Analiza matematyczna 2/Wykład 5: Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Linia 101: Linia 101:
 
Niech <math>\displaystyle r<|x_1|</math>.
 
Niech <math>\displaystyle r<|x_1|</math>.
 
Wówczas dla dowolnego <math>\displaystyle x</math> takiego, że <math>\displaystyle |x|<r</math>, mamy
 
Wówczas dla dowolnego <math>\displaystyle x</math> takiego, że <math>\displaystyle |x|<r</math>, mamy
 
+
[[grafika:Weierstrass.jpg|thumb|right||Karl Weierstrass (1815-1897)<br>[[Biografia Weierstrass|Zobacz biografię]]]]
 
<center><math>\displaystyle \big|c_nx^n\big|
 
<center><math>\displaystyle \big|c_nx^n\big|
 
\ =\
 
\ =\

Wersja z 00:44, 29 sie 2006

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

W tym wykładzie zajmujemy się najpierw szeregami potęgowymi. Definiujemy promień zbieżności i podajemy efektywny wzór na jego wyliczenie. Na przykładach badamy przedział zbieżności szeregu potęgowego. Podajemy twierdzenie mówiące o ciągłości sumy szeregu potęgowego oraz o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie. Następnie zajmujemy się szeregami Fouriera. Podajemy definicję i wzory Eulera-Fouriera na współczynniki tego szeregu, jak też kryterium Dirichleta mówiące o jego zbieżności.

Szeregi potęgowe

Wśród szeregów funkcyjnych szczególną rolę odgrywają szeregi potęgowe, to znaczy szeregi, których wyrazy są jednomianami kolejnych stopni. Przykładem szeregu potęgowego jest szereg Taylora funkcji klasy .

Definicja 5.1.

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie i współrzędnych (), nazywamy szereg funkcyjny postaci

(umowa: nawet dla ).

Uwaga 5.2.

(1) Gdy , to mamy szereg .
(2) Szereg jest zawsze zbieżny w swoim środku, to znaczy dla , bo wtedy dostajemy szereg zerowy.
(3) Dla wygody będziemy w dalszym wykładzie zakładali, że środek , ale wszystkie twierdzenia można łatwo przenieść na przypadek gdy środkiem jest dowolne .

Zacznijmy od kilku prostych obserwacji dotyczących szeregów potęgowych.

Twierdzenie 5.3.

Jeśli szereg jest zbieżny dla pewnego , to jest:
(1) bezwzględnie zbieżny dla dowolnego ;
(2) zbieżny jednostajnie na każdym przedziale gdzie .

Dowód twierdzenia 5.3.

Zbieżność szeregu dla oznacza zbieżność szeregu liczbowego , a to z kolei implikuje, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_nx_1^n \ =\ 0 }

(patrz warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych; Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0030|). W szczególności ciąg jest ograniczony, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists M\in\mathbb{R}\ \forall n\in\mathbb{N}:\ \big|c_nx_1^n\big|\le M. }

Przystąpimy teraz do dowodu (1) i (2).
(Ad (1)) Niech będzie takie, że . Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|c_nx^n\big| \ =\ \bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1^n}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{x}{x_1}\bigg|^n\big|c_n x_1^n\big| \ \le\ Mq^n, }

gdzie . Możemy zatem zastosować kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0090|), z którego wynika, że szereg jest bezwzględnie zbieżny.
(Ad (2)) Niech . Wówczas dla dowolnego takiego, że , mamy

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|c_nx^n\big| \ =\ \bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1}\bigg| \ \le\ Mq^n, }

gdzie (zauważmy, że nie jest zależne od ). Korzystając z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.02.0140|) wnioskujemy, że szereg jest zbieżny jednostajnie w przedziale .

End of proof.gif

Definicja 5.4.

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy kres górny zbioru modułów wszystkich liczb , dla których szereg ten jest zbieżny.

Uwaga 5.5.

Z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.03.0030|(1) wynika, że jeśli jest promieniem zbieżności szeregu , to szereg ten jest zbieżny (i to bezwzględnie) w przedziale oraz jest rozbieżny dla . Tłumaczy to nazwę "promień zbieżności". Nic nie wiemy natomiast o zbieżności dla i . W każdej jednak sytuacji obszarem zbieżności szeregu potęgowego jest przedział w .

