Analiza matematyczna 2/Wykład 10: Wielowymiarowa całka Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
(Nie pokazano 42 wersji utworzonych przez 5 użytkowników)
Linia 12: Linia 12:
 
==Definicja i własności całki Riemanna==
 
==Definicja i własności całki Riemanna==
 
[[grafika:Riemann.jpg|thumb|left||Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)<br>[[Biografia Riemann|Zobacz biografię]]]]
 
[[grafika:Riemann.jpg|thumb|left||Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)<br>[[Biografia Riemann|Zobacz biografię]]]]
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
+
 
<flash>file=AM2.M10.W.R01.swf|width=375|height=375</flash>
+
[[File:AM2.M10.W.R01.svg|375x375px|thumb|right|Podział kostki <math>K</math> na mniejsze kostki <math>\displaystyle K_1,\ldots,K_s,</math> takie że
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R01</div>
+
<math>\displaystyle K=K_1\cup\ldots\cup K_s.</math>]]
</div></div>
+
 
  
 
Celem tego wykładu jest zdefiniowanie całki Riemanna z
 
Celem tego wykładu jest zdefiniowanie całki Riemanna z
 
funkcji <math>\displaystyle N</math> zmiennych po zbiorze ograniczonym w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
 
funkcji <math>\displaystyle N</math> zmiennych po zbiorze ograniczonym w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
 
Zaczynamy od bardzo naturalnego uogólnienia pojęcia całki
 
Zaczynamy od bardzo naturalnego uogólnienia pojęcia całki
Riemanna po przedziale w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> na całkę po iloczynie
+
Riemanna po przedziale w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> na całkę, po iloczynie
 
kartezjańskim przedziałów (czyli po tak zwanej kostce) w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
 
kartezjańskim przedziałów (czyli po tak zwanej kostce) w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
Następnie mówimy jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna
+
Następnie mówimy, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna
 
po kostkach (to znaczy dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna
 
po kostkach (to znaczy dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna
 
z tej funkcji po kostce). Okazuje się, że tymi funkcjami są funkcje
 
z tej funkcji po kostce). Okazuje się, że tymi funkcjami są funkcje
 
ograniczone i ciągłe "na prawie całej" kostce. Do precyzyjnego
 
ograniczone i ciągłe "na prawie całej" kostce. Do precyzyjnego
określenia co to znaczy "na prawie całej" będą nam potrzebne
+
określenia, co to znaczy "na prawie całej", będą nam potrzebne
 
definicje zbioru miary zero i równości prawie wszędzie.
 
definicje zbioru miary zero i równości prawie wszędzie.
Na zakończenie wykładu powiemy jak zdefiniować całkę Riemanna nie
+
Na zakończenie wykładu powiemy, jak zdefiniować całkę Riemanna nie
 
tylko po kostce, ale też po pewnych zbiorach ograniczonych.
 
tylko po kostce, ale też po pewnych zbiorach ograniczonych.
  
Linia 73: Linia 73:
  
 
Weźmy teraz  funkcję ograniczoną <math>\displaystyle f: K\to \mathbb{R}.</math><br>
 
Weźmy teraz  funkcję ograniczoną <math>\displaystyle f: K\to \mathbb{R}.</math><br>
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R02 (stary numer AM2.10.3a)]]}<br>
+
Analogicznie, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, określamy górną sumę całkową i
Analogicznie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej określamy górną sumę całkową i
+
dolną sumę całkową, a także sumę całkową zależną od punktów
dolną sumę całkową a także sumę całkową zależną od punktów
 
 
pośrednich.
 
pośrednich.
  
Linia 82: Linia 81:
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
 
Dla podziału <math>\displaystyle P=\{K_1,\ldots,K_t\}</math> kostki <math>\displaystyle K</math> i funkcji
 
Dla podziału <math>\displaystyle P=\{K_1,\ldots,K_t\}</math> kostki <math>\displaystyle K</math> i funkcji
ograniczonej <math>\displaystyle f: K\to \mathbb{R},</math> definiujemy
+
ograniczonej <math>\displaystyle f: K\to \mathbb{R}</math> definiujemy
  
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
m_i(f,P) &= \inf\{f(x), x\in K_i\},\\
 
m_i(f,P) &= \inf\{f(x), x\in K_i\},\\
 
M_i(f,P) &= \sup\{f(x), x\in K_i\},
 
M_i(f,P) &= \sup\{f(x), x\in K_i\},
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
 
dla <math>\displaystyle i=1,\ldots,t.</math><br>
 
dla <math>\displaystyle i=1,\ldots,t.</math><br>
'''(2)''' ''''' Dolną sumą całkową ''''' odpowiadającą podziałowi <math>\displaystyle P,</math> nazywamy liczbę
+
'''(2)''' ''''' Dolną sumą całkową ''''' odpowiadającą podziałowi <math>\displaystyle P</math> nazywamy liczbę
  
 
<center><math>\displaystyle L(f,P):=\sum_{i=1}^tm_i(f,P)v(K_i).
 
<center><math>\displaystyle L(f,P):=\sum_{i=1}^tm_i(f,P)v(K_i).
Linia 96: Linia 95:
  
 
'''(3)'''
 
'''(3)'''
''''' Górną sumą całkową ''''' odpowiadającą podziałowi <math>\displaystyle P,</math> nazywamy liczbę
+
''''' Górną sumą całkową ''''' odpowiadającą podziałowi <math>\displaystyle P</math> nazywamy liczbę
  
 
<center><math>\displaystyle U(f,P)
 
<center><math>\displaystyle U(f,P)
\ :=\
+
\ :=
 
\sum_{i=1}^tM_i(f,P)v(K_i).
 
\sum_{i=1}^tM_i(f,P)v(K_i).
 
</math></center>
 
</math></center>
Linia 106: Linia 105:
 
W każdej z kostek wybierzmy dowolny punkt <math>\displaystyle x_i\in K_i.</math>
 
W każdej z kostek wybierzmy dowolny punkt <math>\displaystyle x_i\in K_i.</math>
 
Dostajemy '''''ciąg punktów pośrednich''''',  <math>\displaystyle x_1,\ldots,x_t.</math><br>
 
Dostajemy '''''ciąg punktów pośrednich''''',  <math>\displaystyle x_1,\ldots,x_t.</math><br>
Sumą całkową (funkcji <math>\displaystyle f,</math> dla podziału <math>\displaystyle P</math> i punktów pośrednich
+
Sumą całkową (funkcji <math>\displaystyle f</math> dla podziału <math>\displaystyle P</math> i punktów pośrednich
<math>\displaystyle x_1,\ldots,x_t</math>), nazywamy liczbę
+
<math>\displaystyle x_1,\ldots,x_t</math>)  nazywamy liczbę
  
 
<center><math>\displaystyle S(f,P,x_1,\ldots,x_t)=\sum_{i=1}^tf(x_i)v(K_i).
 
