Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 2/Wykład 12: Całka krzwoliniowa. Twierdzenie Greena

==Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena==

Ten wykład poświęcony jest pojęciu całki krzywoliniowej i
twierdzeniu pozwalającemu liczyć całki krzywoliniowe przy pomocy
całek podwójnych (albo vice versa) - czyli twierdzeniu
Greena. Nasze rozważania dotyczące krzywych ograniczamy
do krzywych płaskich (leżących w <math>\mathbb{R}^2</math>).
Podajemy definicje parametryzacji krzywej,
krzywej regularnej,
krzywej zamkniętej, orientacji, zbioru normalnego
i zbioru regularnego.
Twierdzenia Greena dowodzimy dla zbiorów regularnych.
Wprowadzamy też pojęcie pola potencjalnego.

Na początku tego wykładu warto przypomnieć sobie twierdzenie
Newtona-Leibniza (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej#twierdzenie_14_15|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 14.15.]]),
które mówi, że

<center><math>\int\limits_a^b f(x)\,dx
=
F(b)-F(a)
</math></center>

gdzie <math>F</math> jest pierwotną funkcji <math>f</math>.
Zauważmy, że twierdzenie to wyraża całkę z funkcji <math>f</math> po
odcinku
(przedziale <math>[a,b]</math>) za pomocą wartości <math>F</math> na brzegu odcinka
(to znaczy w punktach <math>a</math> i <math>b</math>).

Okazuje się, że twierdzenie to można uogólnić.
Takim uogólnieniem będzie twierdzenie Greena, które poznamy
na tym wykładzie.
Pozwala ono zamienić całkowanie po obszarze płaskim na
całkowanie po krzywej, która ogranicza ten obszar.

==Krzywe==

[[File:AM2.M12.W.R01.svg|375x375px|thumb|right|Krzywa w <math>\mathbb{R}^2</math>]]

Przypomnijmy definicję krzywej zwyczajnej
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 15: Krzywe i bryły obrotowe#definicja_15_1|Analiza matematyczna 1 definicja 15.1.]]).

Niech <math>[a,b]</math> będzie przedziałem w <math>\mathbb{R}</math> Weźmy ciągłą
funkcję

<center>
<math>\gamma : [a,b]\ni t \to (\varphi(t),\psi(t))\in \mathbb{R}^2
</math>
</center>

Załóżmy, że funkcja <math>\gamma</math> jest różnowartościowa na <math>(a, b]</math> i
na <math>[a,b)</math>. (Możliwe jest więc, że <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math>).
{{definicja|12.1.||

Przy założeniach jak wyżej, '''''krzywą zwyczajną''''' <math>K</math>
będziemy nazywać obraz odcinka <math>[a,b]</math> przez <math>\gamma</math>

<center>
<math>K
\ :=
\{\gamma(t)\in \mathbb{R}^2 | t\in[a,b]\}
</math>
</center>

Funkcję <math>\gamma</math> nazywamy
'''''parametryzacją''''' krzywej <math>K</math><br>
}}

W dalszych rozważaniach będziemy zajmować się tylko
krzywymi zwyczajnymi (czyli takimi, które nie mają punktów
wielokrotnych, więc
będziemy pisać "krzywa", zakładając, że jest to krzywa zwyczajna.

{{uwaga|12.2.||

Krzywa <math>K</math> może mieć różne parametryzacje.
}}
{{przyklad|12.3.|prz_12_3|

Jako krzywą <math>K</math> weźmy odcinek w <math>\mathbb{R}^2</math>
łączący punkt <math>(0,0)</math> z punktem <math>(1,1)</math>. Oto przykłady
parametryzacji <math>K</math>:<br>
'''(1)''' <math>\gamma_I: [0,1]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_I(t)=(t,t)</math>,<br>
'''(2)'''  <math>\gamma_{II}: [0,\frac{1}{2}]\to \mathbb{R}^2, 
\gamma_{II}(t)=(2t,2t)</math><br>
'''(3)'''
<math>\gamma_{III}: [0,1]\to \mathbb{R}^2, \ \gamma_{III}(t)=(1-t,1-t)</math><br>}}


{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|[[File:AM2.M12.W.R02.svg|253x253px|thumb|center|Parametryzacje odcinka]]
|[[File:AM2.M12.W.R03.mp4|253x253px|thumb|center|Łuk gładki]]
|}

{{definicja|12.4.||

'''(1)''' Krzywą <math>K</math> nazywamy '''''łukiem gładkim''''', jeśli istnieje
parametryzacja <math>\gamma=(\varphi,\psi): [a,b]\to\mathbb{R}^2</math> taka,
że pochodne <math>\varphi'</math> i <math>\psi'</math> są ciągłe oraz zachodzi

