Analiza matematyczna 2/Wykład 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
m (Zastępowanie tekstu - "<div class="thumb t(.*)"><div style="width:(.*);"> <flash>file=(.*)\.swf\|width=(.*)\|height=(.*)<\/flash> <div\.thumbcaption>(.*)<\/div> <\/div><\/div>" na "$4x$5px|thumb|$1|$6")
 
(Nie pokazano 101 wersji utworzonych przez 7 użytkowników)
Linia 12: Linia 12:
 
(i w szczególności szereg Maclaurina).
 
(i w szczególności szereg Maclaurina).
  
===Ciągi funkcyjne===
+
Ten wykład jest pierwszym z dwóch wykładów poświęconych ciągom iszeregom funkcyjnym. Z szeregami liczbowymi spotkaliśmy się już na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Przypomnijmy, że liczbę <math>\displaystyle e</math> możemy otrzymać jako sumę szeregu  <math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math>. Okazuje się, że zachodzi ogólniejszy fakt
  
{{definicja|||
+
<center><math>\displaystyle e^x
 +
  =
 +
  \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
 +
  \quad </math> dla <math>\displaystyle  \ x\in\mathbb{R}.
 +
</math></center>
 +
 
 +
Zapiszmy ten wzór tak
 +
 
 +
<center><math>\displaystyle e^x
 +
  =
 +
  1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots.
 +
</math></center>
 +
 
 +
Jeśli w powyższej sumie weźmiemy tylko skończoną ilość  składników, to oczywiście nie dostaniemy dokładnie wartości <math>\displaystyle e^x</math>, niemniej dostaniemy dobre jej przybliżenie.  Pozwala to nam policzyć np.  <math>\displaystyle \displaystyle \sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}}</math> dość dokładnie jako  sumę
 +
 
 +
<center><math>\displaystyle 1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}+\frac{\frac{1}{4}}{2!}+\frac{\frac{1}{8}}{3!}+\ldots +\frac{\frac{1}{2^n}}{n!}
 +
</math></center>
 +
 
 +
(gdzie zwiększając liczbę składników, zwiększamy dokładność).
 +
 
 +
Na wykładzie zobaczymy, że wiele funkcji (przy odpowiednich założeniach) można zapisać jako sumę szeregu <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)</math>,  gdzie  funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są na przykład jednomianami (czyli są postaci <math>\displaystyle a_nx^n</math> jak w powyższym przykładzie z <math>\displaystyle e^x</math>)  albo są funkcjami trygonometrycznymi  (patrz szeregi Fouriera).  Da nam to możliwość przybliżania funkcji <math>\displaystyle f</math> przez sumę  początkowych wyrazów szeregu.
 +
 
 +
Przy odpowiednich założeniach będziemy też mogli powiedzieć, czy funkcja <math>\displaystyle f</math> dana jako suma szeregu jest ciągła, różniczkowalna,  czy też klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>.
 +
 
 +
==Ciągi funkcyjne==
 +
 
 +
[[File:am2.m04.w.r01.svg|375x375px|thumb|right|Wykresy funkcji <math>f_n(x)=x^n</math> dla <math>n=1,2,3,...</math> oraz funkcji granicznej <math>f</math>]]
 +
 
 +
[[File:am2.m04.w.r02.svg|375x375px|thumb|right|Wykresy funkcji <math>f_n(x)=x^n</math> dla <math>n=1,2,3,...</math> oraz funkcji granicznej <math>f</math>]]
 +
 
 +
{{definicja|4.1.|def_4_1|
  
 
Niech <math>\displaystyle X\ne\emptyset</math> będzie
 
Niech <math>\displaystyle X\ne\emptyset</math> będzie
 
dowolnym zbiorem oraz niech
 
dowolnym zbiorem oraz niech
<math>\displaystyle (Y,\varrho)</math> przestrzenią metryczną.
+
<math>\displaystyle (Y,\varrho)</math> będzie przestrzenią metryczną.
 
Niech  <math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> oraz
 
Niech  <math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> oraz
 
<math>\displaystyle f_n\colon X\longrightarrow Y</math> będą funkcjami dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>.<br>
 
<math>\displaystyle f_n\colon X\longrightarrow Y</math> będą funkcjami dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>.<br>
Linia 29: Linia 59:
 
jeśli
 
jeśli
  
<center><math>\displaystyle \forall x\in X:\ \
+
<br><center>
 +
<math>\displaystyle \forall x\in X:  
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)
\ =\
+
=
 
f(x),
 
f(x),
</math></center>
+
</math>
 +
<br></center>
  
 
co z kolei (z definicji granicy ciągu
 
co z kolei (z definicji granicy ciągu
w przestrzeniach metrycznych; patrz Definicja AM1.[[##d.am1.w.04.0020|Uzupelnic d.am1.w.04.0020|]])
+
w przestrzeniach metrycznych; patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne#def_2_2|Analiza matematyczna 1 definicja 2.2.]])
 
oznacza, że
 
oznacza, że
  
<center><math>\displaystyle \forall x\in X\ \
+
<br><center>
\forall \varepsilon>0\ \
+
<math>\displaystyle \forall x\in X\  
\exists N\in\mathbb{N}\ \
+
\forall \varepsilon>0\  
\forall n\ge N:\ \
+
\exists N\in\mathbb{N}\  
 +
\forall n\ge N:  
 
\varrho\big(f_n(x),f(x)\big)
 
\varrho\big(f_n(x),f(x)\big)
\ <\
+
<
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
</math></center>
+
</math>
 +
<br></center>
  
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
Linia 56: Linia 90:
 
jeśli
 
jeśli
  
<center><math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \
+
<br><center>
\exists N\in \mathbb{N}\ \
+
<math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\  
\forall n\ge N\ \
+
\exists N\in \mathbb{N}\  
\forall x\in X:\ \
+
\forall n\ge N\  
 +
\forall x\in X:  
 
\varrho\big(f_n(x),f(x)\big)
 
\varrho\big(f_n(x),f(x)\big)
\ <\
+
<
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
</math></center>
+
</math>
 +
<br></center>
  
 
}}
 
}}
Linia 75: Linia 111:
 
Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.
 
Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_4_2">{{twierdzenie|4.2.||
  
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
Linia 82: Linia 118:
 
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> oraz
 
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> oraz
 
<math>\displaystyle f_n\colon X\longrightarrow Y</math> funkcjami dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>,
 
<math>\displaystyle f_n\colon X\longrightarrow Y</math> funkcjami dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>,
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''
+
'''to'''
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center>
 +
<math>\displaystyle  
 
\bigg[
 
\bigg[
 
f_n \ \rightrightarrows f
 
f_n \ \rightrightarrows f
\ \ \ \Longrightarrow\ \ \
+
\ \ \ \Longrightarrow \  
f_n \ \longrightarrow\ f
+
f_n \ \longrightarrow f
 
\bigg].
 
\bigg].
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
}}
+
}}</span>
  
{{uwaga|||
+
{{uwaga|4.3.||
  
 
Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności,
 
Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności,
Linia 108: Linia 146:
 
}}
 
}}
  
{{uwaga|||
+
{{uwaga|4.4.|uw_4_4|
  
 
Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna
 
Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna
do implikacji w Twierdzeniu [[##t.am2.w.02.0020|Uzupelnic t.am2.w.02.0020|]]
+
do implikacji w [[#tw_4_2|twierdzeniu 4.2.]]
 
(czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności
 
(czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności
 
jednostajnej).<br>
 
jednostajnej).<br>
Aby to zobaczyć rozważmy ciąg funkcji
+
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg funkcji
 
<math>\displaystyle \{f_n\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb{R}\}</math>
 
<math>\displaystyle \{f_n\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb{R}\}</math>
 
zdefiniowanych przez
 
zdefiniowanych przez
  
<center><math>\displaystyle f_n(x)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle f_n(x)
 +
=
 
x^n
 
x^n
 
\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ x\in [0,1].
 
\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ x\in [0,1].
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
{ [[Rysunek AM2.02.01]]}<br>
+
<br>
{ [[Rysunek AM2.02.02: Animacja]]}<br>
+
Wyrźnie widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji
Łatwo widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji
 
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center>
 +
<math>\displaystyle  
 
f(x)
 
f(x)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
0 &  </math> dla <math>\displaystyle  & x\in[0,1),\\
+
0 &  \text{dla} \displaystyle  & x\in[0,1),\\
1 &  </math> dla <math>\displaystyle  & x=1.
+
1 &  \text{dla} \displaystyle  & x=1.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji
 
Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji
Linia 143: Linia 184:
 
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
 
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
  
<center><math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\
+
<center>
\exists N\in\mathbb{N}\
+
<math>\displaystyle \forall \varepsilon>0
\forall n\ge N\
+
\exists N\in\mathbb{N}
\forall x\in[0,1]:\
+
\forall n\ge N
 +
\forall x\in[0,1]:
 
\big|f_n(x)-f(x)\big|
 
\big|f_n(x)-f(x)\big|
\ <\
+
<
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Weźmy teraz <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{3}</math>.
 