<center><math>\displaystyle S(f,P,x_1,\ldots,x_t)=\sum_{i=1}^tf(x_i)v(K_i).
</math></center>
+
</math></center>}}
  
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R03 (nowy)]]}<br>
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
}}
+
|[[File:am2.m10.w.r02.svg|375x375px|thumb|center|Funkcja ograniczona określona na kostce w <math>\mathbb{R}^2</math>]]
 +
|[[File:am2.m10.w.r03.svg|375x375px|thumb|center|Podział kostki w <math>\mathbb{R}^2</math> oraz punkty pośrednie]]
 +
|}
  
 
Weźmy teraz normalny ciąg <math>\displaystyle P_1,P_2,\ldots.</math> podziałów kostki
 
Weźmy teraz normalny ciąg <math>\displaystyle P_1,P_2,\ldots.</math> podziałów kostki
<math>\displaystyle K.</math>  Dla każdego podziału <math>\displaystyle P_j</math> wybierzmy ciąg
+
<math>\displaystyle K.</math>  Dla każdego podziału <math>\displaystyle P_j</math> wybierzmy ciągpunktów pośrednich
 
<math>\displaystyle x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j.</math> Weźmy sumę całkową <math>\displaystyle S(f,
 
<math>\displaystyle x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j.</math> Weźmy sumę całkową <math>\displaystyle S(f,
 
P,x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j).</math>
 
P,x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j).</math>
Linia 123: Linia 124:
 
{{definicja|10.5.||
 
{{definicja|10.5.||
  
Niech <math>\displaystyle f: K\to \mathbb{R},</math> będzie funkcją ograniczoną.
+
Niech <math>\displaystyle f: K\to \mathbb{R}</math> będzie funkcją ograniczoną.
 
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> jest
 
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> jest
 
'''''całkowalna w sensie Riemanna'''''
 
'''''całkowalna w sensie Riemanna'''''
Linia 129: Linia 130:
 
podziałów <math>\displaystyle P_1,P_2,\ldots.,</math> istnieje granica
 
podziałów <math>\displaystyle P_1,P_2,\ldots.,</math> istnieje granica
  
<center><math>\displaystyle \lim_{j\to\infty} S(f, P,x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j),
+
<center><math>\displaystyle \lim_{j\to\infty} S(f, P,x_1^j,\ldots,x_{t_j}^j)
 
</math></center>
 
</math></center>
  
i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów ani od
+
i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów, ani od
 
wyboru punktów pośrednich.<br>
 
wyboru punktów pośrednich.<br>
 
Powyższą granicę oznaczamy
 
Powyższą granicę oznaczamy
Linia 140: Linia 141:
  
 
i nazywamy
 
i nazywamy
'''''całką Riemanna''''' funkcji <math>\displaystyle f</math> po kostce <math>\displaystyle K.</math><br>
+
'''''całką Riemanna''''' funkcji <math>\displaystyle f</math> po kostce <math>\displaystyle K.</math><br>}}
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R04 (stary numer AM2.10.3c)]]}<br>
+
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R05 (stary numer AM2.10.3d)]]}<br>
+
|[[File:am2.m10.w.r04.svg|375x375px|thumb|center|Objętość prostopadłościanu jest jednym składnikiem w sumie całkowej]]
}}
+
|[[File:am2.m10.w.r05.svg|375x375px|thumb|center|Objętość wszystkich prostopadłościanów jest równa sumie całkowej]]
 +
|}
  
 
{{uwaga|10.6.||
 
{{uwaga|10.6.||
Linia 149: Linia 151:
 
Można wykazać, że funkcja ograniczona <math>\displaystyle f</math> jest całkowalna na
 
Można wykazać, że funkcja ograniczona <math>\displaystyle f</math> jest całkowalna na
 
kostce <math>\displaystyle K</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów
 
kostce <math>\displaystyle K</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów
normalnych <math>\displaystyle P_1,P_2,\ldots,</math> mamy
+
normalnych <math>\displaystyle P_1,P_2,\ldots</math> mamy
  
<center><math>\displaystyle \lim_{j\to\infty}\left(L(f,P_j)-U(f,P_j)\right)=0,
+
<center><math>\displaystyle \lim_{j\to\infty}\left(U(f,P_j)-L(f,P_j)\right)=0,
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 160: Linia 162:
 
{{uwaga|10.7.||
 
{{uwaga|10.7.||
  
W literaturze można spotkać też zapis <math>\displaystyle \displaystyle\int\cdots \displaystyle\int\limits_K
+
W literaturze można spotkać też zapis <math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_K\cdots \displaystyle\int\limits
 
f(x_1,\ldots,x_N)dx_1\ldots dx_N,</math> my będziemy raczej pisać
 
f(x_1,\ldots,x_N)dx_1\ldots dx_N,</math> my będziemy raczej pisać
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx,</math> pamiętając, że zapis <math>\displaystyle x</math> oznacza tu
 
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx,</math> pamiętając, że zapis <math>\displaystyle x</math> oznacza tu
Linia 178: Linia 180:
 
całki:
 
całki:
  
{{stwierdzenie|10.8.||
+
{{stwierdzenie|10.8.|stw_10_8|
  
 
Niech <math>\displaystyle K</math> będzie kostką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> a <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> funkcjami
 
Niech <math>\displaystyle K</math> będzie kostką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> a <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> funkcjami
Linia 195: Linia 197:
  
 
Niech <math>\displaystyle K_1</math> i <math>\displaystyle K_2</math> będą dwoma kostkami w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> o
 
Niech <math>\displaystyle K_1</math> i <math>\displaystyle K_2</math> będą dwoma kostkami w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> o
rozłącznych wnętrzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej
+
rozłącznych wnętrzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej, mamy
  
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1\cup K_2}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{K_1}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{K_2}f(x)dx.
 
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_{K_1\cup K_2}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{K_1}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{K_2}f(x)dx.
Linia 202: Linia 204:
 
}}
 
}}
  
Oczywiście to stwierdzenie nie jest prawdziwe gdy nie założymy,
+
Oczywiście to stwierdzenie nie jest prawdziwe, gdy nie założymy,
 
że kostki mają wnętrza rozłączne.
 
że kostki mają wnętrza rozłączne.
  
