Analiza matematyczna 2/Test 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Dany jest ciąg funkcyjny $\displaystyle \displaystyle \{f_{n}\},$ gdzie $\displaystyle \displaystyle f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{lll}1&{\text{dla}}&x\in [n,n+1]\\0&{\text{dla}}&x\in \mathbb {R} \setminus [n,n+1]\end{array}}\right.$    dla $\displaystyle n\in \mathbb {N} .$ Ciąg ten jest

zbieżny punktowo do $\displaystyle f(x)\equiv 0$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do $\displaystyle f(x)\equiv 0$ Źle

zbieżny punktowo do funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}1&{\text{dla}}&x\geq 1\\0&{\text{dla}}&x<0\end{array}}\right.$ Źle

Dany jest ciąg funkcyjny $\displaystyle \displaystyle \{f_{n}\},$ gdzie

$\displaystyle f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {1-n^{-x}}{1+n^{-x}}}&{\text{dla}}&x>0\\\\\displaystyle {\frac {2-n^{x}}{2+n^{x}}}&{\text{dla}}&x<0\\\\0&{\text{dla}}&x=0\\\end{array}}\right.\quad$      dla $\displaystyle \ n=1,2,\ldots$

Ten ciąg funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie Źle

zbieżny punktowo ale nie jednostajnie Dobrze

rozbieżny Źle

Dany jest ciąg funkcyjny $\displaystyle \displaystyle f_{n}(x)={\sqrt[{n}]{x}}$ dla $\displaystyle x\geq 0.$ Ten ciąg

jest zbieżny punktowo i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny jednostajnie i jego granica jest ciągła Źle

jest zbieżny punktowo i jego granica nie jest ciągła Dobrze

Dany jest szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin nx}{2^{n}(x^{2}+1)}},\ x\in \mathbb {R} .$ Ten szereg jest

zbieżny jednostajnie do funkcji $\displaystyle f(x)\equiv 0.$ Źle

zbieżny jednostajnie do funkcji $\displaystyle f$ takiej, że $\displaystyle 0<f(x)<3$ Dobrze

zbieżny jednostajnie do funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{2(x^{2}+1)}}$ Źle

Funkcja $\displaystyle \displaystyle f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt[{n}]{x}}{n(n+1)(x^{2}+1)}}.$ Granica $\displaystyle \displaystyle \lim _{x\to 3}f(x)$ wynosi

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{10}}$ Dobrze

$\displaystyle {\sqrt {3}}$ Źle

$\displaystyle 0$ Źle

Szereg $\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(x^{4}+4)}}$ jest

zbieżny punktowo Źle

zbieżny jednostajnie Źle

rozbieżny Dobrze

Czwarty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x)=\cos 2x$ to

$\displaystyle \displaystyle -{\frac {2^{6}}{6!}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {2^{6}}{6!}}x^{6}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {-4}{45}}x^{6}$ Dobrze

Szósty z kolei wyraz rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{2+x}}$ o środku w $\displaystyle x_{0}=0$ wynosi

$\displaystyle \displaystyle {\frac {-1}{64}}x^{6}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {-1}{64}}x^{5}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}x^{6}$ Źle

Sumujemy cztery kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji $\displaystyle \displaystyle {\sqrt {x}}$ ośrodku w $\displaystyle x_{0}=1.$ Współczynnik przy $\displaystyle x$ wynosi

$\displaystyle \displaystyle {\frac {15}{16}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {5}{16}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{16}}$ Źle