Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Linia 694: Linia 694:
 
Dowód pozostawiamy na ćwiczenia
 
Dowód pozostawiamy na ćwiczenia
 
(patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.02.030|Uzupelnic z.new.am2.c.02.030|]]).
 
(patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.02.030|Uzupelnic z.new.am2.c.02.030|]]).
 
+
[[grafika:Kartezjusz.jpg|thumb|right||Kartezjusz (1596-1650)<br>[[Biografia Kartezjusz|Zobacz biografię]]]]
 
{{twierdzenie|2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]||
 
{{twierdzenie|2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]||
 
Jeśli
 
Jeśli

Wersja z 00:09, 29 sie 2006

Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie ciągu w dowolnej przestrzeni metrycznej. Definiujemy granicę ciągu w przestrzeni metrycznej i przedstawiamy jej własności. Wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego i zupełności. Dowodzimy twierdzenie Banacha o punkcie stałym i twierdzenie Cantora dla przestrzeni zupełnych. Wprowadzamy pojęcie ciągowej zwartości i charakteryzujemy zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Jako materiał nadobowiązkowy omawiamy ciągłość funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Dowodzimy pewnego warunku równoważnego ciągłości funkcji oraz tak zwaną własność Darboux. Wprowadzamy pojęcie jednostajną ciągłość funkcji.

Ciąg i granica

Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym. Jaka jest ich odległość? Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni , to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi (czyli około kilometry). Ale każdy odpowie, że odległość tych ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi (czyli około kilometrów). Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością w , lecz w zupełnie innej przestrzeni jaką jest powierzchnia kuli. Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami metrycznymi innymi niż .

Definicja 2.1.

Niech będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze nazywamy dowolną funkcję
Ciąg ten oznaczamy

lub

gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(n) \ =\ x_n \qquad\forall\ n\in\mathbb{N}. }

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R01.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R01

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R02.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R02

Definicja 2.2.

Niech będzie przestrzenią metryczną, ciągiem oraz
Mówimy, że jest granicą ciągu w metryce jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g)<\varepsilon }

i piszemy

lub

Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists g\in X:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g. }

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R03.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R03

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R04.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R04
Uwaga 2.3.

Warunek

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g)<\varepsilon }

w powyższej definicji jest równoważny warunkowi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n\in K(g,\varepsilon). }

Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,g)<\varepsilon \ \Longleftrightarrow\ x_n\in K(g,\varepsilon). }

Definicja 2.4.

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x\in X\ \exists r>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x,x_n)<r. }

Innymi słowy, ciąg jest ograniczony, jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony w

Przykład 2.5.

Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz dowolnym ciągiem. Wówczas ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca.

"":
Ta implikacja jest oczywista.

"":
Załóżmy, że Należy pokazać, że ciąg jest stały od pewnego miejsca. Ustalmy Z definicji granicy wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,x) \ <\ \frac{1}{2}. }

Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości lub Zatem warunek oznacza, że czyli Pokazaliśmy zatem, że

to znaczy ciąg jest stały od pewnego miejsca.

Podobnie jak w przypadku ciągów w zachodzą następujące twierdzenia:

Twierdzenie 2.6.

Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech będzie ciągiem oraz Wówczas:
(1) wtedy i tylko, wtedy, gdy ;
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu to znaczy

i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2\in X \bigg] \ \Longrightarrow\ g_1=g_2. }

(3) Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli oraz jest dowolnym podciągiem ciągu to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ g. }

(5) Jeśli jest ciągiem zbieżnym oraz jest jego dowolnym podciągiem takim, że to także
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu ciągu istnieje jego dalszy podciąg taki, że to

Zupełność

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Zobacz biografię

Przypomnijmy teraz znane już z Analizy Matematycznej 1 pojęcie ciągu Cauchy'ego.

Definicja 2.7.

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz ciągiem.
Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N} \ \forall n,m\ge N:\ d(x_n,x_m)<\varepsilon. }

Warunek Cauchy'ego dla ciągu oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są bliższe niż

Na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 dowiedzieliśmy się, że ciągi zbieżne w to są dokładnie ciągi Cauchy'ego. W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w jedną stronę.

Twierdzenie 2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz niech będzie dowolnym ciągiem.
Jeśli ciąg jest zbieżny w to spełnia on warunek Cauchy'ego.

Dowód twierdzenia 2.8.

