
(3) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{n}x^{n}$.

Rozwiązanie

(Ad (1)) Jest to znany nam szereg geometryczny. Jest on zbieżny dla $\displaystyle |x|<1$ oraz rozbieżny dla $\displaystyle |x|\geq 1$ (gdyż dla $\displaystyle |x|\geq 1$ nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów; patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0030|).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest $\displaystyle (-1,1)$.
(Ad (2)) Jest to znany nam szereg Maclaurina dla funkcji $\displaystyle f(x)=e^{x}$ (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.02.0180|). Promień zbieżności wynosi $\displaystyle R=+\infty$, a obszarem zbieżności jest $\displaystyle \mathbb {R}$.
(Ad (3)) Szereg ten jest zbieżny tylko dla $\displaystyle x=0$. Dla $\displaystyle x\neq 0$ nie spełnia on warunku koniecznego zbieżności szeregów. Zatem promieniem zbieżności jest $\displaystyle R=0$, a obszarem zbieżności jest $\displaystyle \{0\}$.

Kolejne twierdzenie podaje efektywny wzór na liczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie

Jeśli $\displaystyle R$ jest promieniem zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ oraz $\displaystyle \kappa =\limsup \limits _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$, Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle R \ =\ \left\{ \begin{array} {ll} \displaystyle \frac{1}{\kappa} & \quad } jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ 0<\kappa<+\infty,\\ +\infty & \quad } jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ \kappa=0,\\ 0 & \quad } jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ \kappa=+\infty. \end{array} \right. }

Dowód

Przy ustalonym $\displaystyle x\in \mathbb {R}$, zbadajmy zbieżność szeregu liczbowego $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ korzystając z kryterium Cauchy'ego (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.01.0030|). Dla $\displaystyle x\neq 0$, mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|c_nx^n|} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \kappa|x| & } gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & \kappa<+\infty,\\ +\infty & } gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & \kappa=+\infty. \end{array} \right. }

Przypadek 1. Gdy $\displaystyle \kappa \in (0,+\infty )$, to z kryterium Cauchy'ego (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.01.0030|) wynika, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest zbieżny (bezwzględnie) dla $\displaystyle \displaystyle |x|<{\frac {1}{\kappa }}$ i rozbieżny dla $\displaystyle \displaystyle |x|>{\frac {1}{\kappa }}$. Zatem $\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}$.
Przypadek 2. Gdy $\displaystyle \kappa =0$, to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest zbieżny (bezwzględnie) dla $\displaystyle x\in \mathbb {R}$. Zatem $\displaystyle R=+\infty$.
Przypadek 3. Gdy $\displaystyle \kappa =+\infty$, to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest zbieżny tylko dla $\displaystyle x=0$. Zatem $\displaystyle R=0$.

Przykład

Wyznacz przedziały zbieżności szeregów:
(1) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}(x-2)^{n}$;
(2) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(x+1)^{n}}{n\ln ^{2}n}}$.

Rozwiązanie

(Ad (1)) Korzystamy z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.03.0070|. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \kappa \ =\ \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}} \ =\ 1. }

Zatem promień zbieżności wynosi $\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}=1$, czyli szereg jest zbieżny w przedziale $\displaystyle (2-1,2+1)=(1,3)$ (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj $\displaystyle 2$) oraz jest rozbieżny dla $\displaystyle x\in (-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$. Należy jeszcze zbadań zbieżność dla $\displaystyle x=1$ i dla $\displaystyle x=3$.
Dla $\displaystyle x=1$ mamy szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$, który jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza; patrz Twierdzenie Uzupelnic w.am2.w.01.0110| i Przykład Uzupelnic p.am2.w.01.0120|; jest to znany nam szereg anharmoniczny).
Dla $\displaystyle x=3$ dostajemy szereg harmoniczny $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$, który jest rozbieżny (patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.am1.w.07.0140|).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest $\displaystyle [1,3)$.
(Ad (2)) Liczymy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \kappa \ =\ \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln^2n}}. }

Oszacujmy wyrazy powyższego ciągu następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sqrt[n]{\frac{1}{n^3}} \ \le\ \frac{1}{n\ln^2n} \ \le\ \sqrt[n]{\frac{1}{n}}. }

