Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej. Definiujemy granicę ciągu w przestrzeni metrycznej i przedstawiamy jej własności. Wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego i zupełności. Dowodzimy twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Cantora dla przestrzeni zupełnych. Wprowadzamy pojęcie ciągowej zwartości i charakteryzujemy zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Jako materiał nadobowiązkowy omawiamy ciągłość funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Dowodzimy pewnego warunku równoważnego ciągłości funkcji oraz tak zwaną własność Darboux. Wprowadzamy pojęcie jednostajną ciągłość funkcji.

Ciąg i granica

Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym. Jaka jest ich odległość? Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$, to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi (czyli około $\displaystyle 12\,732$ kilometry). Ale każdy odpowie, że odległość tych ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi (czyli około $\displaystyle 20\,000$ kilometrów). Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością w $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$, lecz w zupełnie innej przestrzeni jaką jest powierzchnia kuli. Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami metrycznymi innymi niż $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$.

Definicja

Niech $\displaystyle X\neq \emptyset$ będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze $\displaystyle X$ nazywamy dowolną funkcję $\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb {N} \longrightarrow X.$
Ciąg ten oznaczamy

$\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X,\quad \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subseteq X,\quad \{x_{n}\}\subseteq X,\quad$ lub $\displaystyle \quad x_{1},x_{2},\ldots ,$

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(n) \ =\ x_n \qquad\forall\ n\in\mathbb{N}. }

{ Rysunek AM2.M02.W.R01 (stary numer AM1.4.1a)}
{ Rysunek AM2.M02.W.R02 (stary numer AM1.4.1b)}

Definicja

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ ciągiem oraz $\displaystyle g\in X.$
Mówimy, że $\displaystyle g$ jest granicą ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ w metryce $\displaystyle d,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g)<\varepsilon }

i piszemy

$\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g,\quad x_{n}{\xrightarrow[{n\rightarrow +\infty }]{}}g,\quad x_{n}\longrightarrow g\quad$ lub $\displaystyle \quad x_{n}\xrightarrow {d} g.$

Mówimy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists g\in X:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g. }

{ Rysunek AM2.M02.W.R03 (stary numer AM1.4.2a)} { Rysunek AM2.M02.W.R04 (stary numer AM1.4.2b)}

Uwaga

Warunek

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g)<\varepsilon }

w powyższej definicji jest równoważny warunkowi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in K(g,\varepsilon). }

Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,g)<\varepsilon \ \Longleftrightarrow\ x_n\in K(g,\varepsilon). }

Definicja

Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ nazywamy ograniczonym, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x\in X\ \exists r>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x,x_n)<r. }

Innymi słowy, ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n}:\ n\in \mathbb {N} {\big \}}$ jest ograniczony w $\displaystyle X.$

Przykład

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ dowolnym ciągiem. Wówczas ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest stały od pewnego miejsca.

"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Ta implikacja jest oczywista.

"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Załóżmy, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x.$ Należy pokazać, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest stały od pewnego miejsca. Ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}.$ Z definicji granicy wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,x) \ <\ \frac{1}{2}. }

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $\displaystyle 0$ lub $\displaystyle 1.$ Zatem warunek $\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {1}{2}}$ oznacza, że $\displaystyle d(x_{n},x)=0,$ czyli $\displaystyle x_{n}=x.$ Pokazaliśmy zatem, że

$\displaystyle \forall n\geq N:\ x_{n}=x,$

to znaczy ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest stały od pewnego miejsca.

Podobnie jak w przypadku ciągów w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ zachodzą następujące twierdzenia:

Twierdzenie

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ będzie ciągiem oraz $\displaystyle g\in X.$ Wówczas:
(1) $\displaystyle x_{n}\xrightarrow {d} g$ wtedy i tylko, wtedy, gdy $\displaystyle d(x_{n},g)\xrightarrow {\mathbb {R} } 0$;
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\},$ to znaczy

$\displaystyle {\bigg [}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{1}\in X\quad$ i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2\in X \bigg] \ \Longrightarrow\ g_1=g_2. }

(3) Jeśli ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g$ oraz $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\},$ to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ g. }

(5) Jeśli $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=g,$ to także $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ istnieje jego dalszy podciąg $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k_{l}}}{\big \}}$ taki, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{l\rightarrow +\infty }x_{n_{k_{l}}}=g,$ to $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$

Zupełność

Przypomnijmy teraz znane już z Analizy Matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.

Definicja

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ ciągiem.
Mówimy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N} \ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m)<\varepsilon. }

Warunek Cauchy'ego dla ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0,$ począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są bliższe niż $\displaystyle \displaystyle \varepsilon .$

Na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.

Twierdzenie

(Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego)
Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ będzie dowolnym ciągiem.
Jeśli ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny w $\displaystyle X,$ to spełnia on warunek Cauchy'ego.

Dowód

Niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ będzie ciągiem zbieżnym w $\displaystyle X,$ to znaczy $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g\in X.$ Aby pokazać warunek Cauchy'ego ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji granicy wynika, że

$\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:d(x_{n},g)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Zatem dla dowolnych $\displaystyle n,m\geq N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ d(x_n,g)+d(g,x_m) \ =\ d(x_n,g)+d(x_m,g) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon, }

co kończy dowód.

Uwaga

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Uwaga AM1.Uzupelnic u.new.am1.w.03.310| oraz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.02.110| poniżej).

Definicja

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w $\displaystyle X$ jest zbieżny w $\displaystyle X.$

Przykład

Przestrzenie $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2})$ oraz $\displaystyle \displaystyle ([0,1],d_{2})$ są zupełne (wiemy to z wykładu Analiza Matematyczna 1).

Przestrzenie $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{2})$ oraz $\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_{2})$ nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń $\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_{2})$ nie jest zupełna, weźmy ciąg $\displaystyle \displaystyle {\bigg \{}{\frac {1}{n}}{\bigg \}}.$ Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w $\displaystyle \displaystyle (0,1).$

Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" miedzy punktami; patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.02.120|) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element $\displaystyle x\in X$ o tej własności, że $\displaystyle f(x)=x.$ Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.

Definicja

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X$ jest zwężające, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \lambda\in [0,1) \ \forall x,y\in X:\ d(f(x),f(y)) \ \le\ \lambda\ d(x,y). }

Przykład

Dla $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2}),$ odwzorowaniem zwężającym jest na przykład $\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x,$ a odwzorowania $\displaystyle f(x)=x,\displaystyle f(x)=x+2,\displaystyle f(x)=x^{2}$ nie są zwężające.

Definicja

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że $\displaystyle x_{0}\in X$ jest punktem stałym odwzorowania $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X,$ jeśli $\displaystyle f(x_{0})=x_{0}.$

Przykład

Dla $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2}),$ punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x$ jest $\displaystyle 0,$ punktami stałymi odwzorowania $\displaystyle f(x)=x$ są wszystkie punkty $\displaystyle x\in \mathbb {R}$; odwzorowanie $\displaystyle f(x)=x+2$ nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania $\displaystyle f(x)=x^{2}$ są $\displaystyle 0$ i $\displaystyle 1.$

Twierdzenie

(Twierdzenie Banacha o punkcie stałym)
Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną zupełną, $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X$ jest odwzorowaniem zwężającym, to $\displaystyle f$ ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists!\ x^*\in X:\ f(x^*)=x^*. }

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
Ustalmy dowolny $\displaystyle x_{0}\in X.$ Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_n \ \ \stackrel{df}{=}\ \ f(x_{n-1}) \quad } dla $\displaystyle \ n\in \mathbb {N} .$

Jeżeli $\displaystyle d(x_{0},x_{1})=0,$ to $\displaystyle f(x_{0})=x_{1}=x_{0},$ a zatem $\displaystyle x_{0}$ jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że $\displaystyle d(x_{0},x_{1})>0.$
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \lambda \in (0,1),$ więc ciąg geometryczny $\displaystyle \displaystyle \{\lambda ^{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R}$ jest zbieżny do zera (patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|). Z definicji granicy wynika, że

$\displaystyle \exists N_{0}\in \mathbb {N} :\ \ \lambda ^{N_{0}}<{\frac {\varepsilon (1-\lambda )}{d(x_{0},x_{1})}}.$

Niech teraz $\displaystyle n,m\geq N_{0}.$ Dla ustalenia uwagi załóżmy, że $\displaystyle m>n$ (rozumowanie dla $\displaystyle n>m$ jest analogiczne). Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d(f(x_{n-1}),f(x_n)) \ \le\ \lambda d(x_{n-1},x_n). }

{ Rysunek AM2.M02.W.R05 (stary numer AM1.4.5)} Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x_n,x_{x_{n+1}}) \ \le\ \lambda^n d(x_0,x_1) }

Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned d(x_n,x_m) & \le & d(x_n,x_{n+1}) +d(x_{n+1},x_{n+2}) +\ldots+ d(x_{m-1},x_m) \ \le\ (\lambda^n+\lambda^{n+1}+\ldots+\lambda^{m-1})d(x_0,x_n)\\ &= \lambda^n(1+\lambda+\ldots+\lambda^{m-n-1})d(x_0,x_1). \endaligned}

Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Wniosek Uzupelnic w.1.0110|), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ \lambda^n\frac{1-\lambda^{m-n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ <\ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1) }

Z powyższej nierówności oraz definicji $\displaystyle N_{0},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ <\ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ <\ \varepsilon. }

Pokazaliśmy zatem, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo $\displaystyle X$ jest przestrzenią zupełną), to znaczy

$\displaystyle \exists x^{*}\in X:\ \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x^{*}.$

Pokażemy, że element $\displaystyle x^{*}$ jest punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f.$ W tym celu ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Korzystając z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x^*,x_n)<\frac{\varepsilon}{2}. }

Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru $\displaystyle N,$ dla $\displaystyle n\geq N,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 0 \ \le\ d(f(x^*),x^*) \ \le\ d(f(x^*),f(x_n))+d(f(x_n),x^*) \ \le\ \lambda f(x^*,x_n)+d(x_{n+1},x^*) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. }

Ponieważ nierówność $\displaystyle d(f(x^{*}),x^{*})<\varepsilon$ zachodzi dla dowolnego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0,$ zatem $\displaystyle d(f(x^{*}),x^{*})=0,$ a to oznacza (z definicji metryki), że $\displaystyle f(x^{*})=x^{*}.$

Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt $\displaystyle x^{*}$ jest jedynym punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f.$ Załóżmy, że pewien element $\displaystyle x\in X$ jest punktem stałym dla $\displaystyle f,$ to znaczy $\displaystyle f(x)=x.$ Wówczas:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x^*,x) \ =\ d(f(x^*),f(x)) \ \le\ \lambda d(x^*,x), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (1-\lambda)d(x^*,x) \ \le\ 0. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \lambda \in (0,1),$ więc $\displaystyle d(x^{*},x)=0,$ a stąd $\displaystyle x=x^{*}.$ Pokazaliśmy więc, że $\displaystyle x^{*}$ jest jedynym punktem stałym.

Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.

Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.

Przykład

Rozważmy przedział $\displaystyle \displaystyle (0,1)$ z metryką euklidesową $\displaystyle d_{2}.$ Zauważmy, że w tym przedziale przedziały $\displaystyle \displaystyle (0,a]$ gdzie $\displaystyle a\in (0,1)$ są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia $\displaystyle \displaystyle (a,1)$ są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów $\displaystyle \displaystyle F_{n}={\bigg (}0,{\frac {1}{n}}{\bigg ]}.$ Oczywiści $\displaystyle \displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \ldots .$ Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału $\displaystyle \displaystyle (0,1)$ weźmiemy przedział $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ z metryką euklidesową $\displaystyle d_{2}$ i zdefiniujemy zbiory domknięte $\displaystyle \displaystyle F_{n}={\bigg [}0,{\frac {1}{n}}{\bigg ]},$ to także $\displaystyle \displaystyle F_{1}\supseteq F_{\supseteq }\ldots$ oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym $\displaystyle \displaystyle \{0\}.$ Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.

Twierdzenie

(Twierdzenie Cantora; Warunek równoważny zupełności przestrzeni)
Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną, to $\displaystyle X$ jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.

Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?" zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
(Szkic) "$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Niech $\displaystyle \displaystyle \{F_{n}\}$ będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy

$\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \ldots$

gdzie

$\displaystyle \mathrm {diam} \,(F_{n})\searrow 0.$

{ Rysunek AM2.M02.W.R06 (stary numer AM1.4.6) animacja} Dla każdego $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ wybierzmy jeden dowolny element $\displaystyle x_{n}\in F_{n}.$ Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc

$\displaystyle \exists x\in X:\ \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x.$

Wówczas $\displaystyle x\in \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }F_{n}$ (dlaczego?), a zatem $\displaystyle \displaystyle \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }F_{n}\neq \emptyset .$
"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Aby pokazać zupełność przestrzeni $\displaystyle X$ weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X.$ Dla każdego $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ definiujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F_n \ =\ \overline{\{x_n,x_{n+1},\ldots\}} }

(to znaczy $\displaystyle F_{n}$ jest domknięciem zbioru wartości ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{k}\}_{k=n}^{\infty }$). Wówczas $\displaystyle \displaystyle \{F_{n}\}$ jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje $\displaystyle x\in \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }F_{n}.$ Wówczas $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x$ (dlaczego?).

Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych, a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.02.030|).

Twierdzenie

(Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim)
Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X_{i},d_{i})$ są przestrzeniami metrycznymi dla $\displaystyle i=1,\ldots k,\displaystyle X=X_{1}\times \ldots \times X_{k},\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}\subseteq X$ jest ciągiem w $\displaystyle X,$ w szczególności $\displaystyle a_{n}=(a_{n}^{1},\ldots ,a_{n}^{k})$ dla $\displaystyle n\in \mathbb {N} ,$ oraz $\displaystyle a=(a^{1},\ldots ,a^{k})\in X,$ to
(1) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}^{i}=a^{i}$ dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k.$
(2) ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}^{i}\}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k.$

{ Rysunek AM2.M02.W.R07 (nowy)}

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).

Wniosek

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X_{i},d_{i})$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k,$ to $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ jest przestrzenią metryczną zupełną.

Wniosek

$\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \mathbb {C} ^{N}$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.

Ciągowa zwartość

Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ oba te pojęcia są równoważne (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.250|).

Definicja

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle A\subseteq X.$
Mówimy, że $\displaystyle A$ jest zbiorem ciągowo zwartym, jeśli z każdego ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq A$ można wybrać podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ zbieżny w $\displaystyle A.$

Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w przestrzeniach metrycznych. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu, mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość. Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji wykracza poza program tego kursu. Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem zwartym będziemy nazywać przestrzenią zwartą.

Twierdzenie

Jeśli $\displaystyle X$ jest przestrzenią metryczną to $\displaystyle X$ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle X$ jest przestrzenią ciągowo zwartą.

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$" Załóżmy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest zwarta. Aby pokazać ciągową zwartość przypuśćmy, że $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ jest dowolnym ciągiem przestrzeni $\displaystyle X.$ Dla dowolnej liczby $\displaystyle n\in \mathbb {N} ,$ definiujemy zbiory

$\displaystyle A_{n}\ {\stackrel {df}{=}}\ {\overline {\{x_{n+1},x_{n+2},\ldots \}}},\qquad V_{n}\ {\stackrel {df}{=}}\ X\setminus A_{n}.$

Zbiory $\displaystyle V_{n}$ są otwarte (jako uzupełnienie zbiorów domkniętych) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ V_n \ \subseteq\ V_{n+1} }

Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}\neq X.$ Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}=X,$ czyli $\displaystyle \displaystyle \{V_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ jest pokryciem otwartym $\displaystyle X.$ Ponieważ z założenia $\displaystyle X$ jest przestrzenią zwartą, więc z pokrycia tego można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:\ \bigcup_{n=1}^{k}V_n= X. }

Ale ciąg $\displaystyle \displaystyle \{V_{n}\}$ był wstępujący, zatem $\displaystyle \displaystyle V_{k}=\bigcup _{n=1}^{k}V_{n}=X,$ czyli $\displaystyle A_{k}=X\setminus V_{k}=\emptyset ,$ sprzeczność.
Pokazaliśmy zatem, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle X \ \ne\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}V_n \ =\ X\setminus \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n. }

To oznacza, że

$\displaystyle \exists x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n},$

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x\ \forall n\in\mathbb{N}:\ x\in A_n. }

Konstruujemy podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ w następujący sposób. Ponieważ $\displaystyle x\in A_{1},$ więc (z definicji domknięcia zbioru) istnieje $\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N}$ takie, że $\displaystyle d(x,x_{n_{1}})<1.$ Ponieważ $\displaystyle x\in A_{n_{1}},$ zatem istnieje $\displaystyle n_{2}>n_{1}$ takie, że $\displaystyle \displaystyle d(x,x_{n_{2}})<{\frac {1}{2}}.$ Postępując w ten sposób skonstruowaliśmy podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ o tej własności, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall k\in\mathbb{N}:\ d(x_{n_k},x)<\frac{1}{k}. }

Zatem $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=x$ (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|).

