Analiza matematyczna 2/Wykład 12: Całka krzwoliniowa. Twierdzenie Greena

Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena

Ten wykład poświęcony jest pojęciu całki krzywoliniowej i twierdzeniu pozwalającemu liczyć całki krzywoliniowe przy pomocy całek podwójnych (albo vice versa) - czyli twierdzeniu Greena. Nasze rozważania dotyczące krzywych ograniczamy do krzywych płaskich (leżących w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$). Podajemy definicje parametryzacji krzywej, krzywej regularnej, krzywej zamkniętej, orientacji, zbioru normalnego i zbioru regularnego. Twierdzenia Greena dowodzimy dla zbiorów regularnych. Wprowadzamy też pojęcie pola potencjalnego.

Na początku tego wykładu warto przypomnieć sobie twierdzenie Newtona-Leibniza (patrz AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.14.140|), które mówi, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \ =\ F(b)-F(a), }

gdzie $\displaystyle F$ jest pierwotną funkcji $\displaystyle f$. Zauważmy, że twierdzenie to wyraża całkę z funkcji $\displaystyle f$ po odcinku (przedziale $\displaystyle [a,b]$) za pomocą wartości $\displaystyle F$ na brzegu odcinka (to znaczy w punktach $\displaystyle a$i $\displaystyle b$).

Okazuje się, że twierdzenie to można uogólnić. Takim uogólnieniem będzie twierdzenie Greena, które poznamy na tym wykładzie. Pozwala ono zamienić całkowanie po obszarze płaskim na całkowanie po krzywej, która ogranicza ten obszar.

Krzywe

Przypomnijmy definicję krzywej zwyczajnej (patrz Definicja AM1.Uzupelnic d.new.am1.w.15.030|).

Niech $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ będzie przedziałem w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$ Weźmy ciągłą funkcję

$\displaystyle \gamma :[a,b]\ni t\to (\varphi (t),\psi (t))\in \mathbb {R} ^{2}.$

Załóżmy, że funkcja $\displaystyle \displaystyle \gamma$ jest różnowartościowa na $\displaystyle \displaystyle (a,b]$ i na $\displaystyle \displaystyle [a,b).$ (Możliwe jest więc, że $\displaystyle \displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)$).

Definicja

Przy założeniach jak wyżej, krzywą zwyczajną $\displaystyle K$ będziemy nazywać obraz odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ przez $\displaystyle \displaystyle \gamma ,$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ :=\ \{\gamma(t)\in \mathbb{R}^2 | t\in[a,b]\}. }

Funkcję $\displaystyle \displaystyle \gamma$ nazywamy parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$
{ Rysunek AM2.M12.W.R01 (stary numer AM2.12.1)}

W dalszych rozważaniach będziemy zajmować się tylko krzywymi zwyczajnymi (czyli takimi, które nie mają punktów wielokrotnych poza, ewentualnie, początkiem i końcem), więc będziemy pisać "krzywa", zakładając, że jest to krzywa zwyczajna.

Uwaga

Krzywa $\displaystyle K$ może mieć różne parametryzacje.

Przykład

Jako krzywą $\displaystyle K$ weźmy odcinek w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ łączący punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ z punktem $\displaystyle \displaystyle (1,1).$ Oto przykłady parametryzacji $\displaystyle K$:
(1) $\displaystyle \displaystyle \gamma _{I}:[0,1]\to \mathbb {R} ^{2},\ \gamma _{I}(t)=(t,t),$
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\gamma_{II}: [0,\frac{1}{2}]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_{II}(t)=(2t,2t),}
(3) $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}:[0,1]\to \mathbb {R} ^{2},\ \gamma _{III}(t)=(1-t,1-t).$
{ Rysunek AM2.M12.W.R02 (stary numer AM2.12.11)}

Definicja

(1) Krzywą $\displaystyle K$ nazywamy łukiem gładkim jeśli istnieje parametryzacja $\displaystyle \displaystyle \gamma =(\varphi ,\psi ):[a,b]\to \mathbb {R} ^{2},$ taka, że pochodne $\displaystyle \displaystyle \varphi '$ i $\displaystyle \displaystyle \psi '$ są ciągłe oraz zachodzi

