Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne

Z Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 2
Wersja z dnia 19:08, 27 wrz 2006 autorstwa Rogoda (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Jeśli funkcja jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

ciągłą

różniczkowalną

klasy .


Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

Na początku było 73,6 g substancji.

Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu.

Jeśli w chwili mamy g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie g.


Funkcja jest rozwiązaniem

równania różniczkowego

problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\endcases }

problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\endcases } .


Problem początkowy Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\endcases }

ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

.


Jednym z rozwiązań równania jest funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\ 3\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases }

.


Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\endcases }

otrzymujemy

.


Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\endcases }

w przedziale i biorąc otrzymujemy

łamaną o węzłach

wartość łamanej Eulera w punkcie równą

wartość łamanej Eulera w punkcie równą .


Jeśli funkcja jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \begincases x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\endcases } , to

.


Rozważamy równanie .

Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej są do niej równoległe.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej są do niej prostopadłe.