"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$" Pomijamy dowód tej implikacji.

Twierdzenie

Jeśli $\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}$ są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, to $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ (z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni $\displaystyle k.$ Dla $\displaystyle k=1$ twierdzenie jest prawdziwe.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości $\displaystyle k$ przestrzeni metrycznych. Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, $\displaystyle k+1$ przestrzeni metrycznych. Zakładamy, że przestrzenie metryczne $\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k},X_{k+1}$ są zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}\times X_{k+1},$ wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego (porównaj Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.250|). W tym celu niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{k}\times X_{k+1}$ będzie dowolnym ciągiem, gdzie $\displaystyle x_{n}=(x_{n}^{1},\ldots ,x_{n}^{k},x_{n}^{k+1})$ dla $\displaystyle n\in \mathbb {N} .$ Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ jest zwarty, a zatem także ciągowo zwarty. Zatem z ciągu $\displaystyle \displaystyle \{y_{n}\}\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{k},$ gdzie $\displaystyle y_{n}=(x_{n}^{1},\ldots ,x_{n}^{k})$ można wybrać podciąg zbieżny $\displaystyle \displaystyle \{y_{n_{l}}\}.$ Ponieważ przestrzeń $\displaystyle X_{k+1}$ jest zwarta, więc z ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{l}}^{k+1}\}$ można wybrać podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{l_{m}}}^{k+1}\}$ zbieżny w $\displaystyle X_{k+1}.$ Oczywiście podciąg $\displaystyle \displaystyle \{y_{n_{l_{m}}}\}\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ jest zbieżny w $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ (jako podciąg ciągu zbieżnego $\displaystyle \displaystyle \{y_{n_{l}}\}$). Zatem podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{l_{m}}}\}$ jest zbieżny w $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}\times X_{k+1}$ (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.210|).

Wniosek

Kostka $\displaystyle \displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \ldots [a_{N},b_{N}]\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest zwarta w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$

Dowód

Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją tego, że przedział domknięty i ograniczony w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$ jest zbiorem zwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.210|) oraz powyższego Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.02.260|.
{ Rysunek AM2.M02.W.R08 (stary numer AM1.4.7a)}
{ Rysunek AM2.M02.W.R09 (stary numer AM1.4.7b)}

Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$

Wniosek

(Heinego-Borela)
Jeśli $\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{N},$ to zbiór $\displaystyle A$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.
{ Rysunek AM2.M02.W.R10 (stary numer AM1.4.8a)}
{ Rysunek AM2.M02.W.R11 (stary numer AM1.4.8b)}

Dowód

"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$"
Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej, co było udowodnione na poprzednim wykładzie (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.190| i Uwaga Uzupelnic u.new.am2.w.01.200|).

"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$"
Jeśli zbiór $\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest ograniczony to możemy go zawrzeć w pewnej kostce $\displaystyle \displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \ldots [a_{N},b_{N}]\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ (dlaczego?). Jeśli ponadto jest domknięty to ze zwartości kostki (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.02.270|) wynika jego zwartość, bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.190|(4)).

Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi (dowód wymagający pojęcia $\displaystyle \displaystyle \varepsilon$-sieci zostaje pominięty).

Twierdzenie

Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną zwartą. Należy pokazać, że przestrzeń metryczna $\displaystyle X$ jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg $\displaystyle \{x_{n}\}$ spełniający warunek Cauchy'ego. Z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.02.250| wiemy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest ciągowo zwarta, zatem z ciągu $\displaystyle \{x_{n}\}$ możemy wybrać podciąg $\displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ zbieżny w $\displaystyle X$, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x_0\in X:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ x_0. }

Wykażemy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x_{0}$. Ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon >0$. Z definicji granicy wiemy, że istnieje $\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N}$ takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall k\ge k_0: d(x_{n_k},x_0) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}. }

Z warunku Cauchy'ego wiemy, że istnieje $\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N}$ takie, że dla dowolnych $\displaystyle m,n\geq N_{1}$ zachodzi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}. }

Niech $\displaystyle k_{1}\geq k_{0}$ będzie takie, że $\displaystyle n_{k_{1}}\geq N_{1}$ oraz niech $\displaystyle N=n_{k_{1}}$. Wówczas dla dowolnego $\displaystyle n\geq N$, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_0) \ \le\ d(x_n,x_{n_{k_1}})+d(x_{n_{k_1}},x_0) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. }

Pokazaliśmy zatem, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x_{0}$, co kończy dowód zupełności przestrzeni $\displaystyle X$.