<center>
<math>(\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2>0</math>  dla każdego  <math>t\in
[a,b]
</math>
</center>

'''(2)'''
Krzywą <math>K</math> nazywamy '''''regularną''''', jeśli można ją
podzielić na skończoną ilość łuków gładkich, to znaczy, jeśli
istnieje parametryzacja <math>\gamma : [a,b]\to\mathbb{R}^2</math> i istnieje
podział odcinka <math>[a,b]</math> punktami <math>a=t_0<t_1<\ldots<t_s=b</math> taki, że
<math>\gamma_{[t_i,t_{i+1}]}, i=0,\ldots,s-1</math> parametryzuje łuk
gładki.<br>
'''(3)''' Jeśli <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math>, to krzywą nazywamy
'''''zamkniętą.'''''<br>}}

{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|[[File:AM2.M12.W.R04.svg|253x253px|thumb|center|Krzywa regularna, która nie jest łukiem gładkim]]
|[[File:AM2.M12.W.R05.mp4|253x253px|thumb|center|Krzywa, która nie jest zwyczajna]]
|}

Weźmy teraz krzywą <math>K</math> i jej parametryzację
<math>\gamma : [a,b]\to\mathbb{R}^2</math>.
Ustalmy <math>t_1,t_2\in [a,b]</math> takie, że <math>t_1<t_2</math> i
oznaczmy <math>\gamma(t_1)=P_1, \gamma(t_2)=P_2</math> Niech
<math>\tilde{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2</math> będzie inną
parametryzacją krzywej <math>K</math>

{{definicja|12.5.||

'''(1)'''
Mówimy, że <math>\tilde{\gamma}</math> zadaje na <math>K</math> '''''tę samą orientację'''''
co <math>\gamma</math>, jeśli dla <math>q_1, q_2\in[\alpha,\beta]</math>
takich, że
<math>\tilde{\gamma}(q_1)=P_1</math>  i  <math>\tilde{\gamma}(q_2)=P_2</math>
mamy <math>q_1<q_2</math>.<br>
(Oznacza to, że dla <math>\tau</math> przebiegających wartości od <math>\alpha</math> do
<math>\beta</math>, wartości <math>\tilde{\gamma}(\tau)</math> "wędrują" po krzywej <math>K</math>
od punktu <math>A</math> do punktu <math>B</math>, tak samo jak wartości <math>\gamma(t)</math> dla
<math>t</math> przebiegającego od <math>a</math> do <math>b</math>).<br>
'''(2)'''
Mówimy, że <math>\tilde{\gamma}</math> zadaje na <math>K</math>
''''' orientację przeciwną'''''
niż <math>\gamma</math> jeśli dla <math>q_1, q_2 \in [\alpha,\beta]</math>
takich, że <math>\tilde{\gamma}(q_1)=P_1</math> i <math>\tilde{\gamma}(q_2)=P_2</math>
mamy <math>q_1>q_2</math>.<br>
(Tym razem dla <math>\tau</math> przebiegających wartości od <math>\alpha</math> do
<math>\beta</math>, wartości <math>\tilde{\gamma}(\tau)</math> "wędrują" po krzywej <math>K</math>
od punktu <math>B</math> do punktu <math>A</math>).

Jeśli <math>A\neq B</math>, to jako <math>t_1, t_2</math> możemy wziąć po prostu <math>a</math> i <math>b</math>.}}

{{przyklad|12.6.||

Wróćmy do trzech parametryzacji odcinka, pokazanych w
przykładzie powyżej. Łatwo zauważyć, że <math>\gamma_{II}</math> zadaje na
<math>K</math> tę samą orientację co <math>\gamma_I</math>, a <math>\gamma_{III}</math> zadaje
orientację przeciwną niż <math>\gamma_{I}</math> (i <math>\gamma_{II}</math>); weźmy na
przykład <math>t_1=0, t_2=1</math>, wtedy <math>\gamma_I(t_1)=(0,0),
\gamma_I(t_2)=(1,1)</math> oraz mamy <math>\gamma_{II}(0)=(0,0),
\gamma_{II}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=(1,1)</math> i <math>0<\frac{1}{2}</math>. Dla
<math>\gamma_{III}</math> natomiast, <math>\gamma_{III}(1)=(0,0)</math> i
<math>\gamma_{III}(0)=(1,1),1>0</math>, a więc <math>\gamma_{III}</math> zadaje
orientację przeciwną niż <math>\gamma_I</math>, (patrz rysunek
do [[#prz_12_3|przykładu 12.3.]])
}}
Możemy teraz zdefiniować całkę krzywoliniową zorientowaną.

