Analiza matematyczna 2/Wykład 12: Całka krzwoliniowa. Twierdzenie Greena

Z Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 2
Wersja z dnia 21:14, 22 sie 2006 autorstwa Arek (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena

Ten wykład poświęcony jest pojęciu całki krzywoliniowej i twierdzeniu pozwalającemu liczyć całki krzywoliniowe przy pomocy całek podwójnych (albo vice versa) - czyli twierdzeniu Greena. Nasze rozważania dotyczące krzywych ograniczamy do krzywych płaskich (leżących w ). Podajemy definicje parametryzacji krzywej, krzywej regularnej, krzywej zamkniętej, orientacji, zbioru normalnego i zbioru regularnego. Twierdzenia Greena dowodzimy dla zbiorów regularnych. Wprowadzamy też pojęcie pola potencjalnego.

Na początku tego wykładu warto przypomnieć sobie twierdzenie Newtona-Leibniza (patrz AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.14.140|), które mówi, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\,dx \ =\ F(b)-F(a), }

gdzie jest pierwotną funkcji . Zauważmy, że twierdzenie to wyraża całkę z funkcji po odcinku (przedziale ) za pomocą wartości na brzegu odcinka (to znaczy w punktach i ).

Okazuje się, że twierdzenie to można uogólnić. Takim uogólnieniem będzie twierdzenie Greena, które poznamy na tym wykładzie. Pozwala ono zamienić całkowanie po obszarze płaskim na całkowanie po krzywej, która ogranicza ten obszar.

Krzywe

Przypomnijmy definicję krzywej zwyczajnej (patrz Definicja AM1.Uzupelnic d.new.am1.w.15.030|).

Niech będzie przedziałem w Weźmy ciągłą funkcję

Załóżmy, że funkcja jest różnowartościowa na i na (Możliwe jest więc, że ).

Definicja

Przy założeniach jak wyżej, krzywą zwyczajną będziemy nazywać obraz odcinka przez

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ :=\ \{\gamma(t)\in \mathbb{R}^2 | t\in[a,b]\}. }

Funkcję nazywamy parametryzacją krzywej
{ Rysunek AM2.M12.W.R01 (stary numer AM2.12.1)}

W dalszych rozważaniach będziemy zajmować się tylko krzywymi zwyczajnymi (czyli takimi, które nie mają punktów wielokrotnych poza, ewentualnie, początkiem i końcem), więc będziemy pisać "krzywa", zakładając, że jest to krzywa zwyczajna.

Uwaga

Krzywa może mieć różne parametryzacje.

Przykład

Jako krzywą weźmy odcinek w łączący punkt z punktem Oto przykłady parametryzacji :
(1)
(2) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\gamma_{II}: [0,\frac{1}{2}]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_{II}(t)=(2t,2t),}
(3)
{ Rysunek AM2.M12.W.R02 (stary numer AM2.12.11)}

Definicja

(1) Krzywą nazywamy łukiem gładkim jeśli istnieje parametryzacja taka, że pochodne i są ciągłe oraz zachodzi

dla każdego

(2) Krzywą nazywamy regularną, jeśli można ją podzielić na skończoną ilość łuków gładkich, to znaczy, jeśli istnieje parametryzacja i istnieje podział odcinka punktami taki, że parametryzuje łuk gładki.
(3) Jeśli to krzywą nazywamy zamkniętą.
{ Rysunek AM2.M12.W.R03 (stary numer AM2.12.2.a)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R04 (stary numer AM2.12.2.b)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R05 (stary numer AM2.12.2.c)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R06 (stary numer AM2.12.2.d)}
{ Rysunek AM2.M12.W.R07 (stary numer AM2.12.2.e)}

Weźmy teraz krzywą i jej parametryzację Ustalmy takie, że i oznaczmy Niech będzie inną parametryzacją krzywej

Definicja

(1) Mówimy, że zadaje na tę samą orientację co jeśli dla takich, że i mamy
(Oznacza to, że dla przebiegających wartości od do wartości "wędrują" po krzywej od punktu do punktu tak samo jak wartości dla przebiegającego od do ).
(2) Mówimy, że zadaje na orientację przeciwną niż jeśli dla takich, że i mamy
(Tym razem dla przebiegających wartości od do wartości "wędrują" po krzywej od punktu do punktu ).

