Analiza matematyczna 2/Test 13: Równania różniczkowe zwyczajne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
Linia 29: Linia 29:
  
 
<rightoption>problemu początkowego Cauchy'ego
 
<rightoption>problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\endcases </math></rightoption>
+
<math>\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\end{array} </math></rightoption>
 
      
 
      
 
<wrongoption>problemu początkowego Cauchy'ego
 
<wrongoption>problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\endcases </math>.</wrongoption>
+
<math>\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\end{array} </math>.</wrongoption>
 
</quiz>
 
</quiz>
  
  
 
<quiz> Problem początkowy Cauchy'ego
 
<quiz> Problem początkowy Cauchy'ego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\endcases </math></center>
+
<center><math>\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\end{array} </math></center>
 
ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli
 
ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli
  
Linia 62: Linia 62:
 
<quiz> Wyznaczając metodą kolejnych
 
<quiz> Wyznaczając metodą kolejnych
 
przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego
 
przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\endcases </math></center>
+
<center><math>\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\end{array} </math></center>
 
otrzymujemy
 
otrzymujemy
  
Linia 75: Linia 75:
 
<quiz> Stosując metodę łamanych Eulera dla
 
<quiz> Stosując metodę łamanych Eulera dla
 
problemu początkowego
 
problemu początkowego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\endcases </math></center>
+
<center><math>\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\end{array} </math></center>
 
w przedziale
 
w przedziale
 
<math>\displaystyle [0;\ 2]</math> i biorąc <math>\displaystyle h=0,5</math> otrzymujemy
 
<math>\displaystyle [0;\ 2]</math> i biorąc <math>\displaystyle h=0,5</math> otrzymujemy
Linia 92: Linia 92:
 
<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle x</math> jest rozwiązaniem
 
<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle x</math> jest rozwiązaniem
 
problemu początkowego Cauchy'ego
 
problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\endcases </math>, to
+
<math>\displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\end{array} </math>, to
  
 
<wrongoption><math>\displaystyle x'(0)=1</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle x'(0)=1</math></wrongoption>

Wersja z 17:09, 8 paź 2006

Jeśli funkcja jest rozwiązaniem pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją

ciągłą

różniczkowalną

klasy .


Pewna substancja paruje z prędkością wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g substancji, po dalszych dwóch 9,2g.

Na początku było 73,6 g substancji.

Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od początku procesu.

Jeśli w chwili mamy g tej substancji, to po 4 godzinach zostanie g.


Funkcja jest rozwiązaniem

równania różniczkowego

problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\end{array} }

problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\end{array} } .


Problem początkowy Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\end{array} }

ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli

.


Jednym z rozwiązań równania jest funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begincases”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\ 3\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases }

.


Wyznaczając metodą kolejnych przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\end{array} }

otrzymujemy

.


Stosując metodę łamanych Eulera dla problemu początkowego

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\end{array} }

w przedziale i biorąc otrzymujemy

łamaną o węzłach

wartość łamanej Eulera w punkcie równą

wartość łamanej Eulera w punkcie równą .


Jeśli funkcja jest rozwiązaniem problemu początkowego Cauchy'ego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\end{array} } , to

.


Rozważamy równanie .

Izoklinami tego równania są wszystkie proste przechodzące przez środek układu współrzędnych.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej są do niej równoległe.

Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej są do niej prostopadłe.