 
==Interpretacja geometryczna całki Riemanna==
 
==Interpretacja geometryczna całki Riemanna==
  
W przypadku gdy kostka <math>\displaystyle K</math> jest zwykłym prostokątem w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2,\displaystyle K=[a,b]\times[c,d]</math> a funkcja <math>\displaystyle f:K\to \mathbb{R}</math> jest nieujemna i
+
W przypadku gdy kostka <math>\displaystyle K</math> jest zwykłym prostokątem w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2,\displaystyle</math> to znaczy <math>\displaystyle \ K=[a,b]\times[c,d]</math>, a funkcja <math>\displaystyle f:K\to \mathbb{R}</math> jest nieujemna i
 
ciągła (założenie ciągłości nie jest konieczne, wystarczy
 
ciągła (założenie ciągłości nie jest konieczne, wystarczy
całkowalność) to
+
całkowalność), to
  
 
<center><math>\displaystyle \iint\limits_K f(x,y)dxdy
 
<center><math>\displaystyle \iint\limits_K f(x,y)dxdy
Linia 218: Linia 220:
  
 
<center><math>\displaystyle a
 
<center><math>\displaystyle a
\ \leq\
+
\ \leq
 
x
 
x
\ \leq\
+
\ \leq
 
b,\quad
 
b,\quad
 
c
 
c
\ \leq\
+
\ \leq
 
y
 
y
\ \leq\
+
\ \leq
 
d,\quad
 
d,\quad
 
0
 
0
\ \leq\
+
\ \leq
 
z
 
z
\ \leq\
+
\ \leq
 
f(x,y).
 
f(x,y).
 
</math></center>
 
</math></center>
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.m10.w.r06.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji]]
 +
|[[File:am2.m10.w.r07.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji]]
 +
|}
 +
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 +
|[[File:am2.m10.w.r08.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji]]
 +
|[[File:am2.m10.w.r09.svg|375x375px|thumb|center|Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji]]
 +
|}
  
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R06 (stary numer AM2.10.3e)]]}<br>
 
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R07 (stary numer AM2.10.3f)]]}<br>
 
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R08 (stary numer AM2.10.3g)]]}<br>
 
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R09 (stary numer AM2.10.3h)]]}<br>
 
 
Faktycznie, dla danego podziału <math>\displaystyle P</math> prostokąta <math>\displaystyle K,</math> suma dolna
 
Faktycznie, dla danego podziału <math>\displaystyle P</math> prostokąta <math>\displaystyle K,</math> suma dolna
 
<math>\displaystyle L(f,P)</math> to objętość "słupków" (czyli graniastosłupów) wpisanych w
 
<math>\displaystyle L(f,P)</math> to objętość "słupków" (czyli graniastosłupów) wpisanych w
<math>\displaystyle B,</math>  jak na poniższym rysunku.
+
<math>\displaystyle B,</math>  jak na powyższym rysunku.
  
 
Przy zmniejszających się średnicach podziałów  suma objętości
 
Przy zmniejszających się średnicach podziałów  suma objętości
Linia 253: Linia 259:
 
utworzyć ciąg podziałów, policzyć sumy całkowe i ich granicę. Na
 
utworzyć ciąg podziałów, policzyć sumy całkowe i ich granicę. Na
 
ćwiczeniach policzymy przykłady całek z wykorzystaniem
 
ćwiczeniach policzymy przykłady całek z wykorzystaniem
definicji (patrz Zadanie [[##z.new.am2.c.10.010|Uzupelnic z.new.am2.c.10.010|]] i [[##z.new.am2.c.10.020|Uzupelnic z.new.am2.c.10.020|]]),
+
definicji (patrz ćwiczenie [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna#cw_10_1|10.1.]] i [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna#cw_10_2|10.2.]]),
 
by zobaczyć, że jest to metoda dość pracochłonna i
 
by zobaczyć, że jest to metoda dość pracochłonna i
 
docenić twierdzenie, które poznamy na  następnym wykładzie
 
docenić twierdzenie, które poznamy na  następnym wykładzie
Linia 265: Linia 271:
 
kostce w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> (czyli dla jakich funkcji istnieje całka
 
kostce w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> (czyli dla jakich funkcji istnieje całka
 
Riemanna po kostce).
 
Riemanna po kostce).
<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
+
[[File:AM2.M10.W.R10.mp4|253x253px|thumb|right|Odcinek jest zawarty w kostce o dowolnie małej objętości]]
<flashwrap>file=AM2.M10.W.R10.swf|size=small</flashwrap>
 
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R10</div>
 
</div></div>
 
  
  
Linia 278: Linia 281:
 
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle B\in \mathbb{R}^N</math> ma
 
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle B\in \mathbb{R}^N</math> ma
 
''''' objętość zero''''', jeśli dla
 
''''' objętość zero''''', jeśli dla
każdego <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math> istnieją kostki <math>\displaystyle K_1,\ldots,K_s,</math> takie, że
+
każdego <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math> istnieją kostki <math>\displaystyle K_1,\ldots,K_s</math> takie że
  
 
<br><center>
 
<br><center>
Linia 298: Linia 301:
  
 
'''(1)'''
 
'''(1)'''
Zbiorem o objętości zero jest punkt w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math> Faktycznie,
+
Punkt w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> jest zbiorem o objętości zero. Faktycznie,
 
zawsze możemy dobrać układ współrzędnych tak, by punkt miał
 
zawsze możemy dobrać układ współrzędnych tak, by punkt miał
współrzędne <math>\displaystyle \displaystyle (0,\ldots,0)</math> i wtedy zawiera sie on w kostce
+
współrzędne <math>\displaystyle \displaystyle (0,\ldots,0)</math> i wtedy zawiera się on w kostce
 
<math>\displaystyle K=[-a,a]\times\ldots\times[-a,a],</math> gdzie
 
<math>\displaystyle K=[-a,a]\times\ldots\times[-a,a],</math> gdzie
 
<math>\displaystyle a=\sqrt[N]{\varepsilon}/2,</math> a zatem <math>\displaystyle v(K)=\varepsilon.</math><br>
 
<math>\displaystyle a=\sqrt[N]{\varepsilon}/2,</math> a zatem <math>\displaystyle v(K)=\varepsilon.</math><br>
 
<br>
 
<br>
 
'''(2)'''
 
'''(2)'''
Brzeg kostki w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> ma objętość zero, ten fakt udowodnimy na
+
Brzeg kostki w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> ma objętość zero. Ten fakt udowodnimy na
 
ćwiczeniach.
 
ćwiczeniach.
 
