Analiza matematyczna 2/Wykład 5: Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "<div class="thumb"><div style="width:(.*);"> <flash>file=(.*)\.swf\|width=(.*)\|height=(.*)<\/flash> <\/div><\/div>" na "$3x$4px|thumb|center|$5")
 
(Nie pokazano 86 wersji utworzonych przez 6 użytkowników)
Linia 21: Linia 21:
  
 
'''''Szeregiem potęgowym''''' o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0\in\mathbb{R}</math>  i
 
'''''Szeregiem potęgowym''''' o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0\in\mathbb{R}</math>  i
współrzędnych <math>\displaystyle c_n\in\mathbb{R}</math> (<math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>),
+
współrzędnych <math>\displaystyle c_n\in\mathbb{R}</math> (<math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>)
 
nazywamy szereg funkcyjny postaci
 
nazywamy szereg funkcyjny postaci
  
Linia 41: Linia 41:
 
Dla wygody będziemy w dalszym wykładzie zakładali, że
 
Dla wygody będziemy w dalszym wykładzie zakładali, że
 
środek <math>\displaystyle x_0=0</math>,
 
środek <math>\displaystyle x_0=0</math>,
ale wszystkie twierdzenia można łatwo przenieść na przypadek
+
ale wszystkie twierdzenia można łatwo przenieść na przypadek,
 
gdy środkiem jest dowolne <math>\displaystyle x_0\in\mathbb{R}</math>.
 
gdy środkiem jest dowolne <math>\displaystyle x_0\in\mathbb{R}</math>.
 
}}
 
}}
Linia 48: Linia 48:
 
potęgowych.
 
potęgowych.
  
{{twierdzenie|5.3.||
+
<span id="tw_5_3">{{twierdzenie|5.3.||
  
 
Jeśli szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest zbieżny dla pewnego
 
Jeśli szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest zbieżny dla pewnego
Linia 55: Linia 55:
 
<math>\displaystyle |x|<|x_1|</math>;<br>
 
<math>\displaystyle |x|<|x_1|</math>;<br>
 
'''(2)''' zbieżny jednostajnie na każdym przedziale
 
'''(2)''' zbieżny jednostajnie na każdym przedziale
<math>\displaystyle (-r,r)</math> gdzie <math>\displaystyle r<|x_1|</math>.
+
<math>\displaystyle (-r,r)</math>, gdzie <math>\displaystyle r<|x_1|</math>.
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|twierdzenia 5.3.||
+
{{dowod|5.3. [nadobowiązkowy]||
  
 
Zbieżność szeregu <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> dla <math>\displaystyle x_1</math> oznacza zbieżność
 
Zbieżność szeregu <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> dla <math>\displaystyle x_1</math> oznacza zbieżność
Linia 65: Linia 65:
  
 
<center><math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_nx_1^n
 
<center><math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} c_nx_1^n
\ =\
+
=
 
0
 
0
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
(patrz warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych;
 
(patrz warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych;
Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.07.0030|Uzupelnic t.am1.w.07.0030|]]).
+
[[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_3|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.3.]]).
 
W szczególności ciąg <math>\displaystyle \{c_nx_1^n\}</math> jest ograniczony,
 
W szczególności ciąg <math>\displaystyle \{c_nx_1^n\}</math> jest ograniczony,
 
to znaczy
 
to znaczy
  
<center><math>\displaystyle \exists M\in\mathbb{R}\
+
<center><math>\displaystyle \exists M\in\mathbb{R}
\forall n\in\mathbb{N}:\
+
\forall n\in\mathbb{N}:
 
\big|c_nx_1^n\big|\le M.
 
\big|c_nx_1^n\big|\le M.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 84: Linia 84:
  
 
<center><math>\displaystyle \big|c_nx^n\big|
 
<center><math>\displaystyle \big|c_nx^n\big|
\ =\
+
=
 
\bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1^n}\bigg|
 
\bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1^n}\bigg|
\ =\
+
=
 
\bigg|\frac{x}{x_1}\bigg|^n\big|c_n x_1^n\big|
 
\bigg|\frac{x}{x_1}\bigg|^n\big|c_n x_1^n\big|
\ \le\
+
\le
 
Mq^n,
 
Mq^n,
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 95: Linia 95:
 
Możemy zatem zastosować kryterium porównawcze zbieżności
 
Możemy zatem zastosować kryterium porównawcze zbieżności
 
szeregów
 
szeregów
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.07.0090|Uzupelnic t.am1.w.07.0090|]]),
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_9|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.]]),
 
z którego wynika, że
 
z którego wynika, że
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest bezwzględnie zbieżny.<br>
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest bezwzględnie zbieżny.<br>
 
'''(Ad (2))'''
 
'''(Ad (2))'''
 
Niech <math>\displaystyle r<|x_1|</math>.
 
Niech <math>\displaystyle r<|x_1|</math>.
Wówczas dla dowolnego <math>\displaystyle x</math> takiego, że <math>\displaystyle |x|<r</math>, mamy
+
Wówczas dla dowolnego <math>\displaystyle x</math> takiego, że <math>\displaystyle |x|<r</math> mamy
 
+
[[grafika:Weierstrass.jpg|thumb|right||Karl Weierstrass (1815-1897)<br>[[Biografia Weierstrass|Zobacz biografię]]]]
<center><math>\displaystyle \big|c_nx^n\big|
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle \big|c_nx^n\big|
 +
=
 
\bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1}\bigg|
 
\bigg|c_nx_1^n\cdot\frac{x^n}{x_1}\bigg|
\ \le\
+
\le
 
Mq^n,
 
Mq^n,
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
gdzie
 
gdzie
Linia 113: Linia 115:
 
(zauważmy, że <math>\displaystyle q</math> nie jest zależne od <math>\displaystyle x</math>).
 
(zauważmy, że <math>\displaystyle q</math> nie jest zależne od <math>\displaystyle x</math>).
 
Korzystając z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów
 
Korzystając z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów
funkcyjnych (patrz Twierdzenie [[##t.am2.w.02.0140|Uzupelnic t.am2.w.02.0140|]])
+
funkcyjnych (patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora#tw_4_15|twierdzenie 4.15.]]),
 
wnioskujemy, że szereg
 
wnioskujemy, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest zbieżny
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest zbieżny
Linia 128: Linia 130:
 
{{uwaga|5.5.||
 
{{uwaga|5.5.||
  
Z Twierdzenia [[##t.am2.w.03.0030|Uzupelnic t.am2.w.03.0030|]](1) wynika, że jeśli <math>\displaystyle R</math> jest promieniem zbieżności
+
Z [[#tw_5_3|twierdzenia 5.3.]] (1) wynika, że jeśli <math>\displaystyle R</math> jest promieniem zbieżności
 
szeregu <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math>,
 
szeregu <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math>,
 
to szereg ten jest zbieżny
 
to szereg ten jest zbieżny
Linia 147: Linia 149:
 
'''(2)''' <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>;<br>
 
'''(2)''' <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>;<br>
 
'''(3)''' <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n^nx^n</math>.
 
'''(3)''' <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n^nx^n</math>.
}}
+
 
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
 
 
'''(Ad (1))'''
 
'''(Ad (1))'''
 
Jest to znany nam szereg geometryczny.
 
Jest to znany nam szereg geometryczny.
Linia 155: Linia 155:
 
<math>\displaystyle |x|\ge 1</math> (gdyż
 
<math>\displaystyle |x|\ge 1</math> (gdyż
 
dla <math>\displaystyle |x|\ge 1</math> nie spełnia warunku koniecznego zbieżności
 
dla <math>\displaystyle |x|\ge 1</math> nie spełnia warunku koniecznego zbieżności
szeregów; patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.07.0030|Uzupelnic t.am1.w.07.0030|]]).<br>
+
szeregów; patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_3|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.3.]]).<br>
 
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest <math>\displaystyle (-1,1)</math>.<br>
 
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest <math>\displaystyle (-1,1)</math>.<br>
 
'''(Ad (2))'''
 
'''(Ad (2))'''
 
Jest to znany nam szereg Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle f(x)=e^x</math>
 
Jest to znany nam szereg Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle f(x)=e^x</math>
(patrz Twierdzenie [[##t.am2.w.02.0180|Uzupelnic t.am2.w.02.0180|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora#tw_4_19|twierdzenie 4.19.]]).
 
