Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej. Definiujemy granicę ciągu w przestrzeni metrycznej i przedstawiamy jej własności. Wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego i zupełności. Dowodzimy twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Cantora dla przestrzeni zupełnych. Wprowadzamy pojęcie ciągowej zwartości i charakteryzujemy zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Jako materiał nadobowiązkowy omawiamy ciągłość funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Dowodzimy pewnego warunku równoważnego ciągłości funkcji oraz tak zwaną własność Darboux. Wprowadzamy pojęcie: jednostajna ciągłość funkcji.

Ciąg i granica

Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym. Jaka jest dzielącaich odległość? Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$, to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi (czyli około $\displaystyle 12\,732$ kilometry). Ale każdy odpowie, że odległość dzieląca tych ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi (czyli około $\displaystyle 20\,000$ kilometrów). Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością w $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$, lecz w zupełnie innej przestrzeni, jaką jest powierzchnia kuli. Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami metrycznymi innymi niż $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$.

Definicja 2.1. [ciąg]

Niech $\displaystyle X\neq \emptyset$ będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze $\displaystyle X$ nazywamy dowolną funkcję $\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb {N} \longrightarrow X.$
Ciąg ten oznaczamy

$\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X,\quad \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subseteq X,\quad \{x_{n}\}\subseteq X,\quad \quad$  lub  $\displaystyle \quad x_{1},x_{2},\ldots ,$

gdzie $\quad \displaystyle f(n)=x_{n}\qquad \forall \ n\in \mathbb {N} .$

Ciąg	Wykres ciągu

Definicja 2.2. [granica ciągu]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ ciągiem oraz $\displaystyle g\in X.$
Mówimy, że $\displaystyle g$ jest granicą ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ w metryce $\displaystyle d,$ jeśli dla dowolnego $\varepsilon >0$ wyrazy ciągu są od pewnego momentu oddalone od $\displaystyle g$ o mnie niż $\varepsilon$, czyli

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:d(x_{n},g)<\varepsilon$

i piszemy

$\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g,\quad x_{n}{\xrightarrow[{n\rightarrow +\infty }]{}}g,\quad x_{n}\longrightarrow g\quad$ lub $\displaystyle \quad x_{n}\xrightarrow {d} g.$

Mówimy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny, jeśli

$\displaystyle \exists g\in X:\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$

Plik:AM2.M02.W.R03.mp4 Ciąg zbieżny

Wykres ciągu zbieżnego

Uwaga 2.3.

Warunek

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:d(x_{n},g)<\varepsilon$

w powyższej definicji jest równoważny warunkowi

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:x_{n}\in K(g,\varepsilon ).$

Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż

$\displaystyle d(x_{n},g)<\varepsilon \ \Longleftrightarrow x_{n}\in K(g,\varepsilon ).$

Definicja 2.4. [ciąg ograniczony]

Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ nazywamy ograniczonym, jeśli

$\displaystyle \exists x\in X\ \exists r>0\ \forall n\in \mathbb {N} :d(x,x_{n})<r.$

Innymi słowy, ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n}:\ n\in \mathbb {N} {\big \}}$ jest ograniczony w $\displaystyle X.$

Przykład 2.5.

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ dowolnym ciągiem. Wówczas ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest stały od pewnego miejsca.

"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Ta implikacja jest oczywista.

"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Załóżmy, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x.$ Należy pokazać, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest stały od pewnego miejsca. Ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}.$ Z definicji granicy wiemy, że

$\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:d(x_{n},x)<{\frac {1}{2}}.$

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości $\displaystyle 0$ lub $\displaystyle 1.$ Zatem warunek $\displaystyle d(x_{n},x)<{\frac {1}{2}}$ oznacza, że $\displaystyle d(x_{n},x)=0,$ czyli $\displaystyle x_{n}=x.$ Pokazaliśmy zatem, że

$\displaystyle \forall n\geq N:x_{n}=x,$

to znaczy ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest stały od pewnego miejsca.

Podobnie jak w przypadku ciągów w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$, dla ciągów w $(\displaystyle (X,d)$ zachodzą następujące twierdzenia:

Twierdzenie 2.6.

