Analiza matematyczna 2/Test 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora: Różnice pomiędzy wersjami
Linia 19: | Linia 19: | ||
\mathbb{R}, x\neq 0\}</math>. Wtedy funkcja | \mathbb{R}, x\neq 0\}</math>. Wtedy funkcja | ||
− | <center><math>\displaystyle f(x)=\ | + | <center><math>\displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} &1, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\in P, |
\\ | \\ | ||
&0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P, | &0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P, | ||
− | \ | + | \end{array} |
</math></center> | </math></center> | ||
Aktualna wersja na dzień 16:07, 3 paź 2006
Funkcja
ma pochodne cząstkowe w punkcie
ma różniczkę w punkcie
jest ciągła w punkcie
.
Niech . Wtedy funkcja
ma różniczkę w punkcie
jest ciągła w punkcie
ma pochodne kierunkowe
dla dowolnego wektora .
Różniczka funkcji jest odwzorowaniem liniowym danym przez macierz
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji
w punkcie jest
równoległa do płaszczyzny ,
tylko jeśli
jeśli
lub
jeśli
lub .
Różniczka rzędu drugiego funkcji
jest odwzorowaniem
dwuliniowym danym przez macierz
Jeśli , to
macierzą Jacobiego odwzorowania
w punkcie jest
jakobian odwzorowania
w każdym punkcie jest nieujemny
jakobian odwzorowania
zeruje się na paraboli .
Niech . Współczynnik przy wyrażeniu we
wzorze na wartość różniczki na trójce takich
samych wektorów jest równy
.
Niech i
. Wtedy różniczka funkcji
złożonej jest dana przez macierz powstałą
z pomnożenia macierzy
Rozważmy następujące zdania
(a)
ma różniczkę w punkcie(b)
ma pochodne cząstkowe w punkcie(c)
jest ciągła w punkcie .Wtedy prawdziwe są następujące implikacje
i
i .