Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne

Jeśli funkcja $\displaystyle h$ jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

ciągłą Dobrze

różniczkowalną Dobrze

klasy $\displaystyle C^{\infty }$. Źle

Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

Na początku było 73,6 g substancji. Dobrze

Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu. Źle

Jeśli w chwili $\displaystyle t_{0}$ mamy $\displaystyle 4$ g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie $\displaystyle 1$ g. Dobrze

Funkcja $\displaystyle g(t)=-\ln(1-e^{t})$ jest rozwiązaniem

równania różniczkowego $\displaystyle x'=e^{t+x}$ Dobrze

problemu początkowego Cauchy'ego $\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\end{cases}}$ Dobrze

problemu początkowego Cauchy'ego $\displaystyle {\begin{cases}\exp(1-x(t)){\frac {dx}{dt}}=\exp(t+1)\\x(1)=0\end{cases}}$. Źle

Problem początkowy Cauchy'ego

$\displaystyle {\begin{cases}x'(t)={\sqrt[{3}]{x(t)-3}}\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

$\displaystyle t_{0}=3,x_{0}=2$ Dobrze

$\displaystyle t_{0}=2,x_{0}=3$ Źle

$\displaystyle t_{0}=3,x_{0}=3$. Źle

Jednym z rozwiązań równania $\displaystyle t^{2}x'=-x$ jest funkcja

$\displaystyle \displaystyle f(t)=-\exp \left({\frac {1}{t}}\right)+2$ Źle

$\displaystyle \displaystyle g(t)={\begin{cases}0,&t\leq 0\\3\exp \left({\frac {1}{t}}\right),&t>0\end{cases}}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle h(t)=\exp \left({\frac {1}{t}}\right)$. Źle

Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

$\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\end{cases}}$

otrzymujemy

$\displaystyle x_{2}(t)={\frac {1}{2}}t^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3}$ Dobrze

$\displaystyle x_{4}(t)={\frac {1}{2}}t^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4}-{\frac {1}{120}}t^{5}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle x(t)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}$. Dobrze

Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

$\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=t^{2}+x(t)\\x(0)=0\end{cases}}$

w przedziale $\displaystyle [0;\ 2]$ i biorąc $\displaystyle h=0,5$ otrzymujemy

łamaną o węzłach $\displaystyle \displaystyle (0,0),\left({\frac {1}{2}},0\right),\left(1,{\frac {1}{8}}\right),\left({\frac {3}{2}},{\frac {11}{16}}\right),\left(2,{\frac {69}{32}}\right)$ Dobrze

wartość łamanej Eulera w punkcie $\displaystyle {\dfrac {3}{2}}$ równą $\displaystyle {\tilde {x}}\left({\dfrac {3}{2}}\right)={\dfrac {11}{16}}$ Dobrze

wartość łamanej Eulera w punkcie $\displaystyle 2$ równą $\displaystyle {\tilde {x}}\left(2\right)={\dfrac {47}{32}}$. Źle

Jeśli funkcja $\displaystyle x$ jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego $\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\end{cases}}$, to

$\displaystyle x'(0)=1$ Źle

$\displaystyle x''(0)=1$ Dobrze

$\displaystyle x'''(0)=2$. Dobrze

Rozważamy równanie $\displaystyle x'={\dfrac {x}{t}}$.

Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych. Źle

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $\displaystyle x=3t$ są do niej równoległe. Dobrze

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej $\displaystyle x=0$ są do niej prostopadłe. Źle