Uwaga

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2})$ jest zupełna, ale nie zwarta (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.02.110| oraz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.215|).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych

Materiał tego podrozdziału jak i następnego jest nadobowiązkowy

Jeśli $\displaystyle f$ jest funkcją między dwoma przestrzeniami metrycznymi (np z $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ do $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}$), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, to możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.

Definicja

(Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie)
Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech $\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $\displaystyle A.$
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma granicę $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap\big(K(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ \ f(x)\in K(g,\varepsilon) }

lub innymi słowy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[d_X(x_0,x)<\delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),g\big)<\varepsilon\bigg]. }

Piszemy wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) \ =\ g \quad } lub $\displaystyle \quad f(x){\xrightarrow[{x\rightarrow x_{0}}]{}}g.$

{ Rysunek AM2.M02.W.R12 (stary numer AM1.7.1)}

Definicja

(Heinego granicy funkcji w punkcie)
Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $\displaystyle A.$
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma granicę $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}g\bigg]. }

Piszemy wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) \ =\ g \quad } lub $\displaystyle \quad f(x){\xrightarrow[{x\rightarrow x_{0}}]{}}g.$

{ Rysunek AM2.M02.W.R13 (stary numer AM1.7.2)}

Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.

Definicja

(Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie) Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A\subseteq X,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in A$ ($\displaystyle x_{0}$ nie musi być punktem skupienia zbioru $\displaystyle A$).
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[d_X(x,x_0)<\delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),f(x_0)\big)<\varepsilon\bigg]. }

{ Rysunek AM2.M02.W.R14 (stary numer AM1.7.3)}

Definicja

(Heinego ciągłości funkcji w punkcie)
Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A\subseteq X,$
niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in A$ ($\displaystyle x_{0}$ nie musi być punktem skupienia zbioru $\displaystyle A$).
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}f(x_0)\bigg]. }

{ Rysunek AM2.M02.W.R15 (stary numer AM1.7.4)}
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $\displaystyle x\in A.$

Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.

Twierdzenie

Jeśli $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego $\displaystyle V$ w $\displaystyle Y,$ przeciwobraz $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Niech $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ będzie funkcją ciągła. Niech $\displaystyle V$ będzie zbiorem otwartym w $\displaystyle Y.$ Należy pokazać, że zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ W tym celu ustalmy dowolny punkt $\displaystyle x\in f^{-1}(V)$ i mamy wykazać, że jest on zawarty w $\displaystyle f^{-1}(V)$ wraz z pewną kulą o środku $\displaystyle x.$ Ponieważ zbiór $\displaystyle V$ jest otwarty oraz $\displaystyle f(x)\in V$ więc

$\displaystyle \exists \varepsilon >0:\ K_{Y}(f(x),\varepsilon )\subseteq V.$

Z drugiej strony, ponieważ funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x\in V,$ więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0\ \forall z\in X:\ \big[ d_X(z,x)<\delta \Longrightarrow d_Y(f(z),f(x))<\varepsilon\big]. }

Zatem, jeśli $\displaystyle z\in K(x,\delta ),$ to $\displaystyle z\in f^{-1}(V),$ czyli $\displaystyle K(x,\delta )\subseteq f^{-1}(V),$ co dowodzi otwartości zbioru $\displaystyle f^{-1}(V).$
"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego $\displaystyle V$ w $\displaystyle Y,$ zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ Ustalmy dowolny $\displaystyle x\in X.$ Pokażemy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x.$ W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ i zdefiniujmy

$\displaystyle V=\{y\in Y:\ d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon \}.$

Wówczas zbiór $\displaystyle V$ jest otwarty w $\displaystyle Y$ (gdyż jest to kula; patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(1)), a zatem z założenia także zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ A zatem, z otwartości $\displaystyle f^{-1}(V)$ wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V), }

co oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0: \big[z\in K_X(x,\delta) \ \Longrightarrow\ z\in f^{-1}(V)\big]. }

Ale jeśli $\displaystyle z\in f^{-1}(V),$ to $\displaystyle f(z)\in V.$ Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ z\in K(x,\delta) \ \Longrightarrow\ f(z)\in V\bigg], }

czyli z definicji $\displaystyle V,$ także

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ d_X(z,x)<\delta \ \Longrightarrow\ d_Y(f(z),f(x))<\varepsilon\bigg]. }

Pokazaliśmy, że $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x.$

Przykład

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{d})$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d)$ dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja $\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru $\displaystyle V\subseteq Y$ (także otwartego) jest zbiorem otwartym w $\displaystyle X$ (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.080|).

