Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
m (Zastępowanie tekstu - "<div class="thumb t(.*)"><div style="width:(.*)px;"> <flashwrap>file=(.*).swf\|size=small<\/flashwrap> <div\.thumbcaption>(.*)<\/div><\/div> <\/div>" na "$2x$2px|thumb|$1|$4")
 
(Nie pokazano 120 wersji utworzonych przez 7 użytkowników)
Linia 2: Linia 2:
  
 
Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej.
 
Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej.
Prezentujemy definicję metryki, przykłady przestrzeni
+
Prezentujemy definicję metryki i przykłady przestrzeni
 
metrycznych.
 
metrycznych.
 
Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i
 
Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i
Linia 22: Linia 22:
 
się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu
 
się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu
 
funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele
 
funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele
różnych rodzajów zbieżności - czyli przejść granicznych -
+
różnych rodzajów zbieżności (czyli przejść granicznych)
potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna a zarazem prosta teoria
+
potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna, a zarazem prosta teoria
 
przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na
 
przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na
 
dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i
 
dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i
 
ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy
 
ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy
się działem teorii przestrzeni metrycznych, przestrzeniami
+
się działem teorii przestrzeni metrycznych - przestrzeniami
 
unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii
 
unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii
 
granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na
 
granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na
 
wektorach.  
 
wektorach.  
  
===Metryka===
+
==Metryka==
  
 
Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości
 
Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości
 
w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math> poznaliśmy na wykładzie
 
w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math> poznaliśmy na wykładzie
z Analizy Matematycznej 1.
+
z [[Analiza matematyczna 1|Analizy matematycznej 1]].
 
Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki.
 
Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki.
 
Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla
 
Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla
 
dowolnego (niepustego) zbioru <math>\displaystyle X</math>
 
dowolnego (niepustego) zbioru <math>\displaystyle X</math>
 
(a nie tylko dla <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>).
 
(a nie tylko dla <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>).
W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości miedzy elementami
+
W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości między elementami
 
dowolnego zbioru <math>\displaystyle X</math>.
 
dowolnego zbioru <math>\displaystyle X</math>.
  
{{definicja|||
+
{{definicja|1.1. [metryka, odległość]||
  
 
Niech
 
Niech
Linia 53: Linia 53:
 
spełniającą następujące warunki:<br>
 
spełniającą następujące warunki:<br>
 
'''(i)'''
 
'''(i)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ d(x,y)=0\ \Longleftrightarrow\ x=y</math>;<br>
+
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X: d(x,y)=0\ \Longleftrightarrow x=y</math>;<br>
 
'''(ii)'''
 
'''(ii)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ d(x,y)=d(y,x)</math>
+
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X: d(x,y)=d(y,x)</math>
(symetria);<br>
+
(warunek symetrii);<br>
 
'''(iii)'''
 
'''(iii)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\
+
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:
 
d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)</math>
 
d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)</math>
 
(warunek trójkąta).<br>
 
(warunek trójkąta).<br>
Linia 75: Linia 75:
 
z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>.
 
z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>.
  
{{definicja|||
+
{{definicja|1.2. [kula, kula domknięta]||
  
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną.
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną.
Linia 83: Linia 83:
 
<center><math>\displaystyle K(x_0,r)
 
<center><math>\displaystyle K(x_0,r)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
\big\{x\in X:\
+
\big\{x\in X:
 
d(x_0,x)<r\big\}.
 
d(x_0,x)<r\big\}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 92: Linia 92:
 
<center><math>\displaystyle \overline{K}(x_0,r)
 
<center><math>\displaystyle \overline{K}(x_0,r)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
\big\{x\in X:\
+
\big\{x\in X:
 
d(x_0,x)\le r\big\}.
 
d(x_0,x)\le r\big\}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 99: Linia 99:
  
 
Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz
 
Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz
opiszemy jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.
+
opiszemy, jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.
  
{{przyklad|||
+
[[File:AM2.M01.W.R01.svg|350x150px|thumb|right|Metryka dyskretna]]
'''(Metryka dyskretna)'''<br>
+
{{przyklad|1.3. [Metryka dyskretna]||
 
Niech <math>\displaystyle X\ne\emptyset</math> będzie dowolnym zbiorem oraz niech
 
Niech <math>\displaystyle X\ne\emptyset</math> będzie dowolnym zbiorem oraz niech
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center>
 +
<math>\displaystyle  
 
d_d(x,y)
 
d_d(x,y)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
1 &  </math> gdy <math>\displaystyle  & x\ne y,\\
+
1 &  \text{gdy} \displaystyle  & x\ne y,\\
0 &  </math> gdy <math>\displaystyle  & x= y.
+
0 &  \text{gdy} \displaystyle  & x= y.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
 
\qquad\forall\  x,y\in X.
 
\qquad\forall\  x,y\in X.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Zauważmy, iż wartość funkcji <math>\displaystyle d</math> dla dwóch dowolnych punktów
 
Zauważmy, iż wartość funkcji <math>\displaystyle d</math> dla dwóch dowolnych punktów
 
wynosi <math>\displaystyle 1,</math> gdy są one różne oraz wynosi <math>\displaystyle 0,</math> gdy jest to ten sam
 
wynosi <math>\displaystyle 1,</math> gdy są one różne oraz wynosi <math>\displaystyle 0,</math> gdy jest to ten sam
 
punkt.<br>
 
punkt.<br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R01 (stary numer AM1.3.2)]]}<br>
+
 
 
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja <math>\displaystyle d</math> jest metryką,
 
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja <math>\displaystyle d</math> jest metryką,
 
zatem
 
zatem
 
para <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_d)</math> jest przestrzenią metryczną.
 
para <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_d)</math> jest przestrzenią metryczną.
 
Metrykę tę będziemy nazywali
 
Metrykę tę będziemy nazywali
'''''metryczną dyskretną'''''.
+
'''''metryczną dyskretną'''''. Faktycznie, z definicji wynika, że dla dowolnych
 
 
Faktycznie z definicji wynika, że dla dowolnych
 
 
<math>\displaystyle x,y\in X</math> mamy
 
<math>\displaystyle x,y\in X</math> mamy
  
<center><math>\displaystyle d(x,y)=0
+
<center>
\ \Longleftrightarrow\
+
<math>\displaystyle d_d(x,y)=0
 +
\ \Longleftrightarrow
 
x=y
 
x=y
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
oraz
 
oraz
  
<center><math>\displaystyle d(x,y)
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle d_d(x,y)
d(y,x).
+
=
</math></center>
+
d_d(y,x).
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy
 
Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy
Linia 146: Linia 150:
 
Rozważymy następujące przypadki.
 
Rozważymy następujące przypadki.
  
Jeśli <math>\displaystyle x=z,</math> to <math>\displaystyle d(x,z)=0</math> zatem
+
1) Jeśli <math>\displaystyle x=z,</math> to <math>\displaystyle d(x,z)=0</math> zatem
 
zawsze zachodzi
 
zawsze zachodzi
<math>\displaystyle d(x,z)=0\le d(x,y)+d(y,z).</math>
+
<math>\displaystyle d_d(x,z)=0\le d_d(x,y)+d_d(y,z).</math>
  
Jeśli <math>\displaystyle x\ne z,</math> to
+
2) Jeśli <math>\displaystyle x\ne z,</math> to
 
<math>\displaystyle x\ne y</math> lub <math>\displaystyle y\ne z.</math>
 
<math>\displaystyle x\ne y</math> lub <math>\displaystyle y\ne z.</math>
 
Wtedy również
 
Wtedy również
<math>\displaystyle d(x,z)=1\le d(x,y)+d(y,z).</math>
+
<math>\displaystyle d_d(x,z)=1\le d_d(x,y)+d_d(y,z).</math>
  
 
Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni
 
Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni
Linia 161: Linia 165:
 
Mamy zatem
 
Mamy zatem
  
<center><math>\displaystyle  
+
<center>
 +
<math>\displaystyle  
 
K(x_0,r)
 
K(x_0,r)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
\emptyset &  </math> gdy <math>\displaystyle  & r=0,\\
+
\emptyset &  \text{gdy} \displaystyle  & r=0,\\
\{x_0\}  &  </math> gdy <math>\displaystyle  & r\in(0,1],\\
+
\{x_0\}  &  \text{gdy} \displaystyle  & r\in(0,1],\\
X        &  </math> gdy <math>\displaystyle  & r>1,
+
X        &  \text{gdy} \displaystyle  & r>1,
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
\qquad
+
</math>
 +
</center><br>
 +
<center>
 +
<math>
 
\overline{K}(x_0,r)
 
\overline{K}(x_0,r)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
\{x_0\}  &  </math> gdy <math>\displaystyle  & r\in[0,1),\\
+
\{x_0\}  &  \text{gdy} \displaystyle  & r\in[0,1),\\
X        &  </math> gdy <math>\displaystyle  & r\ge 1.
+
X        &  \text{gdy} \displaystyle  & r\ge 1.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
Linia 184: Linia 192:
 
Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami
 
Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami
 
i kulami domkniętymi są jedynie:
 
i kulami domkniętymi są jedynie:
<math>\displaystyle \displaystyle\emptyset,</math> zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.
+
<math>\displaystyle \displaystyle\emptyset,</math> zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.}}
}}
+
 
  
 
Przypomnijmy teraz standardowe metryki w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
 
Przypomnijmy teraz standardowe metryki w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
 
Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.
 
Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.
 
