Analiza matematyczna 2/Test 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych
Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
jest stały
jest od pewnego miejsca stały
zawsze
Ciąg w przestrzeni metrycznej jest
ciągiem
zbieżnym w tej przestrzeni
spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni
ograniczonym w tej przestrzeni
W z metryką kolejową o węźle
dany jest ciąg dla
Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu
maleje do zera, gdy
jest zawsze w przedziale
jest zawsze w przedziale
Punktami stałymi odwzorowania są
i
i
odwzorowanie nie ma punktów stałych
Obrazem odcinka przez funkcję jest
W z metryką dyskretną rozważamy zbiór Zbiór
jest spójny
jest zwarty
zawiera się w pewnej kuli o promieniu
Niech będzie kulą w z metryką o środku i promieniu
Promień największej kuli w z metryką
o środku zawartej w kuli wynosi
W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty Wówczas zbiór jest
zwarty
skończony
ograniczony
W przestrzeni metrycznej dany jest zbiór Wówczas