}}
 
}}
  
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
+
[[File:AM2.M10.W.R11.svg|375x375px|thumb|right|Kula w <math>\mathbb{R}^2</math> ma dodatnią objętość]]
<flash>file=AM2.M10.W.R11.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R11</div>
 
</div></div>
 
  
 
{{definicja|10.13.||
 
{{definicja|10.13.||
  
 
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A\in \mathbb{R}^N</math> ma
 
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A\in \mathbb{R}^N</math> ma
'''''miarę zero''''' jeśli
+
'''''miarę zero''''', jeśli
dla każdego <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math> istnieją kostki <math>\displaystyle K_1,K_2,\ldots</math> takie,
+
dla każdego <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math> istnieją kostki <math>\displaystyle K_1,K_2,\ldots</math> takie
 
że
 
że
  
 
<br><center>
 
<br><center>
<math>\displaystyle B\subset K_1\cup K_2\cup\ldots=\cup_{j=1}^{\infty}K_j
+
<math>\displaystyle B\subset K_1\cup K_2\cup\ldots=\bigcup_{j=1}^{\infty}K_j
 
</math>
 
</math>
 
<br></center>
 
<br></center>
Linia 335: Linia 335:
 
}}
 
}}
  
{{uwaga|10.14.||
+
{{uwaga|10.14.|uw_10_14|
  
 
Jeśli zbiór <math>\displaystyle A</math> ma miarę zero, to ma puste
 
Jeśli zbiór <math>\displaystyle A</math> ma miarę zero, to ma puste
Linia 348: Linia 348:
  
  
Oczywiście, kula w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> nie jest zbiorem miary
+
Oczywiście kula w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> nie jest zbiorem miary
 
zero - bo zawiera pewną kostkę.<br>
 
zero - bo zawiera pewną kostkę.<br>
  
Linia 361: Linia 361:
  
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
|[[File:AM2.M10.W.R12a.svg|375x375px|thumb|center|Funkjca ciągła <math>f</math> nad odcinkiem]]
<flash>file=AM2.M10.W.R12a.swf|width=375|height=375</flash>
+
|[[File:AM2.M10.W.R12b.svg|375x375px|thumb|center|Funkcja powstała z funkcji ciągłej <math>f</math> przez zmianę wartości w jednym punkcie]]
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R12a</div>
 
</div></div>
 
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 
<flash>file=AM2.M10.W.R12b.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R12b</div>
 
</div></div>
 
 
|}
 
|}
  
Z lewej strony mamy funkcję ciągłą na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [a, b],</math> z
+
Na pierwszym rysunku mamy funkcję ciągłą na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [a, b],</math> a na drugim rysunku mamy tę samą funkcję, tylko z wartością zmienioną w jednym
prawej tę samą funkcję, tylko z wartością zmienioną w jednym
 
 
punkcie - i w tym punkcie funkcja nie jest ciągła. Niemniej, pole
 
punkcie - i w tym punkcie funkcja nie jest ciągła. Niemniej, pole
 
pod wykresami obu funkcji jest takie samo - a zatem całka z obu
 
pod wykresami obu funkcji jest takie samo - a zatem całka z obu
Linia 378: Linia 371:
 
bryły  ograniczonej wykresem funkcji nad prostokątem  nie zmieni
 
bryły  ograniczonej wykresem funkcji nad prostokątem  nie zmieni
 
się, jeśli zmienimy tę funkcję wzdłuż na przykład odcinka - jak na
 
się, jeśli zmienimy tę funkcję wzdłuż na przykład odcinka - jak na
poniższym rysunku:<br>
+
poniższych rysunkach:<br>
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R13a (stary numer AM2.10.7a)]]}<br>
+
<br>
{ [[Rysunek AM2.M10.W.R13b (stary numer AM2.10.7b)]]}<br>
+
<center>
 +
<div class="thumb"><div style="width:450px;">
 +
<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">
 +
    <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
 +
    <param name="coloring" value="maple">
 +
    <param name="model" value="images/2/23/Am2.m10.w.r13a.mgs.zip">
 +
    <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">
 +
<param name="shading" value="0.2">
 +
</applet>
 +
<div.thumbcaption>Funkjca ciągła <math>f</math> nad prostokątem</div>
 +
</div></div>
 +
</center>
 +
<br>
 +
Funkcja ciągła <math>f</math> nad prostokątem
 +
<br>
 +
<center>
 +
<div class="thumb"><div style="width:450px;">
 +
<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">
 +
    <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
 +
    <param name="coloring" value="maple">
 +
    <param name="model" value="images/e/eb/Am2.m10.w.r13b.mgs.zip">
 +
    <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">
 +
<param name="shading" value="0.2">
 +
</applet>
 +
<div.thumbcaption>Funkcja powstała z funkcji ciągłej <math>f</math> przez zmianę wartości wzdłuż odcinka</div>
 +
</div></div>
 +
</center>
 +
<br>
 +
Funkcja powstała z funkcji ciągłej <math>f</math> przez zmianę wartości wzdłuż odcinka
 +
 
 +
 
 
A zatem całki po tym
 
A zatem całki po tym
 
prostokącie z obu funkcji są takie same.
 
prostokącie z obu funkcji są takie same.
Linia 386: Linia 409:
 
Przypuśćmy więc, że umiemy policzyć całkę po kostce z funkcji
 
Przypuśćmy więc, że umiemy policzyć całkę po kostce z funkcji
 
ciągłej. Z powyższych przykładów widać, że możemy funkcję ciągłą
 
ciągłej. Z powyższych przykładów widać, że możemy funkcję ciągłą
"zepsuć" na pewnym zbiorze - a całka pozostanie taka sama jak dla
+
"zepsuć" na pewnym "niedużym" zbiorze - a całka pozostanie taka sama jak dla
 
funkcji ciągłej. Aby formalnie powiedzieć jak bardzo możemy
 
funkcji ciągłej. Aby formalnie powiedzieć jak bardzo możemy
"zepsuć" funkcję będziemy potrzebowali poniższych definicji:
+
"zepsuć" funkcję, będziemy potrzebowali poniższych definicji:
  
 
{{definicja|10.15.||
 
{{definicja|10.15.||
Linia 403: Linia 426:
 
Dwie funkcje <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> określone na kostce <math>\displaystyle K</math> są
 
Dwie funkcje <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> określone na kostce <math>\displaystyle K</math> są
 
'''''równe prawie wszędzie''''', jeśli istnieje zbiór <math>\displaystyle B</math> miary
 
'''''równe prawie wszędzie''''', jeśli istnieje zbiór <math>\displaystyle B</math> miary
zero, taki, że <math>\displaystyle f=g</math> na <math>\displaystyle K\setminus B.</math> Piszemy wtedy <math>\displaystyle f=g</math> p.w.
+
zero, taki, że <math>\displaystyle f=g</math> na <math>\displaystyle K\setminus B.</math> Piszemy wtedy: <math>\displaystyle f=g</math> p.w.
 
na <math>\displaystyle K.</math>
 
na <math>\displaystyle K.</math>
 
}}
 
}}
Linia 414: Linia 437:
 
funkcji, określonej na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [0,1],</math> która jest różna od
 
funkcji, określonej na przedziale <math>\displaystyle \displaystyle [0,1],</math> która jest różna od
 
funkcji ciągłej tylko na zbiorze miary zero,
 
funkcji ciągłej tylko na zbiorze miary zero,
ale która  nie jest ciągła w żadnym punkcie <math>\displaystyle \displaystyle [0,1]</math> (patrz
+
ale która  nie jest ciągła w żadnym punkcie <math>\displaystyle \displaystyle [0,1]</math> (patrz [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 10: Wielowymiarowa całka Riemanna#cw_10_9|ćwiczenie 10.9.]]).
Zadanie [[##z.new.am2.c.10.090|Uzupelnic z.new.am2.c.10.090|]]).
 