Przykład 5.6.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1) ;
(2) ;
(3) .

Rozwiązanie

Kolejne twierdzenie podaje efektywny wzór na liczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie 5.7.

Jeśli jest promieniem zbieżności szeregu oraz ,
to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle R \ =\ \left\{ \begin{array} {ll} \displaystyle \frac{1}{\kappa} & \quad \textrm{jeśli} \displaystyle \ 0<\kappa<+\infty,\\ +\infty & \quad \textrm{jeśli} \displaystyle \ \kappa=0,\\ 0 & \quad \textrm{jeśli} \displaystyle \ \kappa=+\infty. \end{array} \right. }
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Dowód twierdzenia 5.7.

Przy ustalonym , zbadajmy zbieżność szeregu liczbowego korzystając z kryterium Cauchy'ego (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.01.0030|). Dla , mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|c_nx^n|} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \kappa|x| & \textrm{gdy} \displaystyle & \kappa<+\infty,\\ +\infty & \textrm{gdy} \displaystyle & \kappa=+\infty. \end{array} \right. }

Przypadek 1. Gdy , to z kryterium Cauchy'ego (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.am2.w.01.0030|) wynika, że szereg jest zbieżny (bezwzględnie) dla i rozbieżny dla . Zatem .
Przypadek 2. Gdy , to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg jest zbieżny (bezwzględnie) dla . Zatem .
Przypadek 3. Gdy , to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg jest zbieżny tylko dla . Zatem .

End of proof.gif

Przykład 5.8.

Wyznacz przedziały zbieżności szeregów:
(1) ;
(2) .

Rozwiązanie

Wyrazy szeregu potęgowego (jednomiany ) są funkcjami klasy . Interesującym jest pytanie o regularność sumy szeregu potęgowego, to znaczy czy funkcja jest ciągła, różniczkowalna, klasy , klasy ? Pierwsze z poniższych twierdzeń mówi, że suma szeregu jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności.

Twierdzenie 5.9.

Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w przedziale , gdzie jest promieniem zbieżności tego szeregu.

Dowód twierdzenia 5.9.

Niech będzie promieniem zbieżności szeregu (gdy , teza jest pusto spełniona). Niech . Z własności zbioru liczb rzeczywistych wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists r\in\mathbb{R}:\ |x| \ <\ r \ <\ R. }

{ Rysunek AM2.03.01}
Z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.03.0030|(2) wynika, że szereg jest jednostajnie zbieżny w . Ponieważ funkcje są ciągłe, więc korzystając z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0120| dostajemy, że suma tego szeregu jest także funkcją ciągłą w . Ponieważ punkt był dowolnie wybrany, więc suma szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale .

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie mówi, że wewnątrz przedziału zbieżności suma szeregu potęgowego jest nie tylko ciągła, ale także różniczkowalna oraz pochodna sumy szeregu jest sumą szeregu pochodnych wyrazów szeregu wyjściowego. Dowód tego twierdzenia pomijamy.

Twierdzenie 5.10.

(O różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie)
Suma szeregu potęgowego jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału , gdzie jest promieniem zbieżności tego szeregu, a pochodna tej sumy wyraża sie wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f'(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}x^n \qquad\forall\ x\in (-R,R). }

W szczególności szereg ma ten sam promień zbieżności co wyjściowy szereg .

Uwaga 5.11.

Z powyższego twierdzenia wynika, że pochodna sumy szeregu potęgowego jest też sumą pewnego szeregu potęgowego oraz jest ona funkcją ciągłą. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy . To samo możemy zastosować do pochodnej, itd. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy .

Przykład 5.12.

Korzystając z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.03.0100| oraz ze znajomości szeregów Maclaurina dla funkcji , i oblicz pochodne tych funkcji.

Rozwiązanie

Wiemy już, że każdy szereg Taylora jest szeregiem potęgowym. Zadamy teraz pytanie odwrotne. Weźmy dowolny szereg potęgowy . Czy szereg ten jest szeregiem Taylora pewnej funkcji? Mówi o tym poniższa uwaga.

Uwaga 5.13.

