Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
Linia 133: Linia 133:
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
0 &  </math> dla <math>\displaystyle  & x\in[0,1),\\
+
0 &  \textrm{dla} \displaystyle  & x\in[0,1),\\
1 &  </math> dla <math>\displaystyle  & x=1.
+
1 &  \textrm{dla} \displaystyle  & x=1.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
Linia 767: Linia 767:
 
0 &
 
0 &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
\quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
\quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\frac{1}{n}\sin^2\big(2^{n+1}\pi x\big)
 
\frac{1}{n}\sin^2\big(2^{n+1}\pi x\big)
& \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
& \quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\right),\\ \\
 
x\in\left(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\right),\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
0 & \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[\frac{1}{2^n},1\right].\\
 
x\in\left[\frac{1}{2^n},1\right].\\
Linia 800: Linia 800:
 
0 &
 
0 &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
\quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
\quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
& \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
& \quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
\ k=1,\ldots,n,\\ \\
 
\ k=1,\ldots,n,\\ \\
0 & \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
Linia 825: Linia 825:
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
0 & \quad </math> dla <math>\displaystyle  & x=0,\\ \\
+
0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle  & x=0,\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
& \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
& \quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
\ k=1,2,\ldots,\\ \\
 
\ k=1,2,\ldots,\\ \\
 
0 &
 
0 &
\displaystyle \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
\displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
Linia 1024: Linia 1024:
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
e^{-\frac{1}{x^2}} &  </math> dla <math>\displaystyle  & x\ne 0,\\
+
e^{-\frac{1}{x^2}} &  \textrm{dla} \displaystyle  & x\ne 0,\\
0                  &  </math> dla <math>\displaystyle  & x=0,
+
0                  &  \textrm{dla} \displaystyle  & x=0,
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.

Wersja z 19:57, 22 sie 2006

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcia ciągu i szeregu funkcyjnego. Rozważamy dwa rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych: zbieżność punktową i jednostajną. Dowodzimy twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Podajemy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Na zakończenie wprowadzamy szereg Taylora funkcji o środku w danym punkcie (i w szczególności szereg Maclaurina).

Ciągi funkcyjne

Definicja

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech przestrzenią metryczną. Niech oraz będą funkcjami dla .
(1) Mówimy, że ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji i piszemy lub , jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in X:\ \ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ f(x), }

co z kolei (z definicji granicy ciągu w przestrzeniach metrycznych; patrz Definicja AM1.Uzupelnic d.am1.w.04.0020|) oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in X\ \ \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n\ge N:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon. }

(2) Mówimy, że ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji na zbiorze i piszemy jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists N\in \mathbb{N}\ \ \forall n\ge N\ \ \forall x\in X:\ \ \varrho\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \varepsilon. }

Zauważmy, że definicje zbieżności punktowej i jednostajnej różnią się tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji zbieżności punktowej dobierane do może zmieniać się w zależności od punktu . Natomiast w definicji zbieżności jednostajnej dobrane do nie zależy od . Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie

Jeśli jest dowolnym zbiorem, przestrzenią metryczną, oraz funkcjami dla , Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg[ f_n \ \rightrightarrows f \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ f_n \ \longrightarrow\ f \bigg]. }
Uwaga

Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że jeśli ciąg funkcyjny ma granicę punktową , to jeśli jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji , to . Innymi słowy jeśli ciąg ma granicę punktową , to jedynym "kandydatem" na granicę jednostajną jest też funkcja . Będzie to bardzo przydatne do badania jednostajnej zbieżności, gdyż na ogół znacznie łatwiej jest wyznaczyć granicę punktową niż granicę jednostajną. Natomiast znajomość granicy punktowej ułatwia badanie zbieżności jednostajnej (patrz uwaga poniżej).