Promień zbieżności wynosi <math>\displaystyle R=+\infty</math>, a obszarem zbieżności
 
Promień zbieżności wynosi <math>\displaystyle R=+\infty</math>, a obszarem zbieżności
 
jest <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.<br>
 
jest <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.<br>
Linia 166: Linia 166:
 
spełnia on warunku koniecznego zbieżności szeregów.
 
spełnia on warunku koniecznego zbieżności szeregów.
 
Zatem promieniem zbieżności jest <math>\displaystyle R=0</math>, a obszarem zbieżności
 
Zatem promieniem zbieżności jest <math>\displaystyle R=0</math>, a obszarem zbieżności
jest <math>\displaystyle \{0\}</math>.
+
jest <math>\displaystyle \{0\}</math>.}}
</div></div>
 
  
 
Kolejne twierdzenie podaje efektywny wzór na liczenie
 
Kolejne twierdzenie podaje efektywny wzór na liczenie
 
promienia zbieżności szeregu potęgowego.
 
promienia zbieżności szeregu potęgowego.
  
{{twierdzenie|5.7.||
+
{{twierdzenie|5.7.|tw_5_7|
  
 
'''Jeśli''' <math>\displaystyle R</math> jest promieniem zbieżności szeregu <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}
 
'''Jeśli''' <math>\displaystyle R</math> jest promieniem zbieżności szeregu <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}
Linia 182: Linia 181:
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
 
R
 
R
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {ll}
 
\begin{array} {ll}
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\frac{1}{\kappa}
 
\frac{1}{\kappa}
& \quad \textrm{jeśli} \displaystyle  \ 0<\kappa<+\infty,\\
+
& \quad \text{jeśli} \displaystyle  \ 0<\kappa<+\infty,\\
 
+\infty
 
+\infty
& \quad \textrm{jeśli} \displaystyle  \ \kappa=0,\\
+
& \quad \text{jeśli} \displaystyle  \ \kappa=0,\\
0 & \quad \textrm{jeśli} \displaystyle  \ \kappa=+\infty.
+
0 & \quad \text{jeśli} \displaystyle  \ \kappa=+\infty.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
Linia 197: Linia 196:
 
}}
 
}}
 
[[grafika:Cauchy.jpg|thumb|right||Augustin Louis Cauchy (1789-1857)<br>[[Biografia Cauchy|Zobacz biografię]]]]
 
[[grafika:Cauchy.jpg|thumb|right||Augustin Louis Cauchy (1789-1857)<br>[[Biografia Cauchy|Zobacz biografię]]]]
{{dowod|twierdzenia 5.7.||
+
{{dowod|5.7.||
  
 
Przy ustalonym <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>,
 
Przy ustalonym <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>,
 
zbadajmy zbieżność szeregu liczbowego
 
zbadajmy zbieżność szeregu liczbowego
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> korzystając z kryterium Cauchy'ego
+
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math>, korzystając z kryterium Cauchy'ego
(patrz Twierdzenie [[##t.am2.w.01.0030|Uzupelnic t.am2.w.01.0030|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#twierdzenie_7_4|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 7.4.]]).
 
Dla <math>\displaystyle x\ne 0</math>, mamy:
 
Dla <math>\displaystyle x\ne 0</math>, mamy:
  
Linia 208: Linia 207:
 
<math>\displaystyle  
 
<math>\displaystyle  
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|c_nx^n|}
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|c_nx^n|}
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
\kappa|x| &  \textrm{gdy} \displaystyle  & \kappa<+\infty,\\
+
\kappa|x| &  \text{gdy} \displaystyle  & \kappa<+\infty,\\
+\infty  &  \textrm{gdy} \displaystyle  & \kappa=+\infty.
+
+\infty  &  \text{gdy} \displaystyle  & \kappa=+\infty.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
Linia 220: Linia 219:
 
'''Przypadek 1.'''
 
'''Przypadek 1.'''
 
Gdy <math>\displaystyle \kappa\in(0,+\infty)</math>, to z kryterium Cauchy'ego
 
Gdy <math>\displaystyle \kappa\in(0,+\infty)</math>, to z kryterium Cauchy'ego
(patrz Twierdzenie [[##t.am2.w.01.0030|Uzupelnic t.am2.w.01.0030|]])
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#twierdzenie_7_4|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 7.4.]])
 
wynika, że szereg
 
wynika, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest zbieżny (bezwzględnie) dla
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest zbieżny (bezwzględnie) dla
Linia 251: Linia 250:
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{(x+1)^n}{n\ln^2n}</math>.
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{(x+1)^n}{n\ln^2n}</math>.
}}
 
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
 
 
'''(Ad (1))'''
 
'''(Ad (1))'''
Korzystamy z Twierdzenia [[##t.am2.w.03.0070|Uzupelnic t.am2.w.03.0070|]]. Mamy
+
Korzystamy z [[#tw_5_7|twierdzenia 5.7.]] Mamy
  
 
<center><math>\displaystyle \kappa
 
<center><math>\displaystyle \kappa
\ =\
+
=
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}
\ =\
+
=
 
1.
 
1.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 268: Linia 265:
 
<math>\displaystyle (2-1,2+1)=(1,3)</math> (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj <math>\displaystyle 2</math>)
 
<math>\displaystyle (2-1,2+1)=(1,3)</math> (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj <math>\displaystyle 2</math>)
 
oraz jest rozbieżny dla <math>\displaystyle x\in(-\infty,1)\cup (3,+\infty)</math>.
 
oraz jest rozbieżny dla <math>\displaystyle x\in(-\infty,1)\cup (3,+\infty)</math>.
Należy jeszcze zbadań zbieżność dla
+
Należy jeszcze zbadać zbieżność dla
 
<math>\displaystyle x=1</math> i dla <math>\displaystyle x=3</math>.<br>
 
<math>\displaystyle x=1</math> i dla <math>\displaystyle x=3</math>.<br>
 
Dla <math>\displaystyle x=1</math> mamy szereg
 
Dla <math>\displaystyle x=1</math> mamy szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}</math>, który jest zbieżny
 
<math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}</math>, który jest zbieżny
(wynika to z kryterium Leibniza; patrz Twierdzenie [[##w.am2.w.01.0110|Uzupelnic w.am2.w.01.0110|]]
+
(wynika to z kryterium Leibniza; patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#wniosek_7_13|Analiza matematyczna 1 wniosek 7.13]] i [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#przyklad_7_14|przykład 7.14.]]; jest to znany nam szereg anharmoniczny).<br>
i Przykład [[##p.am2.w.01.0120|Uzupelnic p.am2.w.01.0120|]]; jest to znany nam szereg
 
anharmoniczny).<br>
 
 
Dla <math>\displaystyle x=3</math> dostajemy szereg harmoniczny
 
Dla <math>\displaystyle x=3</math> dostajemy szereg harmoniczny
 
<math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>, który jest rozbieżny
 
<math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>, który jest rozbieżny
(patrz Przykład AM1.[[##p.am1.w.07.0140|Uzupelnic p.am1.w.07.0140|]]).<br>
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#przyklad_6_14|przykład 6.14.]]).<br>
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest
+
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest <math>\displaystyle [1,3)</math>.<br>
<math>\displaystyle [1,3)</math>.<br>
 
 
'''(Ad (2))'''
 
'''(Ad (2))'''
 
Liczymy
 
Liczymy
  
 
<center><math>\displaystyle \kappa
 
<center><math>\displaystyle \kappa
\ =\
+
=
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln^2n}}.
 
\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln^2n}}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 291: Linia 285:
  
 
<center><math>\displaystyle \sqrt[n]{\frac{1}{n^3}}
 
<center><math>\displaystyle \sqrt[n]{\frac{1}{n^3}}
\ \le\
+
\le
 
\frac{1}{n\ln^2n}
 
\frac{1}{n\ln^2n}
\ \le\
+
\le
 
\sqrt[n]{\frac{1}{n}}.
 
\sqrt[n]{\frac{1}{n}}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 299: Linia 293:
 
Ponieważ ciągi po lewej i po prawej stronie mają granicę <math>\displaystyle 1</math>, zatem
 
Ponieważ ciągi po lewej i po prawej stronie mają granicę <math>\displaystyle 1</math>, zatem
 
z twierdzenia o trzech ciągach
 
z twierdzenia o trzech ciągach
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.05.0100|Uzupelnic t.am1.w.05.0100|]]) wnioskujemy, że
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 4: Ciągi liczbowe#twierdzenie_4_11|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 4.11.]]) wnioskujemy, że
 
<math>\displaystyle \kappa=1</math>.
 