{{definicja|12.7.|def_12_7|

Niech <math>K</math> będzie  krzywą w  <math>\mathbb{R}^2</math> daną przez
parametryzację <math>\gamma =(\varphi,\psi) : [a,b]\to\mathbb{R}^2</math>
Niech <math>F</math> będzie odwzorowaniem ciągłym

<center>
<math>F
=
(P,Q): K\to \mathbb{R}^2
</math>
</center>

Niech <math>\circ</math> oznacza iloczyn skalarny w
<math>\mathbb{R}^2</math>, przez <math>(x,y)</math> oznaczymy zmienne w <math>\mathbb{R}^2</math>
Wówczas  całkę

<center>
<math>\int\limits_a^b\left(F(\gamma(t))\circ\gamma'(t)\right)dt
</math>
</center>

nazywamy całką
krzywoliniową zorientowaną po krzywej <math>K</math> i oznaczamy

<center>
<math>\int\limits_KF\circ d\textbf{x}
</math>
</center>

gdzie <math>d\textbf{x}=(dx,dy)</math>
}}
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|[[File:AM2.M12.W.R06.mp4|253x253px|thumb|center|Krzywa zw. zamknięta będąca łukiem gładkim]]
|[[File:AM2.M12.W.R07.mp4|253x253px|thumb|center|Krzywa regularna zamknięta]]
|}

Zauważmy, że

<center>
<math>\begin{array}{lll}F(\gamma(t))\circ\gamma'(t)
\ &=& 
(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ(\varphi'(t),\psi'(t))\\
\ &=& 
P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)
\end{array}
</math>
</center>

wszystkie funkcje występujące w tym wyrażeniu są z założenia
ciągłe, zatem istnieje całka (Riemanna) po przedziale <math>[a,b]</math> z
<math>F(\gamma(t))\circ\gamma'(t)</math>

{{uwaga|12.8.||
'''Zapis i oznaczenia'''<br>
Całkę krzywoliniową
<math>\int\limits_KF\circ d\textbf{x}</math> dla krzywej w <math>K\subset \mathbb{R}^2</math> zapisuje
się najczęściej jako

<center>
<math>\int\limits_KP(x,y)dx+Q(x,y)dy</math>,
</center>

a dla krzywej zamkniętej <math>K</math>

<center>
<math>\oint_KP(x,y)dx+Q(x,y)dy
</math>
</center>

}}

Wykażemy teraz następujące stwierdzenie.

{{stwierdzenie|12.9.||

Niech <math>K,F</math> i <math>\gamma</math> będą jak w[[#def_12_7|definicji 12.7]].
Niech <math>\hat{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2</math> będzie inną
parametryzacją krzywej <math>K</math>. Jeśli <math>\hat{\gamma}</math> zadaje tę samą
orientację krzywej <math>K</math> co <math>\gamma</math>, to

<center>
<math>\int\limits_K\mathbf{F}od\mathbf{x}=\int\limits_a^bF(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt;
</math>
</center>

jeśli natomiast <math>\hat{\gamma}</math> zadaje  orientację krzywej <math>K</math>
przeciwną niż <math>\gamma</math>, to

<center>
<math>\int\limits_K\mathbf{F}od\mathbf{x}=-\int\limits_a^bF(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt
</math>
</center>

}}

Stwierdzenie to mówi  zatem, że  dla  parametryzacji dających
tę samą orientację krzywej, całki krzywoliniowe zorientowane są
równe. Dla parametryzacji
dających orientację przeciwną, całka krzywoliniowa zorientowana
zmienia znak - i stąd nazwa "zorientowana".

Warto tu zauważyć, że w takim razie  - z dokładnością do znaku -
całka krzywoliniowa
nie zależy od parametryzacji, zależy tylko od krzywej jako
zbioru i od odwzorowania <math>F</math>.

{{dowod|12.9.||

Weźmy parametryzację krzywej <math>K,\hat{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2</math> dającą tę samą orientację
co <math>\gamma</math>. Musimy wykazać, że

<center><math>\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt
=
\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt
</math></center>

Oznaczmy przez <math>\varphi(t):=\gamma^{-1}(\hat{\gamma}(t))</math> Wtedy
<math>\hat{\gamma}(t)=\gamma(\varphi(t))</math> i
<math>\hat{\gamma}'(t)=\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)</math> A zatem :

<center><math>\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)
=
\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\gamma(\varphi(t)))\circ\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)dt
</math></center>

Skorzystamy z twierdzenia o zmianie zmiennych w całce Riemanna
([[Analiza matematyczna 1/Wykład 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej#twierdzenie_14_19|Analiza matematyczna 1 twierdzenie 14.19]]). Przyjmijmy <math>s=\varphi(t)</math>, wtedy
<math>\varphi[\alpha,\beta]=[a,b]</math> i mamy

<center><math>\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\gamma(\varphi(t)))\circ\gamma'(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int\limits_a^bF(\gamma(s))\gamma'(s)ds</math>,</center>

co należało dowieść.

