Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami
m (Zastępowanie tekstu - "\endaligned" na "\end{align}") |
|||
Linia 42: | Linia 42: | ||
y}{\cos^2 y},&& | y}{\cos^2 y},&& | ||
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0. \\ | \qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0. \\ | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 63: | Linia 63: | ||
{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&& | {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&& | ||
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0. \\ | \qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0. \\ | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 90: | Linia 90: | ||
{-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&& | {-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&& | ||
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12. \\ | \qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12. \\ | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 130: | Linia 130: | ||
&\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3 | &\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3 | ||
f}{\partial z^3}(1,1,1)=6. | f}{\partial z^3}(1,1,1)=6. | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 142: | Linia 142: | ||
&+\frac 16\left | &+\frac 16\left | ||
(6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right ). | (6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right ). | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 276: | Linia 276: | ||
\frac{\partial^2 g}{\partial | \frac{\partial^2 g}{\partial | ||
^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}. | ^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}. | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 667: | Linia 667: | ||
-2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\ | -2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\ | ||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0 | \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0 | ||
− | \ | + | \end{align}</math></center> |
i budujemy macierz drugiej różniczki | i budujemy macierz drugiej różniczki | ||
Linia 745: | Linia 745: | ||
x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]= | x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]= | ||
x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2), | x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2), | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 777: | Linia 777: | ||
\sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\= | \sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\= | ||
\frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}. | \frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}. | ||
− | \ | + | \end{align} |
</math></center> | </math></center> | ||
Wersja z 12:31, 9 cze 2020
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia
Ćwiczenie 8.1.
a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji
w punkcie .b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji
w punkcie .c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji
w punkcie .d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję
w punkcie .Ćwiczenie 8.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a)
,b)
c) .Ćwiczenie 8.3.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a)
,b)
,c)
,d)
.Ćwiczenie 8.4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a)
,b)
w zbiorze .
Ćwiczenie 8.5.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a)
,b)
,c)
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?
Ćwiczenie 8.6.
a) Pokazać, że funkcja
ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.b) Pokazać, że funkcja
nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.Ćwiczenie 8.7.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
a)
,b)
,c)
.Ćwiczenie 8.8.
a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
w zbiorze
.Ćwiczenie 8.9.
(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie
i ( ) wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamekmiał największą wartość.