Analiza matematyczna 2/Test 12: Całka krzywoliniowa. Twierdzenie Greena

Krzywa zadana przez parametryzację $\displaystyle \displaystyle \gamma (t)=(t^{3},t^{3}),\displaystyle \displaystyle t\in {\bigg [}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ jest

łukiem gładkim Źle

krzywą zwyczajną Dobrze

krzywą mającą punkty podwójne Źle

Krzywa zadana przez parametryzację $\displaystyle x=\sin ^{3}t,y=\cos ^{3}t,\ t\in [0,\pi ]$ jest

krzywą regularną Dobrze

krzywą zamkniętą Źle

krzywą zwyczajną Dobrze

Mamy trzy parametryzacje odcinka w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ łączącego punkt $\displaystyle \displaystyle (-1,-1)$ z punktem $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ :

$\displaystyle \gamma _{I}(t)=(t,t),\ t\in [-1,0]\ \ \gamma _{II}(t)=(-t,-t),\ t\in [0,1]\ \ \gamma _{III}(t)=$ $\displaystyle (-1-t,-1-t),\ t\in [-1,0].$

Parametryzacje $\displaystyle \displaystyle \gamma _{I}$ i $\displaystyle \displaystyle \gamma _{II}$ zadają przeciwne orientacje Dobrze

Parametryzacje $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}$ i $\displaystyle \displaystyle \gamma _{II}$ zadają tę samą orientację Dobrze

Parametryzacje $\displaystyle \displaystyle \gamma _{III}$ i $\displaystyle \displaystyle \gamma _{I}$ zadają tę samą orientację Źle

Pole wektorowe na $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ dane jako $\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+ay,y^{2}+x)$ jest polem potencjalnym dla

$\displaystyle a=-1$ Źle

$\displaystyle a=1$ Dobrze

$\displaystyle a=0$ Źle

Całka $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}xdx+ydy$ po odcinku $\displaystyle \displaystyle [0,1]\times \{0\}$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ jest równa

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}$ Dobrze

$\displaystyle 0$ Źle

$\displaystyle 1$ Źle

Całka $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}xdx-ydy$ po brzegu trójkąta o wierzchołkach $\displaystyle \displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)$ jest równa

$\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}$ Źle

$\displaystyle 0$ Dobrze

$\displaystyle 1$ Źle

Całka $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}{\big (}-y\cos ^{2}x{\big )}dx+{\bigg (}{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2x{\bigg )}dy$ po brzegu koła jednostkowego o środku w $\displaystyle \displaystyle (0,0)$ wynosi

$\displaystyle 0$ Źle

$\displaystyle \displaystyle \pi$ Dobrze

$\displaystyle 2\pi$ Źle

Całka $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{K}y^{2}dx+2xydy$ po krzywej zadanej przez parametryzację $\displaystyle \displaystyle \gamma (t)=(t,t^{2}),\ t\in [0,1]$ jest