Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 2/Wykład 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

==Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych==

W tym wykładzie prezentujemy twierdzenie Fubiniego
(z dowodem tylko dla kostki w <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>)
oraz twierdzenie o zmianie zmiennych w całce.
Podajemy przykłady zmiany zmiennych w <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>
na współrzędne biegunowe oraz w <math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>
na współrzędne walcowe i sferyczne.

==Twierdzenie Fubiniego==

Ten wykład poświęcony jest dwóm najważniejszym
twierdzeniom dotyczącym całek wielokrotnych.
Twierdzenie Fubiniego pozwala liczyć całki wielokrotne (podwójne, potrójne,
itd.) po odpowiednich obszarach za pomocą kolejnego liczenia
pewnych całek pojedynczych w odpowiednich granicach.
Drugim z twierdzeń jest twierdzenie o zmianie
zmiennych w całce, odpowiednik twierdzenia o całkowaniu przez
podstawienie dla całki jednej zmiennej, także bardzo ważne dla
obliczania całek.

Na ćwiczeniach do poprzedniego wykładu policzyliśmy z
definicji <math>\displaystyle \displaystyle\iint\limits_Kxy\ dxdy=\frac{1}{4},</math> gdzie
<math>\displaystyle K=[0,1]\times[0,1].</math>

Policzmy teraz <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1xydx, </math> traktując <math>\displaystyle y</math> jako stałą.
Dostaniemy oczywiście

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1xydx=y\frac{x^2}{2}\bigg|_0^1=\frac{y}{2}.
</math></center>

Następnie policzmy <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\frac{y}{2}dy,</math> czyli całkę
"z tego" co
otrzymaliśmy wyżej. Dostaniemy

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\frac{y}{2}dy=\frac{y}{4}\bigg|_0^1=\frac{1}{4}.
</math></center>

Policzyliśmy zatem

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy=\frac{1}{4}.
</math></center>

Jeśli policzymy "w drugą stronę", czyli najpierw całkę względem
<math>\displaystyle y</math> a potem względem <math>\displaystyle x,</math> to dostaniemy

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1xydy=x\frac{y^2}{2}\bigg|_0^1=\frac{x}{2},
</math></center>

następnie

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\frac{x}{2}dy=\frac{x}{4}\bigg|_0^1=\frac{1}{4},
</math></center>

zatem także

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx=\frac{1}{4}.
</math></center>

Otrzymaliśmy zatem następujące równości:

<center><math>\displaystyle \iint\limits_{[0,1]\times[0,1]}xy\ dxdy
\ =\
\displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dx\right) dy
\ =\
\displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\int\limits_0^1 xy dy\right) dx.
</math></center>

W takim razie możemy zapytać: czy może takie równości zachodzą
zawsze? Okazuje się, że (przy rozsądnych założeniach) faktycznie
tak jest - mówi o tym Twierdzenie Fubiniego.

{{twierdzenie|11.1. [Twierdzenie Fubiniego]||
Niech
<math>\displaystyle K_1</math> będzie kostką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n</math> a <math>\displaystyle K_2</math> kostką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^m.</math> Zmienne
w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n</math> oznaczmy przez <math>\displaystyle x</math> a w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^m</math> przez <math>\displaystyle y.</math> Weźmy
funkcję <math>\displaystyle f:A\times B\to \mathbb{R}.</math>  Załóżmy, że dla każdego ustalonego
<math>\displaystyle y\in B</math> funkcja <math>\displaystyle f(\cdot,y)</math> jest całkowalna w sensie Riemanna na
<math>\displaystyle A</math> oraz że dla każdego ustalonego <math>\displaystyle x\in A</math> funkcja <math>\displaystyle f(x,\cdot)</math>
jest całkowalna w sensie Riemanna na <math>\displaystyle B.</math> Wtedy

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx
\ =\
\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy.
</math></center>

}}

<div class="thumb tleft"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R01.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Rysunek do twierdzenia Fubiniego</div>
</div></div>
{{uwaga|11.2.||

'''(1)'''
W szczególności, gdy funkcja <math>\displaystyle f(x,y)</math> jest ciągła na
<math>\displaystyle A\times B,</math> to obie funkcje  <math>\displaystyle f(\cdot,y):A\to \mathbb{R}</math> i
<math>\displaystyle f(x,\cdot):B\to \mathbb{R}</math> są całkowalne i zachodzą powyższe
równości, czyli

<center>
<math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{A\times B}f(x,y)\ dxdy
\ =\
\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B
f(x,y) dy\right) dx=\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy.
</math>
</center>

'''(2)'''
Nietrudno zauważyć, że w twierdzeniu Fubiniego zamiast
''kostek'' <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> możemy wziąć ''dowolne zbiory
J-mierzalne'' - bo i tak całkowanie po dowolnych zbiorach
J-mierzalnych sprowadziliśmy do całkowania po kostkach (patrz
poprzedni wykład).<br>
'''(3)'''
Całki <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_A\left(\displaystyle\int\limits_B f(x,y) dy\right)dx</math> i
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_B\left(\displaystyle\int\limits_A f(x,y) dx\right)dy</math> nazywamy
'''''całkami iterowanymi'''''.
}}