$\displaystyle (\varphi '(t))^{2}+(\psi '(t))^{2}>0,$ dla każdego $\displaystyle t\in [a,b].$

(2) Krzywą $\displaystyle K$ nazywamy regularną, jeśli można ją podzielić na skończoną ilość łuków gładkich, to znaczy, jeśli istnieje parametryzacja $\displaystyle \displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ i istnieje podział odcinka $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ punktami $\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{s}=b,$ taki, że $\displaystyle \displaystyle \gamma _{[t_{i},t_{i+1}]},i=0,\ldots ,s-1$ parametryzuje łuk gładki.
(3) Jeśli $\displaystyle \displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)$ to krzywą nazywamy zamkniętą.
{ Rysunek AM2.M12.W.R03 (stary numer AM2.12.2.a)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R04 (stary numer AM2.12.2.b)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R05 (stary numer AM2.12.2.c)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R06 (stary numer AM2.12.2.d)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R07 (stary numer AM2.12.2.e)}

Weźmy teraz krzywą $\displaystyle K$ i jej parametryzację $\displaystyle \displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}.$ Ustalmy $\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b],$ takie, że $\displaystyle t_{1}<t_{2}$ i oznaczmy $\displaystyle \displaystyle \gamma (t_{1})=P_{1},\gamma (t_{2})=P_{2}.$ Niech $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} ^{2}$ będzie inną parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$

Definicja

(1) Mówimy, że $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}$ zadaje na $\displaystyle K$ tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle \gamma$ jeśli dla $\displaystyle q_{1},q_{2}\in [\alpha ,\beta ],$ takich, że $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}(q_{1})=P_{1}$ i $\displaystyle {\tilde {\gamma }}(q_{2})=P_{2},$ mamy $\displaystyle q_{1}<q_{2}.$
(Oznacza to, że dla $\displaystyle \displaystyle \tau$ przebiegających wartości od $\displaystyle \displaystyle \alpha$ do $\displaystyle \displaystyle \beta ,$ wartości $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}(\tau )$ "wędrują" po krzywej $\displaystyle K$ od punktu $\displaystyle A$ do punktu $\displaystyle B,$ tak samo jak wartości $\displaystyle \displaystyle \gamma (t)$ dla $\displaystyle t$ przebiegającego od $\displaystyle a$ do $\displaystyle b$).
(2) Mówimy, że $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}$ zadaje na $\displaystyle K$ orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle \gamma$ jeśli dla $\displaystyle q_{1},q_{2}\in [\alpha ,\beta ]$ takich, że $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}(q_{1})=P_{1}$ i $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}(q_{2})=P_{2}$ mamy $\displaystyle q_{1}>q_{2}.$
(Tym razem dla $\displaystyle \displaystyle \tau$ przebiegających wartości od $\displaystyle \displaystyle \alpha$ do $\displaystyle \displaystyle \beta ,$ wartości $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}(\tau )$ "wędrują" po krzywej $\displaystyle K$ od punktu $\displaystyle B$ do punktu $\displaystyle A$).

Jeśli $\displaystyle A\neq B$ to jako $\displaystyle t_{1},t_{2}$ możemy wziąć po prostu $\displaystyle a$ i $\displaystyle b.$

Przykład

Wróćmy do trzech parametryzacji odcinka, pokazanych w przykładzie powyżej. Łatwo zauważyć, że $\displaystyle \displaystyle \gamma _{II}$ zadaje na $\displaystyle K$ tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle \gamma _{I}$ a $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}$ zadaje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle \gamma _{I}$ (i $\displaystyle \displaystyle \gamma _{II}$); weźmy na przykład $\displaystyle t_{1}=0,t_{2}=1,$ wtedy $\displaystyle \displaystyle \gamma _{I}(t_{1})=(0,0),\gamma _{I}(t_{2})=(1,1)$ oraz mamy $\displaystyle \displaystyle \gamma _{II}(0)=(0,0),\gamma _{II}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=(1,1)$ i $\displaystyle 0<{\frac {1}{2}}.$ Dla $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}$ natomiast, $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}(1)=(0,0)$ i $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}(0)=(1,1),\displaystyle 1>0,$ a więc $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}$ zadaje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle \gamma _{I},$ patrz rysunek do Przykładu Uzupelnic p.am2.w.12.0030|.

Możemy teraz zdefiniować całkę krzywoliniową zorientowaną.

Definicja

Niech $\displaystyle K$ będzie krzywą w $\displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ daną przez parametryzację $\displaystyle \displaystyle \gamma =(\varphi ,\psi ):[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}.$ Niech $\displaystyle F$ będzie odwzorowaniem ciągłym

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F \ =\ (P,Q): K\to \mathbb{R}^2. }

Niech $\displaystyle \displaystyle \circ$ oznacza iloczyn skalarny w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ przez $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ oznaczymy zmienne w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$ Wówczas całkę

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(F(\gamma (t))\circ \gamma '(t)\right)dt$

nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną po krzywej $\displaystyle K$ i oznaczamy

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}F\circ d{\textbf {x}},$

gdzie $\displaystyle d{\textbf {x}}=(dx,dy).$

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F(\gamma(t))\circ\gamma'(t) \ =\ (P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ(\varphi'(t),\psi'(t)) \ =\ P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t), }

wszystkie funkcje występujące w tym wyrażeniu są z założenia ciągłe, zatem istnieje całka (Riemanna) po przedziale $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ z $\displaystyle F(\gamma (t))\circ \gamma '(t).$

Uwaga

Zapis i oznaczenia
Całkę krzywoliniową $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}F\circ d{\textbf {x}}$ dla krzywej w $\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{2}$ zapisuje się najczęściej jako

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

a dla krzywej zamkniętej $\displaystyle K$

$\displaystyle \oint _{K}P(x,y)dx+Q(x,y)dy.$

Wykażemy teraz następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie

Niech $\displaystyle K,\displaystyle F$ i $\displaystyle \displaystyle \gamma$ będą jak w definicji Uzupelnic d.am2.w.12.0070|. Niech $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} ^{2}$ będzie inną parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$ Jeśli $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}$ zadaje tę samą orientację krzywej $\displaystyle K$ co $\displaystyle \displaystyle \gamma$ to

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}\mathbf {F} d\mathbf {x} =\displaystyle \int \limits _{a}^{b}F({\hat {\gamma }}(t))\circ {\hat {\gamma }}'(t)dt,$

jeśli natomiast $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}$ zadaje orientację krzywej $\displaystyle K$ przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle \gamma$ to

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}\mathbf {F} d\mathbf {x} =-\displaystyle \int \limits _{a}^{b}F({\hat {\gamma }}(t))\circ {\hat {\gamma }}'(t)dt.$

Stwierdzenie to mówi zatem, że dla parametryzacji dających tę samą orientację krzywej, całki krzywoliniowe zorientowane są równe. Dla parametryzacji dających orientację przeciwną, całka krzywoliniowa zorientowana zmienia znak - i stąd nazwa "zorientowana".

Warto tu zauważyć, że w takim razie - z dokładnością do znaku - całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji, zależy tylko od krzywej jako zbioru i od odwzorowania $\displaystyle F$.

Dowód

Weźmy parametryzację krzywej $\displaystyle K,\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} ^{2},$ dającą tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle \gamma .$ Musimy wykazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Oznaczmy przez $\displaystyle \displaystyle \varphi (t):=\gamma ^{-1}({\hat {\gamma }}(t)).$ Wtedy $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}(t)=\gamma (\varphi (t))$ i $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}'(t)=\gamma '(\varphi (t))\varphi '(t).$ A zatem :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\gamma(\varphi(t)))\circ\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)dt. }

Skorzystamy z twierdzenia o zmianie zmiennych w całce Riemanna (twierdzenie AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.14.180|). Przyjmijmy $\displaystyle s=\varphi (t),$ wtedy $\displaystyle \displaystyle \varphi [\alpha ,\beta ]=[a,b]$ i mamy

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\alpha }^{\beta }F(\gamma (\varphi (t)))\circ \gamma '(\varphi (t))\varphi '(t)dt=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}F(\gamma (s))\gamma '(s)ds,$

co należało dowieść.

Niech teraz $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} ^{2}$ będzie parametryzacją $\displaystyle K$ dającą orientację przeciwną $\displaystyle \displaystyle \gamma .$ Mamy wykazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ -\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Zdefiniujmy parametryzację $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}$ następująco:

$\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[-b,-a]\ni t\to {\hat {\gamma }}(-t)\in K.$

Nietrudno zobaczyć, że jeśli $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}$ daje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle \gamma$ to $\displaystyle \displaystyle {\tilde {\gamma }}$ daje tę samą orientację co $\displaystyle \displaystyle \gamma .$ A zatem, z pierwszej części dowodu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\tilde{\gamma}(s))\circ\tilde{\gamma}'(s)ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds. }

Zauważmy, że $\displaystyle \displaystyle ({\hat {\gamma }}(-s))'=-{\hat {\gamma }}'(-s).$ Przyjmując $\displaystyle t=-s,$ mamy zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{b}^{a}F(\hat{\gamma}(t))\circ(-\hat{\gamma}'(t))d(-t) \ =\ -\displaystyle\int\limits_{a}^{b}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Uwaga

(1) Niech $\displaystyle \displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ będzie parametryzacją krzywej $\displaystyle K.$ Przez $\displaystyle -K$ będziemy oznaczać krzywą $\displaystyle K$ z parametryzacją $\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}:[-b,-a]\to \mathbb {R} ^{2},{\hat {\gamma }}(t):=\gamma (-t)$ ($\displaystyle \displaystyle {\hat {\gamma }}$ zadaje orientację przeciwną niż $\displaystyle \displaystyle \gamma$).
(2) Jeśli krzywa $\displaystyle K_{1}$ ma parametryzację $\displaystyle \displaystyle \gamma _{1}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$, a krzywa $\displaystyle K_{2}$ parametryzację $\displaystyle \displaystyle \gamma _{2}:[b,c]\to \mathbb {R} ^{2}$ oraz $\displaystyle \gamma _{1}(b)=\gamma _{2}(b)$, to przez $\displaystyle K_{1}+K_{2}$ będziemy oznaczać krzywą o parametryzacji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \gamma: [a,c]\ni t \to \begincases \gamma_1(t), \ t\in[a,b]\\ \gamma_2(t)\ t\in [b,c]. \endcases }

(Czyli $\displaystyle K_{1}+K_{2}$ jest "sklejeniem" krzywych $\displaystyle K_{1}$ i $\displaystyle K_{2}$ w ten sposób, że koniec $\displaystyle K_{1}$ łączy się z początkiem $\displaystyle K_{2}$).

Przykład

(1) Policzyć całkę

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}(x-y)dx+(x+y)dy,$

gdzie $\displaystyle K$ jest górną połową okręgu o promieniu $\displaystyle 1.$

Górna połowa okręgu o promieniu $\displaystyle 1$ jest sparametryzowana przez

$\displaystyle \gamma :[0,\pi )\ni t\to (\cos t,\sin t)\in \mathbb {R} ^{2}.$

A zatem, zgodnie z definicją całki krzywoliniowej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_K(x-y)dx+(x+y)dy &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(\cos t)'+(\cos t+\sin t)(\sin t)'\right)dt\\ &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(-\sin t)+(\cos t+\sin t)\cos t\right)dt \displaystyle\int\limits_0^{\pi}dt =\pi. \endaligned}

(2) Policzyć całkę

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}ydx+xdy,$

gdzie $\displaystyle K$ jest okręgiem o promieniu $\displaystyle R.$

Parametryzacją okręgu o promieniu $\displaystyle R$ jest

$\displaystyle \gamma :[0,2\pi )\ni t\to (R\cos t,R\sin t)\in \mathbb {R} ^{2},$

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_Kydx+xdy &= \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left((R\sin t)(-R\sin t)+(R\cos t)(R\cos t)\right)dt=R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}(\cos^2t-\sin^2t)dt\\ &= R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\cos 2tdt=\frac{R^2}{2}\sin{2t}\bigg|_0^{2\pi}=0. \endaligned}

