Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 2/Test 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych

<quiz>
Ciąg w przestrzeni metrycznej dyskretnej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
<wrongoption>jest stały</wrongoption>
<wrongoption>jest od pewnego miejsca stały</wrongoption>
<rightoption>zawsze</rightoption>
</quiz>


<quiz>
Ciąg <math>\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n \in\mathbb{N}}</math> w przestrzeni metrycznej <math>\big(\mathbb{R}\setminus \{0\}, d_2\big)</math> jest
ciągiem
<wrongoption>zbieżnym w tej przestrzeni</wrongoption>
<rightoption>spełniającym warunek Cauchy'ego w tej przestrzeni</rightoption>
<rightoption>ograniczonym w tej przestrzeni</rightoption>
</quiz>


<quiz>
W <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką kolejową o węźle <math>O=(0,0)</math>
dany jest ciąg <math>x_n=(-\frac{1}{n},-1)</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math>.
Odległość między kolejnymi wyrazami tego ciągu <math>d(x_n,x_{n+1})</math>
<wrongoption>maleje do zera, gdy <math>n\rightarrow+\infty</math></wrongoption>
<wrongoption>jest zawsze w przedziale <math>[1,2]</math></wrongoption>
<rightoption>jest zawsze w przedziale <math>[2,4]</math></rightoption>
</quiz>


<quiz>
Punktami stałymi odwzorowania <math>f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},f(x)=x^2+x-1</math> są
<wrongoption><math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> i <math>\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math></wrongoption>
  
<rightoption><math>-1</math> i <math>1</math></rightoption>
  
<wrongoption>odwzorowanie nie ma punktów stałych</wrongoption>
</quiz>


<quiz>
Obrazem odcinka <math>[0,1]</math> przez funkcję <math>\frac{1}{x-2}</math> jest
<wrongoption><math>\bigg[\frac{1}{2},1\bigg]</math></wrongoption>
  
<rightoption><math>\bigg[-1,-\frac{1}{2}\bigg]</math></rightoption>
  
<wrongoption><math>\bigg(-\infty,-\frac{1}{2}\bigg]</math></wrongoption>
</quiz>


<quiz>
W <math>\mathbb{R}</math> z metryką dyskretną rozważamy zbiór <math>A=\{5,25\}</math>. Zbiór <math>A</math>
<wrongoption>jest spójny</wrongoption>
<rightoption>jest zwarty</rightoption>
<rightoption>zawiera się w pewnej kuli o promieniu <math>2</math></rightoption>
</quiz>


<quiz>
Niech <math>A</math> będzie kulą w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_1</math> o środku <math>(0,0)</math> i promieniu <math>1</math>.
Promień największej kuli w <math>\mathbb{R}^2</math> z metryką <math>d_2</math>
o środku <math>(0,0)</math> zawartej w kuli <math>A</math> wynosi
<wrongoption><math>1</math></wrongoption>
<wrongoption><math>\sqrt{2}</math></wrongoption>
<rightoption><math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math></rightoption>
</quiz>


<quiz>
W przestrzeni metrycznej dyskretnej dany jest zbiór ciągowo zwarty <math>A</math>. Wówczas zbiór <math>A</math> jest
<rightoption>zwarty</rightoption>
<rightoption>skończony</rightoption>
<rightoption>ograniczony</rightoption>
</quiz>


<quiz>
W przestrzeni metrycznej <math>(\mathbb{R},d_2)</math> dany jest zbiór <math>A=\{-1\}\cup [2,3]</math>. Wówczas
<rightoption><math>\mathrm{int}\, A=(2,3)</math></rightoption>
<wrongoption><math>\partial A=\{2,3\}</math></wrongoption>
<rightoption><math>\partial (\mathrm{int}\, A)=\{2,3\}</math></rightoption>
</quiz>