Analiza matematyczna 2/Wykład 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

W tym wykładzie prezentujemy twierdzenie Fubiniego (z dowodem tylko dla kostki w $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$) oraz twierdzenie o zmianie zmiennych w całce. Podajemy przykłady zmiany zmiennych w $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ na współrzędne biegunowe oraz w $\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ na współrzędne walcowe i sferyczne.

Twierdzenie Fubiniego

Ten wykład poświęcony jest dwóm najważniejszym twierdzeniom dotyczącym całek wielokrotnych. Twierdzenie Fubiniego pozwala liczyć całki wielokrotne (podwójne, potrójne, itd.) po odpowiednich obszarach za pomocą kolejnego liczenia pewnych całek pojedynczych w odpowiednich granicach. Drugim z twierdzeń jest twierdzenie o zmianie zmiennych w całce, odpowiednik twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całki jednej zmiennej, także bardzo ważne dla obliczania całek.

Na ćwiczeniach do poprzedniego wykładu policzyliśmy z definicji $\displaystyle \displaystyle \iint \limits _{K}xy\ dxdy={\frac {1}{4}},$ gdzie $\displaystyle K=[0,1]\times [0,1].$

Policzmy teraz $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}xydx,$ traktując $\displaystyle y$ jako stałą. Dostaniemy oczywiście

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}xydx=y{\frac {x^{2}}{2}}{\bigg |}_{0}^{1}={\frac {y}{2}}.$

Następnie policzmy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {y}{2}}dy,$ czyli całkę "z tego" co otrzymaliśmy wyżej. Dostaniemy

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {y}{2}}dy={\frac {y}{4}}{\bigg |}_{0}^{1}={\frac {1}{4}}.$

Policzyliśmy zatem

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}\left(\displaystyle \int \limits _{0}^{1}xydx\right)dy={\frac {1}{4}}.$

Jeśli policzymy "w drugą stronę", czyli najpierw całkę względem $\displaystyle y$ a potem względem $\displaystyle x,$ to dostaniemy

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}xydy=x{\frac {y^{2}}{2}}{\bigg |}_{0}^{1}={\frac {x}{2}},$

następnie

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{2}}dy={\frac {x}{4}}{\bigg |}_{0}^{1}={\frac {1}{4}},$

zatem także

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}\left(\displaystyle \int \limits _{0}^{1}xydy\right)dx={\frac {1}{4}}.$

Otrzymaliśmy zatem następujące równości:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]}xy\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx. }

W takim razie możemy zapytać: czy może takie równości zachodzą zawsze? Okazuje się, że (przy rozsądnych założeniach) faktycznie tak jest - mówi o tym Twierdzenie Fubiniego.

Twierdzenie 11.1. [Twierdzenie Fubiniego]

Niech $\displaystyle K_{1}$ będzie kostką w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ a $\displaystyle K_{2}$ kostką w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{m}.$ Zmienne w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ oznaczmy przez $\displaystyle x$ a w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{m}$ przez $\displaystyle y.$ Weźmy funkcję $\displaystyle f:A\times B\to \mathbb {R} .$ Załóżmy, że dla każdego ustalonego $\displaystyle y\in B$ funkcja $\displaystyle f(\cdot ,y)$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $\displaystyle A$ oraz że dla każdego ustalonego $\displaystyle x\in A$ funkcja $\displaystyle f(x,\cdot )$ jest całkowalna w sensie Riemanna na $\displaystyle B.$ Wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx \ =\ \displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy. }

<flash>file=AM2.M11.W.R01.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Rysunek do twierdzenia Fubiniego

Uwaga 11.2.

(1) W szczególności, gdy funkcja $\displaystyle f(x,y)$ jest ciągła na $\displaystyle A\times B,$ to obie funkcje $\displaystyle f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R}$ i $\displaystyle f(x,\cdot ):B\to \mathbb {R}$ są całkowalne i zachodzą powyższe równości, czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right) dx=\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy. }

(2) Nietrudno zauważyć, że w twierdzeniu Fubiniego zamiast kostek $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ możemy wziąć dowolne zbiory J-mierzalne - bo i tak całkowanie po dowolnych zbiorach J-mierzalnych sprowadziliśmy do całkowania po kostkach (patrz poprzedni wykład).
(3) Całki $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{A}\left(\displaystyle \int \limits _{B}f(x,y)dy\right)dx$ i $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{B}\left(\displaystyle \int \limits _{A}f(x,y)dx\right)dy$ nazywamy całkami iterowanymi.