Niech teraz <math>\hat{\gamma}:[\alpha,\beta]\to \mathbb{R}^2</math> będzie parametryzacją <math>K</math>  dającą  orientację
przeciwną <math>\gamma</math>. Mamy wykazać, że

<center><math>\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt
=
-\int\limits_{\alpha}^{\beta}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt</math></center>

Zdefiniujmy parametryzację <math>\tilde{\gamma}</math> następująco:

<center><math>\tilde{\gamma}:[-b,-a]\ni t \to \hat\gamma(-t)\in K
</math></center>

Nietrudno
zobaczyć, że jeśli <math>\hat{\gamma}</math> daje orientację przeciwną niż
<math>\gamma</math>, to <math>\tilde{\gamma}</math> daje tę samą orientację co <math>\gamma</math>.
A zatem z pierwszej części dowodu mamy

<center><math>\int\limits_a^bF(\gamma(t))\circ\gamma'(t)dt
=
\int\limits_{-b}^{-a}F(\tilde{\gamma}(s))\circ\tilde{\gamma}'(s)ds
=
\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds</math></center>

Zauważmy, że <math>(\hat{\gamma}(-s))'=-\hat{\gamma}'(-s)</math>.
Przyjmując <math>t=-s</math>, mamy zatem:

<center><math>\int\limits_{-b}^{-a}F(\hat{\gamma}(-s))\circ(\hat{\gamma}(-s))'ds
=
\int\limits_{b}^{a}F(\hat{\gamma}(t))\circ(-\hat{\gamma}'(t))d(-t)
=
-\int\limits_{a}^{b}F(\hat{\gamma}(t))\circ\hat{\gamma}'(t)dt</math></center>

}}

{{uwaga|12.10.||

'''(1)''' Niech <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}^2</math> będzie parametryzacją krzywej
<math>K</math>. Przez <math>-K</math> będziemy oznaczać krzywą <math>K</math> z parametryzacją
<math>\hat\gamma :[-b,-a]\to \mathbb{R}^2, \hat{\gamma}(t):=\gamma(-t)</math>
(<math>\hat{\gamma}</math> zadaje orientację przeciwną niż
<math>\gamma</math>).<br>
'''(2)''' Jeśli krzywa <math>K_1</math> ma parametryzację <math>\gamma_1 :[a,b]\to
\mathbb{R}^2</math>,
a krzywa <math>K_2</math> parametryzację <math>\gamma_2 :[b,c]\to
\mathbb{R}^2</math> oraz <math>\gamma_1(b)=\gamma_2(b)</math>, to przez <math>K_1+K_2</math>
będziemy oznaczać krzywą o parametryzacji

<center><math>\gamma: [a,c]\ni t \to \begin{cases}  \gamma_1(t), \ t\in[a,b]\\
\gamma_2(t)\ t\in [b,c].
\end{cases} 
</math></center>

(Czyli <math>K_1+K_2</math> jest "sklejeniem" krzywych <math>K_1</math> i <math>K_2</math> w ten
sposób, że koniec <math>K_1</math> łączy się z początkiem <math>K_2</math>).

}}

{{przyklad|12.11.||

'''(1)'''  Policzyć całkę

<center><math>\int\limits_K(x-y)dx+(x+y)dy</math>,</center>

gdzie <math>K</math> jest górną połową okręgu
o promieniu <math>1</math>.

Górna połowa okręgu o promieniu <math>1</math> jest sparametryzowana przez

<center><math>\gamma :[0,\pi)\ni t \to (\cos t, \sin t)\in \mathbb{R}^2</math></center>

A zatem zgodnie z definicją całki krzywoliniowej

<center><math>\begin{align} 
\int\limits_K(x-y)dx+(x+y)dy
&=
\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(\cos t)'+(\cos t+\sin t)(\sin t)'\right)dt\\
&=
\int\limits_0^{\pi}\left((\cos t-\sin t)(-\sin t)+(\cos t+\sin t)\cos
t\right)dt \int\limits_0^{\pi}dt =\pi.
\end{align}</math></center>

'''(2)''' Policzyć całkę

<center><math>\int\limits_K ydx+xdy</math>,</center>

gdzie <math>K</math> jest okręgiem o promieniu <math>R</math>.