<math>\displaystyle \kappa=1</math>.
 
Zatem promień zbieżności wynosi
 
Zatem promień zbieżności wynosi
Linia 310: Linia 304:
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2n}</math>,
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2n}</math>,
 
który jest zbieżny
 
który jest zbieżny
(można to pokazać korzystając z kryterium całkowego,
+
(można to pokazać, korzystając z kryterium całkowego,
patrz Przykład AM1.[[##p.am1.w.15.0250|Uzupelnic p.am1.w.15.0250|]]).<br>
+
patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej#przyklad_14_27|Analiza matematyczna 1 przykład 14.27.]]).<br>
 
Dla <math>\displaystyle x=0</math> mamy szereg
 
Dla <math>\displaystyle x=0</math> mamy szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\ln^2n}</math>, który jest zbieżny
 
<math>\displaystyle \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\ln^2n}</math>, który jest zbieżny
(wynika to z kryterium Leibniza; patrz Twierdzenie
+
(wynika to z kryterium Leibniza; patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności#wniosek_7_13|Analiza matematyczna 1 wniosek 7.13.]] lub też z faktu, że jest on bezwzględnie zbieżny, gdyż powyżej
[[##w.am2.w.01.0110|Uzupelnic w.am2.w.01.0110|]]
 
lub też z faktu, że jest on bezwzględnie zbieżny, gdyż powyżej
 
 
zbadaliśmy zbieżność szeregu modułów jego wyrazów).<br>
 
zbadaliśmy zbieżność szeregu modułów jego wyrazów).<br>
 
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest
 
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest
<math>\displaystyle [-2,0]</math>.
+
<math>\displaystyle [-2,0]</math>.}}
</div></div>
 
  
 
Wyrazy szeregu potęgowego (jednomiany <math>\displaystyle c_nx^n</math>) są
 
Wyrazy szeregu potęgowego (jednomiany <math>\displaystyle c_nx^n</math>) są
Linia 326: Linia 317:
 
Interesującym jest pytanie o regularność sumy szeregu
 
Interesującym jest pytanie o regularność sumy szeregu
 
potęgowego,
 
potęgowego,
to znaczy czy funkcja
+
to znaczy, czy funkcja
 
<math>\displaystyle S(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest ciągła, różniczkowalna,
 
<math>\displaystyle S(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest ciągła, różniczkowalna,
 
klasy <math>\displaystyle C^1</math>, klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>?
 
klasy <math>\displaystyle C^1</math>, klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>?
Linia 340: Linia 331:
 
}}
 
}}
  
{{dowod|twierdzenia 5.9.||
+
[[File:AM2.M05.W.R01.svg|375x43px|thumb|right|Rysunek do dowodu twierdzenia 5.9.]]
 +
{{dowod|5.9.||
  
 
Niech <math>\displaystyle R>0</math> będzie promieniem zbieżności szeregu
 
Niech <math>\displaystyle R>0</math> będzie promieniem zbieżności szeregu
Linia 347: Linia 339:
 
Z własności zbioru liczb rzeczywistych wynika, że
 
Z własności zbioru liczb rzeczywistych wynika, że
  
<center><math>\displaystyle \exists r\in\mathbb{R}:\
+
<center><math>\displaystyle \exists r\in\mathbb{R}:
 
|x|
 
|x|
\ <\
+
<
 
r
 
r
\ <\
+
<
 
R.
 
R.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
{ [[Rysunek AM2.03.01]]}<br>
+
Z [[#tw_5_3|twierdzenia 5.3.]] (2) wynika, że
Z Twierdzenia [[##t.am2.w.03.0030|Uzupelnic t.am2.w.03.0030|]](2) wynika, że
 
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest jednostajnie zbieżny
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest jednostajnie zbieżny
 
w <math>\displaystyle (-r,r)</math>.
 
w <math>\displaystyle (-r,r)</math>.
 
Ponieważ funkcje
 
Ponieważ funkcje
 
<math>\displaystyle f_n(x)=c_nx^n</math> są ciągłe, więc korzystając z
 
<math>\displaystyle f_n(x)=c_nx^n</math> są ciągłe, więc korzystając z
Twierdzenia [[##t.am2.w.02.0120|Uzupelnic t.am2.w.02.0120|]] dostajemy, że
+
[[Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora#tw_4_13|twierdzenia 4.13.]], dostajemy, że
 
suma tego szeregu jest także funkcją ciągłą w <math>\displaystyle x</math>.
 
suma tego szeregu jest także funkcją ciągłą w <math>\displaystyle x</math>.
 
Ponieważ punkt <math>\displaystyle x\in(-R,R)</math> był dowolnie wybrany,
 
Ponieważ punkt <math>\displaystyle x\in(-R,R)</math> był dowolnie wybrany,
Linia 373: Linia 364:
 
Dowód tego twierdzenia pomijamy.
 
Dowód tego twierdzenia pomijamy.
  
{{twierdzenie|5.10.||
+
{{twierdzenie|5.10. [o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie]]|tw_5_10|
'''(O różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie)'''<br>
 
 
Suma szeregu potęgowego
 
Suma szeregu potęgowego
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n</math> jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie
 
przedziału <math>\displaystyle (-R,R)</math>,
 
przedziału <math>\displaystyle (-R,R)</math>,
 
gdzie <math>\displaystyle R>0</math> jest promieniem zbieżności tego szeregu,
 
gdzie <math>\displaystyle R>0</math> jest promieniem zbieżności tego szeregu,
a pochodna tej sumy wyraża sie wzorem
+
a pochodna tej sumy wyraża się wzorem
  
 
<center><math>\displaystyle f'(x)
 
<center><math>\displaystyle f'(x)
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}x^n
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}x^n
 
\qquad\forall\  x\in (-R,R).
 
\qquad\forall\  x\in (-R,R).
Linia 392: Linia 382:
 
}}
 
}}
  
{{uwaga|5.11.||
+
{{uwaga|5.11.|uw_5_11|
  
 
Z powyższego twierdzenia wynika, że pochodna sumy szeregu
 
Z powyższego twierdzenia wynika, że pochodna sumy szeregu
potęgowego jest też sumą pewnego szeregu potęgowego oraz jest
+
potęgowego jest też sumą pewnego szeregu potęgowego oraz że jest
 
ona funkcją ciągłą. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją
 
ona funkcją ciągłą. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją
 
klasy <math>\displaystyle C^1</math>.
 
klasy <math>\displaystyle C^1</math>.
Linia 404: Linia 394:
 
{{przyklad|5.12.||
 
{{przyklad|5.12.||
  
Korzystając z Twierdzenia [[##t.am2.w.03.0100|Uzupelnic t.am2.w.03.0100|]] oraz ze znajomości
+
Korzystając z [[#tw_5_10|twierdzenia 5.10.]] oraz ze znajomości
 
szeregów Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle e^x</math>,
 
szeregów Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle e^x</math>,
 
<math>\displaystyle \sin x</math> i <math>\displaystyle \cos x</math> oblicz pochodne tych funkcji.
 
<math>\displaystyle \sin x</math> i <math>\displaystyle \cos x</math> oblicz pochodne tych funkcji.
}}
 
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
 
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Ponieważ
 
Ponieważ
  
 
<center><math>\displaystyle e^x
 
<center><math>\displaystyle e^x
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
 
\qquad\forall\  x\in\mathbb{R},
 
\qquad\forall\  x\in\mathbb{R},
 
</math></center>
 
</math></center>
  
(patrz Twierdzenie [[##t.am2.w.02.0180|Uzupelnic t.am2.w.02.0180|]]), zatem
+
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora#tw_4_19|twierdzenie 4.19.]]), zatem
  
 
<center><math>\displaystyle (e^x)'
 
<center><math>\displaystyle (e^x)'
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^n}{n!}\right)'
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^n}{n!}\right)'
\ =\
+
=
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}
 
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\ =\
+
=
 
e^x.
 
e^x.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 437: Linia 425:
  
 
<center><math>\displaystyle \sin x
 
<center><math>\displaystyle \sin x
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
 
\qquad\forall\  x\in\mathbb{R},
 
\qquad\forall\  x\in\mathbb{R},
Linia 445: Linia 433:
  
 
<center><math>\displaystyle (\sin x)'
 
<center><math>\displaystyle (\sin x)'
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}
\ =\
+
=
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\ =\
+
=
 
\cos x.
 
