Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient
Funkcje wielu zmiennych. Ciągłość. Pochodne cząstkowe
Ćwiczenie 6.1.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji
a)
,b)
,c)
,d)
,e)
,f)
,g)
,h)
,i)
.Ćwiczenie 6.2.
Obliczyć granice iterowane i granice funkcji (o ile istnieją)
Ćwiczenie 6.3.
Zbadać ciągłość funkcji
Ćwiczenie 6.4.
Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji
a)
,b)
,c)
,d)
,e)
,f)
,g)
.Ćwiczenie 6.5.
Udowodnić zależność między pochodną kierunkową a pochodnymi cząstkowymi
o ile one wszystkie istnieją i o ile pochodne cząstkowe są ciągłe. Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji
w kierunku wektora
w punkcie ,b)
w kierunku wektora w punkcie ,c)
w kierunku wektora w punkcie .Ćwiczenie 6.6.
Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji złożonych
a)
, gdzie jest funkcją różniczkowalną,b)
, gdzie jest funkcją różniczkowalną,c)
, gdzie jest funkcją różniczkowalną.Ćwiczenie 6.7.
Sprawdzić, czy funkcja
a)
spełnia równanieb)
spełnia równaniec)
, gdzie jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanied)
, gdzie funkcja ma pochodne cząstkowe, spełnia równanieĆwiczenie 6.8.
Obliczyć
a)
, gdzie ,b)
, gdzie ,c)
, gdzieĆwiczenie 6.9.
Dane równanie zapisać w nowych współrzędnych