(3) Policzyć całkę

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}\cos ^{2}xdy+\sin ^{2}ydx,$

gdzie $\displaystyle K$ jest odcinkiem w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ łączącym punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ z Punktem $\displaystyle \displaystyle (1,1).$

Jak już wiemy odcinek $\displaystyle K$ możemy sparametryzować za pomocą:

$\displaystyle \gamma :[0,1]\ni t\to (t,t)\in K\subset \mathbb {R} ^{2}.$

Stąd

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}\cos ^{2}xdy+\sin ^{2}ydx=\displaystyle \int \limits _{0}^{1}(\cos ^{2}t\cdot 1+\sin ^{2}t\cdot 1)dt=\displaystyle \int \limits _{0}^{1}dt=1.$

Sformułujemy teraz i udowodnimy twierdzenie, które mówi o związku całki krzywoliniowej z całką podwójną. Potrzebna nam będzie pojęcie krzywej zamkniętej "zorientowanej dodatnio". Weźmy $\displaystyle K,$ krzywą zamkniętą w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ ograniczającą zbiór $\displaystyle D.$ Wybierzmy parametryzację $\displaystyle \displaystyle \gamma$ krzywej $\displaystyle K.$ Wybór parametryzacji wyznacza kierunek obiegu krzywej - z danego punktu poruszamy się w kierunku pokazywanym przez wektor styczny $\displaystyle \displaystyle [\varphi '(t),\psi '(t)].$ Umawiamy się, że $\displaystyle K$ jest zorientowana dodatnio, jeśli przy obiegu $\displaystyle K$ zgodnie z kierunkiem wyznaczonym przez parametryzację, zbiór $\displaystyle D$ zostaje "po naszej lewej stronie".
{ Rysunek AM2.M12.W.R08 (stary numer AM2.12.3)}

Weźmy teraz krzywą $\displaystyle K$ zorientowaną dodatnio, ograniczającą zbiór $\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}.$ Niech $\displaystyle \displaystyle {\overline {D}}$ oznacza $\displaystyle D\cup K.$ (Zapisujemy także $\displaystyle K=\partial D,\displaystyle K$ jest brzegiem $\displaystyle D$). Załóżmy, że zbiór $\displaystyle D$ jest normalny ze względu na obie osie. Weźmy dwie funkcje $\displaystyle P,Q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} ,$ ciągłe w $\displaystyle \displaystyle {\overline {D}}$ i mające ciągłe pochodne cząstkowe w $\displaystyle D$. Możemy teraz wypowiedzieć twierdzenie.

Twierdzenie

(Twierdzenie Greena)
Niech krzywa $\displaystyle K,$ zbiór $\displaystyle D$ oraz funkcje $\displaystyle P(x,y)$ i $\displaystyle Q(x,y)$ będą jak wyżej. Wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy. }

Dowód

Wykażemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K P(x,y)dx \ =\ \iint\limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy }

i

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K Q(x,y) dy \ =\ \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) dxdy. }

Skoro zbiór $\displaystyle D$ jest normalny względem osi $\displaystyle Ox$ to istnieje przedział $\displaystyle \displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R}$ i dwie funkcje $\displaystyle y_{1}(x),y_{2}(x),$ takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | a\leq x\leq b, y_1(x)\leq y \leq y_2(x)\}. }

Oznaczmy przez $\displaystyle K_{1}$ wykres funkcji $\displaystyle y_{1}(x)$ a przez $\displaystyle K_{2}$ wykres funkcji $\displaystyle y_{2}(x).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ K_1+(-K_2), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\displaystyle\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx. }

Korzystając teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K_{2}}P(x,y)dx=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}P(x,y_{2}(x))dx$

oraz

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K_{1}}P(x,y)dx=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}P(x,y_{1}(x))dx,$

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned & & \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx=\displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx\\ &= -\displaystyle\int\limits_{-K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=-\oint_KP(x,y)dx. \endaligned}

