Analiza matematyczna 2/Test 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Funkcja $\displaystyle f(x)=ax^{2}-2xy+2y^{2}-6x$

ma maksimum w punkcie $\displaystyle (6,3)$, jeśli $\displaystyle a=1$ Źle

ma minimum w punkcie $\displaystyle (-2,-1)$, jeśli $\displaystyle a=-1$ Źle

nie ma ekstremum, jeśli $\displaystyle a={\frac {1}{4}}$. Dobrze

Funkcja $\displaystyle f(x,y)=(2x-x^{2})(2y+y^{2})$

przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie punktu $\displaystyle (0,0)$ Dobrze

ma minimum w punkcie $\displaystyle (2,-2)$ Źle

ma minimum w punkcie $\displaystyle (1,-1)$. Dobrze

Funkcja $\displaystyle f(x,y)=(y-x^{3})(y-3x^{3})$

zacieśniona do zbioru $\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=2x^{3}\}$ osiąga maksimum w punkcie $\displaystyle (0,0)$ Dobrze

zacieśniona do prostej $\displaystyle y=x$ osiąga minimum w punkcie $\displaystyle (0,0)$ Dobrze

osiąga minimum w punkcie $\displaystyle (0,0)$. Źle

Jeśli $\displaystyle z=f(x)=x^{4}-2x^{2}$ oraz $\displaystyle z=F(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})$, to

wykres funkcji $\displaystyle F$ powstał przez obrót wykresu funkcji $\displaystyle f$ dookoła osi $\displaystyle 0z$ Dobrze

funkcja $\displaystyle F$ ma maksimum lokalne Dobrze

funkcja $\displaystyle F$ ma maksimum globalne. Źle

Maksimum globalne w punkcie $\displaystyle (0,0)$ ma funkcja

$\displaystyle f(x,y)=\cosh(x^{2}+y^{2})$ Źle

$\displaystyle g(x,y)=x^{4}+y^{2}$ Źle

$\displaystyle h(x,y)=xy$. Źle

Funkcja $\displaystyle f(x,y,z)=\ln {x}+\ln {y}+\ln {z}+\ln(4-x-y-z)$

nie ma punktów krytycznych Źle

ma maksimum w punkcie $\displaystyle (1,1,1)$ Dobrze

ma minimum w punkcie $\displaystyle (-1,-1,-1)$. Źle

Funkcja $\displaystyle f(x,y,z)=x^{6}-2y^{5}+z^{2}-3x^{2}-5y^{2}-4z$

ma dokładnie trzy punkty krytyczne Źle

ma maksimum w punkcie $\displaystyle (0,0,2)$ Źle

ma minimum w punkcie $\displaystyle (1,-1,2)$. Dobrze

Minimum globalne w $\displaystyle (0,0,0)$ ma funkcja

$\displaystyle f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|$ Dobrze

$\displaystyle g(x,y,z)={\sqrt {x^{4}+y^{4}+z^{4}}}$ Dobrze

$\displaystyle h(x,y,z)=\sinh(x^{2}+y^{2}+z^{2})$. Dobrze

Funkcja wielu zmiennych

może mieć nieskończenie wiele maksimów i ani jednego minimum Dobrze

musi mieć przynajmniej jedno maksimum, jeśli ma jakieś minimum Źle

ma maksimum globalne, jeśli ma tylko jedno maksimum lokalne. Źle