 
}}
 
}}
  
Teraz możemy napisać stwierdzenie, które mówi kiedy całka Riemanna
+
Teraz możemy napisać stwierdzenie, które mówi, kiedy całka Riemanna
 
funkcji jest równa całce Riemanna "popsutej" funkcji.
 
funkcji jest równa całce Riemanna "popsutej" funkcji.
  
 
{{stwierdzenie|10.18.||
 
{{stwierdzenie|10.18.||
  
Weźmy dwie funkcje <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> określone na kostce <math>\displaystyle K\subset\mathbb{R}^N,</math>
+
Weźmy dwie funkcje <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> określone na kostce <math>\displaystyle K\subset\mathbb{R}^N</math>
 
prowadzące w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.</math> Załóżmy, że obie te funkcje są
 
prowadzące w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.</math> Załóżmy, że obie te funkcje są
 
całkowalne w sensie Riemanna (to znaczy istnieją <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx</math> i
 
całkowalne w sensie Riemanna (to znaczy istnieją <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf(x)dx</math> i
Linia 434: Linia 456:
 
}}
 
}}
  
{{dowod|stwierdzenia 10.18.||
+
{{dowod|10.18. [nadobowiązkowy]||
(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
 
 
Zdefiniujmy funkcję <math>\displaystyle h:=f-g.</math> Widać, że funkcja <math>\displaystyle h</math>
 
Zdefiniujmy funkcję <math>\displaystyle h:=f-g.</math> Widać, że funkcja <math>\displaystyle h</math>
 
też jest całkowalna w sensie Riemanna na <math>\displaystyle K</math> i <math>\displaystyle h=0</math> p.w. na <math>\displaystyle K.</math>
 
też jest całkowalna w sensie Riemanna na <math>\displaystyle K</math> i <math>\displaystyle h=0</math> p.w. na <math>\displaystyle K.</math>
 
Wystarczy zatem pokazać, że <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kh(x)dx=0</math> (i skorzystać z liniowości
 
Wystarczy zatem pokazać, że <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kh(x)dx=0</math> (i skorzystać z liniowości
całki). Określmy zbiór <math>\displaystyle A:=\{x\in K | h(x)\neq 0\}.</math> Ponieważ <math>\displaystyle h</math>
+
całki). Określmy zbiór <math>\displaystyle A:=\{x\in K : h(x)\neq 0\}.</math> Ponieważ <math>\displaystyle h</math>
 
jest równa zero prawie wszędzie, to zbiór <math>\displaystyle A</math> ma miarę zero, a
 
jest równa zero prawie wszędzie, to zbiór <math>\displaystyle A</math> ma miarę zero, a
zatem ma puste wnętrze (patrz Uwaga [[##u.am2.w.10.140|Uzupelnic u.am2.w.10.140|]]). W szczególności
+
zatem ma puste wnętrze (patrz [[#uw_10_14|uwaga 10.14.]]). W szczególności
 
zbiór <math>\displaystyle A</math> nie zawiera żadnej kostki.
 
zbiór <math>\displaystyle A</math> nie zawiera żadnej kostki.
  
Linia 447: Linia 468:
  
 
Żadna z tych kostek nie jest podzbiorem zbioru <math>\displaystyle A,</math> czyli można
 
Żadna z tych kostek nie jest podzbiorem zbioru <math>\displaystyle A,</math> czyli można
wybrać punkty pośrednie <math>\displaystyle x_1,\ldots,x_s,</math> takie, że <math>\displaystyle x_j\in
+
wybrać punkty pośrednie <math>\displaystyle x_1,\ldots,x_s</math> takie że <math>\displaystyle x_j\in
 
K_j\setminus A, j=1,\ldots,s.</math> Dla tych <math>\displaystyle x_j</math> oczywiście <math>\displaystyle h(x_j)=0.</math>
 
K_j\setminus A, j=1,\ldots,s.</math> Dla tych <math>\displaystyle x_j</math> oczywiście <math>\displaystyle h(x_j)=0.</math>
 
W takim razie
 
W takim razie
Linia 461: Linia 482:
 
}}
 
}}
  
Podamy teraz - bez dowodu - bardzo ważne twierdzenie, które
+
Podamy teraz bez dowodu bardzo ważne twierdzenie, które
mówi jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.
+
mówi, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.
  
 
{{twierdzenie|10.19.||
 
{{twierdzenie|10.19.||
Linia 479: Linia 500:
  
 
<center><math>\displaystyle \chi_B(x)
 
<center><math>\displaystyle \chi_B(x)
\ =\
+
=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
1 &  \textrm{dla} \displaystyle  &  x\in B,\\
+
1 &  \text{dla} \displaystyle  &  x\in B,\\
0,&  \textrm{dla} \displaystyle  &  x\in \mathbb{R}^N\setminus B.
+
0,&  \text{dla} \displaystyle  &  x\in \mathbb{R}^N\setminus B.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
Linia 489: Linia 510:
  
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
|[[File:AM2.M10.W.R14a.svg|375x220px|thumb|center|Zbiórr <math>B</math>]]
<flash>file=AM2.M10.W.R14a.swf|width=375|height=375</flash>
+
|[[File:AM2.M10.W.R14b.svg|375x220px|thumb|center|Wykres funkcji charakterystycznej zbioru <math>B</math>]]
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R14a</div>
 
</div></div>
 
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 
<flash>file=AM2.M10.W.R14b.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R14b</div>
 
</div></div>
 
 
|}
 
|}
  
Linia 502: Linia 517:
  
 
<center><math>\displaystyle f_B(x)
 
<center><math>\displaystyle f_B(x)
\ :=\
+
\ :=
 
\left\{
 
\left\{
 
\begin{array} {lll}
 
\begin{array} {lll}
f(x) &  \textrm{dla} \displaystyle  & x\in B,\\
+
f(x) &  \text{dla} \displaystyle  & x\in B,\\
0    &  \textrm{dla} \displaystyle  & x\in \mathbb{R}^N\setminus B.
+
0    &  \text{dla} \displaystyle  & x\in \mathbb{R}^N\setminus B.
 
\end{array}  
 
\end{array}  
 
\right.
 