Analogicznie, skoro $\displaystyle D$ jest normalny względem osi $\displaystyle Oy$ to istnieje przedział $\displaystyle \displaystyle [c,d]\subset \mathbb {R}$ i dwie funkcje $\displaystyle x_{1}(y),x_{2}(y)$ takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | c\leq y\leq d, x_1(y)\leq x \leq x_2(y)\}. }

Oznaczmy przez $\displaystyle L_{1}$ wykres funkcji $\displaystyle x_{1}(y)$ a przez $\displaystyle L_{2}$ wykres funkcji $\displaystyle x_{2}(y).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ L_1+(-L_2), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\displaystyle\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y)\right)dy= }

analogicznie jak wyżej

$\displaystyle =\displaystyle \int \limits _{L_{2}}Q(x,y)dx-\displaystyle \int \limits _{L_{1}}Q(x,y)dx=\oint _{K}Q(x,y)dx.$

Uwaga

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów normalnych względem obu osi.

Dowód

Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru $\displaystyle D$ będącego sumą dwóch zbiorów normalnych względem obu osi, $\displaystyle D=D_{1}\cup D_{2}.$ Niech $\displaystyle L$ będzie krzywą dzielącą $\displaystyle D$ na $\displaystyle D_{1}\cup D_{2},$ niech $\displaystyle K_{1}=\partial D_{1}\setminus L,K_{2}=\partial D\setminus L.$ Zauważmy, że jeśli $\displaystyle \displaystyle \partial D_{1}$ i $\displaystyle \displaystyle \partial D_{2}$ zorientujemy dodatnio, to krzywą $\displaystyle L$ przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę Możemy zatem napisać $\displaystyle \displaystyle \partial D=K=K_{1}+L+K_{2}-L.$
{ Rysunek AM2.M12.W.R09 (stary numer AM2.12.4)}
Wtedy $\displaystyle \displaystyle \iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy=\iint \limits _{D_{1}}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy+\iint \limits _{D_{2}}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy=\displaystyle \int \limits _{K_{1}+L}Pdx+Qdy+\displaystyle \int \limits _{K_{2}-L}Pdx+Qdy=\displaystyle \int \limits _{K}Pdx+Qdy.$

Przykład

(1) Policzyć jeszcze raz całkę

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}ydx+xdy,$

gdzie $\displaystyle K$ jest okręgiem o promieniu $\displaystyle R,$ tym razem korzystając z twierdzenia Greena.

Oznaczmy przez $\displaystyle D$ koło o promieniu $\displaystyle R.$ Teraz $\displaystyle P(x,y)=y,Q(x,y)+x.$ Z twierdzenia Greena mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_K ydx+xdy \ =\ \iint\limits_D(1-1)dxdy=\iint\limits_D 0 dxdy \ =\ 0. }

Wykażemy jeszcze następującą uwagę.

Uwaga

Pole powierzchni obszaru $\displaystyle D$ ograniczonego krzywą $\displaystyle K$ wyraża się za pomocą całek krzywoliniowych następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |D| \ =\ \oint_Kxdy=-\oint_Kydx. }

albo

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |D| \ =\ \frac{1}{2}\oint_Kxdy-ydx. }

Dowód

Faktycznie, $\displaystyle |D|=\iint \limits _{D}1dxdy,$ z twierdzenia Greena mamy $\displaystyle \displaystyle \iint \limits _{D}1dxdy=\oint _{K}xdy=-\oint _{K}ydx.$

Powiemy jeszcze kilka słów o polach potencjalnych. Z polami potencjalnymi spotkaliśmy się już na wykładzie poświęconym funkcjom wielu zmiennych. Przypomnijmy, że polem wektorowym nazywamy odwzorowanie z $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ w $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$. (Nazwa bierze się stąd, że każdemu punktowi z $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ przyporządkowujemy wartość odwzorowania w tym punkcie, a więc wektor z $\displaystyle \mathbb {R} ^{N}$).

Niech teraz $\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}$ będzie zbiorem, którego brzegiem jest jedna krzywa (zwyczajna) zamknięta $\displaystyle K$, to znaczy $\displaystyle K=\partial U$. (Taki zbiór będziemy nazywać zbiorem jednospójnym. Przykładem zbioru, który jest jednospójny jest koło. Koło bez środka nie jest zbiorem jednospójnym).