Niech będzie ciągiem zbieżnym w to znaczy Aby pokazać warunek Cauchy'ego ustalmy dowolne Z definicji granicy wynika, że

Zatem dla dowolnych mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ d(x_n,g)+d(g,x_m) \ =\ d(x_n,g)+d(x_m,g) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon, }

co kończy dowód.

End of proof.gif
Uwaga 2.9.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Było to pokazane na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31. oraz przykład 2.11. poniżej).

Definicja 2.10.

Niech będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że przestrzeń jest zupełna, jeśli dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego w jest zbieżny w

Przykład 2.11.

Przestrzenie oraz są zupełne (wiemy to z wykładu Analiza Matematyczna 1).

Przestrzenie oraz nie są zupełne. Aby pokazać, że przestrzeń nie jest zupełna, weźmy ciąg Łatwo sprawdzić, że jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy w

Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Mówi ono iż każde odwzorowanie zwężające (to znaczy "zmniejszające odległości" miedzy punktami; patrz definicja 2.12.) prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie posiada punkt stały. Oznacza to, że istnieje element o tej własności, że Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy okazji równań różniczkowych. Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka Stefana Banacha.

Definicja 2.12.

Niech jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie jest zwężające, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \lambda\in [0,1) \ \forall x,y\in X:\ d(f(x),f(y)) \ \le\ \lambda\ d(x,y). }

Przykład 2.13.

Dla odwzorowaniem zwężającym jest na przykład a odwzorowania nie są zwężające.

Definicja 2.14.

Niech jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że jest punktem stałym odwzorowania jeśli

Przykład 2.15.

Dla punktem stałym odwzorowania jest punktami stałymi odwzorowania są wszystkie punkty ; odwzorowanie nie ma punktów stałych; punktami stałymi odwzorowania i

Twierdzenie 2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]

Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, jest odwzorowaniem zwężającym, to ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists!\ x^*\in X:\ f(x^*)=x^*. }

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R05.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R05

Dowód twierdzenia 2.16.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Ustalmy dowolny Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle x_n \ \ \stackrel{df}{=}\ \ f(x_{n-1}) \quad } dla

Jeżeli to a zatem jest szukanym punktem stałym.
Możemy więc w dalszej części założyć, że
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg spełnia warunek Cauchy'ego, a zatem jest zbieżny (gdyż przestrzeń jest zupełna).
W tym celu ustalmy Ponieważ więc ciąg geometryczny jest zbieżny do zera (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.). Z definicji granicy wynika, że

Niech teraz Dla ustalenia uwagi załóżmy, że (rozumowanie dla jest analogiczne). Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_{n+1}) \ =\ d(f(x_{n-1}),f(x_n)) \ \le\ \lambda d(x_{n-1},x_n). }

Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ d(x_n,x_{x_{n+1}}) \ \le\ \lambda^n d(x_0,x_1) }

Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej, dostajemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned d(x_n,x_m) & \le & d(x_n,x_{n+1}) +d(x_{n+1},x_{n+2}) +\ldots+ d(x_{m-1},x_m) \ \le\ (\lambda^n+\lambda^{n+1}+\ldots+\lambda^{m-1})d(x_0,x_n)\\ &= \lambda^n(1+\lambda+\ldots+\lambda^{m-n-1})d(x_0,x_1). \endaligned}

Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz Wniosek Uzupelnic w.1.0110|), mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ \le\ \lambda^n\frac{1-\lambda^{m-n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ <\ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1) }

Z powyższej nierówności oraz definicji mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ <\ \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1) \ <\ \varepsilon. }

Pokazaliśmy zatem, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego, a więc jest zbieżny (bo jest przestrzenią zupełną), to znaczy

Pokażemy, że element jest punktem stałym odwzorowania W tym celu ustalmy Korzystając z definicji granicy ciągu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x^*,x_n)<\frac{\varepsilon}{2}. }

Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru dla mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll}\displaystyle 0 \ \le\ d(f(x^*),x^*) &\le& d(f(x^*),f(x_n))+d(f(x_n),x^*) \ \le\ \lambda f(x^*,x_n)+d(x_{n+1},x^*)\\ &<& \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon.\end{array} }

Ponieważ nierówność zachodzi dla dowolnego zatem a to oznacza (z definicji metryki), że

Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt jest jedynym punktem stałym odwzorowania Załóżmy, że pewien element jest punktem stałym dla to znaczy Wówczas:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x^*,x) \ =\ d(f(x^*),f(x)) \ \le\ \lambda d(x^*,x), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (1-\lambda)d(x^*,x) \ \le\ 0. }

Ponieważ więc a stąd Pokazaliśmy więc, że jest jedynym punktem stałym.