Parametryzacją okręgu o promieniu <math>R</math> jest

<center><math>\gamma :[0,2\pi)\ni t \to (R\cos t, R\sin t)\in \mathbb{R}^2</math>,</center>

zatem

<center><math>\begin{align} 
\int\limits_Kydx+xdy
&=
\int\limits_0^{2\pi}\left((R\sin t)(-R\sin t)+(R\cos
t)(R\cos t)\right)dt\\&=R^2\int\limits_0^{2\pi}(\cos^2t-\sin^2t)dt
=
R^2\int\limits_0^{2\pi}\cos
2tdt=\frac{R^2}{2}\sin{2t}\bigg|_0^{2\pi}=0.
\end{align}</math></center>

'''(3)''' Policzyć całkę

<center><math>\int\limits_K\cos^2x dy+\sin^2y dx</math>,</center>

gdzie <math>K</math> jest odcinkiem w <math>\mathbb{R}^2</math>
łączącym punkt <math>(0,0)</math> z Punktem <math>(1,1)</math>.

Jak już wiemy, odcinek <math>K</math> możemy sparametryzować za pomocą:

<center><math>\gamma:[0,1]\ni t \to (t,t)\in K\subset \mathbb{R}^2</math></center>

Stąd

<center><math>\int\limits_K\cos^2x dy+\sin^2y dx=\int\limits_0^1(\cos^2 t\cdot 1 +\sin^2
t\cdot 1)d t=\int\limits_0^1dt=1</math></center>

}}
[[File:AM2.M12.W.R08.mp4|253x253px|thumb|right|Dodatnia orientacja krzywej <math>K</math>]]

Sformułujemy teraz i udowodnimy twierdzenie,  które mówi o
związku całki krzywoliniowej z całką podwójną. Potrzebne nam
będzie pojęcie krzywej zamkniętej "zorientowanej dodatnio". Weźmy
<math>K</math>, krzywą zamkniętą w <math>\mathbb{R}^2</math>, ograniczającą zbiór <math>D</math>.
Wybierzmy parametryzację <math>\gamma</math> krzywej <math>K</math>. Wybór
parametryzacji wyznacza kierunek obiegu krzywej - z danego punktu
poruszamy się w kierunku pokazywanym przez wektor styczny
<math>[\varphi'(t),\psi'(t)]</math>. Umawiamy się, że <math>K</math> jest
'''''zorientowana dodatnio,''''' jeśli przy obiegu <math>K</math> zgodnie z
kierunkiem wyznaczonym przez parametryzację zbiór  <math>D</math> zostaje "po
naszej lewej stronie".<br>

Weźmy teraz krzywą <math>K</math> zorientowaną dodatnio
ograniczającą zbiór <math>D\subset \mathbb{R}^2</math>. Niech <math>\overline{D}</math> oznacza
<math>D\cup K</math>. (Zapisujemy także <math>K=\partial D,K</math> jest brzegiem
<math>D</math>). Załóżmy, że zbiór <math>D</math> jest
normalny ze względu na obie osie.
Weźmy dwie funkcje <math>P, Q : \overline{D}\to \mathbb{R}</math>,
ciągłe w <math>\overline{D}</math> i mające
ciągłe pochodne cząstkowe w <math>D</math>.
Możemy teraz wypowiedzieć twierdzenie.

{{twierdzenie|12.12. [Twierdzenie Greena]||
Niech krzywa <math>K</math>,
zbiór <math>D</math> oraz funkcje <math>P(x,y)</math> i <math>Q(x,y)</math> będą jak wyżej. Wtedy:

<center>
<math>\oint_K Pdx+Qdy
=
\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}
-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy</math>
</center>

}}

{{dowod|12.12.||

Wykażemy, że

<center>
<math>\oint_K P(x,y)dx
=
\iint\limits_D -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy
</math>
</center>

i

<center>
<math>\oint_K Q(x,y) dy
=
\iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y) dxdy</math>
</center>

Skoro zbiór <math>D</math> jest normalny względem osi <math>Ox</math>,
to istnieje przedział <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> i dwie funkcje
<math>y_1(x), y_2(x)</math> takie, że

<center>
<math>D
=
\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, y_1(x)\leq y \leq y_2(x)\}</math>
</center>

Oznaczmy przez <math>K_1</math> wykres funkcji <math>y_1(x)</math>, a przez <math>K_2</math> wykres
funkcji <math>y_2(x)</math>. Wówczas

<center><math>K
=
K_1+(-K_2)</math>,</center>

zatem

<center><math>\iint\limits_D \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy
=
\int\limits_a^b\  dy \int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)dxdy
=
\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx</math></center>

Korzystając
teraz z definicji całki krzywoliniowej, mamy:

<center><math>\int\limits_{K_2}P(x,y)dx=\int\limits_a^bP(x,y_2(x))dx
</math></center>

oraz

<center><math>\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=\int\limits_a^bP(x,y_1(x))dx</math>,</center>

a zatem

<center><math>\begin{align} 
\int\limits_a^b\left(P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right)dx&=\int\limits_{K_2}P(x,y)dx-\int\limits_{K_1}P(x,y)dx\\
&=
-\int\limits_{-K_2}P(x,y)dx-\int\limits_{K_1}P(x,y)dx=-\oint_KP(x,y)dx.
\end{align}</math></center>

Analogicznie, skoro  <math>D</math> jest normalny względem osi
<math>Oy</math>, to istnieje przedział <math>[c,d]\subset \mathbb{R}</math> i
dwie funkcje <math>x_1(y), x_2(y)</math> takie, że

<center><math>D
=
\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : c\leq y\leq d, x_1(y)\leq x \leq x_2(y)\}</math></center>

Oznaczmy przez <math>L_1</math> wykres funkcji <math>x_1(y)</math>, a przez <math>L_2</math> wykres
funkcji <math>x_2(y)</math>. Wówczas

<center><math>K
=
L_1+(-L_2)</math>,</center>

zatem

<center><math>\iint\limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dxdy
=
\int\limits_c^d dy \int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)dx
=
\int\limits_c^d\left(Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y)\right)dy=
</math></center>

analogicznie jak wyżej

<center><math>=\int\limits_{L_2}Q(x,y)dx-\int\limits_{L_1}Q(x,y)dx= \oint\limits_{K} Q(x,y)dx</math></center>

}}

{{uwaga|12.13.||

Zauważmy, że twierdzenie Greena jest prawdziwe także dla
zbiorów, które możemy podzielić na skończoną sumę zbiorów
normalnych względem obu osi.
}}

[[File:Am2.12.4.mp4|253x253px|thumb|right|Podział zbioru na zbiory normalne]]
{{dowod|12.13.||

Wystarczy wykazać uwagę dla zbioru <math>D</math> będącego sumą dwóch
zbiorów normalnych względem obu osi <math>D=D_1\cup D_2</math>. Niech <math>L</math>
będzie krzywą dzielącą <math>D</math> na <math>D_1\cup D_2</math>, niech <math>K_1=\partial
D_1\setminus L, K_2=\partial D\setminus L</math>. Zauważmy, że jeśli
<math>\partial D_1</math> i <math>\partial D_2</math> zorientujemy dodatnio, to krzywą
<math>L</math> przebiegamy raz w jedną, raz w drugą stronę, możemy zatem
napisać <math>\partial D=K=K_1+L+K_2-L</math>.<br>

Wtedy

<center>
<math>\begin{array}{lll} \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial
P}{\partial y} \right)dxdy&=&\iint\limits_{D_1}\left(\frac{\partial
Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}
\right)dxdy+\iint\limits_{D_2}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}
-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy\\
&=&\int\limits_{K_1+L}Pdx+Qdy+
\int\limits_{K_2-L}Pdx+Qdy=\int\limits_KPdx+Qdy.
\end{array}</math>
</center>}}

{{przyklad|12.14.||

'''(1)'''
Policzyć jeszcze raz całkę

<center>
<math>\int\limits_K ydx+xdy</math>,
</center>

gdzie <math>K</math> jest okręgiem o promieniu <math>R</math>, tym
razem korzystając z twierdzenia Greena.

Oznaczmy przez <math>D</math> koło o promieniu <math>R</math>. Teraz <math>P(x,y)=y, Q(x,y)+x</math>.
Z twierdzenia Greena mamy:

<center><math>\int\limits_K ydx+xdy
=
\iint\limits_D(1-1)dxdy=\iint\limits_D 0 dxdy
=
0</math></center>

}}

Wykażemy jeszcze następującą uwagę.

{{uwaga|12.15.||

Pole powierzchni obszaru <math>D</math> ograniczonego krzywą <math>K</math> wyraża
się za pomocą całek krzywoliniowych następująco:

<center><math>|D|
=
\oint_Kxdy=-\oint_Kydx
</math></center>

albo

<center><math>|D|
=
\frac{1}{2}\oint_Kxdy-ydx</math></center>

}}

{{dowod|12.15.||

Faktycznie, <math>|D|=\iint\limits_D1dxdy</math>, z twierdzenia Greena
mamy <math>\iint\limits_D1 dxdy=\oint\limits_{K}x dy = -\oint\limits_{K}y dx</math>.
}}

Powiemy jeszcze kilka słów  o polach potencjalnych. Z polami potencjalnymi spotkaliśmy się
już na wykładzie poświęconym funkcjom wielu zmiennych.
Przypomnijmy, że '''''polem wektorowym''''' nazywamy odwzorowanie z
<math>\mathbb{R}^N</math> w <math>\mathbb{R}^N</math>. (Nazwa bierze się stąd, że każdemu punktowi
z <math>\mathbb{R}^N</math> przyporządkowujemy wartość odwzorowania w tym punkcie,
a więc wektor z <math>\mathbb{R}^N</math>).

