Analiza matematyczna 2/Test 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {x^2y}{x^2+y^2} & \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array} }

ma pochodne cząstkowe w punkcie $\displaystyle (0,0)$ Dobrze

ma różniczkę w punkcie $\displaystyle (0,0)$ Źle

jest ciągła w punkcie $\displaystyle (0,0)$. Dobrze

Niech $\displaystyle \displaystyle P=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ,x\neq 0\}$. Wtedy funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} &1, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\in P, \\ &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P, \end{array} }

ma różniczkę w punkcie $\displaystyle (0,0)$ Źle

jest ciągła w punkcie $\displaystyle (0,0)$ Źle

ma pochodne kierunkowe $\displaystyle \displaystyle \partial _{v}f(0,0)$ dla dowolnego wektora $\displaystyle v\neq 0$. Dobrze

Różniczka funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x,y,x)=(xy,yz)$ jest odwzorowaniem liniowym danym przez macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}y&x&0\\0&z&y\end{array}}\right]$

Dobrze

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}y&0\\x&z\\0&y\end{array}}\right]$

Źle

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}y&x&0\\0&z&y\\x&y&z\end{array}}\right].$

Źle

Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=2x+3xy^{2}$ w punkcie $\displaystyle (a,b,f(a,b))$ jest równoległa do płaszczyzny $\displaystyle \displaystyle 5x+12y-z=0$,

tylko jeśli $\displaystyle (a,b)=(2,1)$ Źle

jeśli $\displaystyle (a,b)=(1,2)$ lub $\displaystyle (a,b)=(-1,-2)$ Źle

jeśli $\displaystyle (a,b)=(-2,-1)$ lub $\displaystyle (a,b)=(2,1)$. Dobrze

Różniczka rzędu drugiego funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\sin x+\cos y+xy$ jest odwzorowaniem dwuliniowym danym przez macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}-\sin x&1\\1&-\cos y\end{array}}\right]$

Dobrze

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}-\cos y&1\\1&-\sin x\end{array}}\right]$

Źle

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}-\sin x&-\cos y\\1&1\end{array}}\right].$

Źle

Jeśli $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\mapsto \left(xe^{y},x^{2}+y^{2}\right)\in \mathbb {R} ^{2}$, to

macierzą Jacobiego odwzorowania $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (3,0)$ jest

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle \left[\beginmatrix 1&6\\3&0\endmatrix \right]}

Źle

jakobian odwzorowania $\displaystyle f$ w każdym punkcie jest nieujemny Źle

jakobian odwzorowania $\displaystyle f$ zeruje się na paraboli $\displaystyle y=x^{2}$. Dobrze

Niech $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\mathrm {arctg} \,(x+y)$. Współczynnik przy wyrażeniu $\displaystyle \displaystyle h_{1}^{2}h_{2}$ we wzorze na wartość różniczki $\displaystyle d_{(0,1)}^{3}(h,h,h)$ na trójce takich samych wektorów $\displaystyle h=(h_{1},h_{2})$ jest równy

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {3}{2}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{6}}$. Źle

Niech $\displaystyle \displaystyle f(x)=(x+y,xy)$ i $\displaystyle \displaystyle g(x,y)=(x,xy,x^{2}y)$. Wtedy różniczka funkcji złożonej $\displaystyle \displaystyle g\circ f$ jest dana przez macierz powstałą z pomnożenia macierzy

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}1&1\\y&x\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&y&2xy\\0&x&x^{2}\end{array}}\right]$

Źle

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}0&1\\x&y\\x^{2}&2xy\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&1\\x&y\end{array}}\right]$

Źle

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}1&0\\y&x\\2xy&x^{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&1\\y&x\end{array}}\right].$

Dobrze

Rozważmy następujące zdania

(a) $\displaystyle f$ ma różniczkę w punkcie $\displaystyle (x_{0},y_{0})$

(b) $\displaystyle f$ ma pochodne cząstkowe w punkcie $\displaystyle (x_{0},y_{0})$

(c) $\displaystyle f$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle (x_{0},y_{0})$.

Wtedy prawdziwe są następujące implikacje

$\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (b)\Rightarrow (c)$ Źle

$\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (b)$ i $\displaystyle (c)\Rightarrow (a)$ Źle

$\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (c)$ i $\displaystyle (b)\Rightarrow (c)$. Źle