Weźmy teraz <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{3}</math>.
 
Z naszej hipotezy wynika, że
 
Z naszej hipotezy wynika, że
  
<center><math>\displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}\
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \exists N_1\in\mathbb{N}
 
\forall n
 
\forall n
\ge N_1\
+
\ge N_1
\forall x\in[0,1]:\
+
\forall x\in[0,1]:
 
\big|f_n(x)-f(x)\big|
 
\big|f_n(x)-f(x)\big|
\ <\
+
<
 
\varepsilon
 
\varepsilon
\ =\
+
=
 
\frac{1}{3}.
 
\frac{1}{3}.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Ale ponieważ
 
Ale ponieważ
<math>\displaystyle f_{N_1}(x)=x^{N_1}\longrightarrow 1</math> gdy
+
<math>\displaystyle f_{N_1}(x)=x^{N_1}\longrightarrow 1</math>, gdy
 
<math>\displaystyle x\rightarrow 1</math>, zatem
 
<math>\displaystyle x\rightarrow 1</math>, zatem
  
<center><math>\displaystyle \exists x_0\in (0,1):\
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \exists x_0\in (0,1):
 
\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|
 
\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|
\ <\
+
<
 
\frac{1}{3}.
 
\frac{1}{3}.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Zatem
 
Zatem
  
<center><math>\displaystyle \aligned \big|f_{N_1}(x_0)-\underbrace{f(x_0)}\limits_{=0}\big|
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} \big|f_{N_1}(x_0)-\underbrace{f(x_0)}\limits_{=0}\big|
 
&=
 
&=
 
\big|f_{N_1}(x_0)-0\big|
 
\big|f_{N_1}(x_0)-0\big|
\ =\
+
=
 
\big|f_{N_1}(x_0)-1+1-0\big|
 
\big|f_{N_1}(x_0)-1+1-0\big|
\ \ge\
+
\ge
 
\big|1-0\big|-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|\\
 
\big|1-0\big|-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|\\
 
&=
 
&=
 
1-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|
 
1-\big|f_{N_1}(x_0)-1\big|
\ >\
+
>
 
1-\frac{1}{3}
 
1-\frac{1}{3}
\ =\
+
=
 
\frac{2}{3}
 
\frac{2}{3}
\ >\
+
>
 
\varepsilon
 
\varepsilon
\ =\
+
=
 
\frac{1}{3},
 
\frac{1}{3},
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
 
co daje sprzeczność z wyborem <math>\displaystyle N_1</math>.
 
co daje sprzeczność z wyborem <math>\displaystyle N_1</math>.
 
}}
 
}}
  
{{uwaga|||
+
{{uwaga|4.5.||
  
 
Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność
 
Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność
Linia 207: Linia 254:
 
Otóż warunek z definicji jednostajnej zbieżności oznacza, że
 
Otóż warunek z definicji jednostajnej zbieżności oznacza, że
 
jeśli weźmiemy "epsilonowe otoczenie wykresu funkcji <math>\displaystyle f</math>",
 
jeśli weźmiemy "epsilonowe otoczenie wykresu funkcji <math>\displaystyle f</math>",
to dla odpowiednio dużych <math>\displaystyle n\ge N</math>,
+
to dla odpowiednio dużych <math>\displaystyle n\ge N</math>
 
wykresy wszystkich funkcji <math>\displaystyle f_n</math> będą w tym otoczeniu.<br>
 
wykresy wszystkich funkcji <math>\displaystyle f_n</math> będą w tym otoczeniu.<br>
 
Na pierwszym rysunku
 
Na pierwszym rysunku
Linia 213: Linia 260:
 
Żadna z tych funkcji nie zawiera się w
 
Żadna z tych funkcji nie zawiera się w
 
epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej
 
epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej
(patrz Uwaga [[##u.am2.w.02.0040|Uzupelnic u.am2.w.02.0040|]])<br>
+
(patrz [[#uw_4_4|uwaga 4.4.]])<br>
{ [[Rysunek AM2.02.09a]]}<br>
 
 
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji
 
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji
 
<math>\displaystyle \displaystyle f_n(x)=\frac{1}{n}x</math> dla <math>\displaystyle x\in[0,1]</math>.
 
<math>\displaystyle \displaystyle f_n(x)=\frac{1}{n}x</math> dla <math>\displaystyle x\in[0,1]</math>.
Linia 221: Linia 267:
 
<math>\displaystyle \mathbb{R}\times (-\varepsilon,\varepsilon)</math>, który jest otoczeniem funkcji
 
<math>\displaystyle \mathbb{R}\times (-\varepsilon,\varepsilon)</math>, który jest otoczeniem funkcji
 
granicznej <math>\displaystyle f\equiv 0</math>.<br>
 
granicznej <math>\displaystyle f\equiv 0</math>.<br>
{ [[Rysunek AM2.02.09b]]}
 
 
}}
 
}}
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.m04.w.r03.svg|375x375px|thumb|center|Ciąg funkcji <math>f_n(x)=x^n</math> nie jest jednostajnie zbieżny na przedziale <math>[0,1]</math>]]
 +
|[[File:am2.m04.w.r04.svg|375x375px|thumb|center|Ciąg funkcji <math>f_n(x)=nx</math> jest jednostajnie zbieżny na przedziale <math>[0,1]</math>]]
 +
|}
  
 
Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie
 
Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie
Linia 228: Linia 277:
 
Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie
 
Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie
 
jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych
 
jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych
(patrz Uwaga [[##u.am2.w.02.0060|Uzupelnic u.am2.w.02.0060|]] oraz Uwaga [[##u.am2.w.02.0040|Uzupelnic u.am2.w.02.0040|]]).
+
(patrz [[#uw_4_4|uwaga 4.4.]] i [[#uw_4_7|4.7.]]).
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_4_6">{{twierdzenie|4.6. [ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych]||
'''(Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych)'''<br>
 
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
 
<math>\displaystyle (X,d_X)\displaystyle (Y,d_Y)</math> są przestrzeniami metrycznymi,
 
<math>\displaystyle (X,d_X)\displaystyle (Y,d_Y)</math> są przestrzeniami metrycznymi,
Linia 244: Linia 292:
 
jeśli funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe, to
 
jeśli funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe, to
 
<math>\displaystyle f</math> jest funkcją ciągłą.
 
<math>\displaystyle f</math> jest funkcją ciągłą.
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|||
+
{{dowod|4.6.||
  
 
'''(Ad (1))'''
 
'''(Ad (1))'''
Linia 254: Linia 302:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\exists N\in\mathbb{N}\
+
\exists N\in\mathbb{N}
\forall n\ge N\
+
\forall n\ge N
\forall x\in X:\
+
\forall x\in X:
 
d_Y\big(f_n(x),f(x)\big)
 
d_Y\big(f_n(x),f(x)\big)
\ <\
+
<
 
\frac{\varepsilon}{3},
 
\frac{\varepsilon}{3},
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 265: Linia 313:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\forall n\ge N:\
+
\forall n\ge N:
 
d_Y\big(f_n(x_0),f(x_0)\big)
 
d_Y\big(f_n(x_0),f(x_0)\big)
\ <\
+
<
 
\frac{\varepsilon}{3}.
 
\frac{\varepsilon}{3}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 275: Linia 323:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\exists \delta>0\
+
\exists \delta>0
\forall x\in X:\
+
\forall x\in X:
 
\big[d_X(x,x_0)<\delta
 
\big[d_X(x,x_0)<\delta
 
\Longrightarrow
 
\Longrightarrow
 
d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big)
 
d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big)
\ <\
+
<
 
\frac{\varepsilon}{3}\big].
 
\frac{\varepsilon}{3}\big].
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 286: Linia 334:
 
Niech teraz <math>\displaystyle x\in X</math> będzie taki, że
 
Niech teraz <math>\displaystyle x\in X</math> będzie taki, że
 
<math>\displaystyle d_X(x,x_0)<\delta</math>.
 
