Analiza matematyczna 2/Test 11: Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenie o zmianie zmiennych

W całce Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2dx\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt{x^2-2x}}f(x,y)\,dy\} całkujemy po zbiorze danym we współrzędnych biegunowych jako

$\displaystyle \displaystyle \alpha \in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]},\displaystyle \displaystyle 0\leq r\leq \cos \alpha$ Źle

$\displaystyle \displaystyle \alpha \in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]},\displaystyle \displaystyle 0\leq r\leq 2\cos \alpha$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \alpha \in {\bigg [}0,\pi {\bigg ]},\displaystyle \displaystyle 0\leq r\leq 2\sin \alpha$ Źle

Całka $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}dy\displaystyle \int \limits _{0}^{\sqrt {1-y^{2}}}dx\displaystyle \int \limits _{0}^{xy}f(x,y,z)\,dz$ jest równa całce

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{0}^{1}dx\displaystyle \int \limits _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}dy\displaystyle \int \limits _{xy}^{0}(-f(x,y,z))dz$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{1}^{0}dx\displaystyle \int \limits _{\sqrt {1-x^{2}}}^{0}dy\displaystyle \int \limits _{0}^{xy}f(x,y,z)dz$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \int \limits _{1}^{0}dy\displaystyle \int \limits _{\sqrt {1-y^{2}}}^{0}dx\displaystyle \int \limits _{xy}^{0}(-f(x,y,z))dz$ Dobrze

Całka $\displaystyle \displaystyle \iint \limits _{K}2dxdy,$ gdzie $\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ x^{2}+y^{2}\leq 4\}$ wynosi

$\displaystyle 8\pi$ Dobrze

$\displaystyle 4\pi$ Źle

$\displaystyle 16\pi$ Źle

Całka $\displaystyle \displaystyle \iint \limits _{D}(x^{2}+y^{2})dxdy,$ gdzie $\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ x^{2}+y^{2}\leq 4\}$ wynosi

$\displaystyle \displaystyle {\frac {3}{4}}\pi$ Źle

$\displaystyle \displaystyle 8\pi$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {4}{3}}\pi$ Źle

Całka $\displaystyle \displaystyle \iint \limits _{W}dxdydz,$ gdzie $\displaystyle W=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\ z^{2}+y^{2}\leq 4,\ 0\leq x\leq H\}$ (gdzie $\displaystyle H$ jest dane i większe od zera) jest równa

$\displaystyle 4\pi H^{2}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \pi H^{2}$ Źle

$\displaystyle 2\pi H^{2}$ Źle

We współrzędnych biegunowych zbiór $\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}$ jest zadany jako

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg\{(r,\alpha):\ 2<r\leq 4, \ \alpha\in\bigg[\frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi\bigg]\bigg\}. }

We współrzędnych kartezjańskich zbiór $\displaystyle D$ można zapisać jako

$\displaystyle \displaystyle \{(x,y):\ {\sqrt {2}}<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 2,\ |x|\leq y\}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle \{(x,y):\ {\sqrt {2}}<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 2,\ |y|\leq x\}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle \{(x,y):\ 2<x^{2}+y^{2}\leq 4,\ |x|\leq y\}$ Dobrze

Całka po kuli o promieniu $\displaystyle R$ z funkcji $\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ jest równa

$\displaystyle \displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{4}$ Źle

$\displaystyle \displaystyle {\frac {4}{5}}\pi R^{5}$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\frac {2}{5}}\pi R^{5}$ Źle

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle K=\underbrace{[-1,1]\times\ldots\times [-1,1]}_{ \displaystyle n} razy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle },} to całka Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\idotsint”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\idotsint\limits_Kdx_1\ldots dx_n} wynosi

$\displaystyle 1$ Źle

$\displaystyle n$ Źle

$\displaystyle 2^{n}$ Dobrze

Powierzchnia $\displaystyle D$ ograniczona jest prostymi $\displaystyle y=0,\displaystyle y={\sqrt {3}}x,\displaystyle y=-{\sqrt {3}}x+2{\sqrt {3}}.$ Na $\displaystyle D$ określona jest gęstość $\displaystyle \displaystyle \rho (x,y)\equiv 1.$ Środek ciężkości powierzchni $\displaystyle D$ leży w punkcie: