Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\endaligned" na "\end{align}")
m (Zastępowanie tekstu - "\aligned" na "\begin{align}")
 
Linia 29: Linia 29:
 
<math>\displaystyle (0,0)</math>. Mamy
 
<math>\displaystyle (0,0)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=-\frac {\sin x}{\cos
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=-\frac {\sin x}{\cos
 
y},&&
 
y},&&
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=0; \\
Linia 54: Linia 54:
 
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
 
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {y}{x^2+y^2}, &&
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {y}{x^2+y^2}, &&
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac 12; \\
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&&
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-x}{x^2+y^2},&&
Linia 76: Linia 76:
 
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
 
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac
 
{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&&
 
{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},&&
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=0; \\
Linia 103: Linia 103:
 
<math>\displaystyle (1,1,1)</math>. Mamy
 
<math>\displaystyle (1,1,1)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=3x^2-3yz,&&
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=3x^2-3yz,&&
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0; \\
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&&
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=3y^2-3xz,&&
Linia 136: Linia 136:
 
funkcji <math>\displaystyle f</math> w szereg Taylora w punkcie <math>\displaystyle (0,0,0)</math> ma postać
 
funkcji <math>\displaystyle f</math> w szereg Taylora w punkcie <math>\displaystyle (0,0,0)</math> ma postać
  
<center><math>\displaystyle \aligned &f(x,y,z)= \\
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &f(x,y,z)= \\
 
&\frac 12\left
 
&\frac 12\left
 
(6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right)
 
(6(x-1)^2+6(y-1)^2+6(z-1)^2-6(x-1)(y-1)-6(x-1)(z-1)-6(y-1)(z-1)\right)
Linia 270: Linia 270:
 
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
 
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\aligned
+
\begin{align}
 
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=
 
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=
 
2xe^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]+e^{x^2-y}[2(5-2x+y)-4x],\\
 
2xe^{x^2-y}[2x(5-2x+y)-2]+e^{x^2-y}[2(5-2x+y)-4x],\\
Linia 662: Linia 662:
 
\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>.
 
\left(\frac{\sqrt[3]{2}}2,\frac12,\frac{\sqrt[3]{2}}2\right)</math>.
 
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
 
Liczymy pochodne cząstkowe drugiego rzędu
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=
 
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=
 
-2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=
 
-2-2\frac{y}{x^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=
Linia 740: Linia 740:
 
licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math>\displaystyle f</math> po <math>\displaystyle x_1</math> wyraża się
 
licznik pochodnej cząstkowej funkcji <math>\displaystyle f</math> po <math>\displaystyle x_1</math> wyraża się
 
wzorem
 
wzorem
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x')
 
x_2...x_n(a+x_1)(x_1+x_2)p(x')
 
-x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\=
 
-x_1x_2...x_n[(x_1+x_2)p(x')+(a+x_1)p(x')]=\\=
Linia 772: Linia 772:
 
</math></center>
 
</math></center>
 
oraz
 
oraz
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}}
 
f(M)=\frac{\sqrt[n+1]{a^{1+2+...+n}b^{1+2+...+n}}}
 
{\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+
 
{\sqrt[n+1]{a^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})\sqrt[n+1]{a^{n-1}b}(\sqrt[n+1]{a}+

Aktualna wersja na dzień 12:41, 9 cze 2020

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1.

a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b)

c) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.4.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b)
w zbiorze .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.5.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.6.

a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.

b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.7.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.8.

a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

w zbiorze

.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.9.

(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek

miał największą wartość.

Wskazówka
Rozwiązanie