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ będzie ciągiem oraz $\displaystyle g\in X.$ Wówczas:
(1) $\displaystyle x_{n}\xrightarrow {d} g$ wtedy i tylko, wtedy, gdy $\displaystyle d(x_{n},g)\xrightarrow {\mathbb {R} } 0$,
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}:$ to znaczy

$\displaystyle {\bigg [}\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{1}\in X\quad$ i $\displaystyle \quad \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g_{2}\in X{\bigg ]}\ \Longrightarrow g_{1}=g_{2}.$

(3) Jeśli ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g$ oraz $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\},$ to

$\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=g.$

(5) Jeśli $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=g,$ to także $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k}}{\big \}}$ ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ istnieje jego dalszy podciąg $\displaystyle \displaystyle {\big \{}x_{n_{k_{l}}}{\big \}}$ taki, że $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{l\rightarrow +\infty }x_{n_{k_{l}}}=g,$ to $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g.$

Zupełność

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Przypomnijmy teraz znane już z Analizy matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.

Definicja 2.7. [warunek Cauchy'ego dla ciągu]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ ciągiem.
Mówimy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists N\in \mathbb {N} \ \forall n,m\geq N:d(x_{n},x_{m})<\varepsilon .$

Warunek Cauchy'ego dla ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0,$ począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są oddalone od siebie o mniej niż $\displaystyle \displaystyle \varepsilon .$

Na wykładzie z Analizy matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.

Twierdzenie 2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ będzie dowolnym ciągiem.
Jeśli ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ jest zbieżny w $\displaystyle X,$ to spełnia on warunek Cauchy'ego.

Dowód 2.8.

Niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ będzie ciągiem zbieżnym w $\displaystyle X,$ to znaczy $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=g\in X.$ Aby pokazać warunek Cauchy'ego, ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji granicy wynika, że

$\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:d(x_{n},g)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Zatem dla dowolnych $\displaystyle n,m\geq N$ mamy

$\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},g)+d(g,x_{m})=d(x_{n},g)+d(x_{m},g)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,$

co kończy dowód.

Uwaga 2.9.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31. oraz przykład 2.11. poniżej).

Definicja 2.10. [przestrzeń zupełna]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w $\displaystyle X$ jest zbieżny w $\displaystyle X.$

Przykład 2.11.

Przestrzenie $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2})$ oraz $\displaystyle \displaystyle ([0,1],d_{2})$ są zupełne (wiemy to z wykładu z Analizy matematycznej 1).

Przestrzenie $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{2})$ oraz $\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_{2})$ nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń $\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_{2})$ nie jest zupełna, weźmy ciąg $\displaystyle \displaystyle {\bigg \{}{\frac {1}{n}}{\bigg \}}.$ Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w $\displaystyle \displaystyle (0,1).$

Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono, iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" między punktami; patrz definicja 2.12.) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element $\displaystyle x\in X$ o tej własności, że $\displaystyle f(x)=x.$ Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.

Definicja 2.12. [odwzorowanie zwężające]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X$ jest zwężające, jeśli

$\displaystyle \exists \lambda \in [0,1)\ \forall x,y\in X:d(f(x),f(y))\leq \lambda \ d(x,y).$

Przykład 2.13.

Dla $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2}),$ odwzorowaniem zwężającym jest na przykład $\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x,$ a odwzorowania $\displaystyle f(x)=x,\displaystyle f(x)=x+2,\displaystyle f(x)=x^{2}$ nie są zwężające.

Definicja 2.14. [punkt stały]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że $\displaystyle x_{0}\in X$ jest punktem stałym odwzorowania $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X,$ jeśli $\displaystyle f(x_{0})=x_{0}.$

Przykład 2.15.

Dla $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2}),$ punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x$ jest $\displaystyle 0,$ punktami stałymi odwzorowania $\displaystyle f(x)=x$ są wszystkie punkty $\displaystyle x\in \mathbb {R}$; odwzorowanie $\displaystyle f(x)=x+2$ nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania $\displaystyle f(x)=x^{2}$ są $\displaystyle 0$ i $\displaystyle 1.$

Twierdzenie 2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną zupełną, $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X$ jest odwzorowaniem zwężającym, to $\displaystyle f$ ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy

$\displaystyle \exists !\ x^{*}\in X:f(x^{*})=x^{*}.$

Rysunek do dowodu twierdzenia Banacha o punkcie stałym

Dowód 2.16. [nadobowiązkowy]

Ustalmy dowolny $\displaystyle x_{0}\in X.$ Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:

$\displaystyle x_{n}\ \ {\stackrel {df}{=}}f(x_{n-1})\quad$ dla $\displaystyle \ n\in \mathbb {N} .$

Jeżeli $\displaystyle d(x_{0},x_{1})=0,$ to $\displaystyle f(x_{0})=x_{1}=x_{0},$ a zatem $\displaystyle x_{0}$ jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że $\displaystyle d(x_{0},x_{1})>0.$
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \lambda \in (0,1),$ więc ciąg geometryczny $\displaystyle \displaystyle \{\lambda ^{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R}$ jest zbieżny do zera (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.). Z definicji granicy wynika, że

$\displaystyle \exists N_{0}\in \mathbb {N} :\ \lambda ^{N_{0}}<{\frac {\varepsilon (1-\lambda )}{d(x_{0},x_{1})}}.$

Niech teraz $\displaystyle n,m\geq N_{0}.$ Dla ustalenia uwagi załóżmy, że $\displaystyle m>n$ (rozumowanie dla $\displaystyle n>m$ jest analogiczne). Mamy

$\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})=d(f(x_{n-1}),f(x_{n}))\leq \lambda d(x_{n-1},x_{n}).$

Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy

$\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :d(x_{n},x_{x_{n+1}})\leq \lambda ^{n}d(x_{0},x_{1}).$

Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy

$\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{n},x_{m})&\leq &d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\ldots +d(x_{m-1},x_{m})\leq (\lambda ^{n}+\lambda ^{n+1}+\ldots +\lambda ^{m-1})d(x_{0},x_{n})\\&=\lambda ^{n}(1+\lambda +\ldots +\lambda ^{m-n-1})d(x_{0},x_{1}).\end{aligned}}$

Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Analiza matematyczna 1 wnoisek 1.11), mamy

$\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq \lambda ^{n}{\frac {1-\lambda ^{m-n}}{1-\lambda }}d(x_{0},x_{1})<{\frac {\lambda ^{n}}{1-\lambda }}d(x_{0},x_{1}).$

Z powyższej nierówności oraz definicji $\displaystyle N_{0}$ mamy

$\displaystyle d(x_{n},x_{m})<{\frac {\lambda ^{n}}{1-\lambda }}d(x_{0},x_{1})<\varepsilon .$

Pokazaliśmy zatem, że ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo $\displaystyle X$ jest przestrzenią zupełną), to znaczy

$\displaystyle \exists x^{*}\in X:\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x^{*}.$

Pokażemy, że element $\displaystyle x^{*}$ jest punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f.$ W tym celu ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

$\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:d(x^{*},x_{n})<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru $\displaystyle N,$ dla $\displaystyle n\geq N$ mamy

${\begin{array}{lll}\displaystyle 0\leq d(f(x^{*}),x^{*})&\leq &d(f(x^{*}),f(x_{n}))+d(f(x_{n}),x^{*})\leq \lambda f(x^{*},x_{n})+d(x_{n+1},x^{*})\\&<&{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .\end{array}}$

Ponieważ nierówność $\displaystyle d(f(x^{*}),x^{*})<\varepsilon$ zachodzi dla dowolnego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0,$ zatem $\displaystyle d(f(x^{*}),x^{*})=0,$ a to oznacza (z definicji metryki), że $\displaystyle f(x^{*})=x^{*}.$

Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt $\displaystyle x^{*}$ jest jedynym punktem stałym odwzorowania $\displaystyle f.$ Załóżmy, że pewien element $\displaystyle x\in X$ jest punktem stałym dla $\displaystyle f,$ to znaczy $\displaystyle f(x)=x.$ Wówczas:

$\displaystyle d(x^{*},x)=d(f(x^{*}),f(x))\leq \lambda d(x^{*},x),$

zatem

$\displaystyle (1-\lambda )d(x^{*},x)\leq 0.$

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \lambda \in (0,1),$ więc $\displaystyle d(x^{*},x)=0,$ a stąd $\displaystyle x=x^{*}.$ Pokazaliśmy więc, że $\displaystyle x^{*}$ jest jedynym punktem stałym.

Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.

Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 2.17.