Dowód 11.2.

Dowód twierdzenia Fubiniego przedstawimy tylko dla przypadku, gdy $\displaystyle K_{1}$ i $\displaystyle K_{2}$ są kostkami w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$ (czyli $\displaystyle K_{1}\times K_{2}$ jest kostką (prostokątem) w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$ W tym przypadku twierdzenie i dowód łatwo zilustrować rysunkiem (patrz obok). Idea dowodu dla kostek wyżej wymiarowych jest dokładnie taka sama. Dla dodatkowego uproszczenia dowodu założymy, że funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła. A zatem wypiszmy:

Twierdzenie 11.3. [Twierdzenie Fubiniego dla funkcji ciągłej na prostokącie]

Niech $\displaystyle K=[a,b]\times [c,d]$ będzie kostką w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$ Niech $\displaystyle f:K\to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieją całki iterowane $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx$ i $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{c}^{d}\left(\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy$ oraz zachodzą równości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right) dx \ =\ \displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy. }

Euklides (365-300 p.n.e.)
Zobacz biografię

Dowód 11.3. [nadobowiązkowy]

Wykażemy istnienie całki $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx$ i równość

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx. }

Istnienia drugiej z całek iterowanych i drugiej równości dowodzi się analogicznie. Niech $\displaystyle d_{2}$ oznacza metrykę euklidesową w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \ =\ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. }

Krok I. Istnienie całki $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx.$
I.1. Zauważmy, że dla dowolnego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ istnieje $\displaystyle \displaystyle \delta >0$ takie, że

$\displaystyle d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))<\delta \Rightarrow |f(x_{1},y_{1})-f(x_{2},y_{2})<\varepsilon ,$

dla $\displaystyle \displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ z kostki $\displaystyle K.$ Faktycznie, skoro funkcja $\displaystyle f$ jest ciągła, a zbiór $\displaystyle K$ jest zwarty, to funkcja $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła (patrz Analiza matematyczna 1 uwaga 2.39). To dokładnie oznacza, że spełniona jest powyższa implikacja.
I.2. Wykażemy, że funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle g(x) \ :=\ \displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy }

jest funkcją ciągłą.

Ponieważ $\displaystyle f$ jest funkcją ciągłą, $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy$ istnieje dla dowolnego $\displaystyle x\in [a,b].$ Aby wykazać, że $\displaystyle g$ jest funkcją ciągłą, weźmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Szukamy $\displaystyle \displaystyle \delta >0$ takiego, że spełnione jest wynikanie:

$\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |g(x_{1})-g(x_{2})|<\varepsilon .$

Weźmy teraz $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ':={\frac {\varepsilon }{d-c}}.$ Do tego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon '$ dobierzmy $\displaystyle \displaystyle \delta$ tak jak w punkcie I.1. Mamy zatem w szczególności:

$\displaystyle d_{2}((x_{1},y),(x_{2},y))<\delta \Rightarrow |f(x_{1},y)-f(x_{2},y)|<\varepsilon ',$

czyli, podstawiając do wzoru na $\displaystyle d$ otrzymujemy

$\displaystyle |x_{2}-x_{1}|<\delta \Rightarrow f(x_{1},y)-\varepsilon '<f(x_{2},y)<f(x_{1},y)+\varepsilon '.$

Całkując te nierówności stronami (korzystamy z monotoniczności całki Riemanna dla funkcji jednej zmiennej), otrzymujemy:

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{1},y)dy-\varepsilon '(d-c)<\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{2},y)dy<\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{1},y)dy+\varepsilon '(d-c),$

czyli

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{1},y)dy-\varepsilon <\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{2},y)dy<\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{1},y)dy+\varepsilon ,$

zatem

$\displaystyle |g(x_{1})-g(x_{2})|=\left|\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{1},y)-\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x_{2},y)dy\right|<\varepsilon ,$

przy $\displaystyle |x_{2}-x_{1}|<\delta ,$ co dowodzi ciągłości funkcji $\displaystyle g.$
I.3. Zauważmy, że skoro $\displaystyle g$ jest funkcją ciągłą na $\displaystyle \displaystyle [a,b],$ to istnieje $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}g(x)dx,$ a to dowodzi istnienia całki