End of proof.gif

Ciąg skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń.

Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 2.17.

Rozważmy przedział z metryką euklidesową Zauważmy, że w tym przedziale przedziały gdzie są zbiorami domkniętymi (bo ich uzupełnienia są otwarte). Weźmy ciąg przedziałów Oczywiści Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast zamiast przedziału weźmiemy przedział z metryką euklidesową i zdefiniujemy zbiory domknięte to także oraz część wspólna wszystkich tych zbiorów jest zbiorem jednopunktowym Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Zobacz biografię

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R06.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R06

Twierdzenie 2.18. [Twierdzenie Cantora; Warunek równoważny zupełności przestrzeni]

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, niepustych, o średnicach malejących do zera, ma przecięcie niepuste.

Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora. Piszemy "dlaczego?" zaznaczając fakty wymagające dokładniejszego uzasadnienia.

Dowód twierdzenia 2.18.

(Dowód nadobowiązkowy.)
(Szkic) "":
Niech będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy

gdzie

Dla każdego wybierzmy jeden dowolny element Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek Cauchy'ego (dlaczego?). Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc

Wówczas (dlaczego?), a zatem
"":
Aby pokazać zupełność przestrzeni weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego Dla każdego definiujemy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F_n \ =\ \overline{\{x_n,x_{n+1},\ldots\}} }

(to znaczy jest domknięciem zbioru wartości ciągu ). Wówczas jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych, domkniętych o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?). Zatem z założenia istnieje Wówczas (dlaczego?).

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych, a zbieżnością ciągów (odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na poszczególnych współrzędnych. Dowód pozostawiamy na ćwiczenia (patrz Zadanie Uzupelnic z.new.am2.c.02.030|).

Kartezjusz (1596-1650)
Zobacz biografię

Twierdzenie 2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi dla jest ciągiem w w szczególności dla oraz to
(1) wtedy i tylko wtedy, gdy dla
(2) ciąg spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi spełniają warunek Cauchy'ego dla

{ Rysunek AM2.M02.W.R07 (nowy)}

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych (dowód pomijamy).

Wniosek 2.20.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi dla to jest przestrzenią metryczną zupełną.

Wniosek 2.21.

oraz są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.

Ciągowa zwartość

Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku oba te pojęcia są równoważne (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.250|).

Definicja 2.22.

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz
Mówimy, że jest zbiorem ciągowo zwartym, jeśli z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny w

Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w przestrzeniach metrycznych. Mówi o tym kolejne twierdzenie. Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu, mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość. Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji wykracza poza program tego kursu. Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem zwartym będziemy nazywać przestrzenią zwartą.

Twierdzenie 2.23.

Jeśli jest przestrzenią metryczną to jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią ciągowo zwartą.

Dowód twierdzenia 2.23.

(Dowód nadobowiązkowy.)
"" Załóżmy, że przestrzeń jest zwarta. Aby pokazać ciągową zwartość przypuśćmy, że jest dowolnym ciągiem przestrzeni Dla dowolnej liczby definiujemy zbiory

Zbiory są otwarte (jako uzupełnienie zbiorów domkniętych) oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ V_n \ \subseteq\ V_{n+1} }

Pokażemy, że Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że czyli jest pokryciem otwartym Ponieważ z założenia jest przestrzenią zwartą, więc z pokrycia tego można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:\ \bigcup_{n=1}^{k}V_n= X. }

Ale ciąg był wstępujący, zatem czyli sprzeczność.
Pokazaliśmy zatem, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle X \ \ne\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}V_n \ =\ X\setminus \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n. }

To oznacza, że

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x\ \forall n\in\mathbb{N}:\ x\in A_n. }

Konstruujemy podciąg ciągu w następujący sposób. Ponieważ więc (z definicji domknięcia zbioru) istnieje takie, że Ponieważ zatem istnieje takie, że Postępując w ten sposób skonstruowaliśmy podciąg ciągu o tej własności, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall k\in\mathbb{N}:\ d(x_{n_k},x)<\frac{1}{k}. }

Zatem (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.060|).

"" Pomijamy dowód tej implikacji.

