Analiza matematyczna 2/Test 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Rozważmy funkcję $\displaystyle F(x,y)=\displaystyle x^{y}=y^{x}$ i jej $\displaystyle P(a,b)$. Wtedy

$\displaystyle a=1$ i $\displaystyle b=1$ Źle

poziomica $\displaystyle \{F=0\}$ jest wykresem pewnej funkcji $\displaystyle y=y(x)$ Źle

jeśli $\displaystyle (a,b)\neq (e,e)$, to w otoczeniu punktu $\displaystyle P$ poziomica $\displaystyle \{F=0\}$ jest wykresem pewnej funkcji $\displaystyle y=y(x)$. Dobrze

Funkcja $\displaystyle \displaystyle y=y(x)$ uwikłana równaniem $\displaystyle \displaystyle xy-\ln y-1=0$ i taka, że $\displaystyle y({\frac {2}{e}})=e$, ma pochodną w punkcie $\displaystyle {\frac {2}{e}}$ równą

$\displaystyle e$ Źle

$\displaystyle -e^{2}$ Dobrze

$\displaystyle e^{2}$. Źle

Równanie $\displaystyle \displaystyle x^{2}+y^{2}=e^{x^{2}+y^{2}-1}$

przedstawia okrąg $\displaystyle \displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ Dobrze

określa jednoznacznie pewną funkcję $\displaystyle \displaystyle y=y(x)$ poza punktami $\displaystyle (-1,0)$ i $\displaystyle (1,0)$ Dobrze

określa jednoznacznie pewną funkcję $\displaystyle \displaystyle x=x(y)$ poza punktami $\displaystyle (0,-1)$ i $\displaystyle (0,1)$. Dobrze

Równanie $\displaystyle \displaystyle z^{3}-3xyz-20=0$ określa jednoznacznie pewną funkcję

$\displaystyle \displaystyle z=z(x,y)$ w otoczeniu punktu $\displaystyle (-1,2,2)$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle x=x(y,z)$ w otoczeniu punktu $\displaystyle (0,1,1)$ Źle

$\displaystyle \displaystyle y=y(x,z)$ w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle (0,1,\root 3 \of {20})} . Źle

Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} xy+yz+zx-11=0, \\ xyz-6=0\\ \end{array} }

określa jednoznacznie parę funkcji $\displaystyle \displaystyle y=y(x),z=z(x)$ w otoczeniu punku $\displaystyle (1,2,3)$, których pochodne w punkcie $\displaystyle 1$ są równe

$\displaystyle \displaystyle y'(1)=-8,z'(1)=9$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle y'(1)=9,z'(1)=-8$ Źle

$\displaystyle \displaystyle y'(1)=8,z'(1)=-9$. Źle

Równanie $\displaystyle \displaystyle F(x,y)=0$

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $\displaystyle y=y(x)$ spełniającą równanie
$\displaystyle \displaystyle F(x,y(x))=0$ Źle

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $\displaystyle x=x(y)$ spełniającą równanie
$\displaystyle \displaystyle F(x(y),y)=0$ Źle

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie funkcję $\displaystyle y=y(x)$ spełniającą równanie $\displaystyle \displaystyle F(x,y(x))=0$ lub funkcję $\displaystyle x=x(y)$ spełniającą równanie $\displaystyle \displaystyle F(x(y),y)=0$. Źle

Funkcja $\displaystyle \displaystyle z=z(x,y)$ określona równaniem $\displaystyle \displaystyle x^{6}+y^{6}+z^{6}-6xyz=0$

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,\root 9 \of 2)} maksimum lokalne Dobrze

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(-\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne Źle

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne. Dobrze

Niech $\displaystyle \displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$. Wtedy funkcja $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}$

ma minimum warunkowe pod warunkiem $\displaystyle \displaystyle g(x,y)=0$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)$ Źle

ma maksimum warunkowe pod warunkiem $\displaystyle \displaystyle g(x,y)=0$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)$ Dobrze

nie ma ekstremum warunkowego pod warunkiem $\displaystyle \displaystyle g(x,y)=0$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)$. Źle

Funkcja $\displaystyle \displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ ma ekstremum warunkowe w punkcie $\displaystyle (0,0,1)$ pod warunkiem

$\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=x+y+z-1=0$ Źle

$\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=xy+yz+zx-1=0$ Źle

$\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$. Dobrze