<math>\displaystyle d_X(x,x_0)<\delta</math>.
Wówczas korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech
+
Wówczas, korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech
 
powyższych nierówności, mamy
 
powyższych nierówności, mamy
  
<center><math>\displaystyle d_Y\big(f(x),f(x_0)\big)
+
<center><math>\begin{array}{lll}
\ \le\
+
\displaystyle d_Y\big(f(x),f(x_0)\big)
 +
&\le& \displaystyle
 
d_Y\big(f(x),f_N(x)\big)
 
d_Y\big(f(x),f_N(x)\big)
+d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big)
+
+d_Y\big(f_N(x),f_N(x_0)\big)\\
+d_Y\big(f_N(x_0),f(x_0)\big)
+
&+& \displaystyle  d_Y\big(f_N(x_0),f(x_0)\big)
\ <\
+
<
 
3\cdot\frac{\varepsilon}{3}
 
3\cdot\frac{\varepsilon}{3}
\ =\
+
=
 
\varepsilon,
 
\varepsilon,
 +
\end{array}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
zatem pokazaliśmy, że
 
zatem pokazaliśmy, że
  
<center><math>\displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0:\
+
<center><math>\displaystyle \forall\varepsilon>0\ \exists \delta>0:
 
\big[d_X(x,x_0)<\delta
 
\big[d_X(x,x_0)<\delta
 
\Longrightarrow
 
\Longrightarrow
 
d_Y\big(f(x),f(x_0)\big)
 
d_Y\big(f(x),f(x_0)\big)
\ <\
+
<
 
\varepsilon\big],
 
\varepsilon\big],
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 315: Linia 365:
 
}}
 
}}
  
{{uwaga|||
+
<span id="uw_7_4">{{uwaga|4.7.||
  
Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w
+
Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w [[#uw_4_4|uwadze 4.4.]] składał się z funkcji ciągłych
Uwadze [[##u.am2.w.02.0040|Uzupelnic u.am2.w.02.0040|]] składał się z funkcji ciągłych
 
 
oraz miał granicę nieciągłą,
 
oraz miał granicę nieciągłą,
 
więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować,
 
więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować,
 
że nie jest on jednostajnie zbieżny.
 
że nie jest on jednostajnie zbieżny.
}}
+
}}</span>
  
 
Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu
 
Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu
Linia 328: Linia 377:
 
(1) obliczenie granicy <math>\displaystyle f</math> ciągu funkcyjnego <math>\displaystyle \{f_n\}</math>, a
 
(1) obliczenie granicy <math>\displaystyle f</math> ciągu funkcyjnego <math>\displaystyle \{f_n\}</math>, a
 
następnie obliczenie granicy funkcji granicznej <math>\displaystyle f</math> w punkcie
 
następnie obliczenie granicy funkcji granicznej <math>\displaystyle f</math> w punkcie
<math>\displaystyle x_0</math>,
+
<math>\displaystyle x_0</math>
 
oraz<br>
 
oraz<br>
 
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu <math>\displaystyle \{f_n\}</math> w
 
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu <math>\displaystyle \{f_n\}</math> w
 
punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym
 
punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym
 
ciągiem liczbowym granic.<br>
 
ciągiem liczbowym granic.<br>
Innymi słowy zachodzi następujący wzór:
+
Zachodzi zatem następujący wzór:
  
 
<center><math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)
 
<center><math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x)
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x).
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x).
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 347: Linia 396:
 
poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).
 
poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_4_8">{{twierdzenie|4.8.||
  
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
Linia 357: Linia 406:
 
<math>\displaystyle  f_n\rightrightarrows f,\displaystyle a</math> jest punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A</math> oraz
 
<math>\displaystyle  f_n\rightrightarrows f,\displaystyle a</math> jest punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A</math> oraz
  
<center><math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\ \
+
<center><math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}\  
 
\exists\lim_{x\rightarrow a}f_n(x)=b_n,
 
\exists\lim_{x\rightarrow a}f_n(x)=b_n,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''<br>
+
'''to'''<br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
ciąg <math>\displaystyle \{b_n\}</math> jest zbieżny;<br>
 
ciąg <math>\displaystyle \{b_n\}</math> jest zbieżny;<br>
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>.
 
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n</math>.
}}
+
}}</span>
  
===Szeregi funkcyjne===
+
==Szeregi funkcyjne==
  
{{definicja|||
+
{{definicja|4.9.||
  
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie dowolnym zbiorem oraz
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie dowolnym zbiorem oraz
Linia 385: Linia 434:
 
'''''zbieżny''''' (punktowo) na <math>\displaystyle A</math> do sumy <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}</math>, jeśli
 
'''''zbieżny''''' (punktowo) na <math>\displaystyle A</math> do sumy <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}</math>, jeśli
  
<center><math>\displaystyle F_n\ \longrightarrow\ f
+
<center><math>\displaystyle F_n\ \longrightarrow f
 
\quad( </math> punktowo, to znaczy <math>\displaystyle  \ F_n(x)\longrightarrow f(x)
 
\quad( </math> punktowo, to znaczy <math>\displaystyle  \ F_n(x)\longrightarrow f(x)
 
\  </math> dla <math>\displaystyle  \ x\in A).
 
\  </math> dla <math>\displaystyle  \ x\in A).
Linia 398: Linia 447:
 
}}
 
}}
  
{{twierdzenie|||
+
{{twierdzenie|4.10.||
  
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest szeregiem funkcyjnym,
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest szeregiem funkcyjnym,
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''
+
'''to'''
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
 
\bigg[ </math> szereg <math>\displaystyle  \ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n\  </math> jestzbieżny <math>\displaystyle  \bigg]
 
\bigg[ </math> szereg <math>\displaystyle  \ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n\  </math> jestzbieżny <math>\displaystyle  \bigg]
\ \ \Longleftrightarrow\ \
+
\ \ \Longleftrightarrow\  
 
\bigg[\forall x\in A:\  </math> szeregliczbowy <math>\displaystyle  \ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)
 
\bigg[\forall x\in A:\  </math> szeregliczbowy <math>\displaystyle  \ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)
 
\  </math> jestzbieżny <math>\displaystyle  \bigg].
 
\  </math> jestzbieżny <math>\displaystyle  \bigg].
Linia 413: Linia 462:
 
}}
 
}}
  
{{dowod|||
+
{{dowod|4.10.||
  
 
Wynika to wprost z definicji zbieżności szeregu funkcyjnego.
 
Wynika to wprost z definicji zbieżności szeregu funkcyjnego.
Linia 419: Linia 468:
  
 
Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna
 
Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna
temu, że jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego
+
temu, iżjego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.07.0070|Uzupelnic t.am1.w.07.0070|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_7|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.]]).
 
Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.
 
Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_4_11">{{twierdzenie|4.11.||
 
 
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest szeregiem funkcyjnym,
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest szeregiem funkcyjnym,
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''
+
'''to'''
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko
 
wtedy,
 
wtedy,
 
gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczy
 
gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczy
  
<center><math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in
+
<center><math>
A:\ \
+
\begin{array}{l}\displaystyle &\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in
\bigg[
+
A:\\
\big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\
+
& \displaystyle\bigg[
 +
\big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow
 
\big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big)
 
\big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big)
\bigg]
+
\bigg].
 +
\end{array}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
}}
+
}}</span>
 
+
{{dowod|4.11.||
{{dowod|||
 
  
 
"<math>\displaystyle \Longrightarrow</math>"<br>
 
"<math>\displaystyle \Longrightarrow</math>"<br>
Linia 454: Linia 503:
 
<math>\displaystyle \{F_n\}</math> wynika, że
 
<math>\displaystyle \{F_n\}</math> wynika, że
  
<center><math>\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in A:\
+
<center><math>\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in A:
 
\big|F_n(x)-f(x)\big|
 
\big|F_n(x)-f(x)\big|
\ <\
+
<
 
\frac{\varepsilon}{2}.
 
\frac{\varepsilon}{2}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 462: Linia 511:
 
Zatem dla <math>\displaystyle m>n>N</math> mamy
 
Zatem dla <math>\displaystyle m>n>N</math> mamy
  
<center><math>\displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big|
+
<center><math>
\ =\
+
\begin{array}{lll}
\big|F_m(x)-f(x)+f(x)-F_n(x)\big|
+
\displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big|
\ \le\
+
&=&\displaystyle
 +
\big|F_m(x)-f(x)+f(x)-F_n(x)\big|\\
 +
&\le &\displaystyle
 
|F_m(x)-f(x)\big|+\big|F_n(x)-f(x)\big|
 
|F_m(x)-f(x)\big|+\big|F_n(x)-f(x)\big|
\ <\
+
<
 
2\cdot\frac{\varepsilon}{2}
 
2\cdot\frac{\varepsilon}{2}
\ =\
+
=
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
 +
\end{array}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 483: Linia 535:
 
warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych,
 
warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych,
 
a zatem jest zbieżny
 
a zatem jest zbieżny
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.07.0070|Uzupelnic t.am1.w.07.0070|]])
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_7|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.]])
 
punktowo,
 
punktowo,
 
powiedzmy do funkcji <math>\displaystyle f</math>, to znaczy
 
powiedzmy do funkcji <math>\displaystyle f</math>, to znaczy
Linia 492: Linia 544:
 
Niech <math>\displaystyle \{F_n\}</math> ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego
 
Niech <math>\displaystyle \{F_n\}</math> ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego
 
szeregu.
 
szeregu.
ustalmy dowolne <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>.
+
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>.
 