\right.
Linia 512: Linia 527:
  
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
|[[File:AM2.M10.W.R15a.svg|375x250px|thumb|center|Zbiór <math>B</math> i wykres funkcji <math>f</math>]]
<flash>file=AM2.M10.W.R15a.swf|width=375|height=375</flash>
+
|[[File:AM2.M10.W.R15b.svg|375x250px|thumb|center|Wykres funkcji <math>f_B</math>]]
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R15a</div>
 
</div></div>
 
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 
<flash>file=AM2.M10.W.R15b.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>AM2.M10.W.R15b</div>
 
</div></div>
 
 
|}
 
|}
 
Możemy teraz zdefiniować całkę Riemanna z funkcji ograniczonej <math>\displaystyle f</math>
 
Możemy teraz zdefiniować całkę Riemanna z funkcji ograniczonej <math>\displaystyle f</math>
Linia 527: Linia 536:
  
 
Niech  <math>\displaystyle B</math> będzie ograniczonym podzbiorem <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> i niech
 
Niech  <math>\displaystyle B</math> będzie ograniczonym podzbiorem <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> i niech
<math>\displaystyle f:B\to\mathbb{R}</math> będzie funkcja ograniczoną. Niech <math>\displaystyle K</math> będzie kostką w
+
<math>\displaystyle f:B\to\mathbb{R}</math> będzie funkcją ograniczoną. Niech <math>\displaystyle K</math> będzie kostką w
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N,</math> taką, że <math>\displaystyle B\subset K.</math> Wtedy całkę z funkcji <math>\displaystyle f</math> po
+
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> taką, że <math>\displaystyle B\subset K.</math> Wtedy całkę z funkcji <math>\displaystyle f</math> po
 
zbiorze <math>\displaystyle B</math> definiujemy jako
 
zbiorze <math>\displaystyle B</math> definiujemy jako
  
Linia 542: Linia 551:
  
 
Pozostaje jeszcze pytanie, czy możemy powiedzieć, kiedy
 
Pozostaje jeszcze pytanie, czy możemy powiedzieć, kiedy
istnieje całka <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf_B(x)dx</math>? Aby odpowiedzieć na to pytanie
+
istnieje całka <math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_Kf_B(x)dx</math>? Aby odpowiedzieć na to pytanie,
 
podajmy najpierw następujące fakty:
 
podajmy najpierw następujące fakty:
 
[[grafika:Jordan.jpg|thumb|right||Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)<br>[[Biografia Jordan|Zobacz biografię]]]]
 
[[grafika:Jordan.jpg|thumb|right||Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)<br>[[Biografia Jordan|Zobacz biografię]]]]
Linia 553: Linia 562:
 
(przypomnijmy, że brzeg zbioru <math>\displaystyle B</math> definiujemy jako
 
(przypomnijmy, że brzeg zbioru <math>\displaystyle B</math> definiujemy jako
 
<math>\displaystyle \displaystyle\partial B=\overline{B}\setminus\mathrm{int}\, B</math>;
 
<math>\displaystyle \displaystyle\partial B=\overline{B}\setminus\mathrm{int}\, B</math>;
patrz Definicja [[##d.new.am2.w.01.070|Uzupelnic d.new.am2.w.01.070|]]).
+
patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#def_1_7|definicja 1.7.]]).
 
}}
 
}}
  
Linia 563: Linia 572:
 
jest J-mierzalny, to istnieje
 
jest J-mierzalny, to istnieje
  
<center><math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_B\chi_B(x)dx.
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle \displaystyle\int\limits_B\chi_B(x)dx.
 +
</math>
 +
</center>
  
 
}}
 
}}
Linia 570: Linia 581:
 
{{definicja|10.23.||
 
{{definicja|10.23.||
  
Dla J-mierzalnego zbioru ograniczonego <math>\displaystyle B,</math> zawartego w
+
Dla J-mierzalnego zbioru ograniczonego <math>\displaystyle B</math> zawartego w
 
kostce <math>\displaystyle K</math> '''objętością '''<math>\displaystyle B</math> nazywamy liczbę
 
kostce <math>\displaystyle K</math> '''objętością '''<math>\displaystyle B</math> nazywamy liczbę
  
<center><math>\displaystyle v(B):=\displaystyle\int\limits_B\chi_B(x)dx.
+
<center>
</math></center>
+
<math>\displaystyle v(B):=\displaystyle\int\limits_B\chi_B(x)dx.
 +
</math>
 +
</center>
  
 
}}
 
}}
Linia 589: Linia 602:
  
 
Niech  <math>\displaystyle B</math> będzie J-mierzalnym,  ograniczonym podzbiorem
 
Niech  <math>\displaystyle B</math> będzie J-mierzalnym,  ograniczonym podzbiorem
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N,</math> Niech <math>\displaystyle f: B\to \mathbb{R}</math> będzie funkcją
+
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math> Niech <math>\displaystyle f: B\to \mathbb{R}</math> będzie funkcją
 
ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na <math>\displaystyle B.</math><br>
 
ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na <math>\displaystyle B.</math><br>
 
Wtedy <math>\displaystyle f</math> jest całkowalna w sensie Riemanna na <math>\displaystyle B.</math>
 
Wtedy <math>\displaystyle f</math> jest całkowalna w sensie Riemanna na <math>\displaystyle B.</math>

Aktualna wersja na dzień 13:56, 3 paź 2021

Wielowymiarowa całka Riemanna

Wykład przedstawia pojęcie całki Riemanna funkcji zmiennych. Definiujemy całkę Riemanna na kostce i na pewnych zbiorach ograniczonych. Wprowadzamy pojęcie zbioru miary zero oraz zbioru mierzalnego w sensie Jordana. Charakteryzujemy funkcje całkowalne w sensie Riemanna.

Definicja i własności całki Riemanna

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Zobacz biografię
Plik:AM2.M10.W.R01.svg
Podział kostki na mniejsze kostki takie że


Celem tego wykładu jest zdefiniowanie całki Riemanna z funkcji zmiennych po zbiorze ograniczonym w Zaczynamy od bardzo naturalnego uogólnienia pojęcia całki Riemanna po przedziale w na całkę, po iloczynie kartezjańskim przedziałów (czyli po tak zwanej kostce) w Następnie mówimy, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna po kostkach (to znaczy dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna z tej funkcji po kostce). Okazuje się, że tymi funkcjami są funkcje ograniczone i ciągłe "na prawie całej" kostce. Do precyzyjnego określenia, co to znaczy "na prawie całej", będą nam potrzebne definicje zbioru miary zero i równości prawie wszędzie. Na zakończenie wykładu powiemy, jak zdefiniować całkę Riemanna nie tylko po kostce, ale też po pewnych zbiorach ograniczonych.

Definicja 10.1.

