Analiza matematyczna 2/Test 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient

Niech $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {xy\ln(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}$. Wtedy

istnieją granice iterowane $\displaystyle \displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)$, $\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)$ i są równe Dobrze

istnieją granice iterowane $\displaystyle \displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)$, $\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)$ i są różne Źle

istnieje granica $\displaystyle \displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$. Źle

Niech

$\displaystyle \nabla f(x)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x)\right)$

oznacza gradient funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})$. Wtedy dla dowolnych funkcji $\displaystyle f,g$, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego, prawdziwy jest wzór

$\displaystyle \displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \nabla (fg)=(\nabla f,\nabla g)$ (symbol $\displaystyle (v,u)$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $\displaystyle v,u$) Źle

$\displaystyle \displaystyle \nabla (fg)=g\nabla f+f\nabla g$. Dobrze

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {ll} \frac {\sin (x^3-y^3)}{x^2+y^2}& \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\neq 0 \\ 0 &\ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0 \end{array} }

ma pochodną kierunkową $\displaystyle \displaystyle \partial _{v}f(0,0)$, dla dowolnego wektora $\displaystyle v\neq 0$ Dobrze

jest ciągła Dobrze

jest ograniczona. Dobrze

Niech

$\displaystyle \Delta f(x)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}^{2}}}(x)$

oznacza laplasjan funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})$. Wtedy dla dowolnych funkcji $\displaystyle f,g$, które mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego, prawdziwy jest wzór

$\displaystyle \displaystyle \Delta (f+g)=\Delta f+\Delta g$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \Delta (fg)=\Delta f\Delta g$ Źle

$\displaystyle \displaystyle \Delta (fg)=g\Delta f+f\Delta g$. Źle

Funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle f(x)=\left \{\begin{array} {lr} &\mathrm{arctg}\, \left(\frac {x^2}{y^2}\right ), \ \ \text{dla} \ \ y\neq 0, \\ &\frac {\pi}{2}, \ \ \text {dla} \ \ y=0, \end{array} }

jest ciągła Źle

jest ciągła w zbiorze $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} \setminus \{(0,0)\}$ Dobrze

jest ograniczona. Dobrze

Funkcja $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=x+g(xy)$, gdzie $\displaystyle \displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanie

$\displaystyle \displaystyle \displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}-y{\frac {\partial f}{\partial y}}=x$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}=x$ Źle

$\displaystyle \displaystyle y{\frac {\partial f}{\partial x}}-x{\frac {\partial f}{\partial y}}=y$. Źle

Niech $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\mathrm {arctg} \,({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$. Wtedy zbiór

$\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:|\nabla f(x,y)|=c\}$

jest okręgiem $\displaystyle \displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ dla $\displaystyle c=1$ Źle

jest pusty dla $\displaystyle c\in (0,1)$ Źle

jest pusty dla $\displaystyle c>1$. Dobrze

Funkcja $\displaystyle \displaystyle f(x,y)=e^{x}(x\cos y-y\sin y)$ spełnia równanie

$\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$. Dobrze

Równanie

$\displaystyle {\frac {x+yy'}{xy'-y}}=2$

we współrzędnych biegunowych ma postać

$\displaystyle \displaystyle r'+2r=0$ Źle

$\displaystyle \displaystyle r'=2r$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle 2r'=r$. Źle