Rozważmy szereg potęgowy . Niech będzie promieniem zbieżności tego szeregu.

Wiemy, że szereg ten jest zbieżny dla takich, że oraz jest rozbieżny dla takich, że .

Jeśli , to funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n \qquad } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ x\in(x_0-R,x_0+R) }

jest klasy na przedziale (patrz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.03.0110|) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned f'(x) &= \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}(x-x_0)^n,\\ \vdots & & \\ f^{(k)}(x) &= \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+k)\cdot\ldots\cdot(n+1)c_{n+k}(x-x_0)^n. \endaligned}

Wstawiając , dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f^{(k)}(x_0) \ =\ k!c_k, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle c_n \ =\ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \qquad } dla

ale to są dokładnie współczynniki we wzorze Taylora. Zatem:
(1) Szereg potęgowy jest szeregiem Taylora swojej sumy wewnątrz obszaru zbieżności.
(2) Przedstawienie danej funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne i tym szeregiem jest szereg Taylora.

Szeregi trygonometryczne Fouriera

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Zobacz biografię

Przypomnijmy, że funkcję nazywamy okresową jeśli istnieje liczba , taka, że dla wszystkich

Przykład 5.14.

Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus i cosinus:

{ Rysunek AM2.03.02}

Innym przykładem funkcji okresowej jest mantysa, czyli funkcja (patrz rysunek poniżej).

{ Rysunek AM2.03.03}

Funkcję okresową możemy także otrzymać biorąc na przykład następującą sumę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x). }

{ Rysunek AM2.03.04}

Ogólnie, zauważmy, że biorąc skończoną sumę

ze stałymi (rzeczywistymi) współczynnikami i , dostaniemy funkcję okresową.

Problem:
Można zatem zadać sobie pytanie: czy biorąc dowolną funkcję okresowa, możemy ją przedstawić w postaci takiej sumy jak powyżej?

Okazuje się, że jest to dla dużej ilości funkcji możliwe, jeśli zamiast sum skończonych będziemy rozważać sumy nieskończone, czyli szeregi.

Konstrukcja:
Weźmy zatem funkcję okresową . Załóżmy, że ma ona okres , i że na przedziale funkcja jest całkowalna.

Przykłady funkcji spełniających te założenia są na rysunku poniżej:

{ Rysunek AM2.03.05}

{ Rysunek AM2.03.06}

Przypuśćmy teraz, że możemy zapisać jako sumę szeregu, zbieżnego jednostajnie, z pewnymi stałymi współczynnikami i :

Pokażemy teraz, że czy istnieją ogólne wzory na współczynniki i . Aby znaleźć , scałkujmy obie strony wzoru (Uzupelnic sf|) od do . Dostaniemy wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0dx+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx). }

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0, }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=-\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi} \ =\ 0. }

Dostajemy zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \ =\ 2\pi a_0, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx. }

Aby wyliczyć pomnóżmy obie strony wzoru (Uzupelnic sf|) przez i, tak jak powyżej, całkujmy od do .

Dostaniemy wtedy

Teraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx \ =\ a_0\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=0. }

Dla dostaniemy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusów

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx \ =\ \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx, }

a korzystając ze wzoru na sumę sinusów mamy

Obliczając, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx \ =\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx \ =\ 0. }

Natomiast gdy dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_m\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx \ =\ \pi a_m. }

Tak więc widzimy, że z prawej strony wzoru (Uzupelnic csf|) znikają wszystkie całki, poza całką o współczynniku , a zatem otrzymujemy wzór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx. }

Analogicznie, mnożąc obie strony wzoru (Uzupelnic sf|) przez wyznaczamy wzory na współczynniki :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle b_m \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx. }

(pozostawiamy to jako ćwiczenie).

Możemy teraz wypisać definicję.

Leonhard Euler (1707-1783)
Zobacz biografię

Definicja 5.15.

Dla funkcji okresowej , o okresie , i całkowalnej na , tworzymy szereg

ze współczynnikami

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\\ a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx, \ m=1,2,...,\\ b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx\ m=1,2... \endaligned}

Szereg ten nazywamy szeregiem Fouriera funkcji . Wzory na współczynniki nazywają się wzorami Eulera-Fouriera.

Powyższa konstrukcja pokazuje, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 5.16.