Rozważmy przedział $\displaystyle \displaystyle (0,1)$ z metryką euklidesową $\displaystyle d_{2}.$ Zauważmy, że w tym przedziale przedziały $\displaystyle \displaystyle (0,a]$ gdzie $\displaystyle a\in (0,1)$ są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia $\displaystyle \displaystyle (a,1)$ są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów $\displaystyle \displaystyle F_{n}={\bigg (}0,{\frac {1}{n}}{\bigg ]}.$ Oczywiści $\displaystyle \displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \ldots .$ Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału $\displaystyle \displaystyle (0,1)$ weźmiemy przedział $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ z metryką euklidesową $\displaystyle d_{2}$ i zdefiniujemy zbiory domknięte $\displaystyle \displaystyle F_{n}={\bigg [}0,{\frac {1}{n}}{\bigg ]},$ to także $\displaystyle \displaystyle F_{1}\supseteq F_{\supseteq }\ldots$ oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym $\displaystyle \displaystyle \{0\}.$ Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Zobacz biografię

Plik:AM2.M02.W.R06.mp4

Zstępujący ciąg zbiorów domkniętych

Twierdzenie 2.18. [Twierdzenie Cantora. Warunek równoważny zupełności przestrzeni]

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ jest przestrzenią metryczną, to $\displaystyle X$ jest zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.

Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?", zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.

Dowód 2.18. [nadobowiązkowy]

[Szkic] "$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Niech $\displaystyle \displaystyle \{F_{n}\}$ będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy

$\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \ldots$

gdzie

$\displaystyle \mathrm {diam} \,(F_{n})\searrow 0.$

Dla każdego $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ wybierzmy jeden dowolny element $\displaystyle x_{n}\in F_{n}.$ Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc

$\displaystyle \exists x\in X:\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x.$

Wówczas $\displaystyle x\in \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }F_{n}$ (dlaczego?), a zatem $\displaystyle \displaystyle \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }F_{n}\neq \emptyset .$
"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Aby pokazać zupełność przestrzeni $\displaystyle X$, weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X.$ Dla każdego $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ definiujemy

$\displaystyle F_{n}={\overline {\{x_{n},x_{n+1},\ldots \}}}$

(to znaczy $\displaystyle F_{n}$ jest domknięciem zbioru wartości ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{k}\}_{k=n}^{\infty }$). Wówczas $\displaystyle \displaystyle \{F_{n}\}$ jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych, o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje $\displaystyle x\in \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }F_{n}.$ Wówczas $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x$ (dlaczego?).

Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz ćwiczenie 2.3.).

Plik:AM2.M02.W.R07.mp4

Ciąg w iloczynie kartezjańskim

Twierdzenie 2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X_{i},d_{i})$ są przestrzeniami metrycznymi dla $\displaystyle i=1,\ldots k,\displaystyle X=X_{1}\times \ldots \times X_{k},\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}\subseteq X$ jest ciągiem w $\displaystyle X,$ w szczególności $\displaystyle a_{n}=(a_{n}^{1},\ldots ,a_{n}^{k})$ dla $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ oraz $\displaystyle a=(a^{1},\ldots ,a^{k})\in X,$ to
(1) $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }a_{n}^{i}=a^{i}$ dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k.$
(2) Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}\}$ spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi $\displaystyle \displaystyle \{a_{n}^{i}\}$ spełniają warunek Cauchy'ego dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k.$

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).

Wniosek 2.20.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X_{i},d_{i})$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla $\displaystyle i=1,\ldots ,k,$ to $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ jest przestrzenią metryczną zupełną.

Wniosek 2.21.

$\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \mathbb {C} ^{N}$ są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.

Ciągowa zwartość

Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ oba te pojęcia są równoważne (patrz twierdzenie 2.23.).

Definicja 2.22.

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną oraz $\displaystyle A\subseteq X.$
Mówimy, że $\displaystyle A$ jest zbiorem ciągowo zwartym, jeśli z każdego ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq A$ można wybrać podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ zbieżny w $\displaystyle A.$

Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w przestrzeniach metrycznych. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu, mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość. Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji wykracza poza program tego kursu. Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem (ciągowo) zwartym będziemy nazywać przestrzenią (ciągowo) zwartą.

Twierdzenie 2.23.

Jeśli $\displaystyle X$ jest przestrzenią metryczną to $\displaystyle X$ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle X$ jest przestrzenią ciągowo zwartą.