Ponieważ ciągi po lewej i po prawej stronie mają granicę $\displaystyle 1$, zatem z twierdzenia o trzech ciągach (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.05.0100|) wnioskujemy, że $\displaystyle \kappa =1$. Zatem promień zbieżności wynosi $\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}=1$, czyli szereg jest zbieżny w przedziale $\displaystyle (-1-1,-1+2)=(-2,0)$ (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj $\displaystyle -1$) oraz jest rozbieżny dla $\displaystyle x\in (-\infty ,-2)\cup (0,+\infty )$. Należy jeszcze zbadań zbieżność dla $\displaystyle x=-2$ i dla $\displaystyle x=0$.
Dla $\displaystyle x=-2$ dostajemy szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{2}n}}$, który jest zbieżny (można to pokazać korzystając z kryterium całkowego, patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.am1.w.15.0250|).
Dla $\displaystyle x=0$ mamy szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\ln ^{2}n}}$, który jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza; patrz Twierdzenie Uzupelnic w.am2.w.01.0110| lub też z faktu, że jest on bezwzględnie zbieżny, gdyż powyżej zbadaliśmy zbieżność szeregu modułów jego wyrazów).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest $\displaystyle [-2,0]$.

Wyrazy szeregu potęgowego (jednomiany $\displaystyle c_{n}x^{n}$) są funkcjami klasy $\displaystyle C^{\infty }$. Interesującym jest pytanie o regularność sumy szeregu potęgowego, to znaczy czy funkcja $\displaystyle S(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest ciągła, różniczkowalna, klasy $\displaystyle C^{1}$, klasy $\displaystyle C^{\infty }$? Pierwsze z poniższych twierdzeń mówi, że suma szeregu jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności.

Twierdzenie

Suma szeregu potęgowego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest funkcją ciągłą w przedziale $\displaystyle (-R,R)$, gdzie $\displaystyle R>0$ jest promieniem zbieżności tego szeregu.

Dowód

Niech $\displaystyle R>0$ będzie promieniem zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ (gdy $\displaystyle R=0$, teza jest pusto spełniona). Niech $\displaystyle x\in (-R,R)$. Z własności zbioru liczb rzeczywistych wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists r\in\mathbb{R}:\ |x| \ <\ r \ <\ R. }

{ Rysunek AM2.03.01}
Z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.03.0030|(2) wynika, że szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest jednostajnie zbieżny w $\displaystyle (-r,r)$. Ponieważ funkcje $\displaystyle f_{n}(x)=c_{n}x^{n}$ są ciągłe, więc korzystając z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0120| dostajemy, że suma tego szeregu jest także funkcją ciągłą w $\displaystyle x$. Ponieważ punkt $\displaystyle x\in (-R,R)$ był dowolnie wybrany, więc suma szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale $\displaystyle (-R,R)$.

Kolejne twierdzenie mówi, że wewnątrz przedziału zbieżności suma szeregu potęgowego jest nie tylko ciągła, ale także różniczkowalna oraz pochodna sumy szeregu jest sumą szeregu pochodnych wyrazów szeregu wyjściowego. Dowód tego twierdzenia pomijamy.

Twierdzenie

(O różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie)
Suma szeregu potęgowego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału $\displaystyle (-R,R)$, gdzie $\displaystyle R>0$ jest promieniem zbieżności tego szeregu, a pochodna tej sumy wyraża sie wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f'(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}x^n \qquad\forall\ x\in (-R,R). }

W szczególności szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)c_{n+1}x^{n}$ ma ten sam promień zbieżności co wyjściowy szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$.

Uwaga

Z powyższego twierdzenia wynika, że pochodna sumy szeregu potęgowego jest też sumą pewnego szeregu potęgowego oraz jest ona funkcją ciągłą. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy $\displaystyle C^{1}$. To samo możemy zastosować do pochodnej, itd. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy $\displaystyle C^{\infty }$.

