Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Przestrzenie metryczne

Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej. Prezentujemy definicję metryki, przykłady przestrzeni metrycznych. Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i średnicę zbioru. Następnie wprowadzamy pojęcia zwartości i spójności w przestrzeniach metrycznych. Dowodzimy, że przedział domknięty i ograniczony jest zbiorem zwartym w oraz charakteryzujemy zbiory spójne w

Jedną z najistotniejszych idei matematyki jest idea aproksymacji. Z aproksymacją mamy do czynienia wtedy, gdy pewien obiekt (liczbę, funkcję, zbiór) przedstawiamy jako granicę (w odpowiednim sensie) ciągu obiektów . Możemy wtedy wnioskować o własnościach "mniej znanego" obiektu z własności "bardziej znanych" obiektów . Każdy z nas zetknął się z aproksymacją, chociażby w stwierdzeniu " wynosi mniej więcej " (tu przybliżamy liczbę niewymierną ciągiem liczb wymiernych). Na wykładzie poświęconym ciągom funkcyjnym dowiemy się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele różnych rodzajów zbieżności - czyli przejść granicznych - potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna a zarazem prosta teoria przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy się działem teorii przestrzeni metrycznych, przestrzeniami unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na wektorach.

Metryka

Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości w poznaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki. Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla dowolnego (niepustego) zbioru (a nie tylko dla ). W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości miedzy elementami dowolnego zbioru .

Definicja

Niech będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze nazywamy dowolną funkcję spełniającą następujące warunki:
(i) ;
(ii) (symetria);
(iii) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)} (warunek trójkąta).
Parę nazywamy przestrzenią metryczną.
Dla dowolnych liczbę nazywamy odległością punktów i oraz mówimy, że punkty i oddalone od siebie o

Definicja kuli w dowolnej przestrzeni metrycznej jest analogiczna do poznanej na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w .

Definicja

Niech będzie przestrzenią metryczną. Kulą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K(x_0,r) \ \stackrel{df}{=}\ \big\{x\in X:\ d(x_0,x)<r\big\}. }

Kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \overline{K}(x_0,r) \ \stackrel{df}{=}\ \big\{x\in X:\ d(x_0,x)\le r\big\}. }

Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz opiszemy jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.

Przykład

(Metryka dyskretna)
Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech

Zauważmy, iż wartość funkcji dla dwóch dowolnych punktów wynosi gdy są one różne oraz wynosi gdy jest to ten sam punkt.
{ Rysunek AM2.M01.W.R01 (stary numer AM1.3.2)}
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja jest metryką, zatem para jest przestrzenią metryczną. Metrykę tę będziemy nazywali metryczną dyskretną.

Faktycznie z definicji wynika, że dla dowolnych mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y)=0 \ \Longleftrightarrow\ x=y }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d(x,y) \ =\ d(y,x). }

Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy Rozważymy następujące przypadki.

Jeśli to zatem zawsze zachodzi

Jeśli to lub Wtedy również

Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni metrycznej. Jeśli to kula o promieniu składa się z samego środka, ale jeśli to kulą jest cała przestrzeń Mamy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K(x_0,r) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \emptyset & \textrm{gdy} \displaystyle & r=0,\\ \{x_0\} & \textrm{gdy} \displaystyle & r\in(0,1],\\ X & \textrm{gdy} \displaystyle & r>1, \end{array} \right. \qquad \overline{K}(x_0,r) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} \{x_0\} & \textrm{gdy} \displaystyle & r\in[0,1),\\ X & \textrm{gdy} \displaystyle & r\ge 1. \end{array} \right. }

Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami i kulami domkniętymi są jedynie: zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.

Przypomnijmy teraz standardowe metryki w Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Przykład

(Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa)
Niech oraz niech

gdzie oraz
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryka maksimową w
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryka taksówkową w
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką euklidesową w zaś parę nazywamy przestrzenią metryczną euklidesową.