+
[[grafika:Euklides.jpg|thumb|right||Euklides (365-300 p.n.e.)<br>[[Biografia Euklides|Zobacz biografię]]]]
{{przyklad|||
+
{{przyklad|1.4. [Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa]||
'''(Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa)'''<br>
 
 
Niech <math>\displaystyle X=\mathbb{R}^N</math> oraz niech
 
Niech <math>\displaystyle X=\mathbb{R}^N</math> oraz niech
  
<center><math>\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\quad
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:quad
 
d_{\infty}(x,y)
 
d_{\infty}(x,y)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|,
 
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|,
\quad
+
</math></center><br>
 +
<center><math>
 
d_1(x,y)
 
d_1(x,y)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
+
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|,
\quad
+
</math>
 +
</center><br>
 +
<center>
 +
<math>
 
d_2(x,y)
 
d_2(x,y)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\sqrt{\sum_{i=1}^N\left(x_i-y_i\right)^2},
 
\sqrt{\sum_{i=1}^N\left(x_i-y_i\right)^2},
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
gdzie <math>\displaystyle x=(x_1,\ldots,x_N)</math> oraz <math>\displaystyle y=(y_1,\ldots,y_N).</math><br>
 
gdzie <math>\displaystyle x=(x_1,\ldots,x_N)</math> oraz <math>\displaystyle y=(y_1,\ldots,y_N).</math><br>
 
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_{\infty})</math> jest przestrzenią metryczną.
 
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_{\infty})</math> jest przestrzenią metryczną.
 
Funkcję <math>\displaystyle d_{\infty}</math> nazywamy
 
Funkcję <math>\displaystyle d_{\infty}</math> nazywamy
'''''metryka maksimową''''' w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br>
+
'''''metryką maksimową''''' w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br>
 
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_1)</math> jest przestrzenią metryczną.
 
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_1)</math> jest przestrzenią metryczną.
 
Funkcję <math>\displaystyle d_1</math> nazywamy
 
Funkcję <math>\displaystyle d_1</math> nazywamy
'''''metryka taksówkową''''' w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br>
+
'''''metryką taksówkową''''' w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br>
 
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_2)</math> jest przestrzenią metryczną.
 
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_2)</math> jest przestrzenią metryczną.
 
Funkcję <math>\displaystyle d_2</math> nazywamy
 
Funkcję <math>\displaystyle d_2</math> nazywamy
Linia 221: Linia 234:
 
'''''przestrzenią metryczną euklidesową'''''.<br>
 
'''''przestrzenią metryczną euklidesową'''''.<br>
 
<br>
 
<br>
Przypomnijmy jak wyglądają kule w tych metrykach.<br>
+
Przypomnijmy, jak wyglądają kule w tych metrykach.<br>}}
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej.<br>
+
 
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R05 (stary numer AM1.3.6)]]}<br>
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R06 (stary numer AM1.3.7)]]}<br>
+
|[[File:AM1.M03.W.R05.svg|375x375px|thumb|center|Kula w metryce maksimowej w <math>\mathbb{R}^2</math>]]
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce taksówkowej.<br>
+
|[[File:AM1.M03.W.R06.svg|375x375px|thumb|center|Kula w metryce maksimowej w <math>\mathbb{R}^3</math>]]
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R09 (stary numer AM1.3.10)]]}<br>
+
|}
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R10 (stary numer AM1.3.11)]]}<br>
+
 
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce euklidesowej.<br>
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R14 (stary numer AM1.3.14)]]}<br>
+
|[[File:AM1.M03.W.R09.svg|375x375px|thumb|center|Kula w metryce taksówkowej w <math>\mathbb{R}^2</math>]]
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R15 (stary numer AM1.3.15)]]}
+
|[[File:AM1.M03.W.R10.svg|375x375px|thumb|center|Kula w metryce taksówkowej w <math>\mathbb{R}^3</math>]]
}}
+
|}
 +
 
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:AM1.M03.W.R14.svg|375x375px|thumb|center|Kula w metryce euklidesowej w <math>\mathbb{R}^2</math>]]
 +
|[[File:AM1.M03.W.R15.svg|375x375px|thumb|center|Kula w metryce euklidesowej w <math>\mathbb{R}^3</math>]]
 +
|}
  
 
Dwa kolejne przykłady podają  mniej typowe metryki
 
Dwa kolejne przykłady podają  mniej typowe metryki
 
na płaszczyźnie <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
 
na płaszczyźnie <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
  
{{przyklad|||
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
'''(Metryka rzeka)'''<br>
+
|[[File:AM2.M01.W.R02.svg|375x375px|thumb|center|Metryka rzeka]]
 +
|[[File:AM2.M01.W.R03.svg|375x375px|thumb|center|Metryka rzeka]]
 +
|}
 +
 
 +
[[File:AM2.M01.W.R05.svg|375x375px|thumb|right|Metryka kolejowa]]
 +
<span id="prz_1_5">{{przyklad|1.5. [Metryka rzeka]||
 
Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest gęstym lasem oraz
 
Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest gęstym lasem oraz
 
pewna prosta <math>\displaystyle l</math> jest rzeką.
 
pewna prosta <math>\displaystyle l</math> jest rzeką.
 
Aby zmierzyć odległość dwóch punktów
 
Aby zmierzyć odległość dwóch punktów
<math>\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^2</math> musimy wyciąć ścieżkę od <math>\displaystyle x</math> do <math>\displaystyle y,</math>
+
<math>\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^2</math>, musimy wyciąć ścieżkę od <math>\displaystyle x</math> do <math>\displaystyle y,</math>
 
przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.
 
przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.
  
Mamy dwa przypadki:<br>
+
Mamy dwa przypadki:<br><br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Jeśli punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> są końcami odcinka prostopadłego do
 
Jeśli punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> są końcami odcinka prostopadłego do
 
rzeki <math>\displaystyle l,</math> to ich odległość jest równa zwykłej odległości
 
rzeki <math>\displaystyle l,</math> to ich odległość jest równa zwykłej odległości
 
euklidesowej na płaszczyźnie.<br>
 
euklidesowej na płaszczyźnie.<br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R02 (stary numer AM1.3.16)]]}<br>
+
 
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
Jeśli zaś punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> nie leżą na prostej prostopadłej do
 
Jeśli zaś punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> nie leżą na prostej prostopadłej do
Linia 259: Linia 282:
 
(euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na
 
(euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na
 
rzece.<br>
 
rzece.<br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R03 (stary numer AM1.3.17)]]}<br>
 
 
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja <math>\displaystyle d</math> jest metryką w
 
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja <math>\displaystyle d</math> jest metryką w
 
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
Nazywamy ją '''''metryką rzeką'''''.<br>
+
Nazywamy ją '''''metryką rzeką'''''.<br>}}</span>
Poniższy rysunek przedstawia kule w naszej metryce.<br>
+
<span id="prz_1_6">{{przyklad|1.6. [Metryka kolejowa]||
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R04 (stary numer AM1.3.18) animacja]]}<br>
 
}}
 
 
 
{{przyklad|||
 
'''(Metryka kolejowa)'''<br>
 
 
Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt
 
Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt
<math>\displaystyle O,</math> węzeł kolejowy od którego odchodzą półproste,
+
<math>\displaystyle O,</math> węzeł kolejowy, od którego odchodzą półproste,
 
szyny, we wszystkich kierunkach.
 
szyny, we wszystkich kierunkach.
Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>
+
Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>,
musimy przebyć drogę między nimi poruszając się po
+
musimy przebyć drogę między nimi, poruszając się po
 
szynach. Rozważmy dwa przypadki:<br>
 
szynach. Rozważmy dwa przypadki:<br>
 
'''(1)''' Jeśli punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> znajdują się na wspólnej
 
'''(1)''' Jeśli punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> znajdują się na wspólnej
 
półprostej wychodzącej z punktu <math>\displaystyle O,</math> to ich odległość jest
 
półprostej wychodzącej z punktu <math>\displaystyle O,</math> to ich odległość jest
zwykła odległością euklidesową.<br>
+
zwykłą odległością euklidesową.<br>
 
'''(2)''' Jeśli zaś punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> nie leżą na wspólnej półprostej
 
'''(2)''' Jeśli zaś punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> nie leżą na wspólnej półprostej
 
wychodzącej z punktu <math>\displaystyle O</math> to ich odległość jest równa sumie
 
wychodzącej z punktu <math>\displaystyle O</math> to ich odległość jest równa sumie
 
odległości euklidesowych od <math>\displaystyle x</math> do <math>\displaystyle O</math>
 
odległości euklidesowych od <math>\displaystyle x</math> do <math>\displaystyle O</math>
 
oraz od <math>\displaystyle O</math> do <math>\displaystyle y.</math><br>
 
oraz od <math>\displaystyle O</math> do <math>\displaystyle y.</math><br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R05 (stary numer AM1.3.19)]]}<br>
 
 
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką,
 
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką,
zwaną '''''metryką kolejową'''''.
+
zwaną '''''metryką kolejową'''''.}}</span><br>
  
A oto jak wyglądają kule w metryce kolejowej.<br>
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R06 (stary numer AM1.3.20)]]}<br>
+
|[[File:AM2.M01.W.R04.mp4|253x253px|thumb|center|]]|[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|AM2.M01.W.R04]]
}}
+
|[[File:AM2.M01.W.R06.mp4|253x253px|thumb|center|]]|[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Kule w metryce kolejowej]]
 +
|}
  
 
Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami
 
Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami
Linia 294: Linia 311:
 
Analizie Matematycznej 1.
 
Analizie Matematycznej 1.
  