Przykład

Korzystając z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.03.0100| oraz ze znajomości szeregów Maclaurina dla funkcji $\displaystyle e^{x}$, $\displaystyle \sin x$ i $\displaystyle \cos x$ oblicz pochodne tych funkcji.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \qquad\forall\ x\in\mathbb{R}, }

(patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.02.0180|), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (e^x)' \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^n}{n!}\right)' \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \ =\ e^x. }

(2) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sin x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \qquad\forall\ x\in\mathbb{R}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (\sin x)' \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!} \ =\ \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \ =\ \cos x. }

(3) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \cos x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \qquad\forall\ x\in\mathbb{R}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (\cos x)' &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2nx^{2n-1}}{(2n)!} \ =\ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &= -\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \ =\ -\sin x. \endaligned}

Wiemy już, że każdy szereg Taylora jest szeregiem potęgowym. Zadamy teraz pytanie odwrotne. Weźmy dowolny szereg potęgowy $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$. Czy szereg ten jest szeregiem Taylora pewnej funkcji? Mówi o tym poniższa uwaga.

Uwaga

Rozważmy szereg potęgowy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-x_{0})^{n}$. Niech $\displaystyle R$ będzie promieniem zbieżności tego szeregu.

Wiemy, że szereg ten jest zbieżny dla $\displaystyle x$ takich, że $\displaystyle |x-x_{0}|<R$ oraz jest rozbieżny dla $\displaystyle x$ takich, że $\displaystyle |x-x_{0}|>R$.

Jeśli $\displaystyle R>0$, to funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n \qquad } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ x\in(x_0-R,x_0+R) }

jest klasy $\displaystyle C^{\infty }$ na przedziale $\displaystyle {\big (}x_{0}-R,x_{0}+R{\big )}$ (patrz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.03.0110|) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f'(x) &= \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}(x-x_0)^n,\\ \vdots & & \\ f^{(k)}(x) &= \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+k)\cdot\ldots\cdot(n+1)c_{n+k}(x-x_0)^n. \endaligned}

Wstawiając $\displaystyle x=x_{0}$, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f^{(k)}(x_0) \ =\ k!c_k, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle c_n \ =\ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \qquad } dla $\displaystyle \ n\in \mathbb {N}$

ale to są dokładnie współczynniki we wzorze Taylora. Zatem:
(1) Szereg potęgowy jest szeregiem Taylora swojej sumy wewnątrz obszaru zbieżności.
(2) Przedstawienie danej funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne i tym szeregiem jest szereg Taylora.

Szeregi trygonometryczne Fouriera

Przypomnijmy, że funkcję $\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ nazywamy okresową jeśli istnieje liczba $\displaystyle T>0$, taka, że dla wszystkich $\displaystyle x\in R$

$\displaystyle f(x+T)=f(x).$

Przykład

Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus i cosinus:

{ Rysunek AM2.03.02}

Innym przykładem funkcji okresowej jest mantysa, czyli funkcja $\displaystyle m(x):=x-[x]$ (patrz rysunek poniżej).

{ Rysunek AM2.03.03}

Funkcję okresową możemy także otrzymać biorąc na przykład następującą sumę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x). }

{ Rysunek AM2.03.04}

Ogólnie, zauważmy, że biorąc skończoną sumę

$\displaystyle s(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\cos {jx}+b_{j}\sin {jx},$

ze stałymi (rzeczywistymi) współczynnikami $\displaystyle a_{j}$ i $\displaystyle b_{j}$, dostaniemy funkcję okresową.

Problem:
Można zatem zadać sobie pytanie: czy biorąc dowolną funkcję okresowa, możemy ją przedstawić w postaci takiej sumy jak powyżej?

Okazuje się, że jest to dla dużej ilości funkcji możliwe, jeśli zamiast sum skończonych będziemy rozważać sumy nieskończone, czyli szeregi.

Konstrukcja:
Weźmy zatem funkcję okresową $\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Załóżmy, że ma ona okres $\displaystyle 2\pi$, i że na przedziale $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$ funkcja jest całkowalna.

Przykłady funkcji spełniających te założenia są na rysunku poniżej:

{ Rysunek AM2.03.05}

{ Rysunek AM2.03.06}

Przypuśćmy teraz, że możemy zapisać $\displaystyle f$ jako sumę szeregu, zbieżnego jednostajnie, z pewnymi stałymi współczynnikami $\displaystyle a_{n}$ i $\displaystyle b_{n}$:

$\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx),$

Pokażemy teraz, że czy istnieją ogólne wzory na współczynniki $\displaystyle a_{n}$ i $\displaystyle b_{n}$. Aby znaleźć $\displaystyle a_{0}$, scałkujmy obie strony wzoru (Uzupelnic sf|) od $\displaystyle -\pi$ do $\displaystyle \pi$. Dostaniemy wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0dx+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx). }

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=-\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0. }

Dostajemy zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ 2\pi a_0, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx. }

Aby wyliczyć $\displaystyle a_{m},m=1,2,3,\ldots$ pomnóżmy obie strony wzoru (Uzupelnic sf|) przez $\displaystyle \cos(mx)$ i, tak jak powyżej, całkujmy od $\displaystyle -\pi$ do $\displaystyle \pi$.

Dostaniemy wtedy

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(mx)dx=\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }a_{0}\cos(mx)dx+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)\cos(mx)dx+b_{n}\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\cos(mx)dx\right).$

Teraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \ =\ a_0\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=0. }

Dla $\displaystyle m\neq n$ dostaniemy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusów

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx, }

a korzystając ze wzoru na sumę sinusów mamy

$\displaystyle b_{n}\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\cos(mx)dx={\frac {1}{2}}\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx.$

Obliczając, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx \ =\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx \ =\ 0. }

Natomiast gdy $\displaystyle m=n$ dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_m\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx \ =\ \pi a_m. }

Tak więc widzimy, że z prawej strony wzoru (Uzupelnic csf|) znikają wszystkie całki, poza całką o współczynniku $\displaystyle a_{m}$, a zatem otrzymujemy wzór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx. }

Analogicznie, mnożąc obie strony wzoru (Uzupelnic sf|) przez $\displaystyle \sin(mx)$ wyznaczamy wzory na współczynniki $\displaystyle b_{m}$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle b_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx. }

(pozostawiamy to jako ćwiczenie).

Możemy teraz wypisać definicję.

Definicja

Dla funkcji okresowej $\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, o okresie $\displaystyle 2\pi$, i całkowalnej na $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$, tworzymy szereg

$\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx),$

ze współczynnikami

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\\ a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx, \ m=1,2,...,\\ b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx\ m=1,2... \endaligned}

Szereg ten nazywamy szeregiem Fouriera funkcji $\displaystyle f$. Wzory na współczynniki nazywają się wzorami Eulera-Fouriera.

Powyższa konstrukcja pokazuje, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie

Jeśli funkcję $\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, okresową, o okresie $\displaystyle 2\pi$, całkowalną na $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$, możemy zapisać w postaci jednostajnie zbieżnego szeregu:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx), }

to współczynniki $\displaystyle a_{n}$ i $\displaystyle b_{n}$ wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera. (Tak więc przy powyższych założeniach, mamy jednoznaczne przedstawienie $\displaystyle f$ w postaci sumy szeregu trygonometrycznego.)

Uwaga

Na początku tej części wykładu założyliśmy, że we wzorze (Uzupelnic sf|) zachodzi równość, a co więcej, że szereg po prawej stronie tego wzoru jest zbieżny jednostajnie. Zazwyczaj jednak mamy daną funkcję $\displaystyle f$, ale nie mamy danego szeregu $\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)$, tym bardziej nic nie wiemy o jego zbieżności.

Zauważmy jednak, że zawsze możemy wypisać formalnie szereg Fouriera dla danej funkcji (oczywiście dla funkcji spełniającej nasze założenia, czyli okresowej i całkowalnej).

Piszemy wówczas:

$\displaystyle f(x)\sim a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx),$

gdzie współczynniki $\displaystyle a_{n}$ i $\displaystyle b_{n}$ są wyliczone ze wzorów Eulera-Fouriera. Utworzyliśmy zatem szereg Fouriera funkcji $\displaystyle f$, ale pozostaje pytanie, kiedy i do czego ten szereg jest zbieżny. Zaznaczmy, że suma szeregu Fouriera danej funkcji wcale nie musi być równa tej funkcji.