Z warunku Cauchy'ego wiemy, że
 
Z warunku Cauchy'ego wiemy, że
  
<center><math>\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in
+
<center><math>
A:\ \
+
\begin{array}{lll}
\bigg[
+
\displaystyle & \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ \forall x\in
\big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow\
+
A:\\
 +
&\bigg[
 +
\big(m>n>N\big)\ \Longrightarrow
 
\big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big)
 
\big(\big|f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)\big|<\varepsilon\big)
 
\bigg],
 
\bigg],
</math></center>
+
\end{array}</math></center>
  
a to oznacza, że dla <math>\displaystyle m>n>N</math> oraz <math>\displaystyle x\in A</math>, mamy
+
a to oznacza, że dla <math>\displaystyle m>n>N</math> oraz <math>\displaystyle x\in A</math> mamy
  
 
<center><math>\displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big|
 
<center><math>\displaystyle \big|F_m(x)-F_n(x)\big|
\ <\
+
<
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 515: Linia 569:
 
Dostajemy
 
Dostajemy
  
<center><math>\displaystyle \forall x\in A\ \forall n>N:\
+
<center><math>\displaystyle \forall x\in A\ \forall n>N:
 
\big|f(x)-F_n(x)\big|
 
\big|f(x)-F_n(x)\big|
\ \le\
+
\le
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 530: Linia 584:
 
Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
 
Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
  
{{twierdzenie|||
+
{{twierdzenie|4.12. [Zbieżność a jednostajna zbieżność]||
'''(Zbieżność a jednostajna zbieżność)'''<br>
 
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do
 
sumy <math>\displaystyle f</math>,
 
sumy <math>\displaystyle f</math>,
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''
+
'''to'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n=f</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n=f</math>
 
(to znaczy szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest zbieżny (punktowo) do
 
(to znaczy szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest zbieżny (punktowo) do
Linia 545: Linia 598:
 
funkcji ciągłych.
 
funkcji ciągłych.
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_4_13">{{twierdzenie|4.13. [Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych]||
'''(Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych)'''<br>
 
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
 
<math>\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}</math>, <math>\displaystyle x_0\in A</math>,
 
<math>\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}</math>, <math>\displaystyle x_0\in A</math>,
Linia 552: Linia 604:
 
oraz szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny
 
oraz szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny
 
do sumy <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}</math>,
 
do sumy <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow\mathbb{R}</math>,
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''<br>
+
'''to'''<br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
jeśli funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> dla każdego
 
jeśli funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> dla każdego
Linia 559: Linia 611:
 
jeśli funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe dla każdego <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>,
 
jeśli funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe dla każdego <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>,
 
to <math>\displaystyle f</math> jest funkcją ciągłą.
 
to <math>\displaystyle f</math> jest funkcją ciągłą.
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|||
+
{{dowod|4.13.||
  
 
'''(Ad (1))''' Załóżmy, że funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe w punkcie
 
'''(Ad (1))''' Załóżmy, że funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są ciągłe w punkcie
Linia 567: Linia 619:
 
Zatem także sumy częściowe
 
Zatem także sumy częściowe
 
<math>\displaystyle F_n=f_1+f_2+\ldots+f_n</math> są ciągłe w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>
 
<math>\displaystyle F_n=f_1+f_2+\ldots+f_n</math> są ciągłe w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.08.0170|Uzupelnic t.am1.w.08.0170|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji#twierdzenie_8_9|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 8.9.]]).
Zatem z Twierdzenia [[##t.am2.w.02.0050|Uzupelnic t.am2.w.02.0050|]] wnioskujemy, że granica
+
Zatem z [[#tw_4_6|twierdzenia 4.6.]] wnioskujemy, że granica
 
<math>\displaystyle f=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} F_n</math> (która istnieje z założenia) jest funkcją
 
<math>\displaystyle f=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} F_n</math> (która istnieje z założenia) jest funkcją
 
ciągłą.<br>
 
ciągłą.<br>
Linia 576: Linia 628:
  
 
Dla szeregów zachodzi twierdzenie
 
Dla szeregów zachodzi twierdzenie
analogiczne do Twierdzenia [[##t.am2.w.02.0070|Uzupelnic t.am2.w.02.0070|]].
+
analogiczne do [[#tw_4_8|twierdzenia 4.8.]].
 
Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w
 
Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w
 
punkcie,
 
punkcie,
Linia 582: Linia 634:
 
wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak
 
wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak
 
otrzymanego szeregu liczbowego.
 
otrzymanego szeregu liczbowego.
Innymi słowy w szeregu jednostajnie zbieżnym
+
Innymi słowy, w szeregu jednostajnie zbieżnym
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> można przejść do granicy
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> można przejść do granicy
 
w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy
 
w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy
  
 
<center><math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)
 
<center><math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x).
 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\rightarrow a} f_n(x).
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Dokładne sformułowanie podane jest poniżej.
+
Dokładne sformułowanie podane jest poniżej. Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na [[#tw_4_8|twierdzenia 4.8.]] zastosowanym do ciągu sum częściowych szeregu.
Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na
 
Twierdzeniu [[##t.am2.w.02.0070|Uzupelnic t.am2.w.02.0070|]] zastosowanym do ciągu sum
 
częściowych szeregu.
 
  
{{twierdzenie|||
+
{{twierdzenie|4.14.||
  
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
Linia 603: Linia 652:
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny oraz
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny oraz
  
<center><math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\
+
<center><math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:
\exists \lim_{x\rightarrow a}f_n(x)\ =\ c_n\in\mathbb{R},
+
\exists \lim_{x\rightarrow a}f_n(x)= c_n\in\mathbb{R},
 
</math></center>
 
</math></center>
  
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''<br>
+
'''to'''<br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_n</math> jest szeregiem liczbowym zbieżnym;<br>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_n</math> jest szeregiem liczbowym zbieżnym;<br>
Linia 624: Linia 673:
 
ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność
 
ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność
 
(punktową), ale aż zbieżność jednostajną.
 
(punktową), ale aż zbieżność jednostajną.
 
+
[[grafika:Weierstrass.jpg|thumb|right||Karl Weierstrass (1815-1897)<br>[[Biografia Weierstrass|Zobacz biografię]]]]
{{twierdzenie|||
+
[[grafika:Cauchy.jpg|thumb|right||Augustin Louis Cauchy (1789-1857)<br>[[Biografia Cauchy|Zobacz biografię]]]]
'''(Kryterium Weierstrassa)'''<br>
+
<span id="tw_4_15">{{twierdzenie|4.15. [Kryterium Weierstrassa]||
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
 
<math>\displaystyle f_n\colon A\longrightarrow\mathbb{R}</math> są funkcjami dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>,
 
<math>\displaystyle f_n\colon A\longrightarrow\mathbb{R}</math> są funkcjami dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>,
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny oraz
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny oraz
 
<math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in A:\ \big|f_n(x)\big|\le a_n</math>,
 
<math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in A:\ \big|f_n(x)\big|\le a_n</math>,
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''
+
'''to'''
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny na <math>\displaystyle A</math>.
 
szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> jest jednostajnie zbieżny na <math>\displaystyle A</math>.
}}
+
}}</span>
 
 
{{dowod|||
 
  
Na mocy Twierdzenia [[##t.am2.w.02.0100|Uzupelnic t.am2.w.02.0100|]] wiemy, że wystarczy pokazać
+
{{dowod|4.15.||
 +
Na mocy [[#tw_4_11|twierdzenia 4.11.]] wiemy, że wystarczy pokazać
 
zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego
 
zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math>.
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math>.
 
W tym celu ustalmy dowolne <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>.
 
