Analiza matematyczna 2/Test 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

jest stały Źle

jest od pewnego miejsca stały Źle

zawsze Dobrze

Ciąg $\displaystyle \displaystyle {\bigg \{}{\frac {1}{n}}{\bigg \}}_{n\in \mathbb {N} }$ w przestrzeni metrycznej $\displaystyle \displaystyle {\big (}\mathbb {R} \setminus \{0\},d_{2}{\big )}$ jest ciągiem

zbieżnym w tej przestrzeni Źle

spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni Dobrze

ograniczonym w tej przestrzeni Dobrze

W $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ z metryką kolejową o węźle $\displaystyle O=(0,0)$ dany jest ciąg $\displaystyle x_{n}=(-{\frac {1}{n}},-1)$ dla $\displaystyle n\in \mathbb {N} .$ Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu $\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})$

maleje do zera, gdy $\displaystyle n\rightarrow +\infty$ Źle

jest zawsze w przedziale $\displaystyle \displaystyle [1,2]$ Źle

jest zawsze w przedziale $\displaystyle \displaystyle [2,4]$ Dobrze

Punktami stałymi odwzorowania $\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\displaystyle f(x)=x^{2}+x-1$ są

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ i $\displaystyle \displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ Źle

$\displaystyle -1$ i $\displaystyle 1$ Dobrze

odwzorowanie nie ma punktów stałych Źle

Obrazem odcinka $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ przez funkcję $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{x-2}}$ jest

$\displaystyle \displaystyle {\bigg [}{\frac {1}{2}},1{\bigg ]}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\bigg [}-1,-{\frac {1}{2}}{\bigg ]}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\bigg (}-\infty ,-{\frac {1}{2}}{\bigg ]}$ Źle

W $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$ z metryką dyskretną rozważamy zbiór $\displaystyle A=\{5,25\}.$ Zbiór $\displaystyle A$

jest spójny Źle

jest zwarty Dobrze

zawiera się w pewnej kuli o promieniu $\displaystyle 2$ Dobrze

Niech $\displaystyle A$ będzie kulą w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ z metryką $\displaystyle d_{1}$ o środku $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ i promieniu $\displaystyle 1.$ Promień największej kuli w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ z metryką $\displaystyle d_{2}$ o środku $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ zawartej w kuli $\displaystyle A$ wynosi

$\displaystyle 1$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ Dobrze

W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty $\displaystyle A.$ Wówczas zbiór $\displaystyle A$ jest

zwarty Dobrze

skończony Dobrze

ograniczony Dobrze

W przestrzeni metrycznej $\displaystyle \displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2})$ dany jest zbiór $\displaystyle A=\{-1\}\cup [2,3].$ Wówczas

$\displaystyle \displaystyle \mathrm {int} \,A=(2,3)$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \partial A=\{2,3\}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle \partial (\mathrm {int} \,A)=\{2,3\}$ Dobrze