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx.$

Krok II. Równość $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx.$
II.1. Z części I dowodu i z założeń twierdzenia wynika, że całki po obu stronach równości istnieją. Wystarczy zatem znaleźć granicę sum całkowych dla pewnego normalnego ciągu podziałów.
II.2. Zdefiniujmy normalny ciąg podziałów $\displaystyle \displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, dzieląc każdy z odcinków $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ i $\displaystyle \displaystyle [c,d]$ na $\displaystyle n$ równych odcinków, czyli:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_i^n &= a+\frac{i}{n}(b-a), \quad b_i^n=a_i^n+\frac{1}{n}(b-a),\ i=0,1,\ldots,n-1,\\ c_j^n &= c+\frac{j}{n}(d-c), \quad d_j^n=c_j^n+\frac{1}{n}(d-c),\ j=0,1,\ldots,n-1, \endaligned}

a następnie biorąc iloczyn kartezjański tych odcinków:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle K_{ij}^n \ :=\ [a_i^n,b_i^n]\times[c_j^n,d_j^n],\ \ i,j=0,\ldots,n-1. }

Kostkami podziału $\displaystyle P_{n}$ są więc kostki $\displaystyle K_{ij}^{n}.$ Objętość takiej kostki to $\displaystyle v(K_{ij}^{n})=(b_{i}^{n}-a_{i}^{n})(d_{j}^{n}-c_{j}^{n}).$
II.3. Weźmy teraz dla każdego podziału ciąg punktów pośrednich, czyli

$\displaystyle p_{ij}^{n}\in K_{ij}^{n}.$

Utwórzmy sumę całkową:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S_n \ :=\ \sum_{i,j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n). }

Skoro istnieje całka podwójna, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n \ =\ \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)dxdy. }

Wystarczy zatem pokazać, że granicą ciągu $\displaystyle {\displaystyle S_{n}}$ jest też $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx.$
II.4. Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx.$

Musimy zatem pokazać, że dla ustalonego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0$ istnieje $\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N}$ takie, że dla $\displaystyle n\geq N_{0}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx-S_n\bigg| \ <\ \varepsilon. }

Ustalmy zatem $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Weźmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon ':={\frac {\varepsilon }{(b-a)(d-c)}}.$ Do tego $\displaystyle \displaystyle \varepsilon '$ dobierzmy $\displaystyle \displaystyle \delta$ tak jak w punkcie I.1. dowodu. Dobierzmy $\displaystyle N_{0}$ takie, by $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{N_{0}}}<\delta .$ W takim razie, jeśli dla $\displaystyle n>N_{0}$ mamy $\displaystyle \displaystyle (x,y)\in K_{ij}^{n},$ to $\displaystyle d((x,y),p_{ij}^{n})<\delta$ a zatem (z I.1.),

$\displaystyle {\bigg |}f(x,y)-f(p_{ij}^{n}){\bigg |}<\varepsilon ',$

czyli

$\displaystyle f(x,y)-\varepsilon '<f(p_{ij}^{n})<f(x,y)+\varepsilon '.$

Całkując te nierówności względem $\displaystyle y$ po przedziale $\displaystyle \displaystyle [c_{j}^{n},d_{j}^{n}],$ dostaniemy (dla ustalonego $\displaystyle x\in [a_{i}^{n},b_{i}^{n}]$):

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{c_{j}^{n}}^{d_{j}^{n}}f(x,y)dy-\varepsilon '(d_{j}^{n}-c_{j}^{n})<f(p_{ij}^{n})(d_{j}^{n}-c_{j}^{n})<\displaystyle \int \limits _{c_{j}^{n}}^{d_{j}^{n}}f(x,y)dy+\varepsilon '(d_{j}^{n}-c_{j}^{n}),$

czyli

$\displaystyle {\bigg |}\displaystyle \int \limits _{c_{j}^{n}}^{d_{j}^{n}}f(x,y)dy-f(p_{ij}^{n})(d_{j}^{n}-c_{j}^{n}){\bigg |}<\varepsilon '(d_{j}^{n}-c_{j}^{n}).$