End of proof.gif

Twierdzenie 2.24.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi zwartymi, to (z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.

Dowód twierdzenia 2.24.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni Dla twierdzenie jest prawdziwe.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości przestrzeni metrycznych. Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, przestrzeni metrycznych. Zakładamy, że przestrzenie metryczne są zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego (porównaj Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.250|). W tym celu niech będzie dowolnym ciągiem, gdzie dla Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański jest zwarty, a zatem także ciągowo zwarty. Zatem z ciągu gdzie można wybrać podciąg zbieżny Ponieważ przestrzeń jest zwarta, więc z ciągu można wybrać podciąg zbieżny w Oczywiście podciąg jest zbieżny w (jako podciąg ciągu zbieżnego ). Zatem podciąg jest zbieżny w (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.210|).

End of proof.gif

Wniosek 2.25.

Kostka jest zwarta w

Dowód wniosku 2.25.

Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją tego, że przedział domknięty i ograniczony w jest zbiorem zwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.210|) oraz powyższego

Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.02.260|.
End of proof.gif

<flash>file=AM2.M02.W.R08.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R08

<flash>file=AM2.M02.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R09

Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej

Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956)
Zobacz biografię

Wniosek 2.26. [Heinego-Borela]

Jeśli to zbiór jest zwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.



Dowód wniosku 2.26.

""
Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej, co było udowodnione na poprzednim wykładzie (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.190| i Uwaga Uzupelnic u.new.am2.w.01.200|).

""
Jeśli zbiór jest ograniczony to możemy go zawrzeć w pewnej kostce (dlaczego?). Jeśli ponadto jest domknięty to ze zwartości kostki (patrz Wniosek Uzupelnic w.new.am2.w.02.270|) wynika jego zwartość, bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.190|(4)).

End of proof.gif

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R10.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R10

<flashwrap>file=AM2.M02.W.R11.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R11

Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi (dowód wymagający pojęcia -sieci zostaje pominięty).

Twierdzenie 2.27.

Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.

Dowód twierdzenia 2.27.

(Dowód nadobowiązkowy.)
Niech będzie przestrzenią metryczną zwartą. Należy pokazać, że przestrzeń metryczna jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg spełniający warunek Cauchy'ego. Z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.02.250| wiemy, że przestrzeń jest ciągowo zwarta, zatem z ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny w , to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists x_0\in X:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ x_0. }

Wykażemy, że . Ustalmy dowolne . Z definicji granicy wiemy, że istnieje takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall k\ge k_0: d(x_{n_k},x_0) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}. }

Z warunku Cauchy'ego wiemy, że istnieje takie, że dla dowolnych zachodzi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_m) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}. }

Niech będzie takie, że oraz niech . Wówczas dla dowolnego , mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x_n,x_0) \ \le\ d(x_n,x_{n_{k_1}})+d(x_{n_{k_1}},x_0) \ <\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \ =\ \varepsilon. }

Pokazaliśmy zatem, że , co kończy dowód zupełności przestrzeni .

End of proof.gif
Uwaga 2.28.

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna jest zupełna, ale nie zwarta (patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.02.110| oraz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.215|).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych

Materiał tego podrozdziału jak i następnego jest nadobowiązkowy

Jeśli jest funkcją między dwoma przestrzeniami metrycznymi (np z do ), to ponieważ możemy mierzyć odległości w tych przestrzeniach, to możemy także mówić o granicy i ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w punkcie.

<flashwrap>file=Am2.M02.W.R13.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Am2.M02.W.R13

Definicja 2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę w punkcie jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\cap\big(K(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ \ f(x)\in K(g,\varepsilon) }

lub innymi słowy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[d_X(x_0,x)<\delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),g\big)<\varepsilon\bigg]. }

Piszemy wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) \ =\ g \quad } lub

Definicja 2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech będzie funkcją oraz niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę w punkcie jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}g\bigg]. }

Piszemy wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) \ =\ g \quad } lub

Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają granicę równą wartości.

<flashwrap>file=Am2.M02.W.R15.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R15

Definicja 2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, niech będzie funkcją oraz niech ( nie musi być punktem skupienia zbioru ).
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A:\ \ \bigg[d_X(x,x_0)<\delta \ \Longrightarrow\ d_Y\big(f(x),f(x_0)\big)<\varepsilon\bigg]. }


Definicja 2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]

Niech oraz będą dwiema przestrzeniami metrycznymi,
niech będzie funkcją oraz niech ( nie musi być punktem skupienia zbioru ).
Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \{x_n\}\subseteq A:\ \ \bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0 \ \Longrightarrow\ f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}f(x_0)\bigg]. }

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie

Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji między przestrzeniami metrycznymi. Zauważmy, że warunek na ciągłość podany w twierdzeniu, wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.