\cos x.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 458: Linia 446:
  
 
<center><math>\displaystyle \cos x
 
<center><math>\displaystyle \cos x
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
 
\qquad\forall\  x\in\mathbb{R},
 
\qquad\forall\  x\in\mathbb{R},
Linia 465: Linia 453:
 
zatem
 
zatem
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
(\cos x)'
 
(\cos x)'
 
&=
 
&=
 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2nx^{2n-1}}{(2n)!}
 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2nx^{2n-1}}{(2n)!}
\ =\
+
=
 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
 
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}
\ =\
+
=
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
 
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
 
&=
 
&=
 
-\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
 
-\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\ =\
+
=
 
-\sin x.
 
-\sin x.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>}}
 
 
</div></div>
 
  
 
Wiemy już, że każdy szereg Taylora jest szeregiem potęgowym.
 
Wiemy już, że każdy szereg Taylora jest szeregiem potęgowym.
Linia 503: Linia 489:
  
 
<center><math>\displaystyle f(x)
 
<center><math>\displaystyle f(x)
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-x_0)^n
\qquad </math> dla <math>\displaystyle  \
+
\qquad </math> dla <math>\displaystyle   
 
x\in(x_0-R,x_0+R)
 
x\in(x_0-R,x_0+R)
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 512: Linia 498:
 
<math>\displaystyle C^{\infty}</math> na przedziale
 
<math>\displaystyle C^{\infty}</math> na przedziale
 
<math>\displaystyle \big(x_0-R,x_0+R\big)</math>
 
<math>\displaystyle \big(x_0-R,x_0+R\big)</math>
(patrz Uwaga [[##u.am2.w.03.0110|Uzupelnic u.am2.w.03.0110|]])
+
(patrz [[#uw_5_11|uwaga 5.11.]])
 
oraz
 
oraz
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
f'(x) &= \displaystyle
 
f'(x) &= \displaystyle
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}(x-x_0)^n,\\
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}(x-x_0)^n,\\
Linia 521: Linia 507:
 
f^{(k)}(x) &= \displaystyle
 
f^{(k)}(x) &= \displaystyle
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+k)\cdot\ldots\cdot(n+1)c_{n+k}(x-x_0)^n.
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+k)\cdot\ldots\cdot(n+1)c_{n+k}(x-x_0)^n.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
 
Wstawiając <math>\displaystyle x=x_0</math>, dostajemy
 
Wstawiając <math>\displaystyle x=x_0</math>, dostajemy
  
 
<center><math>\displaystyle f^{(k)}(x_0)
 
<center><math>\displaystyle f^{(k)}(x_0)
\ =\
+
=
 
k!c_k,
 
k!c_k,
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 533: Linia 519:
  
 
<center><math>\displaystyle c_n
 
<center><math>\displaystyle c_n
\ =\
+
=
 
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}
 
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}
 
\qquad </math> dla <math>\displaystyle  \ n\in\mathbb{N}
 
\qquad </math> dla <math>\displaystyle  \ n\in\mathbb{N}
Linia 549: Linia 535:
  
 
==Szeregi trygonometryczne Fouriera==
 
==Szeregi trygonometryczne Fouriera==
 +
[[File:AM2.M05.W.R02.svg|375x375px|thumb|left|Funkcje <math>\sin x</math> i <math>\cos x</math>]]
 
[[grafika:Fourier.jpg|thumb|right||Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)<br>[[Biografia Fourier|Zobacz biografię]]]]
 
[[grafika:Fourier.jpg|thumb|right||Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)<br>[[Biografia Fourier|Zobacz biografię]]]]
Przypomnijmy, że funkcję <math>\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> nazywamy okresową
+
Przypomnijmy, że funkcję <math>\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> nazywamy okresową,
jeśli istnieje liczba <math>\displaystyle T>0</math>, taka, że dla wszystkich <math>\displaystyle x\in R</math>
+
jeśli istnieje liczba <math>\displaystyle T>0</math> taka, że dla wszystkich <math>\displaystyle x\in R</math>
  
<center><math>\displaystyle f(x+T)=f(x).
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle f(x+T)=f(x).
 +
</math>
 +
</center>
  
 
{{przyklad|5.14.||
 
{{przyklad|5.14.||
  
Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus
+
Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus i cosinus. Patrz rysunek obok.
i cosinus:
 
 
 
{ [[Rysunek AM2.03.02]]}
 
 
 
Innym przykładem funkcji okresowej jest  mantysa, czyli funkcja
 
<math>\displaystyle m(x):=x-[x]</math> (patrz rysunek poniżej).
 
  
{ [[Rysunek AM2.03.03]]}
+
Innym przykładem funkcji okresowej jest  mantysa, czyli funkcja <math>\displaystyle m(x):=x-[x]</math> (patrz rysunek poniżej).
  
Funkcję okresową możemy także otrzymać biorąc na przykład
+
Funkcję okresową możemy także otrzymać, biorąc na przykład
 
następującą sumę:
 
następującą sumę:
  
<center><math>\displaystyle f(x)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle f(x)
 +
=
 
\sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x).
 
\sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x).
</math></center>
+
</math>
 
+
</center>
{ [[Rysunek AM2.03.04]]}
 
  
 
Ogólnie, zauważmy, że biorąc skończoną sumę
 
Ogólnie, zauważmy, że biorąc skończoną sumę
  
<center><math>\displaystyle s(x)=\sum_{j=1}^n a_j\cos{jx}+b_j\sin{jx},
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle s(x)=\sum_{j=1}^n a_j\cos{jx}+b_j\sin{jx},
 +
</math>
 +
</center>
  
 
ze stałymi (rzeczywistymi)
 
ze stałymi (rzeczywistymi)
 
współczynnikami <math>\displaystyle a_j</math> i <math>\displaystyle b_j</math>, dostaniemy funkcję okresową.
 
współczynnikami <math>\displaystyle a_j</math> i <math>\displaystyle b_j</math>, dostaniemy funkcję okresową.
 
}}
 
}}
 +
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:AM2.M05.W.R03.svg|375x375px|thumb|center|<math>\displaystyle m(x)=x-[x]</math>]]
 +
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 +
<flash>file=AM2.M05.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>
 +
<div.thumbcaption><math>\displaystyle f(x)=
 +
\sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(3x)</math></div>
 +
</div></div>
 +
|}
  
 
'''Problem:'''<br>
 
'''Problem:'''<br>
Linia 604: Linia 598:
 
poniżej:
 
poniżej:
  
{ [[Rysunek AM2.03.05]]}
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
+
|[[File:AM2.M05.W.R05.svg|375x375px|thumb|center|Funkcja okresowa o okresie <math>2\pi</math>]]
{ [[Rysunek AM2.03.06]]}
+
|[[File:AM2.M05.W.R06.svg|375x375px|thumb|center|Funkcja okresowa o okresie <math>2\pi</math>]]
 +
|}
  
Przypuśćmy teraz, że możemy zapisać <math>\displaystyle f</math> jako sumę szeregu,
+
Przypuśćmy teraz, że możemy zapisać <math>\displaystyle f</math> jako sumę szeregu
 
zbieżnego jednostajnie, z pewnymi stałymi współczynnikami <math>\displaystyle a_n</math> i
 
zbieżnego jednostajnie, z pewnymi stałymi współczynnikami <math>\displaystyle a_n</math> i
 
<math>\displaystyle b_n</math>:
 
<math>\displaystyle b_n</math>:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
+
(\bigstar)\quad\quad f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
Pokażemy teraz, że czy istnieją ogólne wzory na
 
Pokażemy teraz, że czy istnieją ogólne wzory na
 
współczynniki <math>\displaystyle a_n</math> i <math>\displaystyle b_n</math>. Aby znaleźć <math>\displaystyle a_0</math>, scałkujmy obie
 
współczynniki <math>\displaystyle a_n</math> i <math>\displaystyle b_n</math>. Aby znaleźć <math>\displaystyle a_0</math>, scałkujmy obie
strony wzoru ([[##sf|Uzupelnic sf|]]) od <math>\displaystyle -\pi </math> do <math>\displaystyle \pi</math>. Dostaniemy wtedy:
+
strony wzoru <math>(\bigstar)</math> od <math>\displaystyle -\pi </math> do <math>\displaystyle \pi</math>. Dostaniemy wtedy:
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\ =\
+
=
 
\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0dx+
 
\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0dx+
 
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx).
 