{{definicja|||
 
  
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną,
+
 
 +
[[File:AM1.M03.W.R16.svg|200x160px|thumb|right|Zbiór otwarty]]
 +
{{definicja|1.7.|def_1_7|
 +
 
 +
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną, niech
 
<math>\displaystyle x_0\in X</math> oraz <math>\displaystyle A\subseteq X.</math><br>
 
<math>\displaystyle x_0\in X</math> oraz <math>\displaystyle A\subseteq X.</math><br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Zbiór <math>\displaystyle U\subseteq X</math> nazywamy '''''otwartym''''', jeśli
 
Zbiór <math>\displaystyle U\subseteq X</math> nazywamy '''''otwartym''''', jeśli
 +
każdy punkt zbioru <math>\displaystyle U</math> zawiera się w <math>\displaystyle U</math>
 +
wraz z pewną kulą, czyli
  
<center><math>\displaystyle \forall x\in U\ \exists r>0:\
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \forall x\in U\ \exists r>0:
 
K(x,r)\subseteq U.
 
K(x,r)\subseteq U.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R16 (stary numer AM1.3.21)]]}<br>
 
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
Punkt <math>\displaystyle x_0</math> nazywamy
 
Punkt <math>\displaystyle x_0</math> nazywamy
Linia 312: Linia 335:
 
taka, że zawiera się w <math>\displaystyle A.</math>
 
taka, że zawiera się w <math>\displaystyle A.</math>
 
'''''Wnętrzem''''' zbioru <math>\displaystyle A</math> nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych
 
'''''Wnętrzem''''' zbioru <math>\displaystyle A</math> nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych
i oznaczamy <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{int}\, A.</math><br>
+
i oznaczamy go <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{int}\, A.</math><br>
 
'''(3)'''
 
'''(3)'''
 
'''''Domknięciem''''' zbioru <math>\displaystyle A\subseteq X</math> nazywamy zbiór
 
'''''Domknięciem''''' zbioru <math>\displaystyle A\subseteq X</math> nazywamy zbiór
 
wszystkich punktów <math>\displaystyle A</math> oraz wszystkich punktów skupienia zbioru <math>\displaystyle A</math>
 
wszystkich punktów <math>\displaystyle A</math> oraz wszystkich punktów skupienia zbioru <math>\displaystyle A</math>
i oznaczamy <math>\displaystyle \displaystyle\overline{A}.</math><br>
+
i oznaczamy go <math>\displaystyle \displaystyle\overline{A}.</math><br>
 
'''(4)''' '''''Brzegiem''''' zbioru <math>\displaystyle A</math> nazywamy zbiór
 
'''(4)''' '''''Brzegiem''''' zbioru <math>\displaystyle A</math> nazywamy zbiór
 
<math>\displaystyle \displaystyle\partial A:=\overline{A}\setminus \mathrm{int}\, A.</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\partial A:=\overline{A}\setminus \mathrm{int}\, A.</math>
 
}}
 
}}
  
{{przyklad|||
+
<span id="prz_1_8">{{przyklad|1.8.||
  
 
W przestrzeni metrycznej dyskretnej
 
W przestrzeni metrycznej dyskretnej
Linia 327: Linia 350:
 
<math>\displaystyle x</math> zawiera kulę
 
<math>\displaystyle x</math> zawiera kulę
 
<math>\displaystyle K(x,1)=\{x\}.</math>
 
<math>\displaystyle K(x,1)=\{x\}.</math>
}}
+
}}</span>
  
{{przyklad|||
+
{{przyklad|1.9.||
  
W przestrzeni <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> rozważmy zbiór
+
W przestrzeni <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką euklidesową rozważmy zbiór
 
<math>\displaystyle A=\{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2\le 4\}.</math>
 
<math>\displaystyle A=\{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2\le 4\}.</math>
 
Wówczas
 
Wówczas
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \begin{align}
 
\mathrm{int}\, A    &= \{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2<4\},\\
 
\mathrm{int}\, A    &= \{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2<4\},\\
 
\overline{A}    &= \{(x_1,x_2):\ 2\le x_1^2+x_2^2\le 4\},\\
 
\overline{A}    &= \{(x_1,x_2):\ 2\le x_1^2+x_2^2\le 4\},\\
 
\partial A &= \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=2\}\cup \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=4\}.
 
\partial A &= \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=2\}\cup \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=4\}.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math>
 +
</center>
  
 
}}
 
}}
Linia 346: Linia 371:
 
zachodzą następujące własności.
 
zachodzą następujące własności.
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_1_10">{{twierdzenie|1.10. [Zbiory w przestrzeniach metrycznych]||
'''(Zbiory w przestrzeniach metrycznych)'''<br>
 
 
Jeśli
 
Jeśli
 
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną,
 
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną,
Linia 353: Linia 377:
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Każda kula jest zbiorem otwartym w <math>\displaystyle X.</math><br>
 
Każda kula jest zbiorem otwartym w <math>\displaystyle X.</math><br>
'''(4)'''
+
'''(2)'''
 
Zbiór <math>\displaystyle U\subseteq X</math> jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy
 
Zbiór <math>\displaystyle U\subseteq X</math> jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy
 
<math>\displaystyle U^c</math> (dopełnienie zbioru <math>\displaystyle U</math>) jest zbiorem domkniętym.<br>
 
<math>\displaystyle U^c</math> (dopełnienie zbioru <math>\displaystyle U</math>) jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(5)'''
+
'''(3)'''
 
Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.<br>
 
Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(6)'''
+
'''(4)'''
 
Jeśli <math>\displaystyle x_0</math> jest punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A\subseteq X,</math>
 
Jeśli <math>\displaystyle x_0</math> jest punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A\subseteq X,</math>
 
to dowolna kula o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>
 
to dowolna kula o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>
 
(i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele
 
(i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele
 
punktów zbioru <math>\displaystyle A.</math><br>
 
punktów zbioru <math>\displaystyle A.</math><br>
'''(7)''' Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest
+
'''(5)''' Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest
 
zbiorem otwartym.<br>
 
zbiorem otwartym.<br>
'''(8)''' Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny
+
'''(6)''' Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny
 
zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.<br>
 
zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.<br>
'''(9)''' Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny
+
'''(7)''' Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny
 
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.<br>
 
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(10)''' Suma skończonej rodziny
+
'''(8)''' Suma skończonej rodziny
 
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.<br>
 
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(11)''' Dla dowolnego zbioru
+
'''(9)''' Dla dowolnego zbioru
 
<math>\displaystyle A\subseteq X,</math> zbiór <math>\displaystyle \displaystyle\overline{A}</math> (domknięcie zbioru <math>\displaystyle A</math>) jest zbiorem
 
<math>\displaystyle A\subseteq X,</math> zbiór <math>\displaystyle \displaystyle\overline{A}</math> (domknięcie zbioru <math>\displaystyle A</math>) jest zbiorem
 
domkniętym.
 
domkniętym.
}}
+
}}</span>
  
 
Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie
 
Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie
 
z Analizy Matematycznej 1
 
z Analizy Matematycznej 1
(patrz Przykład AM1.[[##p.new.am1.w.03.145|Uzupelnic p.new.am1.w.03.145|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#prz_3_15|Analiza matematyczna 1 przykład 3.15.]]).
  
 
Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są
 
Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są
 
w poniższej definicji.
 
w poniższej definicji.
  
{{definicja|||
+
{{definicja|1.11.||
  
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
'''''Srednicą zbioru''''' <math>\displaystyle A</math> nazywamy liczbę:
 
'''''Srednicą zbioru''''' <math>\displaystyle A</math> nazywamy liczbę:
  
<center><math>\displaystyle \mathrm{diam}\, A
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \mathrm{diam}\, A
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\sup_{x,y\in A}d(x,y);
 
\sup_{x,y\in A}d(x,y);
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R07 (stary numer AM1.3.23)]]}<br>
 
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
 
'''''Odległością punktu''''' <math>\displaystyle x_0</math> od zbioru <math>\displaystyle A</math>
 
'''''Odległością punktu''''' <math>\displaystyle x_0</math> od zbioru <math>\displaystyle A</math>
 
nazywamy liczbę:
 
nazywamy liczbę:
  
<center><math>\displaystyle \mathrm{dist}\,(x_0,A)
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \mathrm{dist}\,(x_0,A)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\inf_{x\in A}d(x_0,x).
 
\inf_{x\in A}d(x_0,x).
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
 +
 
  
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.C.R01 (stary numer AM1.3.24)]]}<br>
 
 
'''(3)'''
 
'''(3)'''
 
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A\subseteq X</math> jest
 
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A\subseteq X</math> jest
Linia 409: Linia 436:
 
to znaczy
 
to znaczy
  
<center><math>\displaystyle \exists r>0\ \exists x_0\in X:\
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \exists r>0\ \exists x_0\in X:
 
A\subseteq K(x_0,r).
 