Jeśli funkcję , okresową, o okresie , całkowalną na , możemy zapisać w postaci jednostajnie zbieżnego szeregu:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx), }

to współczynniki i wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera. (Tak więc przy powyższych założeniach, mamy jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy szeregu trygonometrycznego.)

Uwaga 5.17.

Na początku tej części wykładu założyliśmy, że we wzorze (Uzupelnic sf|) zachodzi równość, a co więcej, że szereg po prawej stronie tego wzoru jest zbieżny jednostajnie. Zazwyczaj jednak mamy daną funkcję , ale nie mamy danego szeregu , tym bardziej nic nie wiemy o jego zbieżności.

Zauważmy jednak, że zawsze możemy wypisać formalnie szereg Fouriera dla danej funkcji (oczywiście dla funkcji spełniającej nasze założenia, czyli okresowej i całkowalnej).

Piszemy wówczas:

gdzie współczynniki i są wyliczone ze wzorów Eulera-Fouriera. Utworzyliśmy zatem szereg Fouriera funkcji , ale pozostaje pytanie, kiedy i do czego ten szereg jest zbieżny. Zaznaczmy, że suma szeregu Fouriera danej funkcji wcale nie musi być równa tej funkcji.

Na poniższym rysunku widzimy wykres funkcji (zielony) i wykres sumy szeregu Fouriera tej funkcji (czerwony).

{ Rysunek AM2.03.07}

Jedną z odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu Fouriera daje poniższe kryterium Dirichleta (które podajemy bez dowodu):

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Zobacz biografię

Twierdzenie 5.18.

(Kryterium Dirichleta)
Załóżmy, że funkcja o okresie jest przedziałami monotoniczna w (to znaczy, że przedział można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których funkcja jest monotoniczna) i ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości. Wówczas, w każdym punkcie ciągłości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x_0) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx_0)+b_n\sin(nx_0). }

Co więcej, dla każdego punktu nieciągłości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny_0)+b_n\sin(ny_0) \ =\ \frac{f(y_0^+)+f(y_0^-)}{2}, }

gdzie zapis oznacza lewostronną granicę funkcji w punkcie a zapis - granicę prawostronną.

Typowy przykład funkcji spełniającej założenia powyższego kryterium jest przedstawiony na rysunku powyżej, wykres funkcji jest zielony a wykres sumy szeregu Fouriera czerwony.

Uwaga 5.19.

W zastosowaniach często mamy do czynienia z funkcjami nieokresowymi, zadanymi w przedziale . W takich przypadkach musimy funkcję na całe rozszerzyć okresowo.

{ Rysunek AM2.03.06 (ponownie)}

Może się też zdarzyć, że będziemy chcieli rozwinąć w szereg Fouriera funkcję , okresową, ale o okresie (a nie ). Stosujemy wówczas podstawienie i dostajemy wzory na współczynniki:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})dy,\\ a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\cos(my)dy, \ m=1,2,\ldots\\ b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\sin(my)dy\ m=1,2,\ldots \endaligned}

Dostajemy zatem rozwinięcie

czyli, wracając do zmiennej :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{T})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{T}). }

Przeliczmy teraz jeden istotny przykład:

Przykład 5.20.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję zadaną na przedziale .

Liczymy współczynniki:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3},\\ a_n &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx\\ &= \frac{2}{\pi}x^2\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}- \frac{4}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx\\ &= \frac{4}{n\pi}x\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}-\frac{4}{n^2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nx)dx=(-1)^n\frac{4}{n^2}. \endaligned}

Jako ćwiczenie zauważmy, że wszystkie współczynniki są równe zero.

Tak więc, skoro nasza funkcja spełnia warunki powyższego kryterium zbieżności, możemy napisać:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x^2 \ =\ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(nx)}{\pi}. }

Podstawiając w tym wzorze i pamiętając, że , otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \pi^2 \ = \ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^n}{n^2}, }

czyli

zatem nie tylko wykazaliśmy zbieżność szeregu , ale nawet policzyliśmy jego sumę.

Poniższy rysunek pokazuje jak kolejne sumy czesciowe szeregu Fouriera „zblizaja sie” do granicy.

{ Rysunek AM2.05.W.R09}