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx).
Linia 629: Linia 624:
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi}
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi}
\ =\
+
=
 
0,
 
0,
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 636: Linia 631:
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=-\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi}
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=-\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_{-\pi}^{\pi}
\ =\
+
=
 
0.
 
0.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 643: Linia 638:
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\ =\
+
=
 
2\pi a_0,
 
2\pi a_0,
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 650: Linia 645:
  
 
<center><math>\displaystyle a_0
 
<center><math>\displaystyle a_0
\ =\
+
=
 
\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx.
 
\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Aby wyliczyć <math>\displaystyle a_m, m=1,2,3,\ldots</math> pomnóżmy obie strony wzoru
+
Aby wyliczyć <math>\displaystyle a_m, m=1,2,3,\ldots</math>, pomnóżmy obie strony wzoru <math>(\bigstar)</math> przez <math>\displaystyle \cos(mx)</math> i, tak jak powyżej, całkujmy od <math>\displaystyle -\pi</math> do <math>\displaystyle \pi</math>.
([[##sf|Uzupelnic sf|]]) przez <math>\displaystyle \cos(mx)</math> i, tak jak powyżej, całkujmy od <math>\displaystyle -\pi</math> do <math>\displaystyle \pi</math>.
 
  
 
Dostaniemy wtedy
 
Dostaniemy wtedy
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center><math>
\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx=\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0\cos(mx)dx+
+
\begin{array}{lll}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx\right).
+
\displaystyle  
 +
(\bigstar \bigstar)\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx&=&\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}a_0\cos(mx)dx\\
 +
&+&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx+b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx\right).
 +
\end{array}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 667: Linia 664:
  
 
<center><math>\displaystyle a_0\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx
 
<center><math>\displaystyle a_0\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)dx
\ =\
+
=
 
a_0\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=0.
 
a_0\frac{\sin(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}=0.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 674: Linia 671:
  
 
<center><math>\displaystyle a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx
 
<center><math>\displaystyle a_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx
\ =\
+
=
 
\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx,
 
\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
a korzystając ze wzoru na sumę sinusów mamy
+
a korzystając ze wzoru na sumę sinusów, mamy
  
 
<center><math>\displaystyle b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx.
 
<center><math>\displaystyle b_n\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx.
Linia 686: Linia 683:
  
 
<center><math>\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx
 
<center><math>\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x))dx
\ =\
+
=
 
0
 
0
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 693: Linia 690:
  
 
<center><math>\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx
 
<center><math>\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x))dx
\ =\
+
=
 
0.
 
0.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 700: Linia 697:
  
 
<center><math>\displaystyle a_m\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx
 
<center><math>\displaystyle a_m\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx
\ =\
+
=
 
\pi a_m.
 
\pi a_m.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Tak więc widzimy, że z prawej strony wzoru ([[##csf|Uzupelnic csf|]]) znikają
+
Tak więc widzimy, że z prawej strony wzoru <math>(\bigstar \bigstar)</math> znikają
 
wszystkie całki, poza całką o współczynniku <math>\displaystyle a_m</math>, a zatem
 
wszystkie całki, poza całką o współczynniku <math>\displaystyle a_m</math>, a zatem
 
otrzymujemy wzór:
 
otrzymujemy wzór:
  
 
<center><math>\displaystyle a_m
 
<center><math>\displaystyle a_m
\ =\
+
=
 
\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx.
 
\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Analogicznie, mnożąc obie strony wzoru ([[##sf|Uzupelnic sf|]])
+
Analogicznie, mnożąc obie strony wzoru <math>(\bigstar)</math> przez <math>\displaystyle \sin(mx)</math>, wyznaczamy wzory na współczynniki <math>\displaystyle b_m</math>:
przez <math>\displaystyle \sin(mx)</math> wyznaczamy wzory na współczynniki <math>\displaystyle b_m</math>:
 
  
 
<center><math>\displaystyle b_m
 
<center><math>\displaystyle b_m
\ =\
+
=
 
\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx.
 
\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 728: Linia 724:
  
 
Dla funkcji okresowej <math>\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, o okresie <math>\displaystyle 2\pi</math>,
 
Dla funkcji okresowej <math>\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, o okresie <math>\displaystyle 2\pi</math>,
i całkowalnej na <math>\displaystyle [-\pi,\pi]</math>, tworzymy szereg
+
i całkowalnej na <math>\displaystyle [-\pi,\pi]</math>  tworzymy szereg
  
<center><math>\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
 +
</math>
 +
</center>
  
 
ze współczynnikami
 
ze współczynnikami
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \begin{align}
 
a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\\
 
a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\\
a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx, \
+
a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)dx,  
 
m=1,2,...,\\
 
m=1,2,...,\\
 
b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx\ m=1,2...
 
b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)dx\ m=1,2...
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math>
 +
</center>
  
 
Szereg ten nazywamy '''''szeregiem Fouriera''''' funkcji <math>\displaystyle f</math>. Wzory na
 
Szereg ten nazywamy '''''szeregiem Fouriera''''' funkcji <math>\displaystyle f</math>. Wzory na
Linia 750: Linia 750:
 
stwierdzenie.
 
stwierdzenie.
  
 +
[[File:AM2.M05.W.R07.svg|375x375px|thumb|left|Wykres funkcji oraz sumy jej szeregu Fouriera]]
 
{{stwierdzenie|5.16.||
 
{{stwierdzenie|5.16.||
  
Linia 756: Linia 757:
 
jednostajnie zbieżnego szeregu:
 
jednostajnie zbieżnego szeregu:
  
<center><math>\displaystyle f(x)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle f(x)
 +
=
 
a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
 
a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
to współczynniki <math>\displaystyle a_n</math> i <math>\displaystyle b_n</math> wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera.
 
to współczynniki <math>\displaystyle a_n</math> i <math>\displaystyle b_n</math> wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera.
(Tak więc przy powyższych założeniach, mamy jednoznaczne
+
(Tak więc przy powyższych założeniach mamy jednoznaczne
 
przedstawienie <math>\displaystyle f</math> w postaci sumy szeregu trygonometrycznego.)
 
przedstawienie <math>\displaystyle f</math> w postaci sumy szeregu trygonometrycznego.)
 
}}
 
}}
Linia 768: Linia 771:
 
{{uwaga|5.17.||
 
{{uwaga|5.17.||
  
Na początku tej części wykładu założyliśmy, że we wzorze ([[##sf|Uzupelnic sf|]])
+
Na początku tej części wykładu założyliśmy, że we wzorze <math>(\bigstar)</math> zachodzi równość, a co więcej, że szereg po prawej stronie tego wzoru jest zbieżny jednostajnie. Zazwyczaj jednak mamy daną funkcję
zachodzi równość, a co więcej, że szereg po prawej stronie tego
 
wzoru jest zbieżny jednostajnie. Zazwyczaj jednak mamy daną funkcję
 
 
<math>\displaystyle f</math>, ale nie mamy danego szeregu
 
<math>\displaystyle f</math>, ale nie mamy danego szeregu
 
<math>\displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>, tym bardziej nic
 
<math>\displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>, tym bardziej nic
Linia 782: Linia 783:
 
Piszemy wówczas:
 
Piszemy wówczas:
  
<center><math>\displaystyle f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle f(x)\sim a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx),
 +
</math>
 +
</center>
  
 
gdzie
 
gdzie
Linia 792: Linia 795:
 
być równa tej funkcji.
 
być równa tej funkcji.
  
Na poniższym rysunku widzimy wykres funkcji (zielony) i wykres
+
Na rysunku obok widzimy wykres funkcji (zielony) i wykres
 
sumy szeregu Fouriera tej funkcji (czerwony).
 
sumy szeregu Fouriera tej funkcji (czerwony).
 