(1) Kostką w będziemy nazywać zbiór czyli iloczyn kartezjański przedziałów
(2) Objętością kostki będziemy nazywać liczbą
(3) Liczbę (czyli długość najdłuższego boku kostki) nazwiemy średnicą kostki

Podzielmy teraz naszą kostkę na mniejsze kostki o wnętrzach rozłącznych i takich, że Oznaczmy ten zbiór kostek przez


Definicja 10.2.

(1) Określony wyżej zbiór nazywamy podziałem kostki
(2) Liczbę nazywamy średnicą podziału

Weźmy teraz ciąg takich podziałów kostki czyli ciąg Niech oznacza średnicę podziału

Definicja 10.3.

Ciąg podziałów nazwiemy ciągiem normalnym, gdy czyli gdy średnice kolejnych podziałów zmierzają do zera.

Weźmy teraz funkcję ograniczoną
Analogicznie, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, określamy górną sumę całkową i dolną sumę całkową, a także sumę całkową zależną od punktów pośrednich.

Definicja 10.4.

(1) Dla podziału kostki i funkcji ograniczonej definiujemy

dla
(2) Dolną sumą całkową odpowiadającą podziałowi nazywamy liczbę

(3) Górną sumą całkową odpowiadającą podziałowi nazywamy liczbę

(4) W każdej z kostek wybierzmy dowolny punkt Dostajemy ciąg punktów pośrednich,
Sumą całkową (funkcji dla podziału i punktów pośrednich ) nazywamy liczbę

Funkcja ograniczona określona na kostce w
Podział kostki w oraz punkty pośrednie

Weźmy teraz normalny ciąg podziałów kostki Dla każdego podziału wybierzmy ciągpunktów pośrednich Weźmy sumę całkową Możemy teraz postawić następującą definicję:

Definicja 10.5.

Niech będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna na kostce jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów istnieje granica

i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów, ani od wyboru punktów pośrednich.
Powyższą granicę oznaczamy

i nazywamy

całką Riemanna funkcji po kostce
Plik:Am2.m10.w.r04.svg
Objętość prostopadłościanu jest jednym składnikiem w sumie całkowej
Objętość wszystkich prostopadłościanów jest równa sumie całkowej
Uwaga 10.6.

Można wykazać, że funkcja ograniczona jest całkowalna na kostce wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów normalnych mamy

jak również można wykazać, że wtedy istnieją i są równe granice

Uwaga 10.7.

W literaturze można spotkać też zapis my będziemy raczej pisać pamiętając, że zapis oznacza tu a Wyjątek zrobimy natomiast dla tradycyjnego zapisu całki dwóch i trzech zmiennych, zapisując wtedy

lub

Wnioskiem z definicji jest poniższe stwierdzenie o liniowości całki:

Stwierdzenie 10.8.

Niech będzie kostką w a i funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna na Niech będą stałymi rzeczywistymi. Wtedy

Nietrudno też zobaczyć, że prawdziwe jest poniższe stwierdzenie.

Stwierdzenie 10.9.

Niech i będą dwoma kostkami w o rozłącznych wnętrzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej, mamy

Oczywiście to stwierdzenie nie jest prawdziwe, gdy nie założymy, że kostki mają wnętrza rozłączne.

Interpretacja geometryczna całki Riemanna

W przypadku gdy kostka jest zwykłym prostokątem w to znaczy , a funkcja jest nieujemna i ciągła (założenie ciągłości nie jest konieczne, wystarczy całkowalność), to

jest objętością bryły w określonej nierównościami:

Plik:Am2.m10.w.r06.svg
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji
Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji

Faktycznie, dla danego podziału prostokąta suma dolna to objętość "słupków" (czyli graniastosłupów) wpisanych w jak na powyższym rysunku.

Przy zmniejszających się średnicach podziałów suma objętości "słupków" (czyli w granicy całka Riemanna z funkcji po zbiorze ) zmierza do objętości

Uwaga 10.10.

Liczenie całki Riemanna wprost z definicji jest raczej niewygodne. Jeśli nawet będziemy wiedzieli, że całka istnieje, to musimy utworzyć ciąg podziałów, policzyć sumy całkowe i ich granicę. Na ćwiczeniach policzymy przykłady całek z wykorzystaniem definicji (patrz ćwiczenie 10.1. i 10.2.), by zobaczyć, że jest to metoda dość pracochłonna i docenić twierdzenie, które poznamy na następnym wykładzie (twierdzenie Fubiniego). Twierdzenie to pozwoli nam liczyć całki wielokrotne przy pomocy całek pojedynczych (które już umiemy liczyć).

Wprowadzimy teraz kilka pojęć, które pomogą nam powiedzieć, jak wygląda klasa funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na kostce w (czyli dla jakich funkcji istnieje całka Riemanna po kostce).

Plik:AM2.M10.W.R10.mp4
Odcinek jest zawarty w kostce o dowolnie małej objętości


Definicja 10.11.

Niech będą kostkami w ;
Mówimy, że zbiór ma objętość zero, jeśli dla każdego istnieją kostki takie że



oraz




Przykład 10.12.

(1) Punkt w jest zbiorem o objętości zero. Faktycznie, zawsze możemy dobrać układ współrzędnych tak, by punkt miał współrzędne i wtedy zawiera się on w kostce gdzie a zatem

(2) Brzeg kostki w ma objętość zero. Ten fakt udowodnimy na ćwiczeniach.

Plik:AM2.M10.W.R11.svg
Kula w ma dodatnią objętość

Definicja 10.13.

Mówimy, że zbiór ma miarę zero, jeśli dla każdego istnieją kostki takie że



oraz



Uwaga 10.14.

Jeśli zbiór ma miarę zero, to ma puste wnętrze, czyli int

Dowód uwagi 10.14.


Zauważmy, że wprost z definicji wynika, że podzbiór zbioru miary zero jest zbiorem miary zero.


Oczywiście kula w nie jest zbiorem miary zero - bo zawiera pewną kostkę.


Gdyby zbiór miał niepuste wnętrze to, z definicji wnętrza, zawierałby pewną kulę.

End of proof.gif





Popatrzmy teraz na rysunki poniżej.