Twierdzenie

(Darboux)
Jeśli $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A$ jest zbiorem spójnym w $\displaystyle X$ oraz $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą, to $\displaystyle f(A)$ jest zbiorem spójnym w $\displaystyle Y.$
{ Rysunek AM2.M02.W.R16 (stary numer AM1.7.5a)}
{ Rysunek AM2.M02.W.R17 (stary numer AM1.7.5b)}

Dowód

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $\displaystyle f(A)$ nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory $\displaystyle U$ i $\displaystyle V$ mające niepuste przecięcie z $\displaystyle f(A)$ i takie, że $\displaystyle f(A)\subseteq U\cup V.$ Ponieważ $\displaystyle f$ jest funkcją ciągłą, więc zbiory $\displaystyle f^{-1}(U)$ i $\displaystyle f^{-1}(V)$ są otwarte w $\displaystyle X$ (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.330|), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest $\displaystyle A.$ Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru $\displaystyle A.$

Ciągłość jednostajna

Materiał tego podrozdziału jest nadobowiązkowy, ale na Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.390| powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.

Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.

Definicja

(Ciągłość jednostajna)
Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X}),\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ będzie funkcją.

Mówimy, że $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x_1,x_2\in X\ \ \bigg[ d_X(x_1,x_2)<\delta \ \ \Longrightarrow\ \ d_Y\big(f(x_1),f(x_2)\big)<\varepsilon \bigg]. }

Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości $\displaystyle \displaystyle \delta$ dobrane do $\displaystyle \displaystyle \varepsilon$ może się zmieniać w zależności od punktu $\displaystyle x_{0}$ w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości $\displaystyle \displaystyle \delta$ dobrane do $\displaystyle \displaystyle \varepsilon$ jest już "dobre" dla wszystkich $\displaystyle x_{0}$ z dziedziny funkcji.

Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X}),\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest funkcją, to jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.

Przykład

Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.
Np. funkcja $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} _{+}\ni x\longmapsto x^{2}\in \mathbb {R}$ jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.
{ Rysunek AM2.M02.W.R18 (stary numer AM1.8.6)}

Sprawdzimy, że faktycznie funkcja $\displaystyle f(x)=x^{2}$ nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów $\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} _{+}$ mamy $\displaystyle d_{2}(f(x_{1}),f(x_{2}))=|x_{1}^{2}-x_{2}|^{2}=|x_{1}-x_{2}|(x_{1}+x_{2}).$ Zatem, jeśli weźmiemy ustalone $\displaystyle \displaystyle \delta >0$ (dla jakiegoś $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$), to dla $\displaystyle x_{2}=x_{1}+{\frac {\delta }{2}}$ odległość $\displaystyle d_{2}(f(x_{1}),f(x_{2}))={\frac {\delta }{2}}(x_{1}+x_{2}),$ co rośnie do nieskończoności gdy zwiększamy $\displaystyle x_{1}.$ A zatem nie możemy dobrać $\displaystyle \displaystyle \delta$ niezależnego od wyboru punktu $\displaystyle x_{1}.$

Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w Twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.02.370| zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.

Twierdzenie

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X}),\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A$ jest zbiorem zwartym w $\displaystyle X$ oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ jest funkcją, to $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle f$ jest ciągła.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych) to dla danego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ możemy dobrać $\displaystyle \displaystyle \delta >0,$ które jest "dobre" dla wszystkich $\displaystyle x_{0}$ z naszego zbioru zwartego, czyli mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_X(x_0,x) \ <\ \delta \Longrightarrow d_Y(f(x_0), f(x)) \ <\ \varepsilon, }

niezależnie od tego, jakie $\displaystyle x_{0}\in X$ weźmiemy.