Weźmy teraz sumę powyższych nierówności dla $\displaystyle j=0,\ldots ,n-1$ (i dla $\displaystyle x\in [a_{i}^{n},b_{i}^{n}]$). Dostaniemy:

${\begin{array}{l}\displaystyle {\bigg |}\sum _{j=0}^{n-1}\displaystyle \int \limits _{c_{j}^{n}}^{d_{j}^{n}}f(x,y)dy-\sum _{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^{n})(d_{j}^{n}-c_{j}^{n}){\bigg |}=\\={\bigg |}\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy-\sum _{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^{n})(d_{j}^{n}-c_{j}^{n}){\bigg |}<\varepsilon '\sum _{j=0}^{n-1}(d_{j}^{n}-c_{j}^{n})=\varepsilon '(d-c).\end{array}}$

Tak więc

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg| \ <\ \varepsilon'(d-c). }

Całkując tę nierówność po przedziałach $\displaystyle \displaystyle [a_{i}^{n},b_{i}^{n}],$ a następnie sumując wszystkie całki dla $\displaystyle i=0,\ldots ,n-1,$ dostaniemy

${\begin{array}{l}\displaystyle {\bigg |}\sum _{i=0}^{n-1}\displaystyle \int \limits _{a_{i}^{n}}^{b_{i}^{n}}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx-\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^{n})(d_{j}^{n}-c_{j}^{n})(b_{i}^{n}-a_{i}^{n}){\bigg |}\\\displaystyle <\sum _{i=0}^{n-1}\varepsilon '(d-c)(b_{i}^{n}-a_{i}^{n}),\end{array}}$

a zatem, po zsumowaniu

${\begin{array}{l}\displaystyle {\bigg |}\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx-\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^{n})(d_{j}^{n}-c_{j}^{n})(b_{i}^{n}-a_{i}^{n}){\bigg |}\\<\varepsilon '(d-c)(b-a)=\varepsilon ,\end{array}}$

co należało dowieść.

Uwaga 11.4. [Zapis całek iterowanych]

Całki iterowane, na przykład $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx,$ będziemy, w celu uniknięcia pisania dużej ilości nawiasów, zapisywali tak:

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}dx\displaystyle \int \limits _{c}^{d}f(x,y)dy,$

podobnie, zamiast $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\displaystyle \int \limits _{c}^{d}\left(\displaystyle \int \limits _{p}^{q}f(x,y,z)dz\right)dy\right)dx,$ napiszemy

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}dx\displaystyle \int \limits _{c}^{d}dy\displaystyle \int \limits _{p}^{q}f(x,y,z)dz.$

Przykład 11.5.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint \limits _{K}\left(xy-y^{2}\right)dxdy,$

gdzie $\displaystyle K=[1,2]\times [3,4].$

Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy zastosować twierdzenie Fubiniego. Otrzymamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iint\limits_K xy-y^2 dxdy &= \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_3^4(xy-y^2)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_1^2\left((x\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})\bigg|_3^4\right)dx\\ &=\displaystyle\int\limits_1^2\left(\frac{7x}{2}-\frac{37}{3}\right)dx \ =\ \left(\frac{7x^2}{4}-\frac{37x}{3}\right)\bigg|_1^2=-\frac{85}{12}. \endaligned}

<applet code="applet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/b/bd/Am2.m11.w.r02.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Am2.m11.w.r02

Najczęściej spotykanymi obszarami, po których będziemy chcieli całkować, nie są jednak kostki, tylko tak zwane zbiory normalne. Zdefiniujmy:

Definicja 11.6.