A\subseteq K(x_0,r).
</math></center>
+
</math>
 +
</center>}}
  
{ [[Rysunek Powtórzyć rysunek AM1.M03.W.R17 (stary numer AM1.3.25)]]}<br>
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
}}
+
|[[File:AM1.M03.C.R01.mp4|253x253px|thumb|center|]]|[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Odległość punktu od zbioru]]
 +
|[[File:AM2.M01.W.R07.mp4|253x253px|thumb|center|]]|[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Średnica zbioru]]
 +
|[[File:AM1.M03.W.R17.svg|253x[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Zbiór ograniczony]]
 +
|}
  
{{przyklad|||
+
[[File:AM2.M01.W.R08.svg|375x375px|thumb|right|Średnica zbioru i odległość punktu od zbioru]]
 +
{{przyklad|1.12.||
  
 
Na płaszczyźnie <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką euklidesową
 
Na płaszczyźnie <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką euklidesową
 
rozważmy zbiór
 
rozważmy zbiór
  
<center><math>\displaystyle A
+
<center>
\ =\
+
<math>\displaystyle A
 +
=
 
\bigg\{
 
\bigg\{
 
(x,y):\ 2\le x\le 6,\ 1<y\le 5
 
(x,y):\ 2\le x\le 6,\ 1<y\le 5
Linia 428: Linia 462:
 
\cup
 
\cup
 
\big(\{4\}\times [5,9]\big)
 
\big(\{4\}\times [5,9]\big)
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
oraz punkt <math>\displaystyle z=(8,8).</math>
 
oraz punkt <math>\displaystyle z=(8,8).</math>
 
Wyznaczyć średnicę zbioru <math>\displaystyle A</math> oraz odległość punktu
 
Wyznaczyć średnicę zbioru <math>\displaystyle A</math> oraz odległość punktu
 
<math>\displaystyle z</math> od zbioru <math>\displaystyle A.</math>
 
<math>\displaystyle z</math> od zbioru <math>\displaystyle A.</math>
}}
 
  
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
 
 
Z poniższego rysunku widzimy, że
 
Z poniższego rysunku widzimy, że
 
<math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, A=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, A=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}</math>
oraz <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{dist}\,(z,A)=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.</math><br>
+
oraz <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{dist}\,(z,A)=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.</math><br>}}
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R08 (stary numer AM1.3.26)]]}
 
{}<math>\displaystyle \Box</math></div></div>
 
  
{{przyklad|||
+
<span id="prz_1_13">{{przyklad|1.13.||
  
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_d)</math> będzie przestrzenią metryczną dyskretną.
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_d)</math> będzie przestrzenią metryczną dyskretną.
Linia 449: Linia 480:
 
<math>\displaystyle \displaystyle\#X\ge 2,</math> to  <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=1.</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\#X\ge 2,</math> to  <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=1.</math>
 
Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.
 
Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.
}}
+
}}</span>
  
 
Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między
 
Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między
 
ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.
 
ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.
  
{{twierdzenie|||
+
{{twierdzenie|1.14.||
  
 
Jeśli
 
Jeśli
Linia 470: Linia 501:
 
sposobów.
 
sposobów.
 
Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów.
 
Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów.
 
+
[[grafika:Kartezjusz.jpg|thumb|right||Kartezjusz (1596-1650)<br>[[Biografia Kartezjusz|Zobacz biografię]]]]
{{twierdzenie|||
+
{{twierdzenie|1.15. [Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych]|tw_1_15|
'''(Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych)'''<br>
 
 
Jeśli
 
Jeśli
 
<math>\displaystyle \displaystyle (X_i,d_i)</math> są przestrzeniami metrycznymi dla
 
<math>\displaystyle \displaystyle (X_i,d_i)</math> są przestrzeniami metrycznymi dla
Linia 478: Linia 508:
 
przez
 
przez
  
<center><math>\displaystyle d(x,y)
+
<center>
 +
<math>\displaystyle d(x,y)
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\sqrt{\sum_{i=1}^{k}d_i(x_i,y_i)^2}
 
\sqrt{\sum_{i=1}^{k}d_i(x_i,y_i)^2}
\qquad\forall\  x,y\in X
+
\qquad\forall\  x,y\in X,
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
to
 
to
Linia 492: Linia 524:
 
}}
 
}}
  
{{dowod|||
+
{{dowod|1.15.||
  
 
Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego
 
Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego
(patrz Lemat AM1.[[##l.new.am1.w.03.080|Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|]])
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#lemat_3_8|Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.]])
 
jest analogiczny do dowodu, że <math>\displaystyle d_2</math> jest
 
jest analogiczny do dowodu, że <math>\displaystyle d_2</math> jest
 
metryką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math>
 
metryką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math>
(porównaj Przykład AM1.[[##p.new.am1.w.03.070|Uzupelnic p.new.am1.w.03.070|]]
+
(porównaj [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#prz_3_7|Analiza matematyczna 1 przykład 3.7.]]
i Lemat AM1.[[##l.new.am1.w.03.090|Uzupelnic l.new.am1.w.03.090|]]).
+
i [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#lm_3_9|lemat 3.9.]]).
 
}}
 
}}
  
{{uwaga|||
+
{{uwaga|1.16.||
  
 
Metryka euklidesowa w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> jest metryką standardową w
 
Metryka euklidesowa w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> jest metryką standardową w
Linia 509: Linia 541:
 
}}
 
}}
  
{{uwaga|||
+
{{uwaga|1.17.||
  
 
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną oraz
 
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną oraz
Linia 522: Linia 554:
 
}}
 
}}
  
===Zwartość===
+
==Zwartość==
  
 
Wprowadzimy teraz ogólniejsze pojęcie zwartości
 
Wprowadzimy teraz ogólniejsze pojęcie zwartości
 
niż to, z którym spotkaliśmy się na wykładzie z Analizy
 
niż to, z którym spotkaliśmy się na wykładzie z Analizy
 
Matematycznej 1
 
Matematycznej 1
(patrz Definicja AM1.[[##d.new.am1.w.08.200|Uzupelnic d.new.am1.w.08.200|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji#def_8_21|Analiza matematyczna 1 definicja 8.21.]]).
  
{{definicja|||
+
[[File:AM2.M01.W.R09.mp4|253x253px|thumb|right|Pokrycie zbioru]]
 +
{{definicja|1.18.||
  
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną oraz
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną oraz
<math>\displaystyle A\subseteq X.</math><br>
+
<math>\displaystyle A\subseteq X:</math><br>
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
'''''Pokryciem otwartym'''''
 
'''''Pokryciem otwartym'''''
Linia 539: Linia 572:
 
zbiorów otwartych taką, że
 
zbiorów otwartych taką, że
 
<math>\displaystyle \displaystyle \bigcup_{s\in S}U_s\supseteq A.</math><br>
 
<math>\displaystyle \displaystyle \bigcup_{s\in S}U_s\supseteq A.</math><br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R09 (stary numer AM1.3.27)]]}<br>
 
 
Pokrycie to nazywamy '''''skończonym''''',
 
Pokrycie to nazywamy '''''skończonym''''',
 
jeśli
 
jeśli
Linia 558: Linia 590:
 
zwartych w przestrzeniach metrycznych.
 
zwartych w przestrzeniach metrycznych.
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_1_19">{{twierdzenie|1.19.||
  
 
W dowolnej przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle X</math> mamy<br>
 
W dowolnej przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle X</math> mamy<br>
Linia 572: Linia 604:
 
Część wspólna zbioru zwartego i domkniętego jest zbiorem
 
Część wspólna zbioru zwartego i domkniętego jest zbiorem
 
zwartym.
 
zwartym.
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|||
+
{{dowod|1.19. [nadobowiązkowy]||
(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
 
 
'''(Ad (1))'''
 
'''(Ad (1))'''
 
Niech <math>\displaystyle A=\{a_1,\ldots,a_k\}</math> będzie zbiorem skończonym w <math>\displaystyle X</math>
 
Niech <math>\displaystyle A=\{a_1,\ldots,a_k\}</math> będzie zbiorem skończonym w <math>\displaystyle X</math>
Linia 581: Linia 612:
 
zbioru <math>\displaystyle A.</math> Z definicji pokrycia mamy w szczególności
 
zbioru <math>\displaystyle A.</math> Z definicji pokrycia mamy w szczególności
  
<center><math>\displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists s_i\in S:\
+
<center><math>\displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists s_i\in S:
 
a_i\in U_{s_i}.
 
a_i\in U_{s_i}.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 593: Linia 624:
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zwartym podzbiorem  w <math>\displaystyle X.</math>
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zwartym podzbiorem  w <math>\displaystyle X.</math>
 
Wystarczy pokazać, że <math>\displaystyle A^c</math> jest zbiorem otwartym
 
Wystarczy pokazać, że <math>\displaystyle A^c</math> jest zbiorem otwartym
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am2.w.01.100|Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|]](6)).
+
(patrz [[#tw_1_10|twierdzenie 1.10.]] (6)).
 
W tym celu niech <math>\displaystyle x\in A^c.</math>
 
W tym celu niech <math>\displaystyle x\in A^c.</math>
 
Dla dowolnego <math>\displaystyle y\in A</math> niech
 
Dla dowolnego <math>\displaystyle y\in A</math> niech
Linia 599: Linia 630:
 
Wówczas <math>\displaystyle x\not\in K(y,r_y)</math> oraz
 
Wówczas <math>\displaystyle x\not\in K(y,r_y)</math> oraz
 
<math>\displaystyle K(y,r_y)\cap K(x,r_y)=\emptyset.</math><br>
 
<math>\displaystyle K(y,r_y)\cap K(x,r_y)=\emptyset.</math><br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R10 (stary numer AM1.3.28)]]}<br>
 
 
Rodzina <math>\displaystyle \displaystyle\{K(y,r_y)\}_{y\in A}</math> jest pokryciem otwartym zbioru
 
Rodzina <math>\displaystyle \displaystyle\{K(y,r_y)\}_{y\in A}</math> jest pokryciem otwartym zbioru
 
<math>\displaystyle A.</math>
 
<math>\displaystyle A.</math>
Linia 611: Linia 641:
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
\ \stackrel{df}{=}\  
 
K(y_1,r_{y_1})\cup\ldots\cup K(y_k,r_{y_k})
 
K(y_1,r_{y_1})\cup\ldots\cup K(y_k,r_{y_k})
\ \supseteq\
+
\ \supseteq
 
A.
 