Dowód 2.23. [nadobowiązkowy]

"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$" Załóżmy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest zwarta. Aby pokazać ciągową zwartość, przypuśćmy, że $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X$ jest dowolnym ciągiem przestrzeni $\displaystyle X.$ Dla dowolnej liczby $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ definiujemy zbiory

$\displaystyle A_{n}\ {\stackrel {df}{=}}\ {\overline {\{x_{n+1},x_{n+2},\ldots \}}},\qquad V_{n}\ {\stackrel {df}{=}}\ X\setminus A_{n}.$

Zbiory $\displaystyle V_{n}$ są otwarte (jako uzupełnienie zbiorów domkniętych) oraz

$\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :V_{n}\ \subseteq V_{n+1}$

Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}\neq X.$ Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}=X,$ czyli $\displaystyle \displaystyle \{V_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ jest pokryciem otwartym $\displaystyle X.$ Ponieważ z założenia $\displaystyle X$ jest przestrzenią zwartą, więc z pokrycia tego można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

$\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} :\bigcup _{n=1}^{k}V_{n}=X.$

Ale ciąg $\displaystyle \displaystyle \{V_{n}\}$ był wstępujący, zatem $\displaystyle \displaystyle V_{k}=\bigcup _{n=1}^{k}V_{n}=X,$ czyli $\displaystyle A_{k}=X\setminus V_{k}=\emptyset ,$ sprzeczność.
Pokazaliśmy zatem, że

$\displaystyle X\ \neq \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}=X\setminus \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}.$

To oznacza, że

$\displaystyle \exists x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n},$

czyli

$\displaystyle \exists x\ \forall n\in \mathbb {N} :x\in A_{n}.$

Konstruujemy podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ w następujący sposób. Ponieważ $\displaystyle x\in A_{1},$ więc (z definicji domknięcia zbioru) istnieje $\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N}$ takie, że $\displaystyle d(x,x_{n_{1}})<1.$ Ponieważ $\displaystyle x\in A_{n_{1}},$ zatem istnieje $\displaystyle n_{2}>n_{1}$ takie, że $\displaystyle \displaystyle d(x,x_{n_{2}})<{\frac {1}{2}}.$ Postępując w ten sposób, skonstruowaliśmy podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ o tej własności, że

$\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :d(x_{n_{k}},x)<{\frac {1}{k}}.$

Zatem $\displaystyle \displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=x$ (patrz twierdzenie 2.6.).

"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$" Pomijamy dowód tej implikacji.

Twierdzenie 2.24.

Jeśli $\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}$ są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, to $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ (z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.

Dowód 2.24. [nadobowiązkowy]

Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni $\displaystyle k.$ Dla $\displaystyle k=1$ twierdzenie jest prawdziwe.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości $\displaystyle k$ przestrzeni metrycznych. Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, $\displaystyle k+1$ przestrzeni metrycznych. Zakładamy, że przestrzenie metryczne $\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k},X_{k+1}$ są zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}\times X_{k+1},$ wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego (porównaj twierdzenie 2.23.). W tym celu niech $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{k}\times X_{k+1}$ będzie dowolnym ciągiem, gdzie $\displaystyle x_{n}=(x_{n}^{1},\ldots ,x_{n}^{k},x_{n}^{k+1})$ dla $\displaystyle n\in \mathbb {N} .$ Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ jest zwarty, a zatem także ciągowo zwarty. Zatem z ciągu $\displaystyle \displaystyle \{y_{n}\}\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{k},$ gdzie $\displaystyle y_{n}=(x_{n}^{1},\ldots ,x_{n}^{k})$ można wybrać podciąg zbieżny $\displaystyle \displaystyle \{y_{n_{l}}\}.$ Ponieważ przestrzeń $\displaystyle X_{k+1}$ jest zwarta, więc z ciągu $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{l}}^{k+1}\}$ można wybrać podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{l_{m}}}^{k+1}\}$ zbieżny w $\displaystyle X_{k+1}.$ Oczywiście podciąg $\displaystyle \displaystyle \{y_{n_{l_{m}}}\}\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ jest zbieżny w $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}$ (jako podciąg ciągu zbieżnego $\displaystyle \displaystyle \{y_{n_{l}}\}$). Zatem podciąg $\displaystyle \displaystyle \{x_{n_{l_{m}}}\}$ jest zbieżny w $\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{k}\times X_{k+1}$ (patrz twierdzenie 2.19.).

Wniosek 2.25.

Kostka $\displaystyle \displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \ldots [a_{N},b_{N}]\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest zwarta w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$

Dowód 2.25.

Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją tego, że przedział domknięty i ograniczony w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$ jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.21.) oraz powyższego twierdzenie 2.24.

Plik:AM2.M02.W.R08.svg Kostka w $\mathbb {R} ^{2}$

Plik:AM2.M02.W.R09.svg Kostka w $\mathbb {R} ^{3}$

Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956)
Zobacz biografię

Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$


Wniosek 2.26. [Heinego-Borela]

Jeśli $\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{N},$ to zbiór $\displaystyle A$ jest zwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Dowód 2.26.

"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$"
Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej, co było udowodnione na poprzednim wykładzie (patrz twierdzenie 1.19. i uwaga 1.20.
"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$"
Jeśli zbiór $\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest ograniczony, to możemy go zawrzeć w pewnej kostce $\displaystyle \displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \ldots [a_{N},b_{N}]\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ (dlaczego?). Jeśli ponadto jest domknięty, to ze zwartości kostki (patrz wiosek 2.25.) wynika jego zwartość, bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym (patrz twierdzenie 1.19. (4)).

Plik:AM2.M02.W.R10.mp4 Zbiór zwarty w $\mathbb {R} ^{2}$

Plik:AM2.M02.W.R11.mp4 Zbiór zwarty w $\mathbb {R} ^{3}$

Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi.

Twierdzenie 2.27.

Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.

Dowód 2.27. [nadobowiązkowy]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną zwartą. Należy pokazać, że przestrzeń metryczna $\displaystyle X$ jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg $\displaystyle \{x_{n}\}$ spełniający warunek Cauchy'ego. Z twierdzenia 2.23. wiemy, że przestrzeń $\displaystyle X$ jest ciągowo zwarta, zatem z ciągu $\displaystyle \{x_{n}\}$ możemy wybrać podciąg $\displaystyle \{x_{n_{k}}\}$ zbieżny w $\displaystyle X$, to znaczy

$\displaystyle \exists x_{0}\in X:\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n_{k}}=x_{0}.$

Wykażemy, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x_{0}$. Ustalmy dowolne $\displaystyle \varepsilon >0$. Z definicji granicy wiemy, że istnieje $\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N}$ takie, że

$\displaystyle \forall k\geq k_{0}:d(x_{n_{k}},x_{0})<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Z warunku Cauchy'ego wiemy, że istnieje $\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N}$ takie, że dla dowolnych $\displaystyle m,n\geq N_{1}$ zachodzi

$\displaystyle d(x_{n},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}.$

Niech $\displaystyle k_{1}\geq k_{0}$ będzie takie, że $\displaystyle n_{k_{1}}\geq N_{1}$ oraz niech $\displaystyle N=n_{k_{1}}$. Wówczas dla dowolnego $\displaystyle n\geq N$ mamy

$\displaystyle d(x_{n},x_{0})\leq d(x_{n},x_{n_{k_{1}}})+d(x_{n_{k_{1}}},x_{0})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Pokazaliśmy zatem, że $\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }x_{n}=x_{0}$, co kończy dowód zupełności przestrzeni $\displaystyle X$.

Uwaga 2.28.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2})$ jest zupełna, ale nie zwarta (patrz przykład 2.11. oraz twierdzenie 1.22.).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych [rozdział nadobowiązkowy]

Jeśli $\displaystyle f$ jest funkcją między dwiema przestrzeniami metrycznymi (np z $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ do $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}$), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, więc możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.

Definicja 2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech $\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $\displaystyle A.$
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma granicę $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\forall x\in A\cap {\big (}K(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}{\big )}:f(x)\in K(g,\varepsilon )$

lub innymi słowy

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\forall x\in A\setminus \{x_{0}\}:{\bigg [}d_{X}(x_{0},x)<\delta \ \Longrightarrow d_{Y}{\big (}f(x),g{\big )}<\varepsilon {\bigg ]}.$

Piszemy wówczas

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=g\quad$ lub $\displaystyle \quad f(x){\xrightarrow[{x\rightarrow x_{0}}]{}}g.$

Plik:Am2.M02.W.R12.svg Granica funkcji w punkcie

Granica funkcji w punkcie

Definicja 2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in X$ będzie punktem skupienia zbioru $\displaystyle A.$
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ ma granicę $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \{x_{n}\}\subseteq A\setminus \{x_{0}\}:{\bigg [}x_{n}{\stackrel {d_{X}}{\longrightarrow }}x_{0}\ \Longrightarrow f(x_{n}){\stackrel {d_{Y}}{\longrightarrow }}g{\bigg ]}.$

Piszemy wówczas

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=g\quad$ lub $\displaystyle \quad f(x){\xrightarrow[{x\rightarrow x_{0}}]{}}g.$

Plik:Am2.M02.W.R14.svg Funkcja ciągła w punkcie

Plik:Am2.M02.W.R15.mp4 Funkcja ciągła w punkcie

Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.

