a) Każda z pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji
zależy tylko od tej zmiennej, względem
której jest liczona. Z warunku koniecznego istnienia ekstremum otrzymujemy układ trzech niezależnych równań
,
i
. Punkty krytyczne zatem to
,
,
.
Macierz drugiej różniczki
ma postać
Wobec tego w punkcie
macierzą tą jest
, w
-
, w
-
, w
-
, w
-
, w
-
, wreszcie w
-
.
Stąd widać na mocy kryterium Sylvestera, że funkcja
ma minima
w punktach
i
i maksimum w punkcie
oraz, że są to jedyne ekstrema tej funkcji.
b) Warunek konieczny istnienia ekstremum prowadzi do układu
którego rozwiązaniami są dwie trójki liczb
i
. Macierz drugiej różniczki
ma postać
Ponieważ
funkcja
nie ma ekstremum w punkcie
, natomiast wobec
funkcja
ma minimum w punkcie
.
c) Funkcja
zeruje się na czterech płaszczyznach:
,
,
i
. Pokażmy najpierw, że w żadnym punkcie pierwszych trzech z nich nie ma ekstremum. Weźmy punkt
leżący na płaszczyźnie
oraz zdefiniujmy funkcję
. Mamy
. Ponieważ częścią wspólną każdych dwóch z naszych płaszczyzn jest tylko prosta, więc
dowolnie blisko punktu
możemy znaleźć taki punkt
, że
oraz
. Niech np.
(drugi przypadek jest symetryczny). Z ciągłości funkcji
dla dostatecznie małej liczby dodatniej
zachodzi
oraz
(bo
). Ale wtedy
oraz
, zatem funkcja
nie ma minimum w punkcie
(bo jest to miejsce zerowe, a dowolnie blisko tego miejsca funkcja
przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne). Analogicznie postępujemy z punktami z płaszczyzn
i
.
Wobec tego wystarczy poszukać punktów krytycznych pod założeniem
. Wtedy warunek konieczny istnienia
ekstremum prowadzi do układu Cramera
którego rozwiązaniem jest jedna trójka liczb
. Macierz
drugiej różniczki
ma postać
Ponieważ
funkcja
ma maksimum w punkcie
. Jest to jedyne
ekstremum tej funkcji.