Analiza matematyczna 2/Test 14: Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych

Równanie $\displaystyle \displaystyle {\dot {x}}-{\sqrt {x}}t=0$ jest równaniem

o zmiennych rozdzielonych Dobrze

Bernoullego Dobrze

liniowym Źle

Równanie $\displaystyle \displaystyle ({\dot {x}})^{2}+x=t$ jest równaniem różniczkowym

rzędu pierwszego Dobrze

rzędu drugiego Źle

liniowym niejednorodnym Źle

Funkcja $\displaystyle x(t)=\cos t$ jest rozwiązaniem równania różniczkowego

$\displaystyle \displaystyle {\ddot {x}}+x=0$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\dot {x}}+x={\sqrt {2}}\sin {\bigg (}{\frac {\pi }{4}}-t{\bigg )}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle ({\dot {x}})^{2}+x^{2}=1$ Dobrze

Równanie charakterystyczne dla równania $\displaystyle x^{(4)}+2x=-t$

ma pierwiastek podwójny równy $\displaystyle -1$ Źle

ma cztery pierwiastki zespolone o częściach rzeczywistych równych $\displaystyle 0$ Źle

ma cztery pierwiastki zespolone o niezerowych częściach rzeczywistych Dobrze

Rozwiązaniem ogólnym równania $\displaystyle \displaystyle {\dot {x}}-x=\cos t$

jest $\displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{-t}-\cos t,$ gdzie $\displaystyle C$ jest stałą dowolną Źle

jest $\displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{t},$ gdzie $\displaystyle C$ jest stałą dowolną Źle

jest $\displaystyle \displaystyle x(t)=Ce^{t}-0.5\cos t,$ gdzie $\displaystyle C$ jest stałą dowolną Źle

Rozwiązaniem równania $\displaystyle \displaystyle {\sqrt {1-t^{2}}}{\dot {x}}+{\sqrt {1+x^{2}}}=0$ jest funkcja $\displaystyle x(t)$ zadana równaniem

$\displaystyle \displaystyle {\rm {arsinh\,}}{x}-\arcsin {t}=0$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \ln |x+{\sqrt {1+x^{2}}}|=\arcsin {t}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \ln |x+{\sqrt {1+x^{2}}}|=\ln {\bigg |}{\frac {1+t}{1-t}}{\bigg |}$ Źle

Dane jest równanie różniczkowe $\displaystyle \displaystyle x^{(n)}+a_{1}x^{(n-1)}+\ldots +a_{n-1}x=t^{4}$ mające $\displaystyle n$ różnych pierwiastków równania charakterystycznego. Rozwiązania szczególnego (metodą przewidywań) szukamy w postaci

$\displaystyle \displaystyle x(t)=a_{1}t^{4}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{2}+a_{4}t+a_{5}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle x(t)=e^{t}(a_{1}t^{4}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{2}+a_{4}t+a_{5})$ Źle

$\displaystyle \displaystyle x(t)=a_{1}t^{5}+a_{2}t^{4}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{2}+a_{5}t$ Dobrze

W rozwiązaniu ogólnym równania $\displaystyle \displaystyle {\dot {x}}-x=0$ bierzemy stałą $\displaystyle C$ tak, by rozwiązanie równania przechodziło przez punkt $\displaystyle \displaystyle (\ln 2,1).$ Ta stała jest równa

$\displaystyle -2$ Źle

$\displaystyle 2$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}$ Źle

Weźmy rozwiązanie ogólne równania $\displaystyle \displaystyle {\ddot {x}}+x=1$ ze stałymi dowolnymi $\displaystyle C_{1}$ i $\displaystyle C_{2}.$ Jeśli to rozwiązanie oraz jego pochodna przechodzą przez punkt $\displaystyle \displaystyle {\bigg (}{\frac {\pi }{2}},\pi {\bigg )},$ to stałe $\displaystyle C_{1}$ i $\displaystyle C_{2}$ należą do zbioru

$\displaystyle \displaystyle {\big \{}\pi ,1{\big \}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\big \{}-\pi ,\pi -1{\big \}}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\bigg \{}1-\pi ,{\frac {\pi }{2}}{\bigg \}}$ Źle