Definicja 2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A\subseteq X,$ niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in A$ ($\displaystyle x_{0}$ nie musi być punktem skupienia zbioru $\displaystyle A$).
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\forall x\in A:{\bigg [}d_{X}(x,x_{0})<\delta \ \Longrightarrow d_{Y}{\big (}f(x),f(x_{0}){\big )}<\varepsilon {\bigg ]}.$

Definicja 2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X})$ oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą dwiema przestrzeniami metrycznymi $\displaystyle A\subseteq X,$
niech $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ będzie funkcją oraz niech $\displaystyle x_{0}\in A$ ($\displaystyle x_{0}$ nie musi być punktem skupienia zbioru $\displaystyle A$).
Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x_{0}\in X,$ jeśli

$\displaystyle \forall \{x_{n}\}\subseteq A:{\bigg [}x_{n}{\stackrel {d_{X}}{\longrightarrow }}x_{0}\ \Longrightarrow f(x_{n}){\stackrel {d_{Y}}{\longrightarrow }}f(x_{0}){\bigg ]}.$

Mówimy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie $\displaystyle x\in A.$

Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość, podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.

Twierdzenie 2.33.

Jeśli $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego $\displaystyle V$ w $\displaystyle Y,$ przeciwobraz $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$

Dowód 2.33.

"$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$":
Niech $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ będzie funkcją ciągłą. Niech $\displaystyle V$ będzie zbiorem otwartym w $\displaystyle Y.$ Należy pokazać, że zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ W tym celu ustalmy dowolny punkt $\displaystyle x\in f^{-1}(V)$. Mamy wykazać, że jest on zawarty w $\displaystyle f^{-1}(V)$ wraz z pewną kulą o środku $\displaystyle x.$ Ponieważ zbiór $\displaystyle V$ jest otwarty oraz $\displaystyle f(x)\in V$ więc

$\displaystyle \exists \varepsilon >0:K_{Y}(f(x),\varepsilon )\subseteq V.$

Z drugiej strony, ponieważ funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x\in V,$ więc

$\displaystyle \exists \delta >0\ \forall z\in X:{\big [}d_{X}(z,x)<\delta \Longrightarrow d_{Y}(f(z),f(x))<\varepsilon {\big ]}.$

Zatem, jeśli $\displaystyle z\in K(x,\delta ),$ to $\displaystyle z\in f^{-1}(V),$ czyli $\displaystyle K(x,\delta )\subseteq f^{-1}(V),$ co dowodzi otwartości zbioru $\displaystyle f^{-1}(V).$
"$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$":
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego $\displaystyle V$ w $\displaystyle Y,$ zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ Ustalmy dowolny $\displaystyle x\in X.$ Pokażemy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x.$ W tym celu ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ i zdefiniujmy

$\displaystyle V=\{y\in Y:\ d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon \}.$

Wówczas zbiór $\displaystyle V$ jest otwarty w $\displaystyle Y$ (gdyż jest to kula; patrz twierdzenie 1.10. (1)), a zatem z założenia także zbiór $\displaystyle f^{-1}(V)$ jest otwarty w $\displaystyle X.$ A zatem, z otwartości $\displaystyle f^{-1}(V)$ wynika, że

$\displaystyle \exists \delta >0:K(x,\delta )\subseteq f^{-1}(V),$

co oznacza, że

$\displaystyle \exists \delta >0:{\big [}z\in K_{X}(x,\delta )\ \Longrightarrow z\in f^{-1}(V){\big ]}.$

Ale jeśli $\displaystyle z\in f^{-1}(V),$ to $\displaystyle f(z)\in V.$ Zatem

$\displaystyle \exists \delta >0{\bigg [}z\in K(x,\delta )\ \Longrightarrow f(z)\in V{\bigg ]},$

czyli z definicji $\displaystyle V$ także

$\displaystyle \exists \delta >0:{\bigg [}d_{X}(z,x)<\delta \ \Longrightarrow d_{Y}(f(z),f(x))<\varepsilon {\bigg ]}.$

Pokazaliśmy, że $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle x.$

Przykład 2.34.