A.
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 628: Linia 658:
  
 
<center><math>\displaystyle A
 
<center><math>\displaystyle A
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
X
 
X
\ =\
+
=
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}K(x_0,n),
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}K(x_0,n),
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 636: Linia 666:
 
to znaczy rodzina kul
 
to znaczy rodzina kul
 
<math>\displaystyle \displaystyle\{K(x_n,n)\}_{n\in\mathbb{N}}</math> jest pokryciem otwartym zbioru <math>\displaystyle A.</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\{K(x_n,n)\}_{n\in\mathbb{N}}</math> jest pokryciem otwartym zbioru <math>\displaystyle A.</math>
Ze zwartości zbioru <math>\displaystyle A</math> wynika, iż z tego pokrycia można wybrać
+
Z zwartości zbioru <math>\displaystyle A</math> wynika, iż z tego pokrycia można wybrać
 
podpokrycie skończone, to znaczy
 
podpokrycie skończone, to znaczy
  
<center><math>\displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:\
+
<center><math>\displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:
 
A
 
A
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
\bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n).
 
\bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n).
 
</math></center>
 
</math></center>
 
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R11 (stary numer AM1.3.29)]]}<br>
 
 
Ale ciąg kul <math>\displaystyle \displaystyle\{K(x_0,n)\}_{n\in\mathbb{N}}</math>
 
Ale ciąg kul <math>\displaystyle \displaystyle\{K(x_0,n)\}_{n\in\mathbb{N}}</math>
jest wstępujący, zatem
+
jest wstępujący, a więc
  
 
<center><math>\displaystyle A
 
<center><math>\displaystyle A
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
\bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n)
 
\bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n)
\ =\
+
=
 
K(x_0,k),
 
K(x_0,k),
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 660: Linia 688:
 
zwartego <math>\displaystyle B.</math>
 
zwartego <math>\displaystyle B.</math>
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> będzie dowolnym pokryciem zbioru <math>\displaystyle A.</math>
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> będzie dowolnym pokryciem zbioru <math>\displaystyle A.</math>
Ponieważ <math>\displaystyle A</math> jest domknięty więc <math>\displaystyle A^c=X\setminus A</math>
+
Ponieważ <math>\displaystyle A</math> jest domknięty, więc <math>\displaystyle A^c=X\setminus A</math>
 
jest zbiorem otwartym
 
jest zbiorem otwartym
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am2.w.01.100|Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|]](6)).
+
(patrz [[#tw_1_10|twierdzenie 1.10.]] (6)).
 
Niech <math>\displaystyle t\not\in S,</math> będzie nowym indeksem
 
Niech <math>\displaystyle t\not\in S,</math> będzie nowym indeksem
 
oraz zdefiniujmy <math>\displaystyle U_t=A^c.</math>
 
oraz zdefiniujmy <math>\displaystyle U_t=A^c.</math>
Linia 670: Linia 698:
 
<center><math>\displaystyle U_t\cup
 
<center><math>\displaystyle U_t\cup
 
\bigcup_{s\in S}U_s
 
\bigcup_{s\in S}U_s
\ =\
+
=
 
\bigcup_{s\in T}U_s
 
\bigcup_{s\in T}U_s
\ =\
+
=
 
X
 
X
\ \supseteq\
+
\ \supseteq
 
B,
 
B,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
zatem <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in T}</math> jest pokryciem zbioru <math>\displaystyle B.</math>
 
zatem <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in T}</math> jest pokryciem zbioru <math>\displaystyle B.</math>
Ponieważ zbiór <math>\displaystyle B</math> jest zwarty więc można z niego wybrać
+
Ponieważ zbiór <math>\displaystyle B</math> jest zwarty, więc można z niego wybrać
 
podpokrycie skończone, powiedzmy
 
podpokrycie skończone, powiedzmy
 
<math>\displaystyle U_{s_1},\ldots, U_{s_k}.</math>
 
<math>\displaystyle U_{s_1},\ldots, U_{s_k}.</math>
Linia 693: Linia 721:
 
Z (1) wiemy, że <math>\displaystyle A</math> jest także domknięty,
 
Z (1) wiemy, że <math>\displaystyle A</math> jest także domknięty,
 
zatem <math>\displaystyle A\cap B</math> jest zbiorem domkniętym
 
zatem <math>\displaystyle A\cap B</math> jest zbiorem domkniętym
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am2.w.01.100|Uzupelnic t.new.am2.w.01.100|]](9)).
+
(patrz [[#tw_1_10|twierdzenie 1.10.]] (9)).
 
Ponieważ <math>\displaystyle A\cap B</math> jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego
 
Ponieważ <math>\displaystyle A\cap B</math> jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego
 
<math>\displaystyle A,</math> więc z (3) wiemy, że jest on zbiorem zwartym,
 
<math>\displaystyle A,</math> więc z (3) wiemy, że jest on zbiorem zwartym,
 
co należało dowieść.
 
co należało dowieść.
 
}}
 
}}
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:AM2.M01.W.R10.mp4|253x253px|thumb|center|]]|[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Rysunek do dowodu twierdzenia 1.19]]
 +
|[[File:AM2.M01.W.R11.mp4|253x253px|thumb|center|]]|[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Rysunek do dowodu twierdzenia 1.19]]
 +
|}
  
{{uwaga|||
+
{{uwaga|1.20.||
  
'''(1)''' Z Twierdzenia [[##t.new.am2.w.01.190|Uzupelnic t.new.am2.w.01.190|]] wynika w szczególności, że dowolny
+
'''(1)''' Z [[#tw_1_19|twierdzenia 1.19.]] wynika w szczególności, że dowolny
 
zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i
 
zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i
 
ograniczony.
 
ograniczony.
Linia 710: Linia 742:
 
Cały zbiór <math>\displaystyle X</math> jest domknięty
 
Cały zbiór <math>\displaystyle X</math> jest domknięty
 
(jako uzupełnienie zbioru otwartego <math>\displaystyle \displaystyle\emptyset</math>) oraz
 
(jako uzupełnienie zbioru otwartego <math>\displaystyle \displaystyle\emptyset</math>) oraz
ograniczony (ponieważ <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=1</math> patrz Przykład [[##p.new.am2.w.01.130|Uzupelnic p.new.am2.w.01.130|]]).
+
ograniczony (ponieważ <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=1;</math> patrz [[#prz_1_13|przykład 1.13.]]).
 
Ale nie jest to zbiór zwarty, ponieważ z pokrycia otwartego
 
Ale nie jest to zbiór zwarty, ponieważ z pokrycia otwartego
 
<math>\displaystyle \displaystyle\bigcup\limits_{x\in X}K\big(x,\frac{1}{2}\big)\supseteq X</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\bigcup\limits_{x\in X}K\big(x,\frac{1}{2}\big)\supseteq X</math>
Linia 723: Linia 755:
 
przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> twierdzenie odwrotne jest
 
przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> twierdzenie odwrotne jest
 
prawdziwe. Twierdzenie to bez dowodu poznaliśmy i
 
prawdziwe. Twierdzenie to bez dowodu poznaliśmy i
wykorzystywaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.
+
wykorzystywaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1,
Będzie to udowodnione na następnym wykładzie
+
udowodnimy go na następnym wykładzie
(patrz Twierdzenie [[##w.new.am2.w.02.280|Uzupelnic w.new.am2.w.02.280|]]).
+
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych#wn_2_26|wniosek 2.26.]]).
 
}}
 
}}
  
Poniższe twierdzenie daje pełną odpowiedź na pytanie jakie
+
Poniższe twierdzenie daje pełną odpowiedź na pytanie, jakie
 
przedziały w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> są zwarte.
 
przedziały w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> są zwarte.
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="tw_1_21">{{twierdzenie|1.21.||
  
 
Przedział domknięty i ograniczony <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math>
 
Przedział domknięty i ograniczony <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math>
 
(<math>\displaystyle -\infty<a<b<\infty</math>) jest zbiorem zwartym.
 
(<math>\displaystyle -\infty<a<b<\infty</math>) jest zbiorem zwartym.
}}
+
}}</span>
 
+
[[File:AM2.M01.W.R12.svg|375x115px|thumb|right|Rysunek do dowodu twierdzenia 1.21]]
{{dowod|||
+
{{dowod|1.21. [nadobowiązkowy]||
(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
 
 
Dowód oparty jest na tak zwanych przekrojach Dedekinda.<br>
 
Dowód oparty jest na tak zwanych przekrojach Dedekinda.<br>
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> będzie dowolnym pokryciem
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> będzie dowolnym pokryciem
 
przedziału <math>\displaystyle P=[a,b]</math> (gdzie <math>\displaystyle a<b</math>).
 
przedziału <math>\displaystyle P=[a,b]</math> (gdzie <math>\displaystyle a<b</math>).
 