Przypomnijmy jak wyglądają kule w tych metrykach.
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej.
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R05 (stary numer AM1.3.6)}
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R06 (stary numer AM1.3.7)}
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce taksówkowej.
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R09 (stary numer AM1.3.10)}
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R10 (stary numer AM1.3.11)}
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce euklidesowej.
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R14 (stary numer AM1.3.14)}
{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R15 (stary numer AM1.3.15)}

Dwa kolejne przykłady podają mniej typowe metryki na płaszczyźnie

Przykład

(Metryka rzeka)
Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna jest gęstym lasem oraz pewna prosta jest rzeką. Aby zmierzyć odległość dwóch punktów musimy wyciąć ścieżkę od do przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.

Mamy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty i są końcami odcinka prostopadłego do rzeki to ich odległość jest równa zwykłej odległości euklidesowej na płaszczyźnie.
{ Rysunek AM2.M01.W.R02 (stary numer AM1.3.16)}
(2) Jeśli zaś punkty i nie leżą na prostej prostopadłej do rzeki to musimy utworzyć dwie ścieżki jedną od punktu do rzeki, a drugą od rzeki do punktu zawsze prostopadle do rzeki. Teraz odległość od do będzie równa długości (euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na rzece.
{ Rysunek AM2.M01.W.R03 (stary numer AM1.3.17)}
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja jest metryką w Nazywamy ją metryką rzeką.
Poniższy rysunek przedstawia kule w naszej metryce.
{ Rysunek AM2.M01.W.R04 (stary numer AM1.3.18) animacja}

Przykład

(Metryka kolejowa)
Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt węzeł kolejowy od którego odchodzą półproste, szyny, we wszystkich kierunkach. Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami i musimy przebyć drogę między nimi poruszając się po szynach. Rozważmy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty i znajdują się na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu to ich odległość jest zwykła odległością euklidesową.
(2) Jeśli zaś punkty i nie leżą na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu to ich odległość jest równa sumie odległości euklidesowych od do oraz od do
{ Rysunek AM2.M01.W.R05 (stary numer AM1.3.19)}
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką, zwaną metryką kolejową.

A oto jak wyglądają kule w metryce kolejowej.
{ Rysunek AM2.M01.W.R06 (stary numer AM1.3.20)}

Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi. Część z nich była zdefiniowana na Analizie Matematycznej 1.

Definicja

Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz
(1) Zbiór nazywamy otwartym, jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in U\ \exists r>0:\ K(x,r)\subseteq U. }

{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R16 (stary numer AM1.3.21)}
(2) Punkt nazywamy punktem wewnętrznym zbioru jeśli istnieje kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) taka, że zawiera się w Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych i oznaczamy
(3) Domknięciem zbioru nazywamy zbiór wszystkich punktów oraz wszystkich punktów skupienia zbioru i oznaczamy
(4) Brzegiem zbioru nazywamy zbiór

Przykład

W przestrzeni metrycznej dyskretnej każdy zbiór jest otwarty, bo wraz z każdym punktem zawiera kulę

Przykład

W przestrzeni rozważmy zbiór Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \mathrm{int}\, A &= \{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2<4\},\\ \overline{A} &= \{(x_1,x_2):\ 2\le x_1^2+x_2^2\le 4\},\\ \partial A &= \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=2\}\cup \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=4\}. \endaligned}

Podobnie jak w tak i w dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzą następujące własności.

Twierdzenie

(Zbiory w przestrzeniach metrycznych)
Jeśli jest przestrzenią metryczną, to
(1) Każda kula jest zbiorem otwartym w
(4) Zbiór jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy (dopełnienie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.
(5) Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
(6) Jeśli jest punktem skupienia zbioru to dowolna kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru
(7) Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(8) Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(9) Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(10) Suma skończonej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(11) Dla dowolnego zbioru zbiór (domknięcie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.

Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.145|).

Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są w poniższej definicji.