Uwaga

Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna do implikacji w Twierdzeniu Uzupelnic t.am2.w.02.0020| (czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności jednostajnej).
Aby to zobaczyć rozważmy ciąg funkcji zdefiniowanych przez

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f_n(x) \ =\ x^n \quad } dla

{ Rysunek AM2.02.01}
{ Rysunek AM2.02.02: Animacja}
Łatwo widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in[0,1),\\ 1 & \textrm{dla} \displaystyle & x=1. \end{array} \right. }

Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji . Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f(x)\big| \ <\ \varepsilon. }

Weźmy teraz . Z naszej hipotezy wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n \ge N_1\ \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f(x)\big| \ <\ \varepsilon \ =\ \frac{1}{3}. }

Ale ponieważ gdy , zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x_0\in (0,1):\ \big|f_{N_1}(x_0)-1\big| \ <\ \frac{1}{3}. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \big|f_{N_1}(x_0)-\underbrace{f(x_0)}\limits_{=0}\big| &= \big|f_{N_1}(x_0)-0\big| \ =\ \big|f_{N_1}(x_0)-1+1-0\big| \ \ge\ \big|1-0\big|-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|\\ &= 1-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big| \ >\ 1-\frac{1}{3} \ =\ \frac{2}{3} \ >\ \varepsilon \ =\ \frac{1}{3}, \endaligned}

co daje sprzeczność z wyborem .

Uwaga

Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność jednostajna . Otóż warunek z definicji jednostajnej zbieżności oznacza, że jeśli weźmiemy "epsilonowe otoczenie wykresu funkcji ", to dla odpowiednio dużych , wykresy wszystkich funkcji będą w tym otoczeniu.
Na pierwszym rysunku mamy ciąg funkcji dla . Żadna z tych funkcji nie zawiera się w epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej (patrz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.02.0040|)
{ Rysunek AM2.02.09a}
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji dla . Tutaj widać, że dla dowolnie małego , wszystkie funkcje począwszy od pewnego znajdą się w pasie , który jest otoczeniem funkcji granicznej .
{ Rysunek AM2.02.09b}

Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych (patrz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.02.0060| oraz Uwaga Uzupelnic u.am2.w.02.0040|).

Twierdzenie

(Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych)
Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, oraz są funkcjami dla , oraz
to
(1) jeśli funkcje są ciągłe w punkcie , to jest funkcją ciągłą w punkcie ;
(2) jeśli funkcje są ciągłe, to jest funkcją ciągłą.

Dowód

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje są ciągłe w punkcie .
Ustalmy dowolne . Ponieważ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in X:\ d_Y\big(f_n(x),f(x)\big) \ <\ \frac{\varepsilon}{3}, }

w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\ge N:\ d_Y\big(f_n(x_0),f(x_0)\big) \ <\ \frac{\varepsilon}{3}. }

Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie , więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0\ \forall x\in X:\ \big[d_X(x,x_0)<\delta \Longrightarrow d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big) \ <\ \frac{\varepsilon}{3}\big]. }

Niech teraz będzie taki, że . Wówczas korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech powyższych nierówności, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) \ \le\ d_Y\big(f(x),f_N(x)\big) +d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big) +d_Y\big(f_N(x_0),f(x_0)\big) \ <\ 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} \ =\ \varepsilon, }

zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ \big[d_X(x,x_0)<\delta \Longrightarrow d_Y\big(f(x),f(x_0)\big) \ <\ \varepsilon\big], }

a to oznacza ciągłość funkcji w punkcie .
(Ad (2)) Od razu wynika z (1).

End of proof.gif
Uwaga

Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w Uwadze Uzupelnic u.am2.w.02.0040| składał się z funkcji ciągłych oraz miał granicę nieciągłą, więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować, że nie jest on jednostajnie zbieżny.

Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji , to samo dają dwie następujące operacje:
(1) obliczenie granicy ciągu funkcyjnego , a następnie obliczenie granicy funkcji granicznej w punkcie , oraz
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu w punkcie , a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym ciągiem liczbowym granic.
Innymi słowy zachodzi następujący wzór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x). }

Zwróćmy uwagę, że każdy z symboli "" po lewej i prawej stronie oznacza co innego (raz jest to granica ciągu liczbowego, a raz granica funkcji w punkcie). Formalne sformułowanie powyższego wzoru wraz ze wszystkimi założeniami potrzebnymi do jego zachodzenia podane jest w poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Twierdzenie

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, przy czym przestrzeń jest zupełna, , oraz są funkcjami dla , jest punktem skupienia zbioru oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\ \ \exists\lim_{x\rightarrow a}f_n(x)=b_n, }

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to
(1) ciąg jest zbieżny;
(2) .