Skonstruujemy dwa zbiory <math>\displaystyle D_1,D_2\subseteq \mathbb{R}</math>
 
Skonstruujemy dwa zbiory <math>\displaystyle D_1,D_2\subseteq \mathbb{R}</math>
(tak zwane przekroje Dedekinda),
+
(tak zwane przekroje Dedekinda)
 
w następujący sposób:<br>
 
w następujący sposób:<br>
"<math>\displaystyle x\in D_1</math> wtedy i tylko wtedy, gdy<br>
+
"<math>\displaystyle x\in D_1</math>, wtedy i tylko wtedy, gdy<br>
(1) <math>\displaystyle x<a</math>; lub<br>
+
(1) <math>\displaystyle x<a</math>  
 +
lub<br>
 
(2) <math>\displaystyle a\le x<b</math> oraz przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,x]</math> jest pokryty skończoną
 
(2) <math>\displaystyle a\le x<b</math> oraz przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,x]</math> jest pokryty skończoną
 
liczbą zbiorów otwartych z rodziny <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}.</math>"<br>
 
liczbą zbiorów otwartych z rodziny <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}.</math>"<br>
 
Natomiast:<br>
 
Natomiast:<br>
"<math>\displaystyle x\in D_2</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle x\not\in D_1.</math>"<br>
+
"<math>\displaystyle x\in D_2</math>, wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle x\not\in D_1.</math>"<br>
 
Oczywiście <math>\displaystyle a\in D_1</math>
 
Oczywiście <math>\displaystyle a\in D_1</math>
 
(bo przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,a]=\{a\}</math> jest pokryty przez
 
(bo przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,a]=\{a\}</math> jest pokryty przez
Linia 762: Linia 794:
 
Z definicji pokrycia wiemy, że
 
Z definicji pokrycia wiemy, że
  
<center><math>\displaystyle \exists s_0\in S:\ z\in U_{s_0}.
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle \exists s_0\in S:\ z\in U_{s_0}.
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Z definicji zbioru otwartego w
 
Z definicji zbioru otwartego w
 
metryce euklidesowej w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> wiemy, że
 
metryce euklidesowej w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> wiemy, że
  
<center><math>\displaystyle \exists u,v:\ u<z<v
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \exists u,v:\ u<z<v
 
\  </math> i <math>\displaystyle  \ [u,v]\subseteq U_{s_0}.
 
\  </math> i <math>\displaystyle  \ [u,v]\subseteq U_{s_0}.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Z kolei z definicji liczby <math>\displaystyle z</math> wynika, że
 
Z kolei z definicji liczby <math>\displaystyle z</math> wynika, że
  
<center><math>\displaystyle \exists w\in(u,z):\ w\in D_1,
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle \exists w\in(u,z):\ w\in D_1,
 +
</math>
 +
</center>
  
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R12 (stary numer AM1.3.30)]]}<br>
 
 
to znaczy przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,w]</math> jest pokryty skończoną ilością zbiorów z
 
to znaczy przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,w]</math> jest pokryty skończoną ilością zbiorów z
 
pokrycia <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S},</math>
 
pokrycia <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S},</math>
 
powiedzmy
 
powiedzmy
  
<center><math>\displaystyle [a,w]
+
<center>
\ \subseteq\
+
<math>\displaystyle [a,w]
 +
\ \subseteq
 
U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}.
 
U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Wówczas
 
Wówczas
  
 
<center><math>\displaystyle [a,v]
 
<center><math>\displaystyle [a,v]
\ \subseteq\
+
\ \subseteq
 
U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}
 
U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}
 
\cup U_{s_0},
 
\cup U_{s_0},
Linia 800: Linia 839:
  
 
Teraz w analogiczny sposób jak wyżej pokazujemy, że <math>\displaystyle z\in D_1,</math>
 
Teraz w analogiczny sposób jak wyżej pokazujemy, że <math>\displaystyle z\in D_1,</math>
skąd wynika teraz naszego twierdzenia.
+
skąd wynika teza naszego twierdzenia.
 
}}
 
}}
  
{{twierdzenie|||
+
<span id="1_22">{{twierdzenie|1.22.|tw_1_22|
  
 
Przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte w
 
Przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte w
 
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.</math>
 
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.</math>
}}
+
}}</span>
  
{{dowod|||
+
{{dowod|1.22.||
  
 
Aby pokazać, że przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są
 
Aby pokazać, że przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są
Linia 816: Linia 855:
 
Niech <math>\displaystyle a<b.</math>
 
Niech <math>\displaystyle a<b.</math>
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\begin{array}{rll}\displaystyle  
 
(a,b)
 
(a,b)
& \subseteq &
+
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\
 
\left.\left(a,b\right.\right]
 
\left.\left(a,b\right.\right]
& \subseteq &
+
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\
 
\left[\left.a,b\right)\right.
 
\left[\left.a,b\right)\right.
& \subseteq &
+
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a-1,b-\frac{1}{n}\bigg)\\
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a-1,b-\frac{1}{n}\bigg)\\
 
(-\infty,b)
 
(-\infty,b)
& \subseteq &
+
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b\big),\\
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b\big),\\
 
\left.\left(-\infty,b\right.\right]
 
\left.\left(-\infty,b\right.\right]
& \subseteq  &
+
&\displaystyle  \subseteq  &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b+1\big),\\
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b+1\big),\\
 
(a,+\infty)
 
(a,+\infty)
& \subseteq &
+
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a,n\big),\\
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a,n\big),\\
 
\left[\left.a,+\infty\right)\right.
 
\left[\left.a,+\infty\right)\right.
& \subseteq &
+
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a-1,n\big)\\
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a-1,n\big)\\
 
\left(-\infty,+\infty\right)
 
\left(-\infty,+\infty\right)
& \subseteq &
+
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,n\big).
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,n\big).
\endaligned</math></center>
+
\end{array}</math></center>
  
 
Uzasadnienie, iż z powyższych pokryć nie można wybrać pokryć
 
Uzasadnienie, iż z powyższych pokryć nie można wybrać pokryć
skończonych pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
+
skończonych, pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
 
}}
 
}}
  
===Spójność===
+
==Spójność==
  
Ostatnim pojęciem jakie wprowadzimy na tym wykładzie jest
+
Ostatnim pojęciem, jakie wprowadzimy na tym wykładzie, jest
 
spójność zbioru w przestrzeni metrycznej.
 
spójność zbioru w przestrzeni metrycznej.
 
Intuicyjnie spójność zbioru <math>\displaystyle A</math> oznacza, że składa się on
 
Intuicyjnie spójność zbioru <math>\displaystyle A</math> oznacza, że składa się on
 
z "jednego kawałka".
 
z "jednego kawałka".
Jednak aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco
+
Jednak, aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco
 
bardziej skomplikowanej definicji.
 
bardziej skomplikowanej definicji.
  
{{definicja|||
+
{{definicja|1.23. [zbiór spójny]||
  
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną
Linia 871: Linia 910:
 
A\cap U\ne\emptyset,\ A\cap V\ne\emptyset\\
 
A\cap U\ne\emptyset,\ A\cap V\ne\emptyset\\
 
U\cap V=\emptyset\\
 
U\cap V=\emptyset\\
U,V\  </math> -- sąotwarte <math>\displaystyle   
+
U,V\  \text{ - są otwarte. } \displaystyle   
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
Linia 878: Linia 917:
 
}}
 
}}
  
{{przyklad|||
+
{{przyklad|1.24.||
  
 
Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny <math>\displaystyle A.</math>
 
Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny <math>\displaystyle A.</math>
 
Jeśli dwa zbiory <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> są otwarte, rozłączne i mają niepuste
 
Jeśli dwa zbiory <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> są otwarte, rozłączne i mają niepuste
 
przecięcie z <math>\displaystyle A,</math> to nie mogą w sumie zawierać całego <math>\displaystyle A</math>
 
przecięcie z <math>\displaystyle A,</math> to nie mogą w sumie zawierać całego <math>\displaystyle A</math>
(to znaczy <math>\displaystyle \displaystyle\exists x\in A:\ x\not\in U\cap V</math>).<br>
+
(to znaczy <math>\displaystyle \displaystyle\exists x\in A:\ x\not\in U\cup V</math>).<br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R13 (stary numer AM1.3.31)]]}<br>
 
 
Zbiór <math>\displaystyle B</math> na kolejnym rysunku nie jest spójny,
 
Zbiór <math>\displaystyle B</math> na kolejnym rysunku nie jest spójny,
 
gdyż istnieją dwa zbiory <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> spełniające wszystkie cztery
 
gdyż istnieją dwa zbiory <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> spełniające wszystkie cztery
 
warunki z definicji spójności zbioru.<br>
 
warunki z definicji spójności zbioru.<br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R14 (stary numer AM1.3.32)]]}<br>
 
 
}}
 
}}
 
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
{{twierdzenie|||
+
|[[File:AM2.M01.W.R13.mp4|253x253px|thumb|center|]]|253x[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Zbiór spójny]]
 +
|[[File:AM2.M01.W.R14.mp4|253x253px|thumb|center|]]|253x[[File:.mp4|253x253px|thumb|center|Zbiór który nie jest spójny]]
 +
|}
 +
{{twierdzenie|1.25.|tw_1_25|
  
 
Jeśli
 
Jeśli
<math>\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}</math>
+
<math>\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}</math>,
 
to
 
to
 
<math>\displaystyle A</math> jest zbiorem spójnym
 
<math>\displaystyle A</math> jest zbiorem spójnym
Linia 901: Linia 941:
 
}}
 
}}
  
{{dowod|||
+
[[File:AM2.M01.W.R15.svg|375x375px|thumb|right|Suma zbiorów spójnych o niepustym przecięciu]]
(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
+
{{dowod|1.25. [nadobowiązkowy]||
'''(Szkic)'''<br>
+
[Szkic]
 +
 
 
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>"<br>
 
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>"<br>
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zbiorem spójnym.
 
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zbiorem spójnym.
Linia 909: Linia 950:
 
to znaczy
 
to znaczy
  
<center><math>\displaystyle \exists d\in A^c,\ \exists a,b\in A:\
+
<center>
 +
<math>\displaystyle \exists d\in A^c,\ \exists a,b\in A:
 
a<d<b.
 
a<d<b.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Zdefiniujmy
 
Zdefiniujmy
  
<center><math>\displaystyle U\ \stackrel{df}{=}\  (-\infty,d),\quad
+
<center>
 +
<math>\displaystyle U\ \stackrel{df}{=}\  (-\infty,d),\quad
 
V\ \stackrel{df}{=}\  (d,+\infty).
 
