Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne
Jeśli funkcja
jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją
ciągłą
różniczkowalną
klasy
.
Pewna substancja paruje z prędkością
wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od
momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po
dalszych dwóch 9,2g.
Na początku było 73,6 g substancji.
Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu.
Jeśli w chwili
mamy g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie g.
Funkcja jest
rozwiązaniem
równania różniczkowego
problemu początkowego Cauchy'ego
problemu początkowego Cauchy'ego
.
Problem początkowy Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli
.
Jednym z rozwiązań równania jest funkcja
.
Wyznaczając metodą kolejnych
przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego
otrzymujemy
.
Stosując metodę łamanych Eulera dla
problemu początkowego
w przedziale
i biorąc otrzymujemy
łamaną o węzłach
wartość łamanej Eulera w punkcie
równą
wartość łamanej Eulera w punkcie
równą .
Jeśli funkcja jest rozwiązaniem
problemu początkowego Cauchy'ego
, to
.
Rozważamy równanie .
Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych.
Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej
są do niej równoległe.
Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej
są do niej prostopadłe.