Twierdzenie 2.33.

Jeśli i są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego w przeciwobraz jest otwarty w

Dowód twierdzenia 2.33.

(Dowód nadobowiązkowy.)
"":
Niech będzie funkcją ciągła. Niech będzie zbiorem otwartym w Należy pokazać, że zbiór jest otwarty w W tym celu ustalmy dowolny punkt i mamy wykazać, że jest on zawarty w wraz z pewną kulą o środku Ponieważ zbiór jest otwarty oraz więc

Z drugiej strony, ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0\ \forall z\in X:\ \big[ d_X(z,x)<\delta \Longrightarrow d_Y(f(z),f(x))<\varepsilon\big]. }

Zatem, jeśli to czyli co dowodzi otwartości zbioru
"":
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego w zbiór jest otwarty w Ustalmy dowolny Pokażemy, że funkcja jest ciągła w punkcie W tym celu ustalmy dowolne i zdefiniujmy

Wówczas zbiór jest otwarty w (gdyż jest to kula; patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(1)), a zatem z założenia także zbiór jest otwarty w A zatem, z otwartości wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V), }

co oznacza, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0: \big[z\in K_X(x,\delta) \ \Longrightarrow\ z\in f^{-1}(V)\big]. }

Ale jeśli to Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ z\in K(x,\delta) \ \Longrightarrow\ f(z)\in V\bigg], }

czyli z definicji także

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[ d_X(z,x)<\delta \ \Longrightarrow\ d_Y(f(z),f(x))<\varepsilon\bigg]. }

Pokazaliśmy, że jest ciągła w punkcie

End of proof.gif

Przykład 2.34.

Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną oraz dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas dowolna funkcja jest ciągła. Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru (także otwartego) jest zbiorem otwartym w (bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są otwarte; patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.080|).

Twierdzenie 2.35. [Darboux]

Jeśli i są przestrzeniami metrycznymi, jest zbiorem spójnym w oraz jest funkcją ciągłą,

to jest zbiorem spójnym w

<flash>file=Am2.M02.W.R16.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R16

<flash>file=Am2.M02.W.R17.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R17

Dowód twierdzenia 2.35.

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory i mające niepuste przecięcie z i takie, że Ponieważ jest funkcją ciągłą, więc zbiory i są otwarte w (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.330|), są one oczywiście niepuste, rozłączne, a ich sumą jest Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru

End of proof.gif

Ciągłość jednostajna

Materiał tego podrozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twirdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.

Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.

Definicja 2.36. [Ciągłość jednostajna]

Niech będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech będzie funkcją.

Mówimy, że jest jednostajnie ciągła, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x_1,x_2\in X\ \ \bigg[ d_X(x_1,x_2)<\delta \ \ \Longrightarrow\ \ d_Y\big(f(x_1),f(x_2)\big)<\varepsilon \bigg]. }

Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości dobrane do może się zmieniać w zależności od punktu w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości dobrane do jest już "dobre" dla wszystkich z dziedziny funkcji.

Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.37.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, jest funkcją, to jeśli funkcja jest jednostajnie ciągła, to jest także ciągła.

<flashwrap>file=Am2.M02.W.R18.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R18

Przykład 2.38.

Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.
Np. funkcja jest ciągła, ale nie jednostajnie ciągła.

Sprawdzimy, że faktycznie funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów mamy Zatem, jeśli weźmiemy ustalone (dla jakiegoś ), to dla odległość co rośnie do nieskończoności gdy zwiększamy A zatem nie możemy dobrać niezależnego od wyboru punktu

Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w Twierdzeniu Uzupelnic t.new.am2.w.02.370| zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 2.39.

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, jest zbiorem zwartym w oraz jest funkcją, to jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych) to dla danego możemy dobrać które jest "dobre" dla wszystkich z naszego zbioru zwartego, czyli mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_X(x_0,x) \ <\ \delta \Longrightarrow d_Y(f(x_0), f(x)) \ <\ \varepsilon, }

niezależnie od tego, jakie weźmiemy.