Niech teraz
<math>U\subset \mathbb{R}^2</math>
będzie zbiorem, którego brzegiem jest jedna krzywa (zwyczajna)
zamknięta <math>K</math>, to znaczy <math>K=\partial U</math>.
(Taki zbiór będziemy nazywać zbiorem jednospójnym. Przykładem
zbioru, który jest jednospójny jest koło. Koło bez środka nie jest
zbiorem jednospójnym).

Na <math>U</math> określmy odwzorowanie (pole wektorowe)

<center><math>F:\ U\to \mathbb{R}^2</math>,</center>

<center><math>F(x,y)
=
(P(x,y),Q(x,y))\in \mathbb{R}^2</math></center>

Faktycznie to odwzorowanie
każdemu punktowi <math>(x,y)\in U</math> przyporządkowuje wektor
<math>(P(x,y),Q(x,y))</math> z <math>\mathbb{R}^2</math>.

Będziemy zakładać, że nasze pole wektorowe <math>F</math> jest ciągłe i ma
ciągłe pochodne cząstkowe w <math>U</math>.

{{definicja|12.16.||

Mówimy, że pole wektorowe jest polem potencjalnym, jeśli
istnieje funkcja (zwana  potencjałem pola) <math>\varrho : U\to \mathbb{R}</math>
taka, że

<center><math>(P(x,y),Q(x,y))
=
\left(\frac{\partial \varrho}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial \varrho}{\partial y}(x,y)\right)</math>,</center>

co zapisujemy
krótko

<center><math>F=
\nabla\varrho</math></center>

}}

{{uwaga|12.17.|uw_12_17|

Zauważmy, że jeśli pole jest potencjalne, to z faktu, że
<math>P=\frac{\partial \varrho}{\partial x}</math>  i  <math>Q=\frac{\partial
\varrho}{\partial y}</math>,
wynika, że
<math>\frac{\partial P}{\partial y} \textbf{=}\frac{\partial
Q}{\partial x}</math>, bo oba wyrażenia są równe <math>\frac{\partial^2
\varrho}{\partial x\partial y}</math>.
}}

Korzystając z twierdzenia Greena, możemy wykazać, że w polu
potencjalnym całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania.
Dokładniej, zachodzi następujące stwierdzenie:

{{stwierdzenie|12.18.||

Niech <math>U</math> będzie obszarem jednospójnym w <math>\mathbb{R}^2</math>, a <math>F</math>
polem wektorowym na <math>U</math>. Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą dwoma punktami w <math>U</math>,
a <math>K_1</math> i <math>K_2</math> dwoma krzywymi łączącymi punkty <math>A</math> i <math>B</math>. Wówczas

<center><math>\int\limits_{K_1}Pdx+Qdy
=
\int\limits_{K_2}Pdx+Qdy</math></center>

}}

{{dowod|12.18.||

Stwierdzenie wykażemy tylko w przypadku, gdy krzywe <math>K_1</math> i
<math>K_2</math> nie przecinają się i ograniczają razem zbiór normalny
(względem którejś osi) <math>D</math>, czyli <math>\partial D=K_1-K_2</math>, tak jak w
dowodzie twierdzenia Greena. Wtedy z twierdzenia Greena mamy

<center><math>\oint\limits_{K_1-K_2}Pdx+Qdy
=
\iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)dxdy
=
0</math>,</center>

bo obie pochodne
cząstkowe są sobie równe (zobacz wyżej). 
}}

Zauważmy, że z tego stwierdzenia wynika od razu, że całka po
krzywej zamkniętej w polu potencjalnym wynosi zero.

Można także sformuowaćnastępujące stwierdzenie (dowód
pominiemy).

{{stwierdzenie|12.19.|stw_12_19|

Niech <math>U</math> będzie obszarem jednospójnym w
<math>\mathbb{R}^2</math>, a <math>F=(P,Q)</math> polem wektorowym klasy <math>{\cal C}^1</math> na <math>U</math>.
Jeśli

<center><math>\frac{\partial P}{\partial y}
=
\frac{\partial Q}{\partial x}</math>,</center>

to
pole <math>F</math> jest polem potencjalnym.
}}

{{przyklad|12.20.||

Przypomnijmy znany z fizyki wzór na pracę. Niech <math>F=(P,Q)</math>
będzie polem wektorowym reprezentującym siłę. Siły pola <math>F</math> działają na
punkt, który przesuwamy po krzywej <math>K</math>. Wtedy praca pola sił
wyraża się wzorem

<center><math>W
=
\int\limits_KF\circ d\textbf{x}
=
\int\limits_KPdx+Qdy</math></center>

'''(1)'''
Policzmy pracę wykonaną przez pole sił <math>F=(P,Q)</math>,

<center><math>P(x,y)
=
x^2+y^2, \ Q(x,y)=2xy</math>,</center>

wzdłuż krzywej <math>K</math>: <math>y=x^2</math>,
przy przesunięciu punktu od punktu <math>(0,0)</math> do punktu <math>(1,1)</math>.