W tym celu ustalmy dowolne <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>.
Ponieważ szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jako zbieżny, więc spełnia warunek
+
Ponieważ szereg <math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny, więc spełnia warunek
 
Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych
 
Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.07.0070|Uzupelnic t.am1.w.07.0070|]]), zatem
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_7|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.]]), zatem
  
<center><math>\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\
+
<center>
\forall m>n>N:\
+
<math>\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}
 +
\forall m>n>N:
 
a_{n+1}+\ldots+a_m<\varepsilon.
 
a_{n+1}+\ldots+a_m<\varepsilon.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Zatem dla <math>\displaystyle m>n>N</math> oraz dla dowolnego <math>\displaystyle x\in A</math> mamy
 
Zatem dla <math>\displaystyle m>n>N</math> oraz dla dowolnego <math>\displaystyle x\in A</math> mamy
  
<center><math>\displaystyle \big|
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \big|
 
f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)
 
f_{n+1}(x)+\ldots+f_m(x)
 
\big|
 
\big|
\ \le\
+
\le
 
\big|
 
\big|
 
f_{n+1}(x)
 
f_{n+1}(x)
Linia 663: Linia 714:
 
f_m(x)
 
f_m(x)
 
\big|
 
\big|
\ \le\
+
\le
a_{n+1}+\ldots+ a_m\ <\
+
a_{n+1}+\ldots+ a_m<
 
\varepsilon.
 
\varepsilon.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Zatem pokazaliśmy, że szereg
 
Zatem pokazaliśmy, że szereg
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów,
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math> spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów,
a zatem jest jednostajnie zbieżny.
+
a więcjest jednostajnie zbieżny.
 
}}
 
}}
  
Linia 676: Linia 728:
 
zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.
 
zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.
  
{{przyklad|||
+
{{przyklad|4.16.||
  
 
Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego
 
Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{1+n^5 x^2}</math>.
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx}{1+n^5 x^2}</math>.
 
Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math>.
 
Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math>.
}}
+
 
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
 
 
Aby skorzystać z kryterium Weierstrassa zbieżności
 
Aby skorzystać z kryterium Weierstrassa zbieżności
 
szeregów, należy pokazać, że wyrazy szeregu
 
szeregów, należy pokazać, że wyrazy szeregu
Linia 692: Linia 742:
 
Obliczamy pochodne:
 
Obliczamy pochodne:
  
<center><math>\displaystyle f_n'(x)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle f_n'(x)
 +
=
 
\frac{n\cdot(1+n^5x^2)-nx\cdot 2n^5x}{(1+n^2x^2)^2}
 
\frac{n\cdot(1+n^5x^2)-nx\cdot 2n^5x}{(1+n^2x^2)^2}
\ =\
+
=
 
\frac{n(1-n^5x^2)}{(1+n^2x^2)^2}
 
\frac{n(1-n^5x^2)}{(1+n^2x^2)^2}
 
\qquad\forall\  n\ge 1.
 
\qquad\forall\  n\ge 1.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum
 
Z warunku koniecznego istnienia ekstremum
(zauważmy, że funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>),
+
(zauważmy, że funkcje <math>\displaystyle f_n</math> są klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>)
 
otrzymujemy
 
otrzymujemy
  
 
<center><math>\displaystyle f_n'(x)
 
<center><math>\displaystyle f_n'(x)
\ =\
+
=
 
0
 
0
 
\quad\Longleftrightarrow\quad
 
\quad\Longleftrightarrow\quad
 
x
 
x
\ =\
+
=
 
\pm
 
\pm
 
\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}
 
\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}
Linia 722: Linia 774:
  
 
<center><math>\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}\big|f_n(x)\big|
 
<center><math>\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}\big|f_n(x)\big|
\ \le\
+
\le
 
\left|f_n\left(\pm\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}\right)\right|
 
\left|f_n\left(\pm\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}\right)\right|
\ =\
+
=
 
\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}
 
\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}
 
\qquad\forall\  n\ge 1.
 
\qquad\forall\  n\ge 1.
 
</math></center>
 
</math></center>
 
{ [[Rysunek AM2.02.03]]}<br>
 
{ [[Rysunek AM2.02.04: Animacja]]}
 
  
 
Ponieważ szereg
 
Ponieważ szereg
Linia 736: Linia 785:
 
jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
 
jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
 
<math>\displaystyle \displaystyle\alpha=\frac{3}{2}>1</math>;
 
<math>\displaystyle \displaystyle\alpha=\frac{3}{2}>1</math>;
patrz Przykład AM1.[[##p.am1.w.07.0140|Uzupelnic p.am1.w.07.0140|]]),
+
patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#przyklad_6_15|Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.]]),
 
zatem wyjściowy szereg funkcyjny jest zbieżny
 
zatem wyjściowy szereg funkcyjny jest zbieżny
 
(i to bezwzględnie) dla każdego <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>
 
(i to bezwzględnie) dla każdego <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>
 
oraz z kryterium Weierstrassa
 
oraz z kryterium Weierstrassa
(patrz Twierdzenie [[##t.am2.w.02.0140|Uzupelnic t.am2.w.02.0140|]])
+
(patrz [[#tw_4_15|twierdzenie 4.15.]])
 
jest zbieżny jednostajnie w <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.
 
jest zbieżny jednostajnie w <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.
  
 
Korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego
 
Korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego
 
szeregu funkcji ciągłych
 
szeregu funkcji ciągłych
(patrz Twierdzenie [[##t.am2.w.02.0120|Uzupelnic t.am2.w.02.0120|]])
+
(patrz [[#tw_4_13|twierdzenie 4.13.]]),
 
otrzymujemy, że funkcja będąca sumą badanego
 
otrzymujemy, że funkcja będąca sumą badanego
szeregu jest ciągła.
+
szeregu jest ciągła.}}
</div></div>
+
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.m04.w.r05.svg|375x375px|thumb|center|Wykresy funkcji <math>f_n(x)=\frac{nx}{1+n^5x^2}</math> dla <math>n=1,2,3,...</math>]]
 +
|[[File:am2.m04.w.r06.svg|375x375px|thumb|center|Wykresy funkcji <math>f_n(x)=\frac{nx}{1+n^5x^2}</math> dla <math>n=1,2,3,...</math>]]
 +
|}
  
 
Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale
 
Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale
Linia 754: Linia 807:
 
Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.
 
Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.
  
{{przyklad|||
+
[[File:am2.m04.w.r07.svg|375x375px|thumb|right|Wykres funkcji <math>F</math>]]
 +
{{przyklad|4.17.||
  
 
Pokazać jednostajną zbieżność szeregu
 
Pokazać jednostajną zbieżność szeregu
Linia 760: Linia 814:
 
gdzie
 
gdzie
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center>
 +
<math>\displaystyle  
 
f_n(x)
 
f_n(x)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
 
0 &
 
0 &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
\quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
\quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\frac{1}{n}\sin^2\big(2^{n+1}\pi x\big)
 
\frac{1}{n}\sin^2\big(2^{n+1}\pi x\big)
& \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
& \quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\right),\\ \\
 
x\in\left(\frac{1}{2^{n+1}},\frac{1}{2^n}\right),\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
0 & \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
0 & \quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[\frac{1}{2^n},1\right].\\
 
x\in\left[\frac{1}{2^n},1\right].\\
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
Zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.
+
Należy zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.
}}
+
    
 
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">    
 
 
Oznaczmy przez <math>\displaystyle \{F_n\}</math> ciąg sum częściowych szeregu
 
Oznaczmy przez <math>\displaystyle \{F_n\}</math> ciąg sum częściowych szeregu
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math>.
 
<math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_n</math>.
Linia 793: Linia 847:
 
są parami rozłączne, więc
 
są parami rozłączne, więc
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center>
 +
<math>\displaystyle  
 
F_n(x)
 
F_n(x)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
 
0 &
 
0 &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
\quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
\quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
x\in\left[0,\frac{1}{2^{n+1}}\right],\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
& \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
& \quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
\ k=1,\ldots,n,\\ \\
 
\ k=1,\ldots,n,\\ \\
0 & \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
0 & \quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Zatem
 
Zatem
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center>
 +
<math>\displaystyle  
 
F
 
F
\ =\
+
=
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} F_n(x)
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} F_n(x)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
0 & \quad </math> dla <math>\displaystyle  & x=0,\\ \\
+
0 & \quad \text{dla} \displaystyle  & x=0,\\ \\
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
 
\frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)
& \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
& \quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
x\in\left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right),
 
\ k=1,2,\ldots,\\ \\
 
\ k=1,2,\ldots,\\ \\
 
0 &
 
0 &
\displaystyle \quad </math> dla <math>\displaystyle  &
+
\displaystyle \quad \text{dla} \displaystyle  &
 
\displaystyle
 
\displaystyle
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
 
x\in\left[\frac{1}{2},1\right].\\
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
</math></center>
+
</math>
 
+
</center>
{ [[Rysunek AM2.02.05]]}<br>
 
 
Ponieważ funkcje
 
Ponieważ funkcje
 
<math>\displaystyle \displaystyle x\longmapsto \frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle x\longmapsto \frac{1}{k}\sin^2\big(2^{k+1}\pi x\big)</math>
Linia 846: Linia 902:
 
