Analiza matematyczna 2/Test 5: Szereg potęgowy. Trygonometryczny szereg Fouriera

Promień zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}+(-1)^{n+1}}}(x-2)^{n}$ wynosi

2 Źle

-1 Źle

1 Dobrze

Przedział zbieżności szeregu potęgowego $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3+\cos n}{n^{3}}}(x+1)^{n}$ jest równy

$\displaystyle \displaystyle [-1,1]$ Źle

$\displaystyle \displaystyle [-2,0]$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle (-2,0)$ Źle

Szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ ma promień zbieżności $\displaystyle R.$ Szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n^{2}+3n+2)c_{n+2}x^{n}$ ma promień zbieżności

$\displaystyle R+2$ Źle

$\displaystyle R^{2}$ Źle

$\displaystyle R$ Dobrze

Promień zbieżności szeregu potęgowego $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=01}^{\infty }n^{n}x^{n}$ jest równy

$\displaystyle \displaystyle \infty$ Źle

$\displaystyle 0$ Dobrze

$\displaystyle n$ Źle

Funkcja $\displaystyle f$ jest dana jako suma szeregu $\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(x-2)^{n}.$ Wówczas:

$\displaystyle f$ jest określona i ciągła na przedziale $\displaystyle \displaystyle [2,3)$ Dobrze

$\displaystyle f$ jest określona i ciągła na przedziale $\displaystyle \displaystyle [2,3]$ Źle

$\displaystyle f$ jest określona i ciągła na przedziale $\displaystyle \displaystyle (2,3)$ Dobrze

Dana jest funkcja $\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\displaystyle f(x)=x^{2}-1+x-1.$

$\displaystyle x^{2}-1+x-1$ jest rozwinięciem $\displaystyle f$ w szereg Taylora o środku w $\displaystyle x_{0}=1$ Źle

$\displaystyle x^{2}+x-1$ jest rozwinięciem $\displaystyle f+1$ w szereg Taylora o środku w $\displaystyle x_{0}=0$ Dobrze

$\displaystyle x^{2}-1+x-1$ jest rozwinięciem $\displaystyle f$ w szereg Taylora o środku w $\displaystyle x_{0}=-1$ Źle

Szereg Fouriera funkcji $\displaystyle f(x)=\sin x\cos x$ na przedziale $\displaystyle \displaystyle [-\pi ,\pi ]$ to

$\displaystyle \displaystyle \sin x\cos x$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}\sin 2x$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \sin x+\cos x$ Źle

Na przedziale $\displaystyle \displaystyle [-\pi ,\pi ]$ dana jest funkcja

$\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\text{dla}}&x=-\pi \\x^{3}&{\text{dla}}&x\in (-\pi ,\pi )\\0&{\text{dla}}&x=\pi \end{array}}\right.$

Jej szereg Fouriera jest do niej zbieżny

na całym przedziale $\displaystyle \displaystyle [-\pi ,\pi ]$ Dobrze

tylko na przedziale $\displaystyle \displaystyle (-\pi ,\pi )$ Źle

tylko na przedziale $\displaystyle \displaystyle [-\pi ,\pi )$ Źle

Szereg Fouriera funkcji $\displaystyle x^{2}+\cos x$ to

$\displaystyle \displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}-3\cos x+4\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\cos mx}{m^{2}}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}+\cos x+4\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\cos mx}{m^{2}}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}+\cos x+4\sum _{m=1}^{\infty }\cos(m\pi ){\frac {\cos mx}{m^{2}}}$ Dobrze