Definicja

(1) Srednicą zbioru nazywamy liczbę:

{ Rysunek AM2.M01.W.R07 (stary numer AM1.3.23)}
(2) Odległością punktu od zbioru nazywamy liczbę:

{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.C.R01 (stary numer AM1.3.24)}
(3) Mówimy, że zbiór jest ograniczony, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists r>0\ \exists x_0\in X:\ A\subseteq K(x_0,r). }

{ Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R17 (stary numer AM1.3.25)}

Przykład

Na płaszczyźnie z metryką euklidesową rozważmy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ =\ \bigg\{ (x,y):\ 2\le x\le 6,\ 1<y\le 5 \bigg\} \cup \big(\{4\}\times [5,9]\big) }

oraz punkt Wyznaczyć średnicę zbioru oraz odległość punktu od zbioru

Rozwiązanie

Przykład

Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną. Jeśli to a jeśli to Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.

Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.

Twierdzenie

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

W iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych można także zadać metrykę (tak zwaną metrykę produktową) na kilka naturalnych sposobów. Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów.

Twierdzenie

(Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych)
Jeśli są przestrzeniami metrycznymi dla jest funkcją zdefiniowaną przez

to jest przestrzenią metryczną.
Wówczas nazywamy metryką produktową lub metryką standardową w iloczynie kartezjańskim

Dowód

Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|) jest analogiczny do dowodu, że jest metryką w (porównaj Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.03.070| i Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.090|).

End of proof.gif
Uwaga

Metryka euklidesowa w jest metryką standardową w Wynika to wprost z definicji obu metryk.

Uwaga

Jeśli jest przestrzenią metryczną oraz to zbiór jest także przestrzenią metryczną z metryką Kule w przestrzeni są równe przecięciom kul z przestrzeni ze zbiorem Metrykę na nazywamy metryką indukowaną. W przyszłości o podzbiorach przestrzeni metrycznej będziemy także mówili "przestrzeń metryczna".

Zwartość

Wprowadzimy teraz ogólniejsze pojęcie zwartości niż to, z którym spotkaliśmy się na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Definicja AM1.Uzupelnic d.new.am1.w.08.200|).

Definicja

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz
(1) Pokryciem otwartym zbioru nazywamy dowolną rodzinę zbiorów otwartych taką, że
{ Rysunek AM2.M01.W.R09 (stary numer AM1.3.27)}
Pokrycie to nazywamy skończonym, jeśli
(2) Mówimy, że jest podpokryciem pokrycia zbioru jeśli jest pokryciem zbioru oraz
(3) Mówimy, że zbiór jest zwarty, jeśli z każdego pokrycia otwartego zbioru można wybrać pokrycie skończone.

Kolejne twierdzenie zbiera pewne informacje dotyczące zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych.

Twierdzenie

W dowolnej przestrzeni metrycznej mamy
(1) Zbiór skończony jest zwarty.
(2) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.
(3) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
(4) Podzbiór domknięty zbioru zwartego jest zwarty.
(5) Część wspólna zbioru zwartego i domkniętego jest zbiorem zwartym.

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
(Ad (1)) Niech będzie zbiorem skończonym w i niech będzie pokryciem otwartym zbioru Z definicji pokrycia mamy w szczególności

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists s_i\in S:\ a_i\in U_{s_i}. }

Zatem Pokazaliśmy zatem, że jest podpokryciem (skończonym) pokrycia zbioru
(Ad (2)) Niech będzie zwartym podzbiorem w Wystarczy pokazać, że jest zbiorem otwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(6)). W tym celu niech Dla dowolnego niech Wówczas oraz
{ Rysunek AM2.M01.W.R10 (stary numer AM1.3.28)}
Rodzina jest pokryciem otwartym zbioru Ponieważ jest zbiorem zwartym, więc możemy z tego pokrycia wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle W \ \stackrel{df}{=}\ K(y_1,r_{y_1})\cup\ldots\cup K(y_k,r_{y_k}) \ \supseteq\ A. }