(1) Niech $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ będzie odcinkiem w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ,$ niech $\displaystyle h_{1}:[a,b]\to \mathbb {R}$ i $\displaystyle h_{2}:[a,b]\to \mathbb {R}$ będą funkcjami ciągłymi na $\displaystyle \displaystyle [a,b]$ takimi, że $\displaystyle h_{1}(x)<h_{2}(x),x\in [a,b].$ Wtedy zbiór

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ :=\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\} }

nazywamy zbiorem normalnym względem osi $\displaystyle Ox.$
(2) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi $\displaystyle Oy.$
(3) Zbiór $\displaystyle D$ zawarty w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ jest normalny względem współrzędnej $\displaystyle z,$ jeśli istnieje pewien zbiór normalny $\displaystyle A$ zawarty w płaszczyźnie $\displaystyle xy$ oraz istnieją dwie funkcje $\displaystyle g_{1},g_{2}:A\to \mathbb {R}$ takie, że $\displaystyle g_{1}(x,y)<g_{2}(x,y)$ oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle D \ =\ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (x,y)\in A, g_1(x,y) \ \leq\ z\leq g_2(x,y)\}. }

(4) Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych współrzędnych.
(5) Zbiorem normalnym będziemy nazywać zbiór normalny względem jakiejś współrzędnej. Zbiorem regularnym będziemy nazywać zbiór, który można podzielić na sumę zbiorów regularnych o rozłącznych wnętrzach.

<flash>file=AM2.M11.W.R03.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Zbiór normalny względem osi $Ox$

<flash>file=AM2.M11.W.R04.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Zbiór normalny względem osi $Oy$

<flash>file=AM2.M11.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Zbiór regularny, który nie jest zbiorem normalnym

Definicje normalności i regularności można oczywiście uogólnić na więcej wymiarów, ale nie będziemy tego robić.

Jak już wspomnieliśmy, w praktyce najczęściej będziemy chcieli całkować funkcje po zbiorach normalnych. Wypiszmy więc, jak w przypadku takich zbiorów wygląda twierdzenie Fubiniego.

Niech zatem $\displaystyle A$ będzie zbiorem normalnym w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ zadanym jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle A \ :=\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}, }

gdzie $\displaystyle h_{1},h_{2}$ są jak w definicji. Niech $\displaystyle D$ będzie zbiorem normalnym w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ danym jako

$\displaystyle D=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:(x,y)\in A,g_{1}(x,y)\leq z\leq g_{2}(x,y)\},$

gdzie $\displaystyle g_{1},g_{2}$ są jak w definicji. Mamy:

Twierdzenie 11.7. [Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ i $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}$)]

(1) Jeśli $\displaystyle f:A\to \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_Af(x,y)dxdy \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy. }

(2) Jeśli $\displaystyle f:D\to \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą, to

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz \ =\ \displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}dy\displaystyle\int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dz. }

Dowód tej wersji Twierdzenia Fubiniego można dostać jako wniosek z ogólnej wersji twierdzenia (dowodząc, że zbiory regularne są J-mierzalne) albo można udowodnić to twierdzenie bezpośrednio, nieco modyfikując dowód twierdzenia 11.3.

Możemy teraz policzyć następującą całkę.

<flash>file=AM2.M11.W.R06.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Trójkąt $T$

Przykład 11.8.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint \limits _{T}(x^{2}y)dxdy,$

gdzie $\displaystyle T$ jest trójkątem ograniczonym prostymi: $\displaystyle y=x,y=2x-3,y=1.$

Zauważmy, że zbiór $\displaystyle T$ jest normalny względem osi $\displaystyle Ox.$ Ponieważ jednak funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest sklejeniem dwóch funkcji ($\displaystyle y=1$ oraz $\displaystyle y=2x-3$), to wygodniej będzie podzielić $\displaystyle T$ na dwa zbiory normalne (o rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to trójkąt $\displaystyle T_{1}$ ograniczony prostymi: $\displaystyle y=x,y=1,x=2,$ a drugi to trójkąt $\displaystyle T_{2}$ ograniczony prostymi: $\displaystyle y=x,y=2x-3,x=2.\displaystyle T$ jest więc zbiorem regularnym. Z twierdzenia Fubiniego mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \iint\limits_Tf(x,y)dxdy&=&\displaystyle \iint\limits_{T_1}f(x,y)dxdy+\iint\limits_{T_2}f(x,y)dxdy\\ &=& \displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_1^xx^2ydy+\displaystyle\int\limits_2^3dx\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x x^2y dy\\ &=&\displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_1^x dx+\displaystyle\int\limits_2^3\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x \bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_{2x-3}^x dx\\ &=& \displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2(x^2-1)\bigg)dx+\displaystyle\int\limits_2^3\bigg(-\frac{3}{2}x^2(x^2-4x+3)\bigg)dx\\ &=& \bigg(\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{6}x^3\bigg)\bigg|_1^2+\bigg(\frac{-3}{10}x^5+\frac{3}{2}x^4-\frac{3}{2}x^3\bigg)\bigg|_2^3 \ =\ \frac{57}{10}+\frac{29}{15} \ =\ \frac{229}{30}. \end{array}}