{{dowod|11.2.||

Dowód twierdzenia Fubiniego przedstawimy tylko dla przypadku,
gdy <math>\displaystyle K_1</math> i <math>\displaystyle K_2</math> są kostkami w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> (czyli <math>\displaystyle K_1\times K_2</math> jest
kostką (prostokątem) w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math> W tym przypadku twierdzenie i
dowód łatwo zilustrować rysunkiem (patrz obok).
Idea dowodu dla kostek
wyżej wymiarowych jest dokładnie taka sama. Dla dodatkowego
uproszczenia dowodu założymy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ciągła.
A zatem wypiszmy:
}}

{{twierdzenie|11.3. [Twierdzenie Fubiniego dla funkcji ciągłej na prostokącie]|tw_11_3|
Niech <math>\displaystyle K=[a,b]\times [c,d]</math> będzie
kostką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math>  Niech <math>\displaystyle f: K\to \mathbb{R}</math> będzie funkcją ciągłą.
Wówczas istnieją całki iterowane <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)
dy\right)dx</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy</math> oraz
zachodzą równości

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy
\ =\
\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right) dx
\ =\
\displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_a^b f(x,y) dx\right)dy.
</math></center>

}}
[[grafika:Euklides.jpg|thumb|right||Euklides (365-300 p.n.e.)<br>[[Biografia Euklides|Zobacz biografię]]]]
{{dowod|11.3. [nadobowiązkowy]||
Wykażemy  istnienie całki
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y) dy\right) dx</math>
i równość

<center>
<math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy
\ =\
\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y) dy\right) dx.
</math>
</center>

Istnienia
drugiej z całek iterowanych i drugiej równości dowodzi się
analogicznie. Niech <math>\displaystyle d_2</math> oznacza metrykę euklidesową w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2,</math>
czyli

<center>
<math>\displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))
\ =\
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
</math>
</center>

'''Krok I.''' Istnienie całki  <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y) dy\right)
dx.</math><br>
'''I.1.''' Zauważmy, że dla dowolnego <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon >0</math> istnieje
<math>\displaystyle \displaystyle\delta>0</math> takie, że

<center>
<math>\displaystyle d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))<\delta\Rightarrow
|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)<\varepsilon,
</math>
</center>

dla <math>\displaystyle \displaystyle (x_1,y_1), (x_2,y_2)</math> z
kostki <math>\displaystyle K.</math>
Faktycznie,  skoro funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ciągła, a zbiór <math>\displaystyle K</math> jest
zwarty, to funkcja <math>\displaystyle f</math> jest jednostajnie ciągła
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne#uw_2_39|Analiza matematyczna 1 uwaga 2.39]]).
To dokładnie oznacza, że spełniona jest powyższa implikacja.<br>
'''I.2.'''
Wykażemy, że funkcja

<center><math>\displaystyle g(x)
\ :=\
\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y) dy
</math></center>

jest funkcją ciągłą.

Ponieważ <math>\displaystyle f</math> jest funkcją ciągłą, <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y) dy</math> istnieje
dla dowolnego <math>\displaystyle x\in [a,b].</math> Aby wykazać, że <math>\displaystyle g</math> jest funkcją
ciągłą, weźmy dowolne <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.</math> Szukamy <math>\displaystyle \displaystyle\delta>0</math>
takiego, że spełnione jest wynikanie:

<center><math>\displaystyle |x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon.
</math></center>

Weźmy teraz <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{d-c}.</math> Do tego
<math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon'</math> dobierzmy <math>\displaystyle \displaystyle\delta</math> tak jak w punkcie I.1. Mamy
zatem w szczególności:

<center><math>\displaystyle d_2((x_1,y),(x_2,y))<\delta\Rightarrow
|f(x_1,y)-f(x_2,y)|<\varepsilon',
</math></center>

czyli, podstawiając do wzoru
na <math>\displaystyle d</math> otrzymujemy

<center><math>\displaystyle |x_2-x_1|<\delta\Rightarrow f(x_1,y)-\varepsilon'<f(x_2,y)<
f(x_1,y)+\varepsilon'.
</math></center>

Całkując te nierówności stronami
(korzystamy z monotoniczności całki Riemanna dla funkcji jednej
zmiennej), otrzymujemy:

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_c^d  f(x_1,y)
dy-\varepsilon'(d-c)<\displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy<\displaystyle\int\limits_c^df(x_1,y)dy+\varepsilon'(d-c),
</math></center>

czyli

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_c^d  f(x_1,y)
dy-\varepsilon<\displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy<\displaystyle\int\limits_c^df(x_1,y)dy+\varepsilon,
</math></center>

zatem

<center><math>\displaystyle |g(x_1)-g(x_2)|=\left|\displaystyle\int\limits_c^d
f(x_1,y)-\displaystyle\int\limits_c^df(x_2,y)dy\right|<\varepsilon,
</math></center>

przy
<math>\displaystyle |x_2-x_1|<\delta,</math> co dowodzi ciągłości funkcji <math>\displaystyle g.</math><br>
'''I.3.'''
Zauważmy, że skoro <math>\displaystyle g</math> jest funkcją ciągłą na <math>\displaystyle \displaystyle [a,b],</math> to
istnieje <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^bg(x)dx,</math> a to dowodzi istnienia całki

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y) dy\right) dx.
</math></center>

'''Krok II.'''
Równość
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\ dxdy=\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y) dy\right) dx.</math><br>
'''II.1.'''
Z części I dowodu i z założeń twierdzenia wynika, że całki
po obu stronach równości istnieją. Wystarczy zatem znaleźć granicę
sum całkowych dla pewnego normalnego ciągu podziałów.<br>
'''II.2.'''
Zdefiniujmy normalny ciąg podziałów <math>\displaystyle \displaystyle (P_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>,
dzieląc każdy z odcinków <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]</math> i <math>\displaystyle \displaystyle [c,d]</math> na <math>\displaystyle n</math> równych
odcinków, czyli:

<center><math>\displaystyle \aligned 
a_i^n
&= a+\frac{i}{n}(b-a), \quad b_i^n=a_i^n+\frac{1}{n}(b-a),\
i=0,1,\ldots,n-1,\\
c_j^n
&=
c+\frac{j}{n}(d-c), \quad d_j^n=c_j^n+\frac{1}{n}(d-c),\
j=0,1,\ldots,n-1,
\endaligned</math></center>

a następnie biorąc iloczyn kartezjański tych
odcinków:

<center><math>\displaystyle K_{ij}^n
\ :=\
[a_i^n,b_i^n]\times[c_j^n,d_j^n],\ \ i,j=0,\ldots,n-1.
</math></center>

Kostkami podziału <math>\displaystyle P_n</math> są więc kostki <math>\displaystyle K_{ij}^n.</math> Objętość takiej
kostki to <math>\displaystyle v(K_{ij}^n)=(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n).</math><br>
'''II.3.''' Weźmy teraz dla każdego podziału ciąg punktów pośrednich,
czyli

<center><math>\displaystyle p_{ij}^n\in K_{ij}^n.
</math></center>

Utwórzmy sumę całkową:

<center><math>\displaystyle S_n
\ :=\
\sum_{i,j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(b_i^n-a_i^n)(d_j^n-c_j^n).
</math></center>

Skoro istnieje całka podwójna, to

<center><math>\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n
\ =\
\displaystyle\int\limits_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)dxdy.
</math></center>

Wystarczy zatem pokazać, że granicą ciągu <math>\displaystyle{ \displaystyle S_n}</math> jest też
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y) dy\right)dx.</math><br>
'''II.4.'''
Pokażemy, że <math>\displaystyle \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d
f(x,y) dy\right)dx.</math>

Musimy zatem pokazać, że dla ustalonego <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math> istnieje
<math>\displaystyle N_0\in\mathbb{N}</math> takie, że dla <math>\displaystyle n\geq N_0</math> mamy

<center><math>\displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d  f(x,y)dy\right)dx-S_n\bigg|
\ <\
\varepsilon.
</math></center>

Ustalmy zatem <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.</math> Weźmy
<math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{(b-a)(d-c)}.</math> Do tego
<math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon'</math> dobierzmy <math>\displaystyle \displaystyle\delta</math> tak jak w punkcie I.1. dowodu.
Dobierzmy <math>\displaystyle N_0</math> takie, by <math>\displaystyle \displaystyle\frac{1}{N_0}<\delta.</math> W takim razie,
jeśli dla <math>\displaystyle n>N_0</math> mamy <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)\in K_{ij}^n,</math> to
<math>\displaystyle d((x,y),p_{ij}^n)<\delta</math> a zatem (z I.1.),

<center><math>\displaystyle \bigg|f(x,y)-f(p_{ij}^n)\bigg|<\varepsilon',
</math></center>

czyli

<center><math>\displaystyle f(x,y)-\varepsilon'<f(p_{ij}^n)<f(x,y)+\varepsilon'.
</math></center>

Całkując
te nierówności względem <math>\displaystyle y</math> po przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [c_{j}^n,d_j^n],</math>
dostaniemy (dla ustalonego <math>\displaystyle x\in [a_i^n,b_i^n]</math>):

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-\varepsilon'(d_j^n-c_j^n)<f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)
<\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy+\varepsilon'(d_j^n-c_j^n),
</math></center>

czyli

<center><math>\displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg|<\varepsilon'(d_j^n-c_j^n).
</math></center>

Weźmy teraz sumę powyższych nierówności dla <math>\displaystyle j=0,\ldots,n-1</math> (i dla
<math>\displaystyle x\in [a_i^n,b_i^n]</math>). Dostaniemy:

<center><math>\begin{array}{l}\displaystyle \bigg|\sum_{j=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{c_j^n}^{d_j^n}f(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg|
=\\
= \bigg|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg|<\varepsilon'\sum_{j=0}^{n-1}(d_j^n-c_j^n)= \varepsilon'(d-c).\end{array}
</math></center>

Tak więc

<center><math>\displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy-\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)\bigg|
\ <\
\varepsilon'(d-c).
</math></center>

Całkując tę nierówność po przedziałach <math>\displaystyle \displaystyle [a_i^n,b_i^n],</math> a następnie
sumując wszystkie całki dla <math>\displaystyle i=0,\ldots,n-1,</math> dostaniemy

<center><math>\begin{array}{l}
\displaystyle \bigg|\sum_{i=0}^{n-1}\displaystyle\int\limits_{a_i^n}^{b_i^n}\left(\displaystyle\int\limits_c^df(x,y)dy\right)dx-
\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\bigg|\\
\displaystyle < \sum_{i=0}^{n-1}\varepsilon'(d-c)(b_i^n-a_i^n),\end{array}
</math></center>

a zatem, po zsumowaniu

<center><math>
\begin{array}{l}\displaystyle \bigg|\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d
f(x,y)dy\right)dx-\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}f(p_{ij}^n)(d_j^n-c_j^n)(b_i^n-a_i^n)\bigg|\\
< \varepsilon'(d-c)(b-a)=\varepsilon,
\end{array}</math></center>

co należało dowieść.
}}

{{uwaga|11.4. [Zapis całek iterowanych]||
Całki iterowane, na
przykład <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy\right)dx,</math> będziemy, w
celu uniknięcia pisania dużej ilości nawiasów, zapisywali tak:

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b dx\displaystyle\int\limits_c^d f(x,y)dy,
</math></center>

podobnie, zamiast
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left(\displaystyle\int\limits_c^d\left(\displaystyle\int\limits_p^qf(x,y,z)dz\right)dy\right)dx,</math>
napiszemy

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_a^b dx\displaystyle\int\limits_c^d dy\displaystyle\int\limits_p^qf(x,y,z)dz.
</math></center>

}}

{{przyklad|11.5.||

Policzyć całkę

<center><math>\displaystyle \iint\limits_K \left(xy-y^2\right)dxdy,
</math></center>

gdzie <math>\displaystyle K=[1,2]\times[3,4].</math>

Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy
zastosować twierdzenie Fubiniego. Otrzymamy

<center><math>\displaystyle \aligned 
\iint\limits_K xy-y^2 dxdy
&=
\displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_3^4(xy-y^2)dy
\ =\
\displaystyle\int\limits_1^2\left((x\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})\bigg|_3^4\right)dx\\
&=\displaystyle\int\limits_1^2\left(\frac{7x}{2}-\frac{37}{3}\right)dx
\ =\
\left(\frac{7x^2}{4}-\frac{37x}{3}\right)\bigg|_1^2=-\frac{85}{12}.
\endaligned</math></center>}}
<br>
<center>
<div class="thumb"><div style="width:450px;">
<applet code="applet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">
    <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
    <param name="coloring" value="maple">
    <param name="model" value="images/b/bd/Am2.m11.w.r02.mgs.zip">
    <param name="scale" value="1.0 1.0 1.0">
	 <param name="shading" value="0.2">
</applet>
<div.thumbcaption>Am2.m11.w.r02</div>
</div></div>
</center>
<br>

Najczęściej spotykanymi obszarami, po których będziemy chcieli
całkować, nie są jednak kostki, tylko tak zwane zbiory normalne.
Zdefiniujmy:

{{definicja|11.6.||

'''(1)'''
Niech <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]</math> będzie odcinkiem w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R},</math> niech
<math>\displaystyle h_1:[a,b]\to \mathbb{R}</math> i <math>\displaystyle h_2:[a,b]\to \mathbb{R}</math> będą funkcjami ciągłymi na <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]</math>
takimi, że <math>\displaystyle h_1(x)<h_2(x), x\in [a,b].</math> Wtedy zbiór

<center><math>\displaystyle D
\ :=\
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}
</math></center>

nazywamy '''''zbiorem normalnym''''' względem osi
<math>\displaystyle Ox.</math><br>
'''(2)'''
Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi
<math>\displaystyle Oy.</math><br>
'''(3)'''
Zbiór <math>\displaystyle D</math> zawarty w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math> jest '''''normalny''''' względem
współrzędnej <math>\displaystyle z,</math> jeśli istnieje pewien zbiór normalny <math>\displaystyle A</math> zawarty
w płaszczyźnie <math>\displaystyle xy</math> oraz istnieją dwie funkcje <math>\displaystyle g_1,  g_2 :A\to\mathbb{R}</math>
takie, że <math>\displaystyle g_1(x,y)<g_2(x,y)</math> oraz

<center><math>\displaystyle D
\ =\
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (x,y)\in A,                g_1(x,y)
\ \leq\
z\leq g_2(x,y)\}.
</math></center>

'''(4)'''
Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych
współrzędnych.<br>
'''(5)'''
'''''Zbiorem normalnym''''' będziemy nazywać zbiór normalny
względem jakiejś współrzędnej.
'''''Zbiorem regularnym'''''
będziemy nazywać zbiór, który można podzielić na sumę zbiorów
regularnych o rozłącznych wnętrzach.<br>

}}


{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Zbiór normalny względem osi <math>Ox</math></div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R04.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Zbiór normalny względem osi <math>Oy</math></div>
</div></div>
|}
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Zbiór regularny, który nie jest zbiorem normalnym</div>
</div></div>

Definicje normalności i regularności można oczywiście
uogólnić na więcej wymiarów, ale nie będziemy tego robić.