{ [[Rysunek AM2.03.07]]}
 
  
 
Jedną z odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu Fouriera daje
 
Jedną z odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu Fouriera daje
Linia 802: Linia 803:
 
[[grafika:Dirichlet.gif|thumb|right||Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)<br>[[Biografia Dirichlet|Zobacz biografię]]]]
 
[[grafika:Dirichlet.gif|thumb|right||Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)<br>[[Biografia Dirichlet|Zobacz biografię]]]]
  
{{twierdzenie|5.18.||
+
{{twierdzenie|5.18. [Kryterium Dirichleta]|tw_5_18|
'''(Kryterium Dirichleta)'''<br>
 
 
Załóżmy, że funkcja
 
Załóżmy, że funkcja
 
<math>\displaystyle f(x)</math> o okresie <math>\displaystyle 2\pi</math> jest przedziałami monotoniczna
 
<math>\displaystyle f(x)</math> o okresie <math>\displaystyle 2\pi</math> jest przedziałami monotoniczna
Linia 809: Linia 809:
 
można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których
 
można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których
 
funkcja jest monotoniczna) i ma co najwyżej skończoną liczbę punktów
 
funkcja jest monotoniczna) i ma co najwyżej skończoną liczbę punktów
nieciągłości. Wówczas, w każdym punkcie ciągłości <math>\displaystyle x_0</math>
+
nieciągłości. Wówczas w każdym punkcie ciągłości <math>\displaystyle x_0</math>
  
<center><math>\displaystyle f(x_0)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle f(x_0)
 +
=
 
a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx_0)+b_n\sin(nx_0).
 
a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx_0)+b_n\sin(nx_0).
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Co więcej, dla każdego  punktu nieciągłości <math>\displaystyle y_0</math>
 
Co więcej, dla każdego  punktu nieciągłości <math>\displaystyle y_0</math>
  
<center><math>\displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny_0)+b_n\sin(ny_0)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny_0)+b_n\sin(ny_0)
 +
=
 
\frac{f(y_0^+)+f(y_0^-)}{2},
 
\frac{f(y_0^+)+f(y_0^-)}{2},
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
gdzie zapis <math>\displaystyle f(y_0^-)</math> oznacza lewostronną granicę funkcji w
 
gdzie zapis <math>\displaystyle f(y_0^-)</math> oznacza lewostronną granicę funkcji w
Linia 828: Linia 832:
  
 
Typowy przykład funkcji spełniającej założenia powyższego
 
Typowy przykład funkcji spełniającej założenia powyższego
kryterium jest przedstawiony na rysunku powyżej, wykres funkcji
+
kryterium jest przedstawiony na rysunku powyżej (wykres funkcji
jest zielony a wykres sumy szeregu Fouriera czerwony.
+
jest zielony, a wykres sumy szeregu Fouriera czerwony).
  
 +
[[File:AM2.M05.W.R06.svg|375x375px|thumb|left|Funkcja <math>f(x)=x</math>&nbsp; rozszerzona okresowo]]
 
{{uwaga|5.19.||
 
{{uwaga|5.19.||
  
Linia 836: Linia 841:
 
nieokresowymi, zadanymi w przedziale <math>\displaystyle (-\pi, \pi]</math>. W takich
 
nieokresowymi, zadanymi w przedziale <math>\displaystyle (-\pi, \pi]</math>. W takich
 
przypadkach musimy funkcję <math>\displaystyle f</math> na całe <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> rozszerzyć okresowo.
 
przypadkach musimy funkcję <math>\displaystyle f</math> na całe <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> rozszerzyć okresowo.
 
{ [[Rysunek AM2.03.06 (ponownie)]]}
 
  
 
Może się też zdarzyć, że będziemy chcieli rozwinąć w szereg
 
Może się też zdarzyć, że będziemy chcieli rozwinąć w szereg
Fouriera funkcję <math>\displaystyle f</math>, okresową, ale o okresie <math>\displaystyle 2T</math> (a nie <math>\displaystyle 2\pi</math>).
+
Fouriera funkcję <math>\displaystyle f</math> okresową, ale o okresie <math>\displaystyle 2T</math> (a nie <math>\displaystyle 2\pi</math>).
 
Stosujemy wówczas podstawienie <math>\displaystyle x=\frac{Ty}{\pi}</math> i dostajemy
 
Stosujemy wówczas podstawienie <math>\displaystyle x=\frac{Ty}{\pi}</math> i dostajemy
 
wzory na współczynniki:
 
wzory na współczynniki:
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \begin{align}
 
a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})dy,\\
 
a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})dy,\\
a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\cos(my)dy, \
+
a_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\cos(my)dy,  
 
m=1,2,\ldots\\
 
m=1,2,\ldots\\
b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\sin(my)dy\
+
b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(\frac{Ty}{\pi})\sin(my)dy
 
m=1,2,\ldots
 
m=1,2,\ldots
\endaligned</math></center>
+
\end{align}
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Dostajemy zatem rozwinięcie
 
Dostajemy zatem rozwinięcie
  
<center><math>\displaystyle f(\frac{Ty}{\pi})=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny)+b_n\sin(ny),
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle f(\frac{Ty}{\pi})=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(ny)+b_n\sin(ny),
 +
</math>
 +
</center>
  
czyli, wracając do zmiennej <math>\displaystyle x</math>:
+
czyli wracając do zmiennej <math>\displaystyle x</math>:
  
<center><math>\displaystyle f(x)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle f(x)
 +
=
 
a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{T})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{T}).
 
a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(\frac{n\pi x}{T})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{T}).
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
}}
 
}}
 
Przeliczmy teraz jeden istotny przykład:
 
  
 
{{przyklad|5.20.||
 
{{przyklad|5.20.||
Linia 875: Linia 883:
 
Liczymy współczynniki:
 
Liczymy współczynniki:
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \begin{align}
 
a_0 &=
 
a_0 &=
 
\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3},\\
 
\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3},\\
Linia 883: Linia 892:
 
\frac{4}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx\\
 
\frac{4}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx\\
 
&= \frac{4}{n\pi}x\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}-\frac{4}{n^2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nx)dx=(-1)^n\frac{4}{n^2}.
 
&= \frac{4}{n\pi}x\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}-\frac{4}{n^2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nx)dx=(-1)^n\frac{4}{n^2}.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Jako ćwiczenie zauważmy, że wszystkie współczynniki <math>\displaystyle b_n</math> są równe
 
Jako ćwiczenie zauważmy, że wszystkie współczynniki <math>\displaystyle b_n</math> są równe
Linia 891: Linia 902:
 
zbieżności, możemy napisać:
 
zbieżności, możemy napisać:
  
<center><math>\displaystyle x^2
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle x^2
 +
=
 
\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(nx)}{\pi}.
 
\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(nx)}{\pi}.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Podstawiając w tym wzorze <math>\displaystyle x=\pi</math> i pamiętając, że
 
Podstawiając w tym wzorze <math>\displaystyle x=\pi</math> i pamiętając, że
 
<math>\displaystyle \cos(n\pi)=(-1)^n</math>, otrzymujemy
 
<math>\displaystyle \cos(n\pi)=(-1)^n</math>, otrzymujemy
  
<center><math>\displaystyle \pi^2
+
<center>
\ = \
+
<math>\displaystyle \pi^2
 +
\ =  
 
\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^n}{n^2},
 
\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^n}{n^2},
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
czyli
 
czyli
  
<center><math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},
 +
</math>
 +
</center>
  
 
zatem nie
 
zatem nie
Linia 914: Linia 931:
 
sumę.
 
sumę.
  
Poniższy rysunek pokazuje jak kolejne sumy czesciowe szeregu Fouriera „zblizaja sie” do granicy.}}
+
Rysunek obok oraz rysunki poniżej pokazują, jak kolejne sumy częściowe szeregu Fouriera „zbliżają się” do granicy.}}
{ [[Rysunek AM2.05.W.R09]]}
+
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja funkcji <math>f(x)=x</math> &nbsp; kolejnymi sumami szeregu Fouriera]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja funkcji <math>f(x)=x</math> &nbsp; kolejnymi sumami szeregu Fouriera]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a01.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a02.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a03.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a04.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a05.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a06.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a07.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a08.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a09.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a10.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a11.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09a13.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b01.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b02.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b03.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b04.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b05.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b06.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b07.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b08.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b09.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b10.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b11.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|[[File:am2.M05.W.R09b13.svg|375x375px|thumb|center|]]
 +
|}

Aktualna wersja na dzień 11:18, 3 paź 2021

Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

W tym wykładzie zajmujemy się najpierw szeregami potęgowymi. Definiujemy promień zbieżności i podajemy efektywny wzór na jego wyliczenie. Na przykładach badamy przedział zbieżności szeregu potęgowego. Podajemy twierdzenie mówiące o ciągłości sumy szeregu potęgowego oraz o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie. Następnie zajmujemy się szeregami Fouriera. Podajemy definicję i wzory Eulera-Fouriera na współczynniki tego szeregu, jak też kryterium Dirichleta mówiące o jego zbieżności.