Jeśli to jako możemy wziąć po prostu i

Przykład

Wróćmy do trzech parametryzacji odcinka, pokazanych w przykładzie powyżej. Łatwo zauważyć, że zadaje na tę samą orientację co a zadaje orientację przeciwną niż (i ); weźmy na przykład wtedy oraz mamy i Dla natomiast, i a więc zadaje orientację przeciwną niż patrz rysunek do Przykładu Uzupelnic p.am2.w.12.0030|.

Możemy teraz zdefiniować całkę krzywoliniową zorientowaną.

Definicja

Niech będzie krzywą w daną przez parametryzację Niech będzie odwzorowaniem ciągłym

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F \ =\ (P,Q): K\to \mathbb{R}^2. }

Niech oznacza iloczyn skalarny w przez oznaczymy zmienne w Wówczas całkę

nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną po krzywej i oznaczamy

gdzie

Zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F(\gamma(t))\circ\gamma'(t) \ =\ (P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ(\varphi'(t),\psi'(t)) \ =\ P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t), }

wszystkie funkcje występujące w tym wyrażeniu są z założenia ciągłe, zatem istnieje całka (Riemanna) po przedziale z

Uwaga

Zapis i oznaczenia
Całkę krzywoliniową dla krzywej w zapisuje się najczęściej jako

a dla krzywej zamkniętej

Wykażemy teraz następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie

Niech i będą jak w definicji Uzupelnic d.am2.w.12.0070|. Niech będzie inną parametryzacją krzywej Jeśli zadaje tę samą orientację krzywej co to

jeśli natomiast zadaje orientację krzywej przeciwną niż to

Stwierdzenie to mówi zatem, że dla parametryzacji dających tę samą orientację krzywej, całki krzywoliniowe zorientowane są równe. Dla parametryzacji dających orientację przeciwną, całka krzywoliniowa zorientowana zmienia znak - i stąd nazwa "zorientowana".

Warto tu zauważyć, że w takim razie - z dokładnością do znaku - całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji, zależy tylko od krzywej jako zbioru i od odwzorowania .

Dowód

Weźmy parametryzację krzywej dającą tę samą orientację co Musimy wykazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Oznaczmy przez Wtedy i A zatem :

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t) \ =\ \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\gamma(\varphi(t)))\circ\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)dt. }

Skorzystamy z twierdzenia o zmianie zmiennych w całce Riemanna (twierdzenie AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.14.180|). Przyjmijmy wtedy i mamy

co należało dowieść.

Niech teraz będzie parametryzacją dającą orientację przeciwną Mamy wykazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ -\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }

Zdefiniujmy parametryzację następująco:

Nietrudno zobaczyć, że jeśli daje orientację przeciwną niż to daje tę samą orientację co A zatem, z pierwszej części dowodu mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\tilde{\gamma}(s))\circ\tilde{\gamma}'(s)ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds. }

Zauważmy, że Przyjmując mamy zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds \ =\ \displaystyle\int\limits_{b}^{a}F(\hat{\gamma}(t))\circ(-\hat{\gamma}'(t))d(-t) \ =\ -\displaystyle\int\limits_{a}^{b}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt. }
End of proof.gif
Uwaga

(1) Niech będzie parametryzacją krzywej Przez będziemy oznaczać krzywą z parametryzacją ( zadaje orientację przeciwną niż ).
(2) Jeśli krzywa ma parametryzację , a krzywa parametryzację oraz , to przez będziemy oznaczać krzywą o parametryzacji

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \gamma: [a,c]\ni t \to \begincases \gamma_1(t), \ t\in[a,b]\\ \gamma_2(t)\ t\in [b,c]. \endcases }

(Czyli jest "sklejeniem" krzywych i w ten sposób, że koniec łączy się z początkiem ).