<math>\displaystyle \displaystyle \bigg(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\bigg)</math> są dodatnie i
 
<math>\displaystyle \displaystyle \bigg(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\bigg)</math> są dodatnie i
 
przyjmują maximum w środku tego przedziału wynoszące
 
przyjmują maximum w środku tego przedziału wynoszące
<math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{k}</math> zatem
+
<math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{k}</math>, zatem
  
 
<center><math>\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}
 
<center><math>\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}
 
\big|F(x)-F_n(x)\big|
 
\big|F(x)-F_n(x)\big|
\ =\
+
=
 
\frac{1}{n+1}
 
\frac{1}{n+1}
 
\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} 0,
 
\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{} 0,
Linia 856: Linia 912:
  
 
więc
 
więc
<math>\displaystyle  F_n\rightrightarrows F</math> na <math>\displaystyle [0,1]</math> co należało pokazać.<br>
+
<math>\displaystyle  F_n\rightrightarrows F</math> na <math>\displaystyle [0,1]</math>, co należało pokazać.<br>
 
Zauważmy ponadto, że
 
Zauważmy ponadto, że
  
 
<center><math>\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)\big|
 
<center><math>\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)\big|
\ =\
+
=
\frac{1}{n},
+
\frac{1}{n}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 867: Linia 923:
 
<math>\displaystyle \displaystyle c_n\ge\frac{1}{n}</math>, jest rozbieżny
 
<math>\displaystyle \displaystyle c_n\ge\frac{1}{n}</math>, jest rozbieżny
 
z kryterium porównawczego
 
z kryterium porównawczego
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.w.07.0090|Uzupelnic t.am1.w.07.0090|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_9|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.]]).
 
Zatem  założenia twierdzenia Weierstrassa
 
Zatem  założenia twierdzenia Weierstrassa
nie są spełnione.
+
nie są spełnione.}}
</div></div>
 
  
===Szereg Taylora===
+
==Szereg Taylora==
  
 
Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora
 
Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora
(patrz Twierdzenie AM1.[[##t.am1.10.090|Uzupelnic t.am1.10.090|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema#twierdzenie_10_9|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 10.9.]]).
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_4_18">{{twierdzenie|4.18. [Wzór Taylora z resztą Lagrange'a]||
'''(Wzór Taylora z resztą Lagrange'a)'''<br>
 
 
'''Jeśli'''
 
'''Jeśli'''
 
<math>\displaystyle I\subseteq \mathbb{R}</math> jest przedziałem,
 
<math>\displaystyle I\subseteq \mathbb{R}</math> jest przedziałem,
Linia 884: Linia 938:
 
różniczkowalną,
 
różniczkowalną,
 
<math>\displaystyle a\in\mathrm{int}\, I</math>,
 
<math>\displaystyle a\in\mathrm{int}\, I</math>,
<math>\displaystyle {}</math><br> '''to'''
+
'''to'''
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center><math>\displaystyle \%
\forall x\in I\ \exists\vartheta\in(0,1):\
+
\forall x\in I\ \exists\vartheta\in(0,1):
 
f(x)=
 
f(x)=
 
f(a)
 
f(a)
Linia 900: Linia 954:
  
 
<center><math>\displaystyle R_n(x)
 
<center><math>\displaystyle R_n(x)
\ =\
+
=
 
\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}\big(a+\vartheta(x-a)\big)(x-a)^{(n+1)}.
 
\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}\big(a+\vartheta(x-a)\big)(x-a)^{(n+1)}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
}}
+
}}</span>
  
 
Niech <math>\displaystyle I\subseteq\mathbb{R}</math> oraz niech
 
Niech <math>\displaystyle I\subseteq\mathbb{R}</math> oraz niech
Linia 917: Linia 971:
 
'''''szeregiem Taylora''''' funkcji <math>\displaystyle f</math> o środku w punkcie <math>\displaystyle a</math>
 
'''''szeregiem Taylora''''' funkcji <math>\displaystyle f</math> o środku w punkcie <math>\displaystyle a</math>
 
(umowa <math>\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)</math>).<br>
 
(umowa <math>\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)</math>).<br>
W szczególności dla <math>\displaystyle a=0\in\mathrm{int}\, I</math>, mamy
+
W szczególności dla <math>\displaystyle a=0\in\mathrm{int}\, I</math> mamy
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)}(0)x^n,
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} f^{(n)}(0)x^n,
 
</math></center>
 
</math></center>
 
+
[[File:am2.m04.w.r08.svg|375x375px|thumb|left|Aproksymacja funkcji <math>f(x)=e^x</math> sumami szeregu Taylora]]
 +
[[grafika:Maclaurin.jpg|thumb|right||Colin Maclaurin (1698-1746)<br>[[Biografia Maclaurin|Zobacz biografię]]]]
 
zwany '''''szeregiem Maclaurina'''''.<br>
 
zwany '''''szeregiem Maclaurina'''''.<br>
 
<br>
 
<br>
Z Twierdzenia [[##t.am2.w.02.0170|Uzupelnic t.am2.w.02.0170|]] (o wzorze Taylora)
+
Z [[#tw_4_18|twierdzenia 4.18.]] (o wzorze Taylora)
 
wynika, że
 
wynika, że
 
warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora
 
warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora
był zbieżny jest aby
+
był zbieżny, jest aby
 
<math>\displaystyle R_n\longrightarrow 0</math>, gdzie <math>\displaystyle R_n</math> oznacza resztę Lagrange'a
 
<math>\displaystyle R_n\longrightarrow 0</math>, gdzie <math>\displaystyle R_n</math> oznacza resztę Lagrange'a
 
we wzorze Taylora.
 
we wzorze Taylora.
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_4_19">{{twierdzenie|4.19.||
  
 
Szeregi Maclaurina funkcji:
 
Szeregi Maclaurina funkcji:
Linia 938: Linia 993:
 
Mówimy krótko, że funkcje te
 
Mówimy krótko, że funkcje te
 
są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli
 
są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli
dla <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>, mamy
+
dla <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math> mamy
  
<center><math>\displaystyle e^x \
+
<center>
=\
+
<math>\displaystyle e^x  
 +
=
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},
 
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
{ [[Rysunek AM2.02.06: Animacja]]}
+
<center>
 
+
<math>\displaystyle \sin x
<center><math>\displaystyle \sin x
+
=
\ =\
 
 
\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots
 
\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
{ [[Rysunek AM2.02.07: Animacja]]}
+
<center>
 
+
<math>\displaystyle \cos x =
<center><math>\displaystyle \cos x \ =\
 
 
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots
 
1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
 
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
</math></center>
+
</math>
 
+
</center>
{ [[Rysunek AM2.02.08: Animacja]]}
+
}}</span>
}}
 
  
{{dowod|||
+
{{dowod|4.19.||
  
 
Ponieważ wszystkie pochodne funkcji
 
Ponieważ wszystkie pochodne funkcji
Linia 972: Linia 1027:
  
 
<center><math>\displaystyle e^x
 
<center><math>\displaystyle e^x
\ =\
+
=
 
\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}
 
\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}
 
+R_n(x),
 
+R_n(x),
Linia 991: Linia 1046:
  
 
Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina
 
Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina
<math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}</math> do funkcji <math>\displaystyle f(x)=e^x</math>
+
<math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}</math> do funkcji <math>\displaystyle f(x)=e^x</math>,
 
należy wykazać, że ciąg reszt <math>\displaystyle \{R_n(x)\}</math>
 
należy wykazać, że ciąg reszt <math>\displaystyle \{R_n(x)\}</math>
 
zmierza do zera (dla dowolnego <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>).
 
zmierza do zera (dla dowolnego <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>).
Linia 997: Linia 1052:
  
 
<center><math>\displaystyle \big|R_n(x)\big|
 
<center><math>\displaystyle \big|R_n(x)\big|
\ =\
+
=
 
\bigg|
 
\bigg|
 
\frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1}
 
\frac{e^y}{(n+1)!}y^{n+1}
 
\bigg|
 
\bigg|
\ \le\
+
\le
 
\frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}.
 
\frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 1013: Linia 1068:
 
Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.
 
Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.
 