Szeregi potęgowe

Wśród szeregów funkcyjnych szczególną rolę odgrywają szeregi potęgowe, to znaczy szeregi, których wyrazy są jednomianami kolejnych stopni. Przykładem szeregu potęgowego jest szereg Taylora funkcji klasy .

Definicja 5.1.

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie i współrzędnych () nazywamy szereg funkcyjny postaci

(umowa: nawet dla ).

Uwaga 5.2.

(1) Gdy , to mamy szereg .
(2) Szereg jest zawsze zbieżny w swoim środku, to znaczy dla , bo wtedy dostajemy szereg zerowy.
(3) Dla wygody będziemy w dalszym wykładzie zakładali, że środek , ale wszystkie twierdzenia można łatwo przenieść na przypadek, gdy środkiem jest dowolne .

Zacznijmy od kilku prostych obserwacji dotyczących szeregów potęgowych.

Twierdzenie 5.3.

Jeśli szereg jest zbieżny dla pewnego , to jest:
(1) bezwzględnie zbieżny dla dowolnego ;
(2) zbieżny jednostajnie na każdym przedziale , gdzie .

Dowód 5.3. [nadobowiązkowy]

Zbieżność szeregu dla oznacza zbieżność szeregu liczbowego , a to z kolei implikuje, że

(patrz warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych; Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.3.). W szczególności ciąg jest ograniczony, to znaczy

Przystąpimy teraz do dowodu (1) i (2).
(Ad (1)) Niech będzie takie, że . Wówczas

gdzie . Możemy zatem zastosować kryterium porównawcze zbieżności szeregów (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.), z którego wynika, że szereg jest bezwzględnie zbieżny.
(Ad (2)) Niech . Wówczas dla dowolnego takiego, że mamy

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię

gdzie (zauważmy, że nie jest zależne od ). Korzystając z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.), wnioskujemy, że szereg jest zbieżny jednostajnie w przedziale .

End of proof.gif

Definicja 5.4.

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy kres górny zbioru modułów wszystkich liczb , dla których szereg ten jest zbieżny.

Uwaga 5.5.

Z twierdzenia 5.3. (1) wynika, że jeśli jest promieniem zbieżności szeregu , to szereg ten jest zbieżny (i to bezwzględnie) w przedziale oraz jest rozbieżny dla . Tłumaczy to nazwę "promień zbieżności". Nic nie wiemy natomiast o zbieżności dla i . W każdej jednak sytuacji obszarem zbieżności szeregu potęgowego jest przedział w .

Przykład 5.6.

Zbadać zbieżność szeregów:
(1) ;
(2) ;
(3) .

(Ad (1)) Jest to znany nam szereg geometryczny. Jest on zbieżny dla oraz rozbieżny dla (gdyż dla nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów; patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.3.).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest .
(Ad (2)) Jest to znany nam szereg Maclaurina dla funkcji (patrz twierdzenie 4.19.). Promień zbieżności wynosi , a obszarem zbieżności jest .
(Ad (3)) Szereg ten jest zbieżny tylko dla . Dla nie spełnia on warunku koniecznego zbieżności szeregów. Zatem promieniem zbieżności jest , a obszarem zbieżności

jest .

Kolejne twierdzenie podaje efektywny wzór na liczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie 5.7.

Jeśli jest promieniem zbieżności szeregu oraz ,
to

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Dowód 5.7.

Przy ustalonym , zbadajmy zbieżność szeregu liczbowego , korzystając z kryterium Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 7.4.). Dla , mamy:

Przypadek 1. Gdy , to z kryterium Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 7.4.) wynika, że szereg jest zbieżny (bezwzględnie) dla i rozbieżny dla . Zatem .
Przypadek 2. Gdy , to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg jest zbieżny (bezwzględnie) dla . Zatem .
Przypadek 3. Gdy , to z kryterium Cauchy'ego wynika, że szereg jest zbieżny tylko dla . Zatem .

End of proof.gif

Przykład 5.8.

Wyznacz przedziały zbieżności szeregów:
(1) ;
(2) .

(Ad (1)) Korzystamy z twierdzenia 5.7. Mamy

Zatem promień zbieżności wynosi , czyli szereg jest zbieżny w przedziale (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj ) oraz jest rozbieżny dla . Należy jeszcze zbadać zbieżność dla i dla .
Dla mamy szereg , który jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza; patrz Analiza matematyczna 1 wniosek 7.13 i przykład 7.14.; jest to znany nam szereg anharmoniczny).
Dla dostajemy szereg harmoniczny , który jest rozbieżny (patrz przykład 6.14.).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest .
(Ad (2)) Liczymy

Oszacujmy wyrazy powyższego ciągu następująco:

Ponieważ ciągi po lewej i po prawej stronie mają granicę , zatem z twierdzenia o trzech ciągach (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 4.11.) wnioskujemy, że . Zatem promień zbieżności wynosi , czyli szereg jest zbieżny w przedziale (zauważ, że środkiem szeregu jest tutaj ) oraz jest rozbieżny dla . Należy jeszcze zbadań zbieżność dla i dla .
Dla dostajemy szereg , który jest zbieżny (można to pokazać, korzystając z kryterium całkowego, patrz Analiza matematyczna 1 przykład 14.27.).
Dla mamy szereg , który jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza; patrz Analiza matematyczna 1 wniosek 7.13. lub też z faktu, że jest on bezwzględnie zbieżny, gdyż powyżej zbadaliśmy zbieżność szeregu modułów jego wyrazów).
Zatem przedziałem zbieżności szeregu jest

.

Wyrazy szeregu potęgowego (jednomiany ) są funkcjami klasy . Interesującym jest pytanie o regularność sumy szeregu potęgowego, to znaczy, czy funkcja jest ciągła, różniczkowalna, klasy , klasy ? Pierwsze z poniższych twierdzeń mówi, że suma szeregu jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności.

Twierdzenie 5.9.

Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w przedziale , gdzie jest promieniem zbieżności tego szeregu.

Rysunek do dowodu twierdzenia 5.9.

Dowód 5.9.

Niech będzie promieniem zbieżności szeregu (gdy , teza jest pusto spełniona). Niech . Z własności zbioru liczb rzeczywistych wynika, że

Z twierdzenia 5.3. (2) wynika, że szereg jest jednostajnie zbieżny w . Ponieważ funkcje są ciągłe, więc korzystając z twierdzenia 4.13., dostajemy, że suma tego szeregu jest także funkcją ciągłą w . Ponieważ punkt był dowolnie wybrany, więc suma szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale .

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie mówi, że wewnątrz przedziału zbieżności suma szeregu potęgowego jest nie tylko ciągła, ale także różniczkowalna oraz pochodna sumy szeregu jest sumą szeregu pochodnych wyrazów szeregu wyjściowego. Dowód tego twierdzenia pomijamy.

Twierdzenie 5.10. [o różniczkowaniu szeregu potęgowego wyraz po wyrazie]]

Suma szeregu potęgowego jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie przedziału , gdzie jest promieniem zbieżności tego szeregu, a pochodna tej sumy wyraża się wzorem

W szczególności szereg ma ten sam promień zbieżności co wyjściowy szereg .

Uwaga 5.11.

Z powyższego twierdzenia wynika, że pochodna sumy szeregu potęgowego jest też sumą pewnego szeregu potęgowego oraz że jest ona funkcją ciągłą. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy . To samo możemy zastosować do pochodnej, itd. Zatem suma szeregu potęgowego jest funkcją klasy .

Przykład 5.12.

Korzystając z twierdzenia 5.10. oraz ze znajomości szeregów Maclaurina dla funkcji , i oblicz pochodne tych funkcji.

(1) Ponieważ

(patrz twierdzenie 4.19.), zatem

(2) Ponieważ

zatem

(3) Ponieważ

zatem

Wiemy już, że każdy szereg Taylora jest szeregiem potęgowym. Zadamy teraz pytanie odwrotne. Weźmy dowolny szereg potęgowy . Czy szereg ten jest szeregiem Taylora pewnej funkcji? Mówi o tym poniższa uwaga.