Szeregi funkcyjne

Definicja

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech będą funkcjami dla .
Szeregiem (lub ) nazywamy ciąg (tzw. ciąg sum częściowych) , gdzie , to znaczy , dla .

Mówimy, że szereg jest zbieżny (punktowo) na do sumy , jeśli

punktowo, to znaczy dla

Wówczas piszemy .

Mówimy, że szereg jest zbieżny jednostajnie na do sumy , jeśli

Twierdzenie

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym, Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to

szereg jestzbieżny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg] \ \ \Longleftrightarrow\ \ \bigg[\forall x\in A:\ } szeregliczbowy jestzbieżny

Dowód

Wynika to wprost z definicji zbieżności szeregu funkcyjnego.

End of proof.gif

Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna temu, że jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0070|). Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.

Twierdzenie

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym, Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to szereg jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in A:\ \ \bigg[ \big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\ \big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big) \bigg] }

Dowód

""
Załóżmy, że szereg jest jednostajnie zbieżny do funkcji i oznaczmy przez ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne . Z definicji jednostajnej zbieżności ciągu wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in A:\ \big|F_n(x)-f(x)\big| \ <\ \frac{\varepsilon}{2}. }

Zatem dla mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big| \ =\ \big|F_m(x)-f(x)+f(x)-F_n(x)\big| \ \le\ |F_m(x)-f(x)\big|+\big|F_n(x)-f(x)\big| \ <\ 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. }

A zatem szereg spełnia warunek Cauchy'ego.

""
Załóżmy teraz, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego. Po pierwsze zauważmy, że wówczas dla dowolnego szereg liczbowy spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych, a zatem jest zbieżny (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0070|) punktowo, powiedzmy do funkcji , to znaczy dla . Pokażemy, że szereg jest zbieżny do jednostajnie.

Niech ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego szeregu. ustalmy dowolne . Z warunku Cauchy'ego wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in A:\ \ \bigg[ \big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\ \big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big) \bigg], }

a to oznacza, że dla oraz , mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big| \ <\ \varepsilon. }

Przejdźmy w powyższej nierówności do granicy z (przy ustalonych i ). Dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in A\ \forall n>N:\ \big|f(x)-F_n(x)\big| \ \le\ \varepsilon. }

A zatem ciąg , czyli szereg jest jednostajnie zbieżny do , co należało dowieść.

End of proof.gif

Analogicznie jak w przypadku ciągów funkcyjnych, zbieżność jednostajna szeregów implikuje zbieżność punktową. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Twierdzenie

(Zbieżność a jednostajna zbieżność)
Jeśli jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do sumy , Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to (to znaczy szereg jest zbieżny (punktowo) do sumy ).

Analogicznie do twierdzenia dotyczącego ciągów, dla szeregów także mamy ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.

Twierdzenie

(Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych)
Jeśli , , są funkcjami dla oraz szereg jest jednostajnie zbieżny do sumy , Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to
(1) jeśli funkcje są ciągłe w punkcie dla każdego , to jest funkcją ciągłą w ;
(2) jeśli funkcje są ciągłe dla każdego , to jest funkcją ciągłą.

Dowód

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje są ciągłe w punkcie dla każdego . Zatem także sumy częściowe są ciągłe w punkcie (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.08.0170|). Zatem z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0050| wnioskujemy, że granica (która istnieje z założenia) jest funkcją ciągłą.
(Ad (2)) Wynika wprost z (1).

End of proof.gif

Dla szeregów zachodzi twierdzenie analogiczne do Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0070|. Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w punkcie, to otrzymamy to samo co licząc granice w punkcie dla poszczególnych wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak otrzymanego szeregu liczbowego. Innymi słowy w szeregu jednostajnie zbieżnym można przejść do granicy w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x). }

Dokładne sformułowanie podane jest poniżej. Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na Twierdzeniu Uzupelnic t.am2.w.02.0070| zastosowanym do ciągu sum częściowych szeregu.

Twierdzenie

Jeśli , jest punktem skupienia zbioru , są funkcjami dla , szereg jest jednostajnie zbieżny oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \exists \lim_{x\rightarrow a}f_n(x)\ =\ c_n\in\mathbb{R}, }

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to
(1) jest szeregiem liczbowym zbieżnym;
(2) istnieje granica oraz .

