Analiza matematyczna 2/Test 3: Norma. Iloczyn skalarny

$\displaystyle \displaystyle \|x\|_{1}=17$ dla

$\displaystyle \displaystyle x=(-4,5,-8)$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle x=(-1,1,17)$ Źle

$\displaystyle \displaystyle x=(-4,0,1)$ Źle

W $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ ze standardowym iloczynem skalarnym wektory $\displaystyle x=(3,5)$ i $\displaystyle y=(-1,a)$ są prostopadłe dla

$\displaystyle \displaystyle a=-{\frac {3}{5}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle a={\frac {3}{5}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle a={\frac {5}{3}}$ Źle

W $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ ze standardowym iloczynem skalarnym wektory $\displaystyle x=(-1,2,3)$ i $\displaystyle y=(1,a,b)$ są prostopadłe dla

$\displaystyle \displaystyle a=2,\ b=-1$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle a=5,\ b=-3$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle a=-1,\ b=1$ Dobrze

W $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ definiujemy $\displaystyle \displaystyle ((x_{1},x_{2})|(y_{1},y_{2}))=ax_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}.$ Jest to iloczyn skalarny dla

$\displaystyle \displaystyle a=0$ Źle

$\displaystyle \displaystyle a=5$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle a=-5$ Źle

W przestrzeni euklidesowej $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ odległość wektorów $\displaystyle x=(-1,2)$ i $\displaystyle y=(3,1)$ wynosi

$\displaystyle \displaystyle {\sqrt {17}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\sqrt {15}}$ Źle

W przestrzeni unitarnej $\displaystyle X$ dane są dwa wektory $\displaystyle x$ i $\displaystyle y.$ Jeśli $\displaystyle x\perp y,$ to

$\displaystyle \displaystyle \|x-y\|=\|x\|^{2}-\|y\|^{2}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^{3}=\|x+y\|^{3}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}$ Dobrze

Jeśli $\displaystyle \displaystyle \{x_{n}\}$ i $\displaystyle \displaystyle \{y_{n}\}$ są dwoma ciągami zbieżnymi w przestrzeni unitarnej $\displaystyle \displaystyle {\big (}X,(\cdot |\cdot ){\big )},$ to

Ciągi $\displaystyle \displaystyle \{\|x_{n}\|\}$ i $\displaystyle \displaystyle \{\|y_{n}\|\}$ są zbieżne w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$ Dobrze

Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{(x_{n}|y_{n})\}$ jest zbieżny w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$ Dobrze

Ciąg $\displaystyle \displaystyle \{\|x_{n}-y_{n}\|\}$ jest zbieżny w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$ Dobrze

W przestrzeni unormowanej $\displaystyle \displaystyle (X,\|\cdot \|)$ prawdziwe są nierówności

$\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\geq \|x\|-\|y\|$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\geq \|y\|-\|x\|$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \|x-y\|\geq -\|x\|-\|y\|$ Dobrze

Dla funkcji $\displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ danej wzorem $\displaystyle f(x)={\sqrt {\pi }}(x^{2}-x)$ norma supremowa $\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty }$ wynosi

$\displaystyle \displaystyle {\sqrt {\pi }}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle -{\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}$ Źle