Uwaga 5.13.

Rozważmy szereg potęgowy . Niech będzie promieniem zbieżności tego szeregu.

Wiemy, że szereg ten jest zbieżny dla takich, że oraz jest rozbieżny dla takich, że .

Jeśli , to funkcja

dla

jest klasy na przedziale (patrz uwaga 5.11.) oraz

Wstawiając , dostajemy

czyli

dla

ale to są dokładnie współczynniki we wzorze Taylora. Zatem:
(1) Szereg potęgowy jest szeregiem Taylora swojej sumy wewnątrz obszaru zbieżności.
(2) Przedstawienie danej funkcji w szereg potęgowy jest jednoznaczne i tym szeregiem jest szereg Taylora.

Szeregi trygonometryczne Fouriera

Funkcje i
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Zobacz biografię

Przypomnijmy, że funkcję nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba taka, że dla wszystkich

Przykład 5.14.

Funkcjami okresowymi są na przykład funkcje sinus i cosinus. Patrz rysunek obok.

Innym przykładem funkcji okresowej jest mantysa, czyli funkcja (patrz rysunek poniżej).

Funkcję okresową możemy także otrzymać, biorąc na przykład następującą sumę:

Ogólnie, zauważmy, że biorąc skończoną sumę

ze stałymi (rzeczywistymi) współczynnikami i , dostaniemy funkcję okresową.

<flash>file=AM2.M05.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>

Problem:
Można zatem zadać sobie pytanie: czy biorąc dowolną funkcję okresowa, możemy ją przedstawić w postaci takiej sumy jak powyżej?

Okazuje się, że jest to dla dużej ilości funkcji możliwe, jeśli zamiast sum skończonych będziemy rozważać sumy nieskończone, czyli szeregi.

Konstrukcja:
Weźmy zatem funkcję okresową . Załóżmy, że ma ona okres , i że na przedziale funkcja jest całkowalna.

Przykłady funkcji spełniających te założenia są na rysunku poniżej:

Funkcja okresowa o okresie
Plik:AM2.M05.W.R06.svg
Funkcja okresowa o okresie

Przypuśćmy teraz, że możemy zapisać jako sumę szeregu zbieżnego jednostajnie, z pewnymi stałymi współczynnikami i :

Pokażemy teraz, że czy istnieją ogólne wzory na współczynniki i . Aby znaleźć , scałkujmy obie strony wzoru od do . Dostaniemy wtedy:

Zauważmy, że

oraz

Dostajemy zatem:

czyli

Aby wyliczyć , pomnóżmy obie strony wzoru przez i, tak jak powyżej, całkujmy od do .

Dostaniemy wtedy

Teraz

Dla dostaniemy, korzystając ze wzoru na sumę cosinusów

a korzystając ze wzoru na sumę sinusów, mamy

Obliczając, dostajemy

oraz

Natomiast gdy dostajemy

Tak więc widzimy, że z prawej strony wzoru znikają wszystkie całki, poza całką o współczynniku , a zatem otrzymujemy wzór:

Analogicznie, mnożąc obie strony wzoru przez , wyznaczamy wzory na współczynniki :

(pozostawiamy to jako ćwiczenie).

Możemy teraz wypisać definicję.

Leonhard Euler (1707-1783)
Zobacz biografię

Definicja 5.15.

Dla funkcji okresowej , o okresie , i całkowalnej na tworzymy szereg

ze współczynnikami

Szereg ten nazywamy szeregiem Fouriera funkcji . Wzory na współczynniki nazywają się wzorami Eulera-Fouriera.

Powyższa konstrukcja pokazuje, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie.

Wykres funkcji oraz sumy jej szeregu Fouriera

Stwierdzenie 5.16.

Jeśli funkcję , okresową, o okresie , całkowalną na , możemy zapisać w postaci jednostajnie zbieżnego szeregu:

to współczynniki i wyrażają się wzorami Eulera-Fouriera. (Tak więc przy powyższych założeniach mamy jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy szeregu trygonometrycznego.)

Uwaga 5.17.

Na początku tej części wykładu założyliśmy, że we wzorze zachodzi równość, a co więcej, że szereg po prawej stronie tego wzoru jest zbieżny jednostajnie. Zazwyczaj jednak mamy daną funkcję , ale nie mamy danego szeregu , tym bardziej nic nie wiemy o jego zbieżności.

Zauważmy jednak, że zawsze możemy wypisać formalnie szereg Fouriera dla danej funkcji (oczywiście dla funkcji spełniającej nasze założenia, czyli okresowej i całkowalnej).

Piszemy wówczas:

gdzie współczynniki i są wyliczone ze wzorów Eulera-Fouriera. Utworzyliśmy zatem szereg Fouriera funkcji , ale pozostaje pytanie, kiedy i do czego ten szereg jest zbieżny. Zaznaczmy, że suma szeregu Fouriera danej funkcji wcale nie musi być równa tej funkcji.

Na rysunku obok widzimy wykres funkcji (zielony) i wykres sumy szeregu Fouriera tej funkcji (czerwony).

Jedną z odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu Fouriera daje poniższe kryterium Dirichleta (które podajemy bez dowodu):

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Zobacz biografię

Twierdzenie 5.18. [Kryterium Dirichleta]

Załóżmy, że funkcja o okresie jest przedziałami monotoniczna w (to znaczy, że przedział można podzielić na skończoną liczbę przedziałów, w których funkcja jest monotoniczna) i ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości. Wówczas w każdym punkcie ciągłości

Co więcej, dla każdego punktu nieciągłości

gdzie zapis oznacza lewostronną granicę funkcji w punkcie a zapis - granicę prawostronną.

Typowy przykład funkcji spełniającej założenia powyższego kryterium jest przedstawiony na rysunku powyżej (wykres funkcji jest zielony, a wykres sumy szeregu Fouriera czerwony).

Plik:AM2.M05.W.R06.svg
Funkcja   rozszerzona okresowo
Uwaga 5.19.

W zastosowaniach często mamy do czynienia z funkcjami nieokresowymi, zadanymi w przedziale . W takich przypadkach musimy funkcję na całe rozszerzyć okresowo.

Może się też zdarzyć, że będziemy chcieli rozwinąć w szereg Fouriera funkcję okresową, ale o okresie (a nie ). Stosujemy wówczas podstawienie i dostajemy wzory na współczynniki:

Dostajemy zatem rozwinięcie

czyli wracając do zmiennej :

Przykład 5.20.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję zadaną na przedziale .

Liczymy współczynniki:

Jako ćwiczenie zauważmy, że wszystkie współczynniki są równe zero.

Tak więc, skoro nasza funkcja spełnia warunki powyższego kryterium zbieżności, możemy napisać:

Podstawiając w tym wzorze i pamiętając, że , otrzymujemy

czyli

zatem nie tylko wykazaliśmy zbieżność szeregu , ale nawet policzyliśmy jego sumę.

Rysunek obok oraz rysunki poniżej pokazują, jak kolejne sumy częściowe szeregu Fouriera „zbliżają się” do granicy.
Plik:Am2.M05.W.R09a.svg
Aproksymacja funkcji   kolejnymi sumami szeregu Fouriera
Plik:Am2.M05.W.R09b.svg
Aproksymacja funkcji   kolejnymi sumami szeregu Fouriera
Am2.M05.W.R09a01.svg
Am2.M05.W.R09a02.svg
Am2.M05.W.R09a03.svg
Am2.M05.W.R09a04.svg
Am2.M05.W.R09a05.svg
Am2.M05.W.R09a06.svg
Am2.M05.W.R09a07.svg
Am2.M05.W.R09a08.svg
Am2.M05.W.R09a09.svg
Am2.M05.W.R09a10.svg
Am2.M05.W.R09a11.svg
Am2.M05.W.R09a13.svg
Am2.M05.W.R09b01.svg
Am2.M05.W.R09b02.svg
Am2.M05.W.R09b03.svg
Am2.M05.W.R09b04.svg
Am2.M05.W.R09b05.svg
Am2.M05.W.R09b06.svg
Am2.M05.W.R09b07.svg
Am2.M05.W.R09b08.svg
Am2.M05.W.R09b09.svg
Am2.M05.W.R09b10.svg
Am2.M05.W.R09b11.svg
Am2.M05.W.R09b13.svg