Krzywą <math>K</math> możemy sparametryzować <math>\gamma(t)=(t,t^2)</math> dla
<math>t\in[0,1]</math>, tak więc <math>x=t, y=t^2</math>. Mamy zatem

<center><math>W
=
\int\limits_KPdx+Qdy=\int\limits_0^1((t^2+t^4)+(2t^3)2t)dt
=
\int\limits_0^1t^2+5t^4dt
=
\frac{4}{3}</math></center>

[[grafika:Euklides.jpg|thumb|right||Euklides (365-300 p.n.e.)<br>[[Biografia Euklides|Zobacz biografię]]]]
'''(2)'''
Dane jest pole sił:

<center>
<math>P(x,y)
=
\frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}, \quad
Q(x,y)
=
\frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}</math>
</center>

Policzyć pracę
wykonaną przez pole sił przy przesuwaniu punktu wokół okręgu o środku w punkcie
<math>(3,3)</math> i promieniu <math>1</math>.

Sprawdźmy, że pole <math>(P,Q)</math> jest polem potencjalnym w zbiorze
<math>U</math> będącym kołem o środku w punkcie <math>(3,3)</math> i promieniu <math>2</math>.
(Taki zbiór <math>U</math> wybieramy, by móc zastosować [[#stw_12_19|stwierdzenie 12.19]], do  zbioru <math>U</math> nie może należeć punkt <math>(0,0)</math>, bo
tam <math>P</math> i <math>Q</math> nie są określone).

Policzmy: <math>\frac{\partial P}{\partial
y}=\frac{-3xy}{(x^2+y^2)^{\frac{5}{2}}}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>,
tak więc pole jest potencjalne na podstawie stwierdzenia [[#stw_12_19|stwierdzenia 12.19]], a w polu potencjalnym całka po krzywej zamkniętej
(a więc także po naszym okręgu) jest równa zero.}}

[[File:AM2.M12.W.R10.svg|375x375px|thumb|right|Wektor pola wektorowego na krzywej <math>K</math> oraz jego składowa styczna do krzywej]]

Na zakończenie warto wspomnieć o związku całki krzywoliniowej
zorientowanej z całką krzywoliniową niezorientowaną, wprowadzoną
na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.

Weźmy krzywą <math>K</math> o parametryzacji <math>\gamma=(\varphi,\psi)
: [a,b]\to \mathbb{R}^2</math>. Niech <math>F=(P,Q)</math> będzie polem wektorowym na <math>K</math>.
Mamy wówczas całkę krzywoliniową zorientowaną:

<center>
<math>\int\limits_KF\circ
d\textbf{x}=\int\limits_a^b(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ
((\varphi'(t),\psi'(t))dt</math>
</center>

Z definicji iloczynu skalarnego w <math>\mathbb{R}^2</math>
i normy euklidesowej w <math>\mathbb{R}^2</math>,

<center>
<math>\begin{array}{lll}&(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\circ
((\varphi'(t),\psi'(t)) \\
&=\|(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\|\cdot
\|(\varphi'(t),\psi'(t))\|\cos \alpha,
\end{array}
</math>
</center>

gdzie <math>\|v\|</math>
oznacza długość wektora <math>v</math>, a <math>\alpha</math> jest kątem pomiędzy
wektorem <math>(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))</math>,
a wektorem stycznym <math>(\varphi'(t),\psi'(t))</math>. Ze wzoru na
długość wektora mamy

<center>
<math>\|(\varphi'(t),\psi'(t))\|=\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}</math>
</center>

Zauważmy jeszcze, że

<center>
<math>F_s(\gamma(t)):=\|(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))\|\cos
\alpha
</math>
</center>

jest długością rzutu prostopadłego wektora
<math>(P(\varphi(t),\psi(t)),Q(\varphi(t),\psi(t)))</math> na
styczną do krzywej, czyli  długością składowej stycznej. A zatem

<center>
<math>\int\limits_KF\circ
d\textbf{x}=\int\limits_a^bF_s(\gamma(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt=\int\limits_KF_s
dl</math>
</center>