Na $\displaystyle U$ określmy odwzorowanie (pole wektorowe)

$\displaystyle F:\ U\to \mathbb {R} ^{2},$ Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F(x,y) \ =\ (P(x,y),Q(x,y))\in \mathbb{R}^2. }

Faktycznie, to odwzorowanie każdemu punktowi $\displaystyle \displaystyle (x,y)\in U$ przyporządkowuje wektor $\displaystyle \displaystyle (P(x,y),Q(x,y))$ z $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$

Będziemy zakładać, że nasze pole wektorowe $\displaystyle F$ jest ciągłe i ma ciągłe pochodne cząstkowe w $\displaystyle U.$

Definicja

Mówimy, że pole wektorowe jest polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja (zwana potencjałem pola) $\displaystyle \displaystyle \varrho :U\to \mathbb {R} ,$ taka, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (P(x,y),Q(x,y)) \ =\ \left(\frac{\partial \varrho}{\partial x}(x,y), \frac{\partial \varrho}{\partial y}(x,y)\right), }

co zapisujemy krótko

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F\ =\ \nabla\varrho. }

Uwaga

Zauważmy, że jeśli pole jest potencjalne, to z faktu, że $\displaystyle P={\frac {\partial \varrho }{\partial x}}$ i $\displaystyle Q={\frac {\partial \varrho }{\partial y}},$ wynika, że $\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}{\textbf {=}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}$ bo oba wyrażenia są równe $\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varrho }{\partial x\partial y}}$.

Korzystając z twierdzenia Greena możemy wykazać, że w polu potencjalnym całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania. Dokładniej, zachodzi następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie

Niech $\displaystyle U$ będzie obszarem jednospójnym w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ a $\displaystyle F$ polem wektorowym na $\displaystyle U.$ Niech $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ będą dwoma punktami w $\displaystyle U$ a $\displaystyle K_{1}$ i $\displaystyle K_{2}$ dwoma krzywymi łączącymi punkty $\displaystyle A$ i $\displaystyle B.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1}Pdx+Qdy \ =\ \displaystyle\int\limits_{K_2}Pdx+Qdy. }

Dowód

Stwierdzenie wykażemy tylko w przypadku, gdy krzywe $\displaystyle K_{1}$ i $\displaystyle K_{2}$ nie przecinają się i ograniczają razem zbiór normalny (względem którejś osi) $\displaystyle D,$ czyli $\displaystyle \displaystyle \partial D=K_{1}-K_{2},$ tak jak w dowodzie twierdzenia Greena. Wtedy z twierdzenia Greena mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_{K_1-K_2}Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dxdy \ =\ 0, }

bo obie pochodne cząstkowe są sobie równe, zobacz wyżej.

Zauważmy, że z tego stwierdzenia wynika od razu, że całka po krzywej zamkniętej w polu potencjalnym wynosi zero.

Można także wykazać następujące stwierdzenie (my jego dowód pominiemy).

Stwierdzenie

Niech $\displaystyle U$ będzie obszarem jednospójnym w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ a $\displaystyle F=(P,Q)$ polem wektorowym klasy $\displaystyle {\cal {C}}^{1}$ na $\displaystyle U.$ Jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} \ =\ \frac{\partial Q}{\partial x} }

to pole $\displaystyle F$ jest polem potencjalnym.

Przykład

Przypomnijmy znany z fizyki wzór na pracę. Niech $\displaystyle F=(P,Q)$ będzie polem wektorowym reprezentującym siłę. Siły pola $\displaystyle F$ działają na punkt, który przesuwamy po krzywej $\displaystyle K.$ Wtedy praca pola sił wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle W \ =\ \displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x} \ =\ \displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy. }

Rozwiązanie

(1) Policzmy pracę wykonaną przez pole sił $\displaystyle F=(P,Q),$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P(x,y) \ =\ x^2+y^2, \ Q(x,y)=2xy, }

wzdłuż krzywej $\displaystyle K$: $\displaystyle y=x^{2},$ przy przesunięciu punktu od punktu $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ do punktu $\displaystyle \displaystyle (1,1).$