<applet code="applet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/e/e1/Applet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/d/d6/Am2.m11.w.r07.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.1">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Wykres funkcji $f(x,y)=x^{2}y$ nad $T$

Twierdzenie o zmianie zmiennych

Jeszcze jedno twierdzenie bardzo nam się przyda do liczenia całek wielowymiarowych. Jest to uogólnienie na więcej wymiarów znanego już z teorii całki jednej zmiennej twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie. W przypadku wielowymiarowym nosi ono nazwę twierdzenia o zmianie zmiennych.

Załóżmy, że mamy zbiory J-mierzalne $\displaystyle B$ i $\displaystyle D$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ oraz odwzorowanie $\displaystyle \displaystyle \varphi :B\to D,$ które jest $\displaystyle {\cal {C^{1}}}$-dyfeomorfizmem (to znaczy, że $\displaystyle \displaystyle \varphi$ jest bijekcją klasy $\displaystyle {\cal {C^{1}}}$ i odwzorowanie odwrotne do $\displaystyle \displaystyle \varphi$ też jest tej klasy). Dla odwzorowania $\displaystyle \displaystyle \varphi (x)=(\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\varphi _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$ możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych cząstkowych (w punkcie $\displaystyle x\in B$):

Jac Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle _x\varphi \ =\ \left[ \begin{array} {ccc}\displaystyle \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) &\ldots& \displaystyle \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_n}(x)\\ \vdots&\ldots&\vdots \\ \displaystyle \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_1}(x) &\ldots& \displaystyle \frac{\partial\varphi_n}{\partial x_n}(x) \end{array} \right]. }

Wyznacznik tej macierzy (w punkcie $\displaystyle x\in B$) nazywamy jakobianem $\displaystyle \displaystyle \varphi$ w punkcie $\displaystyle x$. Gdy $\displaystyle \displaystyle \varphi$ jest dyfeomorfizmem, to $\displaystyle \det$ Jac $\displaystyle _{x}\varphi \neq 0$.

Współrzędne w zbiorze $\displaystyle D$ oznaczmy przez $\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{n}).$

Twierdzenie o zmianie zmiennych brzmi następująco.

Twierdzenie 11.9. [Twierdzenie o zmianie zmiennych]

Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej, niech $\displaystyle f:D\to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą. Wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy_1\ldots dy_n \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))|\det } Jac $\displaystyle _{x}\varphi |dx_{1}\ldots dx_{n}.$

Uwaga 11.10.

Zauważmy, że dla $\displaystyle n=1$ dostajemy znane twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy \ =\ \displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))\varphi'(x)dx. }

Dowód twierdzenia 11.9. pomijamy. Przedstawimy natomiast kilka użytecznych przykładów.

Uwaga 11.11.

W powyższym twierdzeniu nie trzeba zakładać, że odwzorowanie $\displaystyle \displaystyle \varphi$ jest dyfeomorfizmem na całym zbiorze $\displaystyle B,$ wystarczy założyć, że istnieje podzbiór $\displaystyle B_{0}\subset B$ taki, że $\displaystyle m(B_{0})=0$ oraz $\displaystyle \displaystyle \varphi :B\setminus B_{0}\to D$ jest dyfeomorfizmem.