Jak już wspomnieliśmy, w praktyce najczęściej będziemy
chcieli całkować funkcje po zbiorach normalnych. Wypiszmy więc, jak
w przypadku takich zbiorów wygląda twierdzenie Fubiniego.

Niech zatem <math>\displaystyle A</math> będzie zbiorem normalnym w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> zadanym jako

<br><center>
<math>\displaystyle A
\ :=\
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\leq x\leq b, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\},
</math>
<br></center>

gdzie <math>\displaystyle h_1,h_2</math> są jak w definicji. Niech <math>\displaystyle D</math> będzie zbiorem
normalnym w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math> danym jako

<br><center>
<math>\displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : (x,y)\in A,  g_1(x,y)\leq z\leq
g_2(x,y)\},
</math>
<br></center>

gdzie <math>\displaystyle g_1,g_2</math> są jak w definicji. Mamy:

{{twierdzenie|11.7. [Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math>)]||
'''(1)'''
Jeśli <math>\displaystyle f:A\to \mathbb{R}</math> jest funkcją ciągłą, to

<br><center>
<math>\displaystyle \iint\limits_Af(x,y)dxdy
\ =\
\displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy.
</math>
<br></center>

'''(2)'''
Jeśli <math>\displaystyle f:D\to \mathbb{R}</math> jest funkcją ciągłą, to

<center><math>\displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)dxdydz
\ =\
\displaystyle\int\limits_a^bdx\displaystyle\int\limits_{h_1(x)}^{h_2(x)}dy\displaystyle\int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dz.
</math></center>

}}

Dowód tej wersji Twierdzenia Fubiniego można dostać jako wniosek z ogólnej wersji
twierdzenia (dowodząc, że zbiory regularne są J-mierzalne) albo
można udowodnić to twierdzenie bezpośrednio, nieco modyfikując
dowód [[#tw_11_3|twierdzenia 11.3]].

Możemy teraz policzyć następującą całkę.
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R06.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Trójkąt <math>T</math></div>
</div></div>
{{przyklad|11.8.||

Policzyć całkę

<center>
<math>\displaystyle \iint\limits_T (x^2y) dxdy,
</math>
</center>

gdzie <math>\displaystyle T</math> jest trójkątem ograniczonym
prostymi: <math>\displaystyle y=x,  y=2x-3,  y=1.</math><br>
 
Zauważmy, że zbiór <math>\displaystyle T</math>
jest normalny względem osi
<math>\displaystyle Ox.</math>
Ponieważ jednak funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest
sklejeniem dwóch funkcji (<math>\displaystyle y=1</math> oraz <math>\displaystyle y=2x-3</math>),
to wygodniej będzie
podzielić <math>\displaystyle T</math> na dwa zbiory
normalne (o rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to
trójkąt <math>\displaystyle T_1</math> ograniczony prostymi: <math>\displaystyle y=x, y=1, x=2,</math> a drugi to
trójkąt <math>\displaystyle T_2</math> ograniczony prostymi: <math>\displaystyle y=x, y=2x-3, x=2.\displaystyle T</math> jest
więc zbiorem regularnym. Z twierdzenia Fubiniego mamy:

<center>
<math>
\begin{array}{lll}
\displaystyle 
\iint\limits_Tf(x,y)dxdy&=&\displaystyle \iint\limits_{T_1}f(x,y)dxdy+\iint\limits_{T_2}f(x,y)dxdy\\
&=&
\displaystyle\int\limits_1^2dx\displaystyle\int\limits_1^xx^2ydy+\displaystyle\int\limits_2^3dx\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x x^2y dy\\
&=&\displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_1^x dx+\displaystyle\int\limits_2^3\displaystyle\int\limits_{2x-3}^x
\bigg(\frac{1}{2}x^2y^2\bigg)\bigg|_{2x-3}^x dx\\
&=&
\displaystyle\int\limits_1^2\bigg(\frac{1}{2}x^2(x^2-1)\bigg)dx+\displaystyle\int\limits_2^3\bigg(-\frac{3}{2}x^2(x^2-4x+3)\bigg)dx\\
&=&
\bigg(\frac{1}{10}x^5-\frac{1}{6}x^3\bigg)\bigg|_1^2+\bigg(\frac{-3}{10}x^5+\frac{3}{2}x^4-\frac{3}{2}x^3\bigg)\bigg|_2^3
\ =\
\frac{57}{10}+\frac{29}{15}
\ =\
\frac{229}{30}.
\end{array}</math>
</center>}}
<br>
<center>
<div class="thumb"><div style="width:450px;">
<applet code="applet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/e/e1/Applet.jar" width="450" height="400">
    <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
    <param name="coloring" value="maple">
    <param name="model" value="images/d/d6/Am2.m11.w.r07.mgs.zip">
    <param name="scale" value="1.0 1.0 0.1">
	 <param name="shading" value="0.2">
</applet>
<div.thumbcaption>Wykres funkcji <math>f(x,y)=x^2y</math> nad <math>T</math></div>
</div></div>
</center>
<br>