Krzywą $\displaystyle K$ możemy sparametryzować $\displaystyle \displaystyle \gamma (t)=(t,t^{2}),$ dla $\displaystyle t\in [0,1],$ tak więc $\displaystyle x=t,y=t^{2}.$ Mamy zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle W \ =\ \displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy=\displaystyle\int\limits_0^1((t^2+t^4)+(2t^3)2t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1t^2+5t^4dt \ =\ \frac{4}{3}. }

(2) Dane jest pole sił:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle P(x,y) \ =\ \frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}, \quad Q(x,y) \ =\ \frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}. }

Policzyć pracę wykonaną przez pole sił przy przesuwaniu punktu wokół okręgu o środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (3,3)$ i promieniu $\displaystyle 1.$

Sprawdźmy, że pole $\displaystyle \displaystyle (P,Q)$ jest polem potencjalnym w zbiorze $\displaystyle U,$ będącym kołem o środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (3,3)$ i promieniu $\displaystyle 2.$ (Taki zbiór $\displaystyle U$ wybieramy, by móc zastosować stwierdzenie Uzupelnic s.am2.w.12.0180|, do zbioru $\displaystyle U$ nie może należeć punkt $\displaystyle \displaystyle (0,0),$ bo tam $\displaystyle P$ i $\displaystyle Q$ nie są określone).

Policzmy: $\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {-3xy}{(x^{2}+y^{2})^{\frac {5}{2}}}}={\frac {\partial Q}{\partial x}},$ tak więc pole jest potencjalne na podstawie stwierdzenia Uzupelnic s.am2.w.12.0180|, a w polu potencjalnym całka po krzywej zamkniętej (a więc także po naszym okręgu) jest równa zero.

{}$\displaystyle \Box$

Na zakończenie warto wspomnieć o związku całki krzywoliniowej zorientowanej z całką krzywoliniową niezorientowaną, wprowadzoną na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Weźmy krzywą $\displaystyle K$ o parametryzacji $\displaystyle \displaystyle \gamma =(\varphi ,\psi ):[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}.$ Niech $\displaystyle F=(P,Q)$ będzie polem wektorowym na $\displaystyle K.$ Mamy wówczas całkę krzywoliniową zorientowaną:

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}F\circ d{\textbf {x}}=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}(P(\varphi (t),\psi (t)),Q(\varphi (t),\psi (t)))\circ ((\varphi '(t),\psi '(t))dt.$

Z definicji iloczynu skalarnego w $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ i normy euklidesowej w $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$,

$\displaystyle (P(\varphi (t),\psi (t)),Q(\varphi (t),\psi (t)))\circ ((\varphi '(t),\psi '(t))=\|(P(\varphi (t),\psi (t)),Q(\varphi (t),\psi (t)))\|\cdot \|(\varphi '(t),\psi '(t))\|\cos \alpha ,$

gdzie $\displaystyle \|v\|$ oznacza długość wektora $\displaystyle v$ a $\displaystyle \displaystyle \alpha$ jest kątem pomiędzy wektorem $\displaystyle \displaystyle (P(\varphi (t),\psi (t)),Q(\varphi (t),\psi (t)))$ a wektorem stycznym $\displaystyle \displaystyle (\varphi '(t),\psi '(t)).$ Ze wzoru na długość wektora mamy

$\displaystyle \|(\varphi '(t),\psi '(t))\|={\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)}}.$

{ Rysunek AM2.M12.W.R10 (nowy)}
Zauważmy jeszcze, że

$\displaystyle F_{s}(\gamma (t)):=\|(P(\varphi (t),\psi (t)),Q(\varphi (t),\psi (t)))\|\cos \alpha$

jest długością rzutu prostopadłego wektora $\displaystyle \displaystyle (P(\varphi (t),\psi (t)),Q(\varphi (t),\psi (t)))$ na styczną do krzywej, czyli długością składowej stycznej. A zatem

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}F\circ d{\textbf {x}}=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}F_{s}(\gamma (t)){\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)}}dt=\displaystyle \int \limits _{K}F_{s}dl.$