Plik:AM2.M10.W.R12a.svg
Funkjca ciągła nad odcinkiem
Plik:AM2.M10.W.R12b.svg
Funkcja powstała z funkcji ciągłej przez zmianę wartości w jednym punkcie

Na pierwszym rysunku mamy funkcję ciągłą na przedziale a na drugim rysunku mamy tę samą funkcję, tylko z wartością zmienioną w jednym punkcie - i w tym punkcie funkcja nie jest ciągła. Niemniej, pole pod wykresami obu funkcji jest takie samo - a zatem całka z obu funkcji po przedziale jest taka sama. Podobnie, objętość bryły ograniczonej wykresem funkcji nad prostokątem nie zmieni się, jeśli zmienimy tę funkcję wzdłuż na przykład odcinka - jak na poniższych rysunkach:

<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/2/23/Am2.m10.w.r13a.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Funkjca ciągła nad prostokątem


Funkcja ciągła nad prostokątem

<applet code="JavaviewModApplet.class" archive="images/a/a0/Javaview.jar,images/b/be/JavaviewModApplet.jar" width="450" height="400">

   <param name="colors" value="-1:#7e0b9f -0.80:#ce3bf8 -0.60:#2c4ae5 -0.40:#2c85e5 -0.20:#2ecca9 -0.05:#2ecc5b 0.05:#2ecc5b 0.20:#97cc2e 0.40:#edff27 0.60:#ffba27 0.80:#ff6e27 1:#d42525">
   <param name="coloring" value="maple">
   <param name="model" value="images/e/eb/Am2.m10.w.r13b.mgs.zip">
   <param name="scale" value="1.0 1.0 0.2">

<param name="shading" value="0.2"> </applet>

<div.thumbcaption>Funkcja powstała z funkcji ciągłej przez zmianę wartości wzdłuż odcinka


Funkcja powstała z funkcji ciągłej przez zmianę wartości wzdłuż odcinka


A zatem całki po tym prostokącie z obu funkcji są takie same.

Przypuśćmy więc, że umiemy policzyć całkę po kostce z funkcji ciągłej. Z powyższych przykładów widać, że możemy funkcję ciągłą "zepsuć" na pewnym "niedużym" zbiorze - a całka pozostanie taka sama jak dla funkcji ciągłej. Aby formalnie powiedzieć jak bardzo możemy "zepsuć" funkcję, będziemy potrzebowali poniższych definicji:

Definicja 10.15.

Niech będzie kostką w Weźmy funkcję Mówimy, że funkcja jest ciągła prawie wszędzie na jeśli istnieje zbiór miary zero taki, że jest ciągła na

Definicja 10.16.

Dwie funkcje i określone na kostce równe prawie wszędzie, jeśli istnieje zbiór miary zero, taki, że na Piszemy wtedy: p.w. na

Uwaga 10.17.

Wydawać by się mogło, że jeśli "zepsujemy" funkcję ciągłą tylko na zbiorze miary zero, to dostaniemy funkcję ciągła prawie wszędzie. Tak jednak nie jest! Na ćwiczeniach zobaczymy przykład funkcji, określonej na przedziale która jest różna od funkcji ciągłej tylko na zbiorze miary zero, ale która nie jest ciągła w żadnym punkcie (patrz ćwiczenie 10.9.).

Teraz możemy napisać stwierdzenie, które mówi, kiedy całka Riemanna funkcji jest równa całce Riemanna "popsutej" funkcji.

Stwierdzenie 10.18.

Weźmy dwie funkcje i określone na kostce prowadzące w Załóżmy, że obie te funkcje są całkowalne w sensie Riemanna (to znaczy istnieją i ). Załóżmy, że jest równe prawie wszędzie na Wtedy

Dowód 10.18. [nadobowiązkowy]

Zdefiniujmy funkcję Widać, że funkcja też jest całkowalna w sensie Riemanna na i p.w. na Wystarczy zatem pokazać, że (i skorzystać z liniowości całki). Określmy zbiór Ponieważ jest równa zero prawie wszędzie, to zbiór ma miarę zero, a zatem ma puste wnętrze (patrz uwaga 10.14.). W szczególności zbiór nie zawiera żadnej kostki.

Weźmy teraz dowolny podział kostki na kostki

Żadna z tych kostek nie jest podzbiorem zbioru czyli można wybrać punkty pośrednie takie że Dla tych oczywiście W takim razie

a więc także

End of proof.gif

Podamy teraz bez dowodu bardzo ważne twierdzenie, które mówi, jakie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.

Twierdzenie 10.19.

Niech będzie kostką w Niech będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na
Wtedy jest całkowalna w sensie Riemanna na

Na zakończenie tego wykładu powiemy, jak całkować funkcje po zbiorach innych niż kostki (jak na przykład walce, kule etc).

Przypomnijmy, że funkcją charakterystyczną zbioru nazywamy funkcję

Plik:AM2.M10.W.R14b.svg
Wykres funkcji charakterystycznej zbioru

Dla funkcji zdefiniujmy funkcję

Plik:AM2.M10.W.R15a.svg
Zbiór i wykres funkcji
Plik:AM2.M10.W.R15b.svg
Wykres funkcji

Możemy teraz zdefiniować całkę Riemanna z funkcji ograniczonej po zbiorze ograniczonym

Definicja 10.20.

Niech będzie ograniczonym podzbiorem i niech będzie funkcją ograniczoną. Niech będzie kostką w taką, że Wtedy całkę z funkcji po zbiorze definiujemy jako

o ile istnieje.

Pomijamy tu, intuicyjnie dość oczywisty, dowód poprawności definicji - czyli jej niezależności od wyboru kostki w której zawiera się zbiór

Pozostaje jeszcze pytanie, czy możemy powiedzieć, kiedy istnieje całka ? Aby odpowiedzieć na to pytanie, podajmy najpierw następujące fakty:

Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922)
Zobacz biografię

Definicja 10.21.

Niech będzie ograniczonym podzbiorem Załóżmy, że brzeg zbioru jest zbiorem miary zero, Zbiór nazywamy wtedy mierzalnym w sensie Jordana (czyli J-mierzalnym) (przypomnijmy, że brzeg zbioru definiujemy jako ; patrz definicja 1.7.).

Bez dowodu podamy poniższe stwierdzenie:

Stwierdzenie 10.22.

Jeśli zbiór ograniczony zawarty w pewnej kostce jest J-mierzalny, to istnieje

Definicja 10.23.

Dla J-mierzalnego zbioru ograniczonego zawartego w kostce objętością nazywamy liczbę

Definicja 10.24.

Gdy nazywamy długością a dla nazywamy polem

Możemy teraz podać następujące twierdzenie.

Twierdzenie 10.25.

Niech będzie J-mierzalnym, ograniczonym podzbiorem Niech będzie funkcją ograniczoną oraz ciągłą prawie wszędzie na
Wtedy jest całkowalna w sensie Riemanna na

Uwaga 10.26.

W praktyce najczęściej mamy do czynienia z całkowaniem funkcji ciągłych i określonych na "przyzwoitych" zbiorach, to znaczy zbiorach ograniczonych kawałkami wykresów funkcji, i to funkcji klasy co najmniej Takimi zbiorami są na przykład kula, walec, kostka, stożek i ich przecięcia. Przedstawione w tym wykładzie rozważania dotyczące całkowalności i zbiorów miary zero należy potraktować jako rodzaj wstępu do teorii miary i do ogólniejszych teorii całek, na przykład do teorii całki Lebesgue'a.