V\ \stackrel{df}{=}\  (d,+\infty).
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
Wówczas <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> są zbiorami otwartymi (dlaczego?),
 
Wówczas <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> są zbiorami otwartymi (dlaczego?),
Linia 933: Linia 978:
 
takie, że
 
takie, że
  
<center><math>\displaystyle U\cap V=\emptyset,\quad
+
<center>
 +
<math>\displaystyle U\cap V=\emptyset,\quad
 
A\subseteq U\cup V.
 
A\subseteq U\cup V.
</math></center>
+
</math>
 +
</center>
  
 
oraz
 
oraz
  
<center><math>\displaystyle \exists a,b\in A:\ a\in U,\  b\in V.
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle \exists a,b\in A:\ a\in U,\  b\in V.
 +
</math>
 +
</center>
  
 
Bez straty ogólności możemy założyć, że
 
Bez straty ogólności możemy założyć, że
Linia 965: Linia 1014:
 
pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.
 
pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.
  
{{twierdzenie|||
+
{{twierdzenie|1.26.|tw_1_25|
  
 
Jeśli
 
Jeśli
Linia 977: Linia 1026:
 
jest spójny.
 
jest spójny.
 
}}
 
}}
 
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R15 (stary numer AM1.3.33)]]}
 

Aktualna wersja na dzień 13:39, 3 paź 2021

Przestrzenie metryczne

Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej. Prezentujemy definicję metryki i przykłady przestrzeni metrycznych. Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i średnicę zbioru. Następnie wprowadzamy pojęcia zwartości i spójności w przestrzeniach metrycznych. Dowodzimy, że przedział domknięty i ograniczony jest zbiorem zwartym w oraz charakteryzujemy zbiory spójne w

Jedną z najistotniejszych idei matematyki jest idea aproksymacji. Z aproksymacją mamy do czynienia wtedy, gdy pewien obiekt (liczbę, funkcję, zbiór) przedstawiamy jako granicę (w odpowiednim sensie) ciągu obiektów . Możemy wtedy wnioskować o własnościach "mniej znanego" obiektu z własności "bardziej znanych" obiektów . Każdy z nas zetknął się z aproksymacją, chociażby w stwierdzeniu " wynosi mniej więcej " (tu przybliżamy liczbę niewymierną ciągiem liczb wymiernych). Na wykładzie poświęconym ciągom funkcyjnym dowiemy się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele różnych rodzajów zbieżności (czyli przejść granicznych) potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna, a zarazem prosta teoria przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy się działem teorii przestrzeni metrycznych - przestrzeniami unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na wektorach.

Metryka

Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości w poznaliśmy na wykładzie z Analizy matematycznej 1. Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki. Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla dowolnego (niepustego) zbioru (a nie tylko dla ). W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości między elementami dowolnego zbioru .

Definicja 1.1. [metryka, odległość]

Niech będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze nazywamy dowolną funkcję spełniającą następujące warunki:
(i) ;
(ii) (warunek symetrii);
(iii) (warunek trójkąta).
Parę nazywamy przestrzenią metryczną.
Dla dowolnych liczbę nazywamy odległością punktów i oraz mówimy, że punkty i oddalone od siebie o

Definicja kuli w dowolnej przestrzeni metrycznej jest analogiczna do poznanej na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w .

Definicja 1.2. [kula, kula domknięta]

Niech będzie przestrzenią metryczną. Kulą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór:

Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz opiszemy, jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.

Metryka dyskretna

Przykład 1.3. [Metryka dyskretna]

Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech

Zauważmy, iż wartość funkcji dla dwóch dowolnych punktów wynosi gdy są one różne oraz wynosi gdy jest to ten sam punkt.

Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja jest metryką, zatem para jest przestrzenią metryczną. Metrykę tę będziemy nazywali metryczną dyskretną. Faktycznie, z definicji wynika, że dla dowolnych mamy

oraz

Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy Rozważymy następujące przypadki.

1) Jeśli to zatem zawsze zachodzi

2) Jeśli to lub Wtedy również

Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni metrycznej. Jeśli to kula o promieniu składa się z samego środka, ale jeśli to kulą jest cała przestrzeń Mamy zatem


Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami i kulami domkniętymi są jedynie:

zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.


Przypomnijmy teraz standardowe metryki w Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

Przykład 1.4. [Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa]

Niech oraz niech



gdzie oraz
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką maksimową w
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką taksówkową w
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką euklidesową w zaś parę nazywamy przestrzenią metryczną euklidesową.

Przypomnijmy, jak wyglądają kule w tych metrykach.
Plik:AM1.M03.W.R05.svg
Kula w metryce maksimowej w
Plik:AM1.M03.W.R06.svg
Kula w metryce maksimowej w
Plik:AM1.M03.W.R09.svg
Kula w metryce taksówkowej w
Plik:AM1.M03.W.R10.svg
Kula w metryce taksówkowej w
Plik:AM1.M03.W.R14.svg
Kula w metryce euklidesowej w
Plik:AM1.M03.W.R15.svg
Kula w metryce euklidesowej w

Dwa kolejne przykłady podają mniej typowe metryki na płaszczyźnie

Plik:AM2.M01.W.R05.svg
Metryka kolejowa

Przykład 1.5. [Metryka rzeka]

Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna jest gęstym lasem oraz pewna prosta jest rzeką. Aby zmierzyć odległość dwóch punktów , musimy wyciąć ścieżkę od do przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.

Mamy dwa przypadki:

(1) Jeśli punkty i są końcami odcinka prostopadłego do rzeki to ich odległość jest równa zwykłej odległości euklidesowej na płaszczyźnie.

(2) Jeśli zaś punkty i nie leżą na prostej prostopadłej do rzeki to musimy utworzyć dwie ścieżki jedną od punktu do rzeki, a drugą od rzeki do punktu zawsze prostopadle do rzeki. Teraz odległość od do będzie równa długości (euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na rzece.
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja jest metryką w

Nazywamy ją metryką rzeką.

Przykład 1.6. [Metryka kolejowa]

Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt węzeł kolejowy, od którego odchodzą półproste, szyny, we wszystkich kierunkach. Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami i , musimy przebyć drogę między nimi, poruszając się po szynach. Rozważmy dwa przypadki:
(1) Jeśli punkty i znajdują się na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu to ich odległość jest zwykłą odległością euklidesową.
(2) Jeśli zaś punkty i nie leżą na wspólnej półprostej wychodzącej z punktu to ich odległość jest równa sumie odległości euklidesowych od do oraz od do
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką,

zwaną metryką kolejową.


|
Plik:.mp4
AM2.M01.W.R04
|
Plik:.mp4
Kule w metryce kolejowej

Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi. Część z nich była zdefiniowana na Analizie Matematycznej 1.


Plik:AM1.M03.W.R16.svg
Zbiór otwarty

Definicja 1.7.

Niech będzie przestrzenią metryczną, niech oraz
(1) Zbiór nazywamy otwartym, jeśli każdy punkt zbioru zawiera się w wraz z pewną kulą, czyli

(2) Punkt nazywamy punktem wewnętrznym zbioru jeśli istnieje kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) taka, że zawiera się w Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych i oznaczamy go
(3) Domknięciem zbioru nazywamy zbiór wszystkich punktów oraz wszystkich punktów skupienia zbioru i oznaczamy go
(4) Brzegiem zbioru nazywamy zbiór

Przykład 1.8.

W przestrzeni metrycznej dyskretnej każdy zbiór jest otwarty, bo wraz z każdym punktem zawiera kulę

Przykład 1.9.

W przestrzeni z metryką euklidesową rozważmy zbiór Wówczas

Podobnie jak w tak i w dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzą następujące własności.

Twierdzenie 1.10. [Zbiory w przestrzeniach metrycznych]

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to
(1) Każda kula jest zbiorem otwartym w
(2) Zbiór jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy (dopełnienie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.
(3) Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
(4) Jeśli jest punktem skupienia zbioru to dowolna kula o środku w punkcie (i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru
(5) Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(6) Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(7) Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(8) Suma skończonej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(9) Dla dowolnego zbioru zbiór (domknięcie zbioru ) jest zbiorem domkniętym.

Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 przykład 3.15.).

Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są w poniższej definicji.

Definicja 1.11.

(1) Srednicą zbioru nazywamy liczbę:

(2) Odległością punktu od zbioru nazywamy liczbę:


(3) Mówimy, że zbiór jest ograniczony, jeśli jest zawarty w pewnej kuli, to znaczy

|
Plik:.mp4
Odległość punktu od zbioru
|
Plik:.mp4
Średnica zbioru
[[File:AM1.M03.W.R17.svg|253x
Plik:.mp4
Zbiór ograniczony
Średnica zbioru i odległość punktu od zbioru

Przykład 1.12.

Na płaszczyźnie z metryką euklidesową rozważmy zbiór

oraz punkt Wyznaczyć średnicę zbioru oraz odległość punktu od zbioru

Z poniższego rysunku widzimy, że

oraz

Przykład 1.13.

Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną. Jeśli to a jeśli to Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.

Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.

Twierdzenie 1.14.

Jeśli jest przestrzenią metryczną, to zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

W iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych można także zadać metrykę (tak zwaną metrykę produktową) na kilka naturalnych sposobów. Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów. [[grafika:Kartezjusz.jpg|thumb|right||Kartezjusz (1596-1650)
Zobacz biografię]]

Twierdzenie 1.15. [Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych]

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi dla jest funkcją zdefiniowaną przez

to jest przestrzenią metryczną.
Wówczas nazywamy metryką produktową lub metryką standardową w iloczynie kartezjańskim

Dowód 1.15.

Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego (patrz Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.) jest analogiczny do dowodu, że jest metryką w (porównaj Analiza matematyczna 1 przykład 3.7. i lemat 3.9.).

End of proof.gif
Uwaga 1.16.

Metryka euklidesowa w jest metryką standardową w Wynika to wprost z definicji obu metryk.

Uwaga 1.17.

Jeśli jest przestrzenią metryczną oraz to zbiór jest także przestrzenią metryczną z metryką Kule w przestrzeni są równe przecięciom kul z przestrzeni ze zbiorem Metrykę na nazywamy metryką indukowaną. W przyszłości o podzbiorach przestrzeni metrycznej będziemy także mówili "przestrzeń metryczna".

Zwartość

Wprowadzimy teraz ogólniejsze pojęcie zwartości niż to, z którym spotkaliśmy się na wykładzie z Analizy Matematycznej 1 (patrz Analiza matematyczna 1 definicja 8.21.).

Definicja 1.18.

Niech będzie przestrzenią metryczną oraz
(1) Pokryciem otwartym zbioru nazywamy dowolną rodzinę zbiorów otwartych taką, że
Pokrycie to nazywamy skończonym, jeśli
(2) Mówimy, że jest podpokryciem pokrycia zbioru jeśli jest pokryciem zbioru oraz
(3) Mówimy, że zbiór jest zwarty, jeśli z każdego pokrycia otwartego zbioru można wybrać pokrycie skończone.

Kolejne twierdzenie zbiera pewne informacje dotyczące zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych.

Twierdzenie 1.19.

W dowolnej przestrzeni metrycznej mamy
(1) Zbiór skończony jest zwarty.
(2) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.
(3) Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
(4) Podzbiór domknięty zbioru zwartego jest zwarty.
(5) Część wspólna zbioru zwartego i domkniętego jest zbiorem zwartym.

Dowód 1.19. [nadobowiązkowy]

(Ad (1)) Niech będzie zbiorem skończonym w i niech będzie pokryciem otwartym zbioru Z definicji pokrycia mamy w szczególności

Zatem Pokazaliśmy zatem, że jest podpokryciem (skończonym) pokrycia zbioru
(Ad (2)) Niech będzie zwartym podzbiorem w Wystarczy pokazać, że jest zbiorem otwartym (patrz twierdzenie 1.10. (6)). W tym celu niech Dla dowolnego niech Wówczas oraz
Rodzina jest pokryciem otwartym zbioru Ponieważ jest zbiorem zwartym, więc możemy z tego pokrycia wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy zatem

Niech Wówczas jest kulą o środku w punkcie taką, że czyli jest punktem wewnętrznym zbioru Pokazaliśmy więc, że zbiór jest otwarty, a zatem zbiór jest domknięty.
(Ad (3)) Niech będzie zwartym podzbiorem w Należy pokazać, że zbiór jest ograniczony. Niech będzie dowolnym punktem. Zauważmy, że

to znaczy rodzina kul jest pokryciem otwartym zbioru Z zwartości zbioru wynika, iż z tego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy

Ale ciąg kul jest wstępujący, a więc

zatem zbiór jest ograniczony.
(Ad (4)) Niech będzie domkniętym podzbiorem zbioru zwartego Niech będzie dowolnym pokryciem zbioru Ponieważ jest domknięty, więc jest zbiorem otwartym (patrz twierdzenie 1.10. (6)). Niech będzie nowym indeksem oraz zdefiniujmy Niech Wówczas

zatem jest pokryciem zbioru Ponieważ zbiór jest zwarty, więc można z niego wybrać podpokrycie skończone, powiedzmy Oczywiście jest to także pokrycie zbioru Jeśli wśród zbiorów znajduje się zbiór to można go usunąć (gdyż ) i nadal będzie to skończone pokrycie zbioru będące podpokryciem pokrycia Pokazaliśmy zatem, że zbiór jest zwarty.
(5) Niech będzie zbiorem zwartym oraz zbiorem domkniętym. Z (1) wiemy, że jest także domknięty, zatem jest zbiorem domkniętym (patrz twierdzenie 1.10. (9)). Ponieważ jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego więc z (3) wiemy, że jest on zbiorem zwartym, co należało dowieść.

End of proof.gif
|
Plik:.mp4
Rysunek do dowodu twierdzenia 1.19
|
Plik:.mp4
Rysunek do dowodu twierdzenia 1.19
Uwaga 1.20.

(1) Z twierdzenia 1.19. wynika w szczególności, że dowolny zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Jako przykład weźmy zbiór nieskończony z metryką dyskretną. Cały zbiór jest domknięty (jako uzupełnienie zbioru otwartego ) oraz ograniczony (ponieważ patrz przykład 1.13.). Ale nie jest to zbiór zwarty, ponieważ z pokrycia otwartego nie można wybrać pokrycia skończonego (zauważmy, że i usunięcie jakiegokolwiek zbioru z rodziny zbiorów otwartych powoduje, że rodzina ta przestaje być pokryciem ).
(2) Okazuje się jednak, że w przestrzeni euklidesowej twierdzenie odwrotne jest prawdziwe. Twierdzenie to bez dowodu poznaliśmy i wykorzystywaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1, udowodnimy go na następnym wykładzie (patrz wniosek 2.26.).

Poniższe twierdzenie daje pełną odpowiedź na pytanie, jakie przedziały w są zwarte.

Twierdzenie 1.21.

Przedział domknięty i ograniczony () jest zbiorem zwartym.

Rysunek do dowodu twierdzenia 1.21

Dowód 1.21. [nadobowiązkowy]

Dowód oparty jest na tak zwanych przekrojach Dedekinda.
Niech będzie dowolnym pokryciem przedziału (gdzie ). Skonstruujemy dwa zbiory (tak zwane przekroje Dedekinda) w następujący sposób:
", wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) lub
(2) oraz przedział jest pokryty skończoną liczbą zbiorów otwartych z rodziny "
Natomiast:
", wtedy i tylko wtedy, gdy "
Oczywiście (bo przedział jest pokryty przez jeden ze zbiorów pokrycia ).
Zdefiniujmy Oczywiście
Pokażemy, że Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że Z definicji pokrycia wiemy, że

Z definicji zbioru otwartego w metryce euklidesowej w wiemy, że

i

Z kolei z definicji liczby wynika, że

to znaczy przedział jest pokryty skończoną ilością zbiorów z pokrycia powiedzmy

Wówczas

czyli ale to jest sprzeczne z definicją Zatem wykazaliśmy, że

Teraz w analogiczny sposób jak wyżej pokazujemy, że skąd wynika teza naszego twierdzenia.

End of proof.gif

Twierdzenie 1.22.

Przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte w

Dowód 1.22.

Aby pokazać, że przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte, wskażemy pokrycia otwarte tych przedziałów, z których nie można wybrać podpokryć skończonych. Niech

Uzasadnienie, iż z powyższych pokryć nie można wybrać pokryć skończonych, pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

End of proof.gif

Spójność

Ostatnim pojęciem, jakie wprowadzimy na tym wykładzie, jest spójność zbioru w przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie spójność zbioru oznacza, że składa się on z "jednego kawałka". Jednak, aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco bardziej skomplikowanej definicji.

Definicja 1.23. [zbiór spójny]

Niech będzie przestrzenią metryczną
Zbiór nazywamy spójnym, jeśli nie jest zawarty w sumie dwóch zbiorów otwartych, rozłącznych, z którymi ma niepuste przecięcie, to znaczy nie istnieją dwa zbiory i takie, że

Przykład 1.24.

Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny Jeśli dwa zbiory i są otwarte, rozłączne i mają niepuste przecięcie z to nie mogą w sumie zawierać całego (to znaczy ).
Zbiór na kolejnym rysunku nie jest spójny, gdyż istnieją dwa zbiory i spełniające wszystkie cztery warunki z definicji spójności zbioru.

|253x
Plik:.mp4
Zbiór spójny
|253x
Plik:.mp4
Zbiór który nie jest spójny

Twierdzenie 1.25.

Jeśli , to jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.

Suma zbiorów spójnych o niepustym przecięciu

Dowód 1.25. [nadobowiązkowy]

[Szkic]

""
Niech będzie zbiorem spójnym. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest przedziałem, to znaczy

Zdefiniujmy

Wówczas i są zbiorami otwartymi (dlaczego?), i (bo i ), oraz Jest to sprzeczne ze spójnością zbioru

"" (Będziemy korzystali z faktu, że supremum zbioru otwartego w nie jest elementem tego zbioru).
Niech będzie przedziałem. Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że nie jest zbiorem spójnym. Zatem istnieją dwa niepuste zbiory otwarte i takie, że

oraz

Bez straty ogólności możemy założyć, że
Zdefiniujmy Ponieważ i jest otwarty, więc Gdyby to z faktu, że jest zbiorem otwartym wynikałoby, że nie jest kresem górnym zbioru Zatem
Ponieważ i jest otwarty, więc Gdyby to z faktu, że jest otwarty wynikałoby, że nie jest kresem górnym zbioru Zatem
Pokazaliśmy, że Ale więc doszliśmy do sprzeczności z faktem, że
Pokazaliśmy zatem, że jest zbiorem spójnym.

End of proof.gif

Kolejne twierdzenie (które podajemy bez dowodu) mówi, że suma dowolnej rodziny zbiorów spójnych jest zbiorem spójnym, pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.

Twierdzenie 1.26.

Jeśli jest przestrzenią metryczną, jest rodziną podzbiorów spójnych w takich, że to zbiór jest spójny.