Niech Wówczas jest kulą o środku w punkcie taką, że czyli jest punktem wewnętrznym zbioru Pokazaliśmy więc, że zbiór jest otwarty, a zatem zbiór jest domknięty.
(Ad (3)) Niech będzie zwartym podzbiorem w Należy pokazać, że zbiór jest ograniczony. Niech będzie dowolnym punktem. Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ \subseteq\ X \ =\ \bigcup_{n=1}^{\infty}K(x_0,n), }

to znaczy rodzina kul jest pokryciem otwartym zbioru Ze zwartości zbioru wynika, iż z tego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:\ A \ \subseteq\ \bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n). }

{ Rysunek AM2.M01.W.R11 (stary numer AM1.3.29)}
Ale ciąg kul jest wstępujący, zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ \subseteq\ \bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n) \ =\ K(x_0,k), }

zatem zbiór jest ograniczony.
(Ad (4)) Niech będzie domkniętym podzbiorem zbioru zwartego Niech będzie dowolnym pokryciem zbioru Ponieważ jest domknięty więc jest zbiorem otwartym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(6)). Niech będzie nowym indeksem oraz zdefiniujmy Niech Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle U_t\cup \bigcup_{s\in S}U_s \ =\ \bigcup_{s\in T}U_s \ =\ X \ \supseteq\ B, }

zatem jest pokryciem zbioru Ponieważ zbiór jest zwarty więc można z niego wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy Oczywiście jest to także pokrycie zbioru Jeśli wśród zbiorów znajduje się zbiór to można go usunąć (gdyż ) i nadal będzie to skończone pokrycie zbioru będące podpokryciem pokrycia Pokazaliśmy zatem, że zbiór jest zwarty.
(5) Niech będzie zbiorem zwartym oraz zbiorem domkniętym. Z (1) wiemy, że jest także domknięty, zatem jest zbiorem domkniętym (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|(9)). Ponieważ jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego więc z (3) wiemy, że jest on zbiorem zwartym, co należało dowieść.

End of proof.gif
Uwaga

(1) Z Twierdzenia Uzupelnic t.new.am2.w.01.190| wynika w szczególności, że dowolny zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Jako przykład weźmy zbiór nieskończony z metryką dyskretną. Cały zbiór jest domknięty (jako uzupełnienie zbioru otwartego ) oraz ograniczony (ponieważ patrz Przykład Uzupelnic p.new.am2.w.01.130|). Ale nie jest to zbiór zwarty, ponieważ z pokrycia otwartego nie można wybrać pokrycia skończonego (zauważmy, że i usunięcie jakiegokolwiek zbioru z rodziny zbiorów otwartych powoduje, że rodzina ta przestaje być pokryciem ).
(2) Okazuje się jednak, że w przestrzeni euklidesowej twierdzenie odwrotne jest prawdziwe. Twierdzenie to bez dowodu poznaliśmy i wykorzystywaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1. Będzie to udowodnione na następnym wykładzie (patrz Twierdzenie Uzupelnic w.new.am2.w.02.280|).

Poniższe twierdzenie daje pełną odpowiedź na pytanie jakie przedziały w są zwarte.

Twierdzenie

Przedział domknięty i ograniczony () jest zbiorem zwartym.

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
Dowód oparty jest na tak zwanych przekrojach Dedekinda.
Niech będzie dowolnym pokryciem przedziału (gdzie ). Skonstruujemy dwa zbiory (tak zwane przekroje Dedekinda), w następujący sposób:
" wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) ; lub
(2) oraz przedział jest pokryty skończoną liczbą zbiorów otwartych z rodziny "
Natomiast:
" wtedy i tylko wtedy, gdy "
Oczywiście (bo przedział jest pokryty przez jeden ze zbiorów pokrycia ).
Zdefiniujmy Oczywiście
Pokażemy, że Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że Z definicji pokrycia wiemy, że

Z definicji zbioru otwartego w metryce euklidesowej w wiemy, że

i

Z kolei z definicji liczby wynika, że

{ Rysunek AM2.M01.W.R12 (stary numer AM1.3.30)}
to znaczy przedział jest pokryty skończoną ilością zbiorów z pokrycia powiedzmy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle [a,w] \ \subseteq\ U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}. }

Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle [a,v] \ \subseteq\ U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k} \cup U_{s_0}, }

czyli ale to jest sprzeczne z definicją Zatem wykazaliśmy, że

Teraz w analogiczny sposób jak wyżej pokazujemy, że skąd wynika teraz naszego twierdzenia.