Dla szeregów funkcyjnych podamy jedno kryterium zbieżności. Jest ono odpowiednikiem kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych. Mówi ono, że jeśli wyrazy szeregu funkcyjnego są wspólnie ograniczone przez wyrazy szeregu liczbowego zbieżnego, to szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Zauważmy, że kryterium to ma dość silne założenie wspólnej ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność (punktową), ale aż zbieżność jednostajną.

Twierdzenie

(Kryterium Weierstrassa)
Jeśli są funkcjami dla , szereg jest zbieżny oraz , Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to szereg jest jednostajnie zbieżny na .

Dowód

Na mocy Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0100| wiemy, że wystarczy pokazać zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego . W tym celu ustalmy dowolne . Ponieważ szereg jako zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.w.07.0070|), zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n>N:\ a_{n+1}+\ldots+a_m<\varepsilon. }

Zatem dla oraz dla dowolnego mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big| f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x) \big| \ \le\ \big| f_{n+1}(x) \big| +\ldots+ \big| f_m(x) \big| \ \le\ a_{n+1}+\ldots+ a_m\ <\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów, a zatem jest jednostajnie zbieżny.

End of proof.gif

W kolejnym przykładzie wykorzystamy kryterium Weierstrassa do zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.

Przykład

Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego . Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na .

Rozwiązanie

Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale nie koniecznego zbieżności szeregów funkcyjnych. Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.

Przykład

Pokazać jednostajną zbieżność szeregu na przedziale , gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f_n(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \displaystyle \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\ \displaystyle \frac{1}{n}\sin^2\big(2^{n+1}\pi x\big) & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\right),\\ \\ \displaystyle 0 & \quad \textrm{dla} \displaystyle & \displaystyle x\in\left[\frac{1}{2^n},1\right].\\ \end{array} \right. }

Zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.

Rozwiązanie

Szereg Taylora

Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.am1.10.090|).

Twierdzenie

(Wzór Taylora z resztą Lagrange'a)
Jeśli jest przedziałem, jest funkcją -krotnie różniczkowalną, , Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Expected width > 0.”): {\displaystyle \displaystyle {}}
to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in I\ \exists\vartheta\in(0,1):\ f(x)= f(a) +\frac{1}{1!}f'(a)(x-a) +\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 +\ldots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n +R_n(x), }

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle R_n(x) \ =\ \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}\big(a+\vartheta(x-a)\big)(x-a)^{(n+1)}. }

Niech oraz niech . Niech .
Możemy rozważać szereg

zwany szeregiem Taylora funkcji o środku w punkcie (umowa ).
W szczególności dla , mamy

zwany szeregiem Maclaurina.

Z Twierdzenia Uzupelnic t.am2.w.02.0170| (o wzorze Taylora) wynika, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora był zbieżny jest aby , gdzie oznacza resztę Lagrange'a we wzorze Taylora.

Twierdzenie

Szeregi Maclaurina funkcji: , oraz są zbieżne w , a ich sumy równe są tym funkcjom. Mówimy krótko, że funkcje te są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli dla , mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, }

{ Rysunek AM2.02.06: Animacja}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sin x \ =\ \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, }

{ Rysunek AM2.02.07: Animacja}

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \cos x \ =\ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}. }

{ Rysunek AM2.02.08: Animacja}

Dowód

Ponieważ wszystkie pochodne funkcji wynoszą dla , zatem wzór Maclaurina tej funkcji ma postać:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle e^x \ =\ \displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} +R_n(x), }

gdzie dla pewnego (lub , gdy ). Zatem

Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina do funkcji należy wykazać, że ciąg reszt zmierza do zera (dla dowolnego ). Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|R_n(x)\big| \ =\ \bigg| \frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1} \bigg| \ \le\ \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}. }

Ostatnie wyrażenie przy dowolnym ustalonym zmierza do gdy . A zatem

Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.

End of proof.gif
Uwaga

Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy jest równa tej funkcji. Przykładem takiej funkcji jest

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} e^{-\frac{1}{x^2}} & \textrm{dla} \displaystyle & x\ne 0,\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x=0, \end{array} \right. }

Aby to pokazać należy obliczyć pochodne funkcji w (z definicji). Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę de l'Hospitala oraz indukcję matematyczną.

Funkcje, które w pewnym otoczeniu punktu są równe sumie swojego szereg Taylora o środku w nazywamy analitycznymi.