Na poniższym rysunku widzimy wykres funkcji (zielony) i wykres sumy szeregu Fouriera tej funkcji (czerwony).

{ Rysunek AM2.03.07}

Jedną z odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu Fouriera daje poniższe kryterium Dirichleta (które podajemy bez dowodu):

Twierdzenie

(Kryterium Dirichleta)
Załóżmy, że funkcja $\displaystyle f(x)$ o okresie $\displaystyle 2\pi$ jest przedziałami monotoniczna w $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$ (to znaczy, że przedział $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$ można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których funkcja jest monotoniczna) i ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości. Wówczas, w każdym punkcie ciągłości $\displaystyle x_{0}$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x_0) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx_0)+b_n\sin(nx_0). }

Co więcej, dla każdego punktu nieciągłości $\displaystyle y_{0}$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny_0)+b_n\sin(ny_0) \ =\ \frac{f(y_0^+)+f(y_0^-)}{2}, }

gdzie zapis $\displaystyle f(y_{0}^{-})$ oznacza lewostronną granicę funkcji w punkcie $\displaystyle y_{0}$ a zapis $\displaystyle f(y_{0}^{+})$ - granicę prawostronną.

Typowy przykład funkcji spełniającej założenia powyższego kryterium jest przedstawiony na rysunku powyżej, wykres funkcji jest zielony a wykres sumy szeregu Fouriera czerwony.

Uwaga

W zastosowaniach często mamy do czynienia z funkcjami nieokresowymi, zadanymi w przedziale $\displaystyle (-\pi ,\pi ]$. W takich przypadkach musimy funkcję $\displaystyle f$ na całe $\displaystyle \mathbb {R}$ rozszerzyć okresowo.

{ Rysunek AM2.03.06 (ponownie)}

Może się też zdarzyć, że będziemy chcieli rozwinąć w szereg Fouriera funkcję $\displaystyle f$, okresową, ale o okresie $\displaystyle 2T$ (a nie $\displaystyle 2\pi$). Stosujemy wówczas podstawienie $\displaystyle x={\frac {Ty}{\pi }}$ i dostajemy wzory na współczynniki:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})dy,\\ a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\cos(my)dy, \ m=1,2,\ldots\\ b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\sin(my)dy\ m=1,2,\ldots \endaligned}

Dostajemy zatem rozwinięcie

$\displaystyle f({\frac {Ty}{\pi }})=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos(ny)+b_{n}\sin(ny),$

czyli, wracając do zmiennej $\displaystyle x$:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{T})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{T}). }

Przeliczmy teraz jeden istotny przykład:

Przykład

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję $\displaystyle f(x)=x^{2}$ zadaną na przedziale $\displaystyle [-\pi ,\pi ]$.

Liczymy współczynniki:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3},\\ a_n &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx\\ &= \frac{2}{\pi}x^2\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}- \frac{4}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx\\ &= \frac{4}{n\pi}x\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}-\frac{4}{n^2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nx)dx=(-1)^n\frac{4}{n^2}. \endaligned}

Jako ćwiczenie zauważmy, że wszystkie współczynniki $\displaystyle b_{n}$ są równe zero.

Tak więc, skoro nasza funkcja spełnia warunki powyższego kryterium zbieżności, możemy napisać:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^2 \ =\ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(nx)}{\pi}. }

Podstawiając w tym wzorze $\displaystyle x=\pi$ i pamiętając, że $\displaystyle \cos(n\pi )=(-1)^{n}$, otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \pi^2 \ = \ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^n}{n^2}, }

czyli

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},$

zatem nie tylko wykazaliśmy zbieżność szeregu $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$, ale nawet policzyliśmy jego sumę.
{ Rysunek AM2.03.09a}
{ Rysunek AM2.03.09b}
{ Rysunek AM2.03.09c}
{ Rysunek AM2.03.09d}
{ Rysunek AM2.03.09e}
{ Rysunek AM2.03.09f}
{ Rysunek AM2.03.09g : Animacja}