}}
 
}}
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.m04.w.r09.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja funkcji <math>f(x)=\sin x</math> sumami szeregu Taylora]]
 +
|[[File:am2.m04.w.r10.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja funkcji <math>f(x)=\cos x</math> sumami szeregu Taylora]]
 +
|}
  
{{uwaga|||
+
{{uwaga|4.20.||
  
 
Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy
 
Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy
Linia 1021: Linia 1080:
  
 
<center><math>\displaystyle f(x)
 
<center><math>\displaystyle f(x)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
e^{-\frac{1}{x^2}} &  </math> dla <math>\displaystyle  & x\ne 0,\\
+
e^{-\frac{1}{x^2}} &  \text{dla} \displaystyle  & x\ne 0,\\
0                  &  </math> dla <math>\displaystyle  & x=0,
+
0                  &  \text{dla} \displaystyle  & x=0,
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Aby to pokazać
+
Aby to pokazać,
 
należy obliczyć pochodne funkcji <math>\displaystyle f</math> w <math>\displaystyle 0</math> (z definicji).
 
należy obliczyć pochodne funkcji <math>\displaystyle f</math> w <math>\displaystyle 0</math> (z definicji).
 
Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę
 
Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę

Aktualna wersja na dzień 11:11, 3 paź 2021

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

W tym wykładzie wprowadzamy pojęcia ciągu i szeregu funkcyjnego. Rozważamy dwa rodzaje zbieżności ciągów i szeregów funkcyjnych: zbieżność punktową i jednostajną. Dowodzimy twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Podajemy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Na zakończenie wprowadzamy szereg Taylora funkcji o środku w danym punkcie (i w szczególności szereg Maclaurina).

Ten wykład jest pierwszym z dwóch wykładów poświęconych ciągom iszeregom funkcyjnym. Z szeregami liczbowymi spotkaliśmy się już na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Przypomnijmy, że liczbę możemy otrzymać jako sumę szeregu . Okazuje się, że zachodzi ogólniejszy fakt

dla

Zapiszmy ten wzór tak

Jeśli w powyższej sumie weźmiemy tylko skończoną ilość składników, to oczywiście nie dostaniemy dokładnie wartości , niemniej dostaniemy dobre jej przybliżenie. Pozwala to nam policzyć np. dość dokładnie jako sumę

(gdzie zwiększając liczbę składników, zwiększamy dokładność).

Na wykładzie zobaczymy, że wiele funkcji (przy odpowiednich założeniach) można zapisać jako sumę szeregu , gdzie funkcje są na przykład jednomianami (czyli są postaci jak w powyższym przykładzie z ) albo są funkcjami trygonometrycznymi (patrz szeregi Fouriera). Da nam to możliwość przybliżania funkcji przez sumę początkowych wyrazów szeregu.

Przy odpowiednich założeniach będziemy też mogli powiedzieć, czy funkcja dana jako suma szeregu jest ciągła, różniczkowalna, czy też klasy .

Ciągi funkcyjne

Plik:Am2.m04.w.r01.svg
Wykresy funkcji dla oraz funkcji granicznej
Plik:Am2.m04.w.r02.svg
Wykresy funkcji dla oraz funkcji granicznej

Definicja 4.1.

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech będzie przestrzenią metryczną. Niech oraz będą funkcjami dla .
(1) Mówimy, że ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji i piszemy lub , jeśli



co z kolei (z definicji granicy ciągu w przestrzeniach metrycznych; patrz Analiza matematyczna 1 definicja 2.2.) oznacza, że



(2) Mówimy, że ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji na zbiorze i piszemy jeśli



Zauważmy, że definicje zbieżności punktowej i jednostajnej różnią się tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji zbieżności punktowej dobierane do może zmieniać się w zależności od punktu . Natomiast w definicji zbieżności jednostajnej dobrane do nie zależy od . Zatem oczywiste jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 4.2.

Jeśli jest dowolnym zbiorem, przestrzenią metryczną, oraz funkcjami dla , to

Uwaga 4.3.

Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że jeśli ciąg funkcyjny ma granicę punktową , to jeśli jest on jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji , to . Innymi słowy jeśli ciąg ma granicę punktową , to jedynym "kandydatem" na granicę jednostajną jest też funkcja . Będzie to bardzo przydatne do badania jednostajnej zbieżności, gdyż na ogół znacznie łatwiej jest wyznaczyć granicę punktową niż granicę jednostajną. Natomiast znajomość granicy punktowej ułatwia badanie zbieżności jednostajnej (patrz uwaga poniżej).

Uwaga 4.4.

Nie jest prawdziwa implikacja odwrotna do implikacji w twierdzeniu 4.2. (czyli zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności jednostajnej).
Aby to zobaczyć, rozważmy ciąg funkcji zdefiniowanych przez

dla


Wyrźnie widać, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji

Pokażemy, że ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji . Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Weźmy teraz . Z naszej hipotezy wynika, że

Ale ponieważ , gdy , zatem

Zatem

co daje sprzeczność z wyborem .

Uwaga 4.5.

Zobrazujmy teraz co oznacza zbieżność jednostajna . Otóż warunek z definicji jednostajnej zbieżności oznacza, że jeśli weźmiemy "epsilonowe otoczenie wykresu funkcji ", to dla odpowiednio dużych wykresy wszystkich funkcji będą w tym otoczeniu.
Na pierwszym rysunku mamy ciąg funkcji dla . Żadna z tych funkcji nie zawiera się w epsilonowym otoczeniu wykresu funkcji granicznej (patrz uwaga 4.4.)
Z kolei poniższy rysunek przedstawia ciąg funkcji dla . Tutaj widać, że dla dowolnie małego , wszystkie funkcje począwszy od pewnego znajdą się w pasie , który jest otoczeniem funkcji granicznej .

Plik:Am2.m04.w.r03.svg
Ciąg funkcji nie jest jednostajnie zbieżny na przedziale
Plik:Am2.m04.w.r04.svg
Ciąg funkcji jest jednostajnie zbieżny na przedziale

Kolejne twierdzenie podaje ciekawą własność granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Twierdzenie to ułatwi nam w niektórych przypadkach wykluczenie jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych (patrz uwaga 4.4. i 4.7.).

Twierdzenie 4.6. [ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych]

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, oraz są funkcjami dla , oraz
to
(1) jeśli funkcje są ciągłe w punkcie , to jest funkcją ciągłą w punkcie ;
(2) jeśli funkcje są ciągłe, to jest funkcją ciągłą.

Dowód 4.6.

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje są ciągłe w punkcie .
Ustalmy dowolne . Ponieważ zatem

w szczególności

Ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie , więc

Niech teraz będzie taki, że . Wówczas, korzystając z nierówności trójkąta oraz trzech powyższych nierówności, mamy

zatem pokazaliśmy, że

a to oznacza ciągłość funkcji w punkcie .
(Ad (2)) Od razu wynika z (1).

End of proof.gif
Uwaga 4.7.

Ponieważ ciąg funkcyjny rozważany w uwadze 4.4. składał się z funkcji ciągłych oraz miał granicę nieciągłą, więc od razu z powyższego twierdzenia możemy wnioskować, że nie jest on jednostajnie zbieżny.

Kolejne twierdzenie mówi, że dla jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji , to samo dają dwie następujące operacje:
(1) obliczenie granicy ciągu funkcyjnego , a następnie obliczenie granicy funkcji granicznej w punkcie oraz
(2) obliczenie granic poszczególnych funkcji ciągu w punkcie , a następnie przejście do granicy z tak otrzymanym ciągiem liczbowym granic.
Zachodzi zatem następujący wzór:

Zwróćmy uwagę, że każdy z symboli "" po lewej i prawej stronie oznacza co innego (raz jest to granica ciągu liczbowego, a raz granica funkcji w punkcie). Formalne sformułowanie powyższego wzoru wraz ze wszystkimi założeniami potrzebnymi do jego zachodzenia podane jest w poniższym twierdzeniu (który pozostawiamy tu bez dowodu).

Twierdzenie 4.8.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, przy czym przestrzeń jest zupełna, , oraz są funkcjami dla , jest punktem skupienia zbioru oraz

to
(1) ciąg jest zbieżny;
(2) .

Szeregi funkcyjne

Definicja 4.9.

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech będą funkcjami dla .
Szeregiem (lub ) nazywamy ciąg (tzw. ciąg sum częściowych) , gdzie , to znaczy , dla .

Mówimy, że szereg jest zbieżny (punktowo) na do sumy , jeśli

punktowo, to znaczy dla

Wówczas piszemy .

Mówimy, że szereg jest zbieżny jednostajnie na do sumy , jeśli

Twierdzenie 4.10.

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym, to

szereg jestzbieżny szeregliczbowy jestzbieżny

Dowód 4.10.

Wynika to wprost z definicji zbieżności szeregu funkcyjnego.

End of proof.gif

Przypomnijmy, że zbieżność szeregu liczbowego jest równoważna temu, iżjego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.). Podobnie jest dla szeregów funkcyjnych.

Twierdzenie 4.11.

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym, to szereg jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg spełnia warunek Cauchy'ego, to znaczy

Dowód 4.11.