Przykład

(1) Policzyć całkę

gdzie jest górną połową okręgu o promieniu

Górna połowa okręgu o promieniu jest sparametryzowana przez

A zatem, zgodnie z definicją całki krzywoliniowej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_K(x-y)dx+(x+y)dy &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(\cos t)'+(\cos t+\sin t)(\sin t)'\right)dt\\ &= \displaystyle\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(-\sin t)+(\cos t+\sin t)\cos t\right)dt \displaystyle\int\limits_0^{\pi}dt =\pi. \endaligned}

(2) Policzyć całkę

gdzie jest okręgiem o promieniu

Parametryzacją okręgu o promieniu jest

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \displaystyle\int\limits_Kydx+xdy &= \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left((R\sin t)(-R\sin t)+(R\cos t)(R\cos t)\right)dt=R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}(\cos^2t-\sin^2t)dt\\ &= R^2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\cos 2tdt=\frac{R^2}{2}\sin{2t}\bigg|_0^{2\pi}=0. \endaligned}

(3) Policzyć całkę

gdzie jest odcinkiem w łączącym punkt z Punktem

Jak już wiemy odcinek możemy sparametryzować za pomocą:

Stąd

Sformułujemy teraz i udowodnimy twierdzenie, które mówi o związku całki krzywoliniowej z całką podwójną. Potrzebna nam będzie pojęcie krzywej zamkniętej "zorientowanej dodatnio". Weźmy krzywą zamkniętą w ograniczającą zbiór Wybierzmy parametryzację krzywej Wybór parametryzacji wyznacza kierunek obiegu krzywej - z danego punktu poruszamy się w kierunku pokazywanym przez wektor styczny Umawiamy się, że jest zorientowana dodatnio, jeśli przy obiegu zgodnie z kierunkiem wyznaczonym przez parametryzację, zbiór zostaje "po naszej lewej stronie".
{ Rysunek AM2.M12.W.R08 (stary numer AM2.12.3)}

Weźmy teraz krzywą zorientowaną dodatnio, ograniczającą zbiór Niech oznacza (Zapisujemy także jest brzegiem ). Załóżmy, że zbiór jest normalny ze względu na obie osie. Weźmy dwie funkcje ciągłe w i mające ciągłe pochodne cząstkowe w . Możemy teraz wypowiedzieć twierdzenie.

Twierdzenie

(Twierdzenie Greena)
Niech krzywa zbiór oraz funkcje i będą jak wyżej. Wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy. }

Dowód

Wykażemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K P(x,y)dx \ =\ \iint\limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy }

i

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_K Q(x,y) dy \ =\ \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) dxdy. }

Skoro zbiór jest normalny względem osi to istnieje przedział i dwie funkcje takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | a\leq x\leq b, y_1(x)\leq y \leq y_2(x)\}. }

Oznaczmy przez wykres funkcji a przez wykres funkcji Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ K_1+(-K_2), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\displaystyle\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx. }

Korzystając teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:

oraz

a zatem

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned & & \displaystyle\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx=\displaystyle\int\limits_{K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx\\ &= -\displaystyle\int\limits_{-K_2}P(x,y)dx-\displaystyle\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=-\oint_KP(x,y)dx. \endaligned}

Analogicznie, skoro jest normalny względem osi to istnieje przedział i dwie funkcje takie, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | c\leq y\leq d, x_1(y)\leq x \leq x_2(y)\}. }

Oznaczmy przez wykres funkcji a przez wykres funkcji Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K \ =\ L_1+(-L_2), }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\displaystyle\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y)\right)dy= }

analogicznie jak wyżej

End of proof.gif
Uwaga

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów normalnych względem obu osi.

Dowód

Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru będącego sumą dwóch zbiorów normalnych względem obu osi, Niech będzie krzywą dzielącą na niech Zauważmy, że jeśli i zorientujemy dodatnio, to krzywą przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę Możemy zatem napisać
{ Rysunek AM2.M12.W.R09 (stary numer AM2.12.4)}
Wtedy

End of proof.gif

Przykład

(1) Policzyć jeszcze raz całkę

gdzie jest okręgiem o promieniu tym razem korzystając z twierdzenia Greena.

Oznaczmy przez koło o promieniu Teraz Z twierdzenia Greena mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_K ydx+xdy \ =\ \iint\limits_D(1-1)dxdy=\iint\limits_D 0 dxdy \ =\ 0. }

Wykażemy jeszcze następującą uwagę.