Zmiana zmiennych na dwuwymiarowe współrzędne biegunowe

<flash>file=AM2.M11.W.R08.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Współrzędne biegunowe

Niech zbiorem $\displaystyle D$ będzie $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(x,0):x\geq 0\}.$ Określamy odwzorowanie $\displaystyle T$ prowadzące ze zbioru $\displaystyle B:=(0,+\infty )\times (0,2\pi )$ następująco:

$\displaystyle T(r,\alpha ):=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha ),$

gdzie $\displaystyle T(r,\alpha )$ najczęściej zapisujemy jako

$\displaystyle x\ =\ r\cos \alpha ,\qquad y\ =\ r\sin \alpha .$

Tak więc $\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$ a zatem $\displaystyle r\geq 0$ jest odległością punktu $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ od początku układu współrzędnych. Kąt $\displaystyle \displaystyle \alpha$ jest kątem, jaki tworzy wektor o początku w $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i końcu w $\displaystyle \displaystyle (x,y)$ z dodatnią częścią osi $\displaystyle Ox.$

Licząc jakobian tej zmiany zmiennych dostajemy $\displaystyle \det$ Jac $\displaystyle _{(r,\alpha )}T=r$ (trzeba policzyć pochodne cząstkowe $\displaystyle x$ i $\displaystyle y$ po $\displaystyle r$ i $\displaystyle \displaystyle \alpha ,$ a następnie wyznacznik macierzy Jacobiego). Tak więc tu jakobian jest zawsze dodatni.

Tę zmianę zmiennych stosujemy najczęściej, gdy obszarem całkowania (zbiorem $\displaystyle D$) jest koło, pierścień lub ich wycinek. Jak wtedy wygląda zbiór $\displaystyle B$ obrazują przykłady poniżej.

W dalszych rozważaniach najczęściej nie będziemy rozróżniać pomiędzy $\displaystyle D$ i $\displaystyle D\setminus D_{0},$ (lub $\displaystyle B$ i $\displaystyle B\setminus B_{0},$) gdzie $\displaystyle m(D_{0})=0$ ($\displaystyle m(B_{0})=0$) i, choć nie jest to w pełni poprawne, będziemy pisać o zmianie zmiennych z $\displaystyle B$ do $\displaystyle D,$ a nie z $\displaystyle B\setminus B_{0}$ do $\displaystyle D\setminus D_{0},$ ignorując fakt, że zmiana zmiennych może nie być dyfeomorfizmem na jakimś zbiorze miary zero.

Przykład 11.12.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint \limits _{D}x^{2}+y^{2}dxdy,$

gdzie $\displaystyle D$ jest kołem o promieniu $\displaystyle R$ i środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (0,0),$ zatem $\displaystyle D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\}.$

Skoro $\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq R^{2}$ to promień $\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ zmienia się w przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,r],$ a kąt $\displaystyle \displaystyle \alpha$ zmienia się w całym zakresie $\displaystyle \displaystyle [0,2\pi ].$

Tak więc $\displaystyle B=[0,R]\times [0,2\pi ],$ czyli mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2 dxdy=\iint\limits_B(r^2)rdrd\alpha \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^3 dr \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2 \pi} \frac{R^4}{4} d\alpha=2\pi R^4, }

gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie

zmiennych, a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.

Przykład 11.13.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iint \limits _{D}xdxdy,$

gdzie $\displaystyle D$ jest ćwiartką koła o promieniu $\displaystyle R$ i środku w punkcie $\displaystyle \displaystyle (0,0),$ leżącą w drugiej ćwiartce płaszczyzny.

Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem $\displaystyle r$ zmienia się także od $\displaystyle 0$ do $\displaystyle R,$ natomiast Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\alpha\} zmienia się od $\displaystyle {\frac {\pi }{2}}$ do $\displaystyle \pi$. Tak więc $\displaystyle B=[0,R]\times {\bigg [}{\frac {\pi }{2}},\pi {\bigg ]}:$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle \iint\limits_Dx dxdy \ &=&\displaystyle \iint\limits_Br^2\cos\alpha drd\alpha=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^2\cos\alpha dr\\ \ &=&\ \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{R^3}{3}\cos\alpha d\alpha =\displaystyle \frac{R^3}{3}(-\sin\alpha)\bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ =\ \frac{R^3}{3}.\end{array} }

<flash>file=AM2.M11.W.R09.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Zbiór $D$

<flash>file=AM2.M11.W.R10.swf|width=375|height=375</flash> <div.thumbcaption>Zbiór $B$

Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne sferyczne

<flash>file=AM2.M11.W.R11.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>Współrzędne sferyczne