""
Załóżmy, że szereg jest jednostajnie zbieżny do funkcji i oznaczmy przez ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne . Z definicji jednostajnej zbieżności ciągu wynika, że

Zatem dla mamy

A zatem szereg spełnia warunek Cauchy'ego.

""
Załóżmy teraz, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego. Po pierwsze zauważmy, że wówczas dla dowolnego szereg liczbowy spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów liczbowych, a zatem jest zbieżny (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.) punktowo, powiedzmy do funkcji , to znaczy dla . Pokażemy, że szereg jest zbieżny do jednostajnie.

Niech ponownie oznacza ciąg sum częściowych tego szeregu. Ustalmy dowolne . Z warunku Cauchy'ego wiemy, że

a to oznacza, że dla oraz mamy

Przejdźmy w powyższej nierówności do granicy z (przy ustalonych i ). Dostajemy

A zatem ciąg , czyli szereg jest jednostajnie zbieżny do , co należało dowieść.

End of proof.gif

Analogicznie jak w przypadku ciągów funkcyjnych, zbieżność jednostajna szeregów implikuje zbieżność punktową. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Twierdzenie 4.12. [Zbieżność a jednostajna zbieżność]

Jeśli jest szeregiem funkcyjnym jednostajnie zbieżnym do sumy , to (to znaczy szereg jest zbieżny (punktowo) do sumy ).

Analogicznie do twierdzenia dotyczącego ciągów, dla szeregów także mamy ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.

Twierdzenie 4.13. [Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych]

Jeśli , , są funkcjami dla oraz szereg jest jednostajnie zbieżny do sumy , to
(1) jeśli funkcje są ciągłe w punkcie dla każdego , to jest funkcją ciągłą w ;
(2) jeśli funkcje są ciągłe dla każdego , to jest funkcją ciągłą.

Dowód 4.13.

(Ad (1)) Załóżmy, że funkcje są ciągłe w punkcie dla każdego . Zatem także sumy częściowe są ciągłe w punkcie (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 8.9.). Zatem z twierdzenia 4.6. wnioskujemy, że granica (która istnieje z założenia) jest funkcją ciągłą.
(Ad (2)) Wynika wprost z (1).

End of proof.gif

Dla szeregów zachodzi twierdzenie analogiczne do twierdzenia 4.8.. Jeśli policzymy granicę sumy szeregu jednostajnie zbieżnego w punkcie, to otrzymamy to samo co licząc granice w punkcie dla poszczególnych wyrazów szeregu funkcyjnego, a następnie licząc sumę tak otrzymanego szeregu liczbowego. Innymi słowy, w szeregu jednostajnie zbieżnym można przejść do granicy w punkcie "wyraz po wyrazie", to znaczy

Dokładne sformułowanie podane jest poniżej. Twierdzenie to możemy łatwo wykazać opierając się na twierdzenia 4.8. zastosowanym do ciągu sum częściowych szeregu.

Twierdzenie 4.14.

Jeśli , jest punktem skupienia zbioru , są funkcjami dla , szereg jest jednostajnie zbieżny oraz

to
(1) jest szeregiem liczbowym zbieżnym;
(2) istnieje granica oraz .

Dla szeregów funkcyjnych podamy jedno kryterium zbieżności. Jest ono odpowiednikiem kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych. Mówi ono, że jeśli wyrazy szeregu funkcyjnego są wspólnie ograniczone przez wyrazy szeregu liczbowego zbieżnego, to szereg ten jest jednostajnie zbieżny. Zauważmy, że kryterium to ma dość silne założenie wspólnej ograniczoności, ale za to w tezie dostajemy nie tylko zbieżność (punktową), ale aż zbieżność jednostajną.

Karl Weierstrass (1815-1897)
Zobacz biografię
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.15. [Kryterium Weierstrassa]

Jeśli są funkcjami dla , szereg jest zbieżny oraz , to szereg jest jednostajnie zbieżny na .

Dowód 4.15.

Na mocy twierdzenia 4.11. wiemy, że wystarczy pokazać zachodzenie warunku Cauchy'ego dla szeregu funkcyjnego . W tym celu ustalmy dowolne . Ponieważ szereg jest zbieżny, więc spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów liczbowych (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.7.), zatem

Zatem dla oraz dla dowolnego mamy

Zatem pokazaliśmy, że szereg spełnia warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów, a więcjest jednostajnie zbieżny.

End of proof.gif

W kolejnym przykładzie wykorzystamy kryterium Weierstrassa do zbadania zbieżności (jednostajnej) szeregu funkcyjnego.

Przykład 4.16.

Udowodnić zbieżność następującego szeregu funkcyjnego . Pokazać, że suma jest funkcją ciągłą na .

Aby skorzystać z kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów, należy pokazać, że wyrazy szeregu są ograniczone przez wyrazy pewnego zbieżnego szeregu liczbowego. Wyznaczmy ekstrema funkcji . Obliczamy pochodne:

Z warunku koniecznego istnienia ekstremum (zauważmy, że funkcje są klasy ) otrzymujemy

Zauważając ponadto, że , stwierdzamy, że funkcja ma ekstrema globalne w punktach . Zatem

Ponieważ szereg jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem ; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), zatem wyjściowy szereg funkcyjny jest zbieżny (i to bezwzględnie) dla każdego oraz z kryterium Weierstrassa (patrz twierdzenie 4.15.) jest zbieżny jednostajnie w .

Korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych (patrz twierdzenie 4.13.), otrzymujemy, że funkcja będąca sumą badanego

szeregu jest ciągła.
Wykresy funkcji dla
Plik:Am2.m04.w.r06.svg
Wykresy funkcji dla

Kryterium Weierstrassa dostarcza warunku wystarczającego, ale nie koniecznego zbieżności szeregów funkcyjnych. Zostanie to pokazane w kolejnym przykładzie.

Wykres funkcji

Przykład 4.17.

Pokazać jednostajną zbieżność szeregu na przedziale , gdzie

Należy zauważyć, że nie są spełnione założenia kryterium Weierstrassa.

Oznaczmy przez ciąg sum częściowych szeregu . Ponieważ przedziały są parami rozłączne, więc

Zatem

Ponieważ funkcje na przedziale są dodatnie i przyjmują maximum w środku tego przedziału wynoszące , zatem

więc na , co należało pokazać.
Zauważmy ponadto, że

oraz każdy szereg taki, że , jest rozbieżny z kryterium porównawczego (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 6.9.). Zatem założenia twierdzenia Weierstrassa

nie są spełnione.

Szereg Taylora

Na początek przypomnijmy twierdzenie o wzorze Taylora (patrz Analiza matematyczna 1 twierdzenie 10.9.).

Twierdzenie 4.18. [Wzór Taylora z resztą Lagrange'a]

Jeśli jest przedziałem, jest funkcją -krotnie różniczkowalną, , to

gdzie

Niech oraz niech . Niech .
Możemy rozważać szereg

zwany szeregiem Taylora funkcji o środku w punkcie (umowa ).
W szczególności dla mamy

Plik:Am2.m04.w.r08.svg
Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora
Colin Maclaurin (1698-1746)
Zobacz biografię

zwany szeregiem Maclaurina.

Z twierdzenia 4.18. (o wzorze Taylora) wynika, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by szereg Taylora był zbieżny, jest aby , gdzie oznacza resztę Lagrange'a we wzorze Taylora.

Twierdzenie 4.19.

Szeregi Maclaurina funkcji: , oraz są zbieżne w , a ich sumy równe są tym funkcjom. Mówimy krótko, że funkcje te są "równe" swoim szeregom Maclaurina, czyli dla mamy

Dowód 4.19.

Ponieważ wszystkie pochodne funkcji wynoszą dla , zatem wzór Maclaurina tej funkcji ma postać:

gdzie dla pewnego (lub , gdy ). Zatem

Aby pokazać zbieżność szeregu Maclaurina do funkcji , należy wykazać, że ciąg reszt zmierza do zera (dla dowolnego ). Mamy

Ostatnie wyrażenie przy dowolnym ustalonym zmierza do gdy . A zatem

Dowód dla dwóch pozostałych funkcji jest analogiczny.

End of proof.gif
Plik:Am2.m04.w.r09.svg
Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora
Plik:Am2.m04.w.r10.svg
Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora
Uwaga 4.20.

Nie zawsze jednak suma szeregu Taylora funkcji klasy jest równa tej funkcji. Przykładem takiej funkcji jest

Aby to pokazać, należy obliczyć pochodne funkcji w (z definicji). Przy liczeniu granicy ilorazu różnicowego wykorzystać regułę de l'Hospitala oraz indukcję matematyczną.

Funkcje, które w pewnym otoczeniu punktu są równe sumie swojego szereg Taylora o środku w nazywamy analitycznymi.