==Twierdzenie o zmianie zmiennych==

Jeszcze jedno twierdzenie bardzo nam się przyda do liczenia
całek wielowymiarowych. Jest to uogólnienie na więcej wymiarów
znanego już z teorii całki jednej zmiennej twierdzenia o
całkowaniu przez podstawienie. W  przypadku wielowymiarowym nosi ono nazwę
twierdzenia o zmianie zmiennych.

Załóżmy, że mamy zbiory J-mierzalne <math>\displaystyle B</math> i <math>\displaystyle D</math>  w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^n</math> oraz
odwzorowanie <math>\displaystyle \displaystyle\varphi : B\to D,</math> które jest <math>\displaystyle {\cal C^1}</math>-dyfeomorfizmem
(to znaczy, że <math>\displaystyle \displaystyle\varphi</math> jest bijekcją klasy
<math>\displaystyle {\cal C^1}</math> i odwzorowanie odwrotne do <math>\displaystyle \displaystyle\varphi</math> też jest tej
klasy). Dla odwzorowania
<math>\displaystyle \displaystyle\varphi(x)=(\varphi_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,\varphi_n(x_1,\ldots,x_n))</math>
możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych
cząstkowych (w punkcie <math>\displaystyle x\in B</math>):

<center> Jac <math>\displaystyle  _x\varphi
\ =\
\left[
\begin{array} {ccc}\displaystyle 
\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) &\ldots&
\displaystyle \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_n}(x)\\
\vdots&\ldots&\vdots \\
\displaystyle \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_1}(x) &\ldots&
\displaystyle \frac{\partial\varphi_n}{\partial x_n}(x)
\end{array} 
\right].
</math></center>

Wyznacznik tej macierzy (w punkcie <math>\displaystyle x\in B</math>) nazywamy
'''''jakobianem''''' <math>\displaystyle \displaystyle\varphi</math> w punkcie <math>\displaystyle x</math>.
Gdy <math>\displaystyle \displaystyle\varphi</math> jest dyfeomorfizmem,
to <math>\displaystyle \det </math> Jac <math>\displaystyle  _x\varphi\ne 0</math>.

Współrzędne w zbiorze <math>\displaystyle D</math> oznaczmy przez <math>\displaystyle y=(y_1,\ldots,y_n).</math>

Twierdzenie o zmianie zmiennych brzmi następująco.

{{twierdzenie|11.9. [Twierdzenie o zmianie zmiennych]||
Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej, niech <math>\displaystyle f:D\to  \mathbb{R}</math>
będzie funkcją ciągłą. Wtedy

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy_1\ldots dy_n
\ =\
\displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))|\det  </math> Jac <math>\displaystyle  _x\varphi|dx_1\ldots dx_n.
</math></center>

}}

{{uwaga|11.10.||

Zauważmy, że dla <math>\displaystyle n=1</math> dostajemy znane twierdzenie o
całkowaniu przez podstawienie:

<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_Df(y)dy
\ =\
\displaystyle\int\limits_Bf(\varphi(x))\varphi'(x)dx.
</math></center>

}}

Dowód twierdzenia 11.9. pomijamy. Przedstawimy natomiast kilka użytecznych przykładów.

{{uwaga|11.11.||

W powyższym twierdzeniu nie  trzeba zakładać, że odwzorowanie
<math>\displaystyle \displaystyle\varphi</math> jest dyfeomorfizmem na całym zbiorze <math>\displaystyle B,</math> wystarczy
założyć, że istnieje podzbiór <math>\displaystyle B_0\subset B</math> taki, że <math>\displaystyle m(B_0)=0</math>
oraz <math>\displaystyle \displaystyle\varphi: B\setminus B_0\to D</math> jest dyfeomorfizmem.
}}

==Zmiana zmiennych na dwuwymiarowe współrzędne biegunowe==
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R08.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Współrzędne biegunowe</div>
</div></div>

Niech zbiorem <math>\displaystyle D</math> będzie <math>\displaystyle  \mathbb{R}^2\setminus \{(x,0) :x\geq
0\}.</math> Określamy odwzorowanie <math>\displaystyle T</math> prowadzące ze zbioru
<math>\displaystyle B:=(0,+\infty)\times (0,2\pi)</math> następująco:

<center>
<math>\displaystyle T (r,\alpha):=(r\cos\alpha,r\sin\alpha),
</math>
</center>

gdzie
<math>\displaystyle T(r,\alpha)</math>  najczęściej zapisujemy jako

<center>
<math>\displaystyle x\ =\ r\cos\alpha,\qquad
y\ =\ r\sin\alpha.
</math>
</center>


Tak więc <math>\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2},</math> a zatem <math>\displaystyle r\geq 0</math> jest odległością
punktu <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)</math> od początku układu współrzędnych. Kąt <math>\displaystyle \displaystyle\alpha</math> jest
kątem, jaki tworzy wektor o początku w <math>\displaystyle \displaystyle (0,0)</math> i końcu w <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)</math> z
dodatnią częścią osi <math>\displaystyle Ox.</math>

Licząc jakobian tej
zmiany zmiennych dostajemy <math>\displaystyle \det </math> Jac <math>\displaystyle  _{(r,\alpha)}T=r</math> (trzeba policzyć
pochodne cząstkowe <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> po <math>\displaystyle r</math> i <math>\displaystyle \displaystyle\alpha,</math> a następnie
wyznacznik macierzy Jacobiego). Tak więc tu jakobian jest zawsze
dodatni.

Tę zmianę zmiennych stosujemy najczęściej, gdy obszarem całkowania
(zbiorem <math>\displaystyle D</math>) jest koło, pierścień lub ich wycinek.
Jak wtedy  wygląda zbiór <math>\displaystyle B</math> obrazują  przykłady poniżej.

W dalszych rozważaniach najczęściej nie będziemy
rozróżniać pomiędzy <math>\displaystyle D</math> i <math>\displaystyle D\setminus D_0,</math> (lub   <math>\displaystyle B</math> i
<math>\displaystyle B\setminus B_0,</math>) gdzie <math>\displaystyle m(D_0)=0</math> (<math>\displaystyle m(B_0)=0</math>) i, choć nie jest
to w pełni poprawne,
będziemy pisać o zmianie zmiennych z <math>\displaystyle B</math> do <math>\displaystyle D,</math> a
nie z <math>\displaystyle B\setminus B_0</math> do <math>\displaystyle D\setminus D_0,</math> ignorując fakt, że
zmiana zmiennych może nie być dyfeomorfizmem na jakimś zbiorze
miary zero.

{{przyklad|11.12.||

Policzyć całkę

<center>
<math>\displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2  dxdy,
</math>
</center>

gdzie <math>\displaystyle D</math> jest kołem o promieniu <math>\displaystyle R</math> i
środku w punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (0,0),</math> zatem <math>\displaystyle D=\{(x,y):x^2+y^2\leq R^2\}.</math>
   
Skoro <math>\displaystyle x^2+y^2\leq R^2</math> to promień  <math>\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}</math> zmienia się
w przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [0,r],</math> a kąt <math>\displaystyle \displaystyle\alpha</math> zmienia się w całym zakresie
<math>\displaystyle \displaystyle [0,2\pi].</math>

Tak więc <math>\displaystyle B=[0,R]\times[0,2\pi],</math> czyli mamy

<center><math>\displaystyle \iint\limits_Dx^2+y^2  dxdy=\iint\limits_B(r^2)rdrd\alpha
\ =\
\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^3 dr
\ =\
\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}
\frac{R^4}{4} d\alpha=2\pi R^4,
</math></center>

gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie
zmiennych, a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.}}

{{przyklad|11.13.||

Policzyć całkę

<center><math>\displaystyle \iint\limits_Dx  dxdy,
</math></center>

gdzie <math>\displaystyle D</math> jest ćwiartką koła o promieniu <math>\displaystyle R</math> i
środku w punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (0,0),</math> leżącą w drugiej ćwiartce płaszczyzny.
  
Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem <math>\displaystyle r</math> zmienia się
także od <math>\displaystyle 0</math> do <math>\displaystyle R,</math> natomiast <math>\displaystyle \displaystyle\alpha\</math> zmienia się od <math>\displaystyle\frac{\pi}{2}</math> do <math>\displaystyle\pi</math>.
Tak więc <math>\displaystyle B=[0,R]\times \bigg[\frac{\pi}{2}, \pi\bigg]:</math>

<center>
<math>\begin{array}{lll}
\displaystyle \iint\limits_Dx  dxdy
\ &=&\displaystyle 
\iint\limits_Br^2\cos\alpha
drd\alpha=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r^2\cos\alpha
dr\\
\ &=&\
\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{R^3}{3}\cos\alpha  d\alpha
=\displaystyle 
\frac{R^3}{3}(-\sin\alpha)\bigg|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}
\ =\
\frac{R^3}{3}.\end{array}
</math></center>}}


{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Zbiór <math>D</math></div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R10.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Zbiór <math>B</math></div>
</div></div>
|}
==Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne sferyczne==
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R11.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>Współrzędne sferyczne</div>
</div></div>
Podobnie do współrzędnych biegunowych w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> 
definiujemy współrzędne sferyczne w<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3.</math> Mamy:

<center>
<math>\displaystyle \left\{
\begin{array} {lll}
x &= r\sin\beta\cos\alpha,\\
y &= r\sin\beta\sin\alpha,\\
z &= r\cos\beta,
\end{array} 
\right.
</math>
</center>

gdzie <math>\displaystyle r\in (0,+\infty), \alpha\in (0,2\pi), \beta\in (0,\pi).</math>

Teraz <math>\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> jest odległością punktu <math>\displaystyle \displaystyle (x,y, x)</math> od
początku układu współrzędnych, <math>\displaystyle \displaystyle\alpha</math> jest kątem, jaki tworzy
wektor <math>\displaystyle \displaystyle [x,y,0]</math> z dodatnią częścią osi <math>\displaystyle Ox,</math> a
<math>\displaystyle \displaystyle\beta</math> jest kątem, jaki tworzy wektor <math>\displaystyle \displaystyle [x,y,z]</math> z dodatnią częścią
osi <math>\displaystyle Oz.</math>

Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi <math>\displaystyle r^2 \sin\beta</math>, a zatem
jest dodatni, bo <math>\displaystyle \displaystyle\beta\in(0,\pi).</math><br>

{{przyklad|11.14.||

Policz całkę

<center>
<math>\displaystyle \iiint\limits_D z^2  dxdydz,
</math>
</center>

gdzie <math>\displaystyle D</math> jest górną połową kuli o środku
w <math>\displaystyle \displaystyle (0,0,0)</math> i promieniu <math>\displaystyle R.</math>

Kula opisana jest nierównością <math>\displaystyle x^2+y^2+z^2\leq R^2,</math> w takim
razie <math>\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> zmienia się w przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [0,R].</math>
Górną połowę kuli zadaje nierówność <math>\displaystyle z>0,</math> zatem musi być
<math>\displaystyle r\cos\beta>0,</math> czyli <math>\displaystyle \displaystyle\cos\beta>0,</math> a zatem <math>\displaystyle \displaystyle\beta\in
(0,\frac{\pi}{2}).</math> Na <math>\displaystyle \displaystyle\alpha</math> nie mamy żadnych dodatkowych
warunków, więc <math>\displaystyle \displaystyle\alpha\in[0,2\pi].</math> Zatem <math>\displaystyle B=[0,R]\times
[0,2\pi]\times(0,\frac{\pi}{2}).</math>
Tak więc

<center>
<math>\displaystyle \aligned 
\iiint\limits_D z^2  dxdydz&=\iiint\limits_{B} r^3 \sin\beta \cos\beta
d\alpha d\beta dr = \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}
d\beta \displaystyle\int\limits_0^R r^3 \sin\beta \cos\beta dr\\
&= \frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}
\sin\beta \cos\beta  d\beta
\ =\
\frac{R^4}{4} \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\sin^2\beta\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\right)
d\alpha
\ =\
\frac{R^4}{4}\pi.
\endaligned</math>
</center>}}

==Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne walcowe==
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M11.W.R12.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M11.W.R12</div>
</div></div>

Ta zmiana zmiennych jest w zasadzie zmianą na współrzędne
biegunowe w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math> Opisana jest wzorami:

<center>
<math>\displaystyle 
\left\{
\begin{array} {lll}
x &= r\cos\alpha,\\
y &= r\sin\alpha,\\
z &= z,
\end{array} 
\right.
</math>
</center>

gdzie <math>\displaystyle r\in(0,+\infty), \alpha\in(0,2\pi), z\in(-\infty,\infty).</math>
Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi <math>\displaystyle r>0.</math>

{{przyklad|11.15.||

Policzyć całkę

<center>
<math>\displaystyle \iiint\limits_D z  dxdydz,
</math>
</center>

gdzie <math>\displaystyle D</math> jest walcem o podstawie
<math>\displaystyle \displaystyle\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2<R^2\}</math> i o wysokości <math>\displaystyle H.</math>
  
Skoro <math>\displaystyle x^2+y^2<R^2</math> to <math>\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\in (0,R),</math> na kąt
<math>\displaystyle \displaystyle\alpha</math> nie mamy dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość
walca wynosi <math>\displaystyle H</math> to <math>\displaystyle z\in [0,H].</math> Tak więc <math>\displaystyle B=(0,R)\times(0,
2\pi)\times[0,H].</math>

<center>
<math>\displaystyle \aligned 
\iiint\limits_D z  dxdydz
&=
\iiint\limits_B rz d\alpha dr dz
\ =\
\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R dr\displaystyle\int\limits_0^H rz dz\\
\ &=\
\frac{H^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\displaystyle\int\limits_0^R r dr
=
\frac{H^2}{2}\frac{R^2}{2}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}d\alpha
\ =\
\pi\frac{H^2R^2}{2}.
\endaligned</math>
</center>}}

Ciekawsze przykłady policzymy na ćwiczeniach.