End of proof.gif

Twierdzenie

Przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte w

Dowód

Aby pokazać, że przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte, wskażemy pokrycia otwarte tych przedziałów, z których nie można wybrać podpokryć skończonych. Niech

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned (a,b) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\ \left.\left(a,b\right.\right] & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\ \left[\left.a,b\right)\right. & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a-1,b-\frac{1}{n}\bigg)\\ (-\infty,b) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b\big),\\ \left.\left(-\infty,b\right.\right] & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b+1\big),\\ (a,+\infty) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a,n\big),\\ \left[\left.a,+\infty\right)\right. & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a-1,n\big)\\ \left(-\infty,+\infty\right) & \subseteq & \bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,n\big). \endaligned}

Uzasadnienie, iż z powyższych pokryć nie można wybrać pokryć skończonych pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

End of proof.gif

Spójność

Ostatnim pojęciem jakie wprowadzimy na tym wykładzie jest spójność zbioru w przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie spójność zbioru oznacza, że składa się on z "jednego kawałka". Jednak aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco bardziej skomplikowanej definicji.

Definicja

Niech będzie przestrzenią metryczną
Zbiór nazywamy spójnym, jeśli nie jest zawarty w sumie dwóch zbiorów otwartych, rozłącznych, z którymi ma niepuste przecięcie, to znaczy nie istnieją dwa zbiory i takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \left\{ \begin{array} {l} A\subseteq U\cup V\\ A\cap U\ne\emptyset,\ A\cap V\ne\emptyset\\ U\cap V=\emptyset\\ U,V\ \textrm{ -- są otwarte } \displaystyle \end{array} \right. }

Przykład

Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny Jeśli dwa zbiory i są otwarte, rozłączne i mają niepuste przecięcie z to nie mogą w sumie zawierać całego (to znaczy ).
{ Rysunek AM2.M01.W.R13 (stary numer AM1.3.31)}
Zbiór na kolejnym rysunku nie jest spójny, gdyż istnieją dwa zbiory i spełniające wszystkie cztery warunki z definicji spójności zbioru.
{ Rysunek AM2.M01.W.R14 (stary numer AM1.3.32)}

Twierdzenie

Jeśli to jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.

Dowód

(Dowód nadobowiązkowy.)
(Szkic)
""
Niech będzie zbiorem spójnym. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest przedziałem, to znaczy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists d\in A^c,\ \exists a,b\in A:\ a<d<b. }

Zdefiniujmy

Wówczas i są zbiorami otwartymi (dlaczego?), i (bo i ), oraz Jest to sprzeczne ze spójnością zbioru

"" (Będziemy korzystali z faktu, że supremum zbioru otwartego w nie jest elementem tego zbioru).
Niech będzie przedziałem. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa niepuste zbiory otwarte i takie, że

oraz

Bez straty ogólności możemy założyć, że
Zdefiniujmy Ponieważ i jest otwarty, więc Gdyby to z faktu, że jest zbiorem otwartym wynikałoby, że nie jest kresem górnym zbioru Zatem
Ponieważ i jest otwarty, więc Gdyby to z faktu, że jest otwarty wynikałoby, że nie jest kresem górnym zbioru Zatem
Pokazaliśmy, że Ale więc doszliśmy do sprzeczności z faktem, że
Pokazaliśmy zatem, że jest zbiorem spójnym.

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie (które podajemy bez dowodu) mówi, że suma dowolnej rodziny zbiorów spójnych jest zbiorem spójnym, pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.

Twierdzenie

Jeśli jest przestrzenią metryczną, jest rodziną podzbiorów spójnych w takich, że to zbiór jest spójny.

{ Rysunek AM2.M01.W.R15 (stary numer AM1.3.33)}