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{d})$ będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz $\displaystyle \displaystyle (Y,d)$ dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja $\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru $\displaystyle V\subseteq Y$ (także otwartego) jest zbiorem otwartym w $\displaystyle X$ (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz przykład 1.8.).

Twierdzenie 2.35. [Darboux]

Jeśli $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A$ jest zbiorem spójnym w $\displaystyle X$ oraz $\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą,

to $\displaystyle f(A)$ jest zbiorem spójnym w $\displaystyle Y.$

Funkcja ciągła na zbiorze spójnym

Funkcja ciągła na zbiorze, który nie jest spójny

Dowód 2.35.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że $\displaystyle f(A)$ nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory $\displaystyle U$ i $\displaystyle V$ mające niepuste przecięcie z $\displaystyle f(A)$ i takie, że $\displaystyle f(A)\subseteq U\cup V.$ Ponieważ $\displaystyle f$ jest funkcją ciągłą, więc zbiory $\displaystyle f^{-1}(U)$ i $\displaystyle f^{-1}(V)$ są otwarte w $\displaystyle X$ (patrz twierdzenie 2.33.), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest $\displaystyle A.$ Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru $\displaystyle A.$

Ciągłość jednostajna [rozdział nadobowiązkowy]

Materiał tego rozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twierdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.

Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.

Definicja 2.36. [Ciągłość jednostajna]

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X}),\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ będzie funkcją.

Mówimy, że $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła, jeśli

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x_{1},x_{2}\in X{\bigg [}d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta \ \ \Longrightarrow d_{Y}{\big (}f(x_{1}),f(x_{2}){\big )}<\varepsilon {\bigg ]}.$

Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości $\displaystyle \displaystyle \delta$ dobrane do $\displaystyle \displaystyle \varepsilon$ może się zmieniać w zależności od punktu $\displaystyle x_{0}$, w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości $\displaystyle \displaystyle \delta$ dobrane do $\displaystyle \displaystyle \varepsilon$ jest już "dobre" dla wszystkich $\displaystyle x_{0}$ z dziedziny funkcji.

Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.37.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X}),\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest funkcją, to jeśli funkcja $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.

Funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła

Przykład 2.38.

Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.
Np. funkcja $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} _{+}\ni x\longmapsto x^{2}\in \mathbb {R}$ jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.

Sprawdzimy, że faktycznie funkcja $\displaystyle f(x)=x^{2}$ nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów $\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} _{+}$ mamy $\displaystyle d_{2}(f(x_{1}),f(x_{2}))=|x_{1}^{2}-x_{2}|^{2}=|x_{1}-x_{2}|(x_{1}+x_{2}).$ Zatem, jeśli weźmiemy ustalone $\displaystyle \displaystyle \delta >0$ (dla jakiegoś $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$), to dla $\displaystyle x_{2}=x_{1}+{\frac {\delta }{2}}$ odległość $\displaystyle d_{2}(f(x_{1}),f(x_{2}))={\frac {\delta }{2}}(x_{1}+x_{2}),$ co rośnie do nieskończoności, gdy zwiększamy $\displaystyle x_{1}.$ A zatem nie możemy dobrać $\displaystyle \displaystyle \delta$ niezależnego od wyboru punktu $\displaystyle x_{1}.$

Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w twierdzeniu 2.37. zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 2.39.

Jeśli $\displaystyle \displaystyle (X,d_{X}),\displaystyle \displaystyle (Y,d_{Y})$ są przestrzeniami metrycznymi, $\displaystyle A$ jest zbiorem zwartym w $\displaystyle X$ oraz $\displaystyle f\colon A\longrightarrow Y$ jest funkcją, to $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle f$ jest ciągła.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych), to dla danego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ możemy dobrać $\displaystyle \displaystyle \delta >0,$ które jest "dobre" dla wszystkich $\displaystyle x_{0}$ z naszego zbioru zwartego, czyli mamy

$\displaystyle d_{X}(x_{0},x)<\delta \Longrightarrow d_{Y}(f(x_{0}),f(x))<\varepsilon ,$

niezależnie od tego, jakie $\displaystyle x_{0}\in X$ weźmiemy.