Podobnie do współrzędnych biegunowych w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ definiujemy współrzędne sferyczne w$\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}.$ Mamy:

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}x&=r\sin \beta \cos \alpha ,\\y&=r\sin \beta \sin \alpha ,\\z&=r\cos \beta ,\end{array}}\right.$

gdzie $\displaystyle r\in (0,+\infty ),\alpha \in (0,2\pi ),\beta \in (0,\pi ).$

Teraz $\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ jest odległością punktu $\displaystyle \displaystyle (x,y,x)$ od początku układu współrzędnych, $\displaystyle \displaystyle \alpha$ jest kątem, jaki tworzy wektor $\displaystyle \displaystyle [x,y,0]$ z dodatnią częścią osi $\displaystyle Ox,$ a $\displaystyle \displaystyle \beta$ jest kątem, jaki tworzy wektor $\displaystyle \displaystyle [x,y,z]$ z dodatnią częścią osi $\displaystyle Oz.$

Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi $\displaystyle r^{2}\sin \beta$, a zatem jest dodatni, bo $\displaystyle \displaystyle \beta \in (0,\pi ).$

Przykład 11.14.

Policz całkę

$\displaystyle \iiint \limits _{D}z^{2}dxdydz,$

gdzie $\displaystyle D$ jest górną połową kuli o środku w $\displaystyle \displaystyle (0,0,0)$ i promieniu $\displaystyle R.$

Kula opisana jest nierównością $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2},$ w takim razie $\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ zmienia się w przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,R].$ Górną połowę kuli zadaje nierówność $\displaystyle z>0,$ zatem musi być $\displaystyle r\cos \beta >0,$ czyli $\displaystyle \displaystyle \cos \beta >0,$ a zatem $\displaystyle \displaystyle \beta \in (0,{\frac {\pi }{2}}).$ Na $\displaystyle \displaystyle \alpha$ nie mamy żadnych dodatkowych warunków, więc $\displaystyle \displaystyle \alpha \in [0,2\pi ].$ Zatem $\displaystyle B=[0,R]\times [0,2\pi ]\times (0,{\frac {\pi }{2}}).$ Tak więc

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iiint\limits_D z^2 dxdydz&=\iiint\limits_{B} r^3 \sin\beta \cos\beta d\alpha d\beta dr = \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} d\beta \displaystyle\int\limits_0^R r^3 \sin\beta \cos\beta dr\\ &= \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\beta \cos\beta d\beta \ =\ \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\sin^2\beta\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\right) d\alpha \ =\ \frac{R^4}{4}\pi. \endaligned}

Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne walcowe

<flash>file=AM2.M11.W.R12.swf|width=375|height=375</flash>

<div.thumbcaption>AM2.M11.W.R12

Ta zmiana zmiennych jest w zasadzie zmianą na współrzędne biegunowe w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$ Opisana jest wzorami:

$\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}x&=r\cos \alpha ,\\y&=r\sin \alpha ,\\z&=z,\end{array}}\right.$

gdzie $\displaystyle r\in (0,+\infty ),\alpha \in (0,2\pi ),z\in (-\infty ,\infty ).$ Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi $\displaystyle r>0.$

Przykład 11.15.

Policzyć całkę

$\displaystyle \iiint \limits _{D}zdxdydz,$

gdzie $\displaystyle D$ jest walcem o podstawie $\displaystyle \displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}<R^{2}\}$ i o wysokości $\displaystyle H.$

Skoro $\displaystyle x^{2}+y^{2}<R^{2}$ to $\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\in (0,R),$ na kąt $\displaystyle \displaystyle \alpha$ nie mamy dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość walca wynosi $\displaystyle H$ to $\displaystyle z\in [0,H].$ Tak więc $\displaystyle B=(0,R)\times (0,2\pi )\times [0,H].$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \iiint\limits_D z dxdydz &= \iiint\limits_B rz d\alpha dr dz \ =\ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R dr\displaystyle\int\limits_0^H rz dz\\ \ &=\ \frac{H^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r dr = \frac{H^2}{2}\frac{R^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \ =\ \pi\frac{H^2R^2}{2}. \endaligned}

Ciekawsze przykłady policzymy na ćwiczeniach.