Uwaga

Pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywą wyraża się za pomocą całek krzywoliniowych następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |D| \ =\ \oint_Kxdy=-\oint_Kydx. }

albo

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |D| \ =\ \frac{1}{2}\oint_Kxdy-ydx. }

Dowód

Faktycznie, z twierdzenia Greena mamy

End of proof.gif

Powiemy jeszcze kilka słów o polach potencjalnych. Z polami potencjalnymi spotkaliśmy się już na wykładzie poświęconym funkcjom wielu zmiennych. Przypomnijmy, że polem wektorowym nazywamy odwzorowanie z w . (Nazwa bierze się stąd, że każdemu punktowi z przyporządkowujemy wartość odwzorowania w tym punkcie, a więc wektor z ).

Niech teraz będzie zbiorem, którego brzegiem jest jedna krzywa (zwyczajna) zamknięta , to znaczy . (Taki zbiór będziemy nazywać zbiorem jednospójnym. Przykładem zbioru, który jest jednospójny jest koło. Koło bez środka nie jest zbiorem jednospójnym).

Na określmy odwzorowanie (pole wektorowe)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F(x,y) \ =\ (P(x,y),Q(x,y))\in \mathbb{R}^2. }

Faktycznie, to odwzorowanie każdemu punktowi przyporządkowuje wektor z

Będziemy zakładać, że nasze pole wektorowe jest ciągłe i ma ciągłe pochodne cząstkowe w

Definicja

Mówimy, że pole wektorowe jest polem potencjalnym, jeśli istnieje funkcja (zwana potencjałem pola) taka, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle (P(x,y),Q(x,y)) \ =\ \left(\frac{\partial \varrho}{\partial x}(x,y), \frac{\partial \varrho}{\partial y}(x,y)\right), }

co zapisujemy krótko

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle F\ =\ \nabla\varrho. }
Uwaga

Zauważmy, że jeśli pole jest potencjalne, to z faktu, że i wynika, że bo oba wyrażenia są równe .

Korzystając z twierdzenia Greena możemy wykazać, że w polu potencjalnym całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania. Dokładniej, zachodzi następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie

Niech będzie obszarem jednospójnym w a polem wektorowym na Niech i będą dwoma punktami w a i dwoma krzywymi łączącymi punkty i Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1}Pdx+Qdy \ =\ \displaystyle\int\limits_{K_2}Pdx+Qdy. }

Dowód

Stwierdzenie wykażemy tylko w przypadku, gdy krzywe i nie przecinają się i ograniczają razem zbiór normalny (względem którejś osi) czyli tak jak w dowodzie twierdzenia Greena. Wtedy z twierdzenia Greena mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \oint_{K_1-K_2}Pdx+Qdy \ =\ \iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dxdy \ =\ 0, }

bo obie pochodne cząstkowe są sobie równe, zobacz wyżej.

End of proof.gif

Zauważmy, że z tego stwierdzenia wynika od razu, że całka po krzywej zamkniętej w polu potencjalnym wynosi zero.

Można także wykazać następujące stwierdzenie (my jego dowód pominiemy).

Stwierdzenie

Niech będzie obszarem jednospójnym w a polem wektorowym klasy na Jeśli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} \ =\ \frac{\partial Q}{\partial x} }

to pole jest polem potencjalnym.

Przykład

Przypomnijmy znany z fizyki wzór na pracę. Niech będzie polem wektorowym reprezentującym siłę. Siły pola działają na punkt, który przesuwamy po krzywej Wtedy praca pola sił wyraża się wzorem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle W \ =\ \displaystyle\int\limits_KF\circ d\textbf{x} \ =\ \displaystyle\int\limits_KPdx+Qdy. }
Rozwiązanie

Na zakończenie warto wspomnieć o związku całki krzywoliniowej zorientowanej z całką krzywoliniową niezorientowaną, wprowadzoną na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Weźmy krzywą o parametryzacji Niech będzie polem wektorowym na Mamy wówczas całkę krzywoliniową zorientowaną:

Z definicji iloczynu skalarnego w i normy euklidesowej w ,

gdzie oznacza długość wektora a jest kątem pomiędzy wektorem a wektorem stycznym Ze wzoru na długość wektora mamy

{ Rysunek AM2.M12.W.R10 (nowy)}
Zauważmy jeszcze, że

jest długością rzutu prostopadłego wektora na styczną do krzywej, czyli długością składowej stycznej. A zatem