Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 8: Ekstrema funkcji wielu zmiennych: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\endaligned" na "\end{align}")
Linia 42: Linia 42:
 
y}{\cos^2 y},&&
 
y}{\cos^2 y},&&
 
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0. \\
 
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(0,0)=0. \\
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 63: Linia 63:
 
{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&&
 
{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},&&
 
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0. \\
 
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=0. \\
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 90: Linia 90:
 
{-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&&
 
{-x^4-y^4+6x^2y^2}{(x^2+y^2)^3},&&
 
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12. \\
 
\qquad \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,1)=\frac12. \\
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 130: Linia 130:
 
&\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3
 
&\frac {\partial^3 f}{\partial z^3}=6, &&\qquad \frac {\partial^3
 
f}{\partial z^3}(1,1,1)=6.
 
f}{\partial z^3}(1,1,1)=6.
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 142: Linia 142:
 
&+\frac 16\left
 
&+\frac 16\left
 
(6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right ).
 
(6(x-1)^3+6(y-1)^3+6(z-1)^3-18(x-1)(y-1)(z-1)\right ).
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 276: Linia 276:
 
\frac{\partial^2 g}{\partial
 
\frac{\partial^2 g}{\partial
 
^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}.
 
^2}=-e^{x^2-y}[-(5-2x+y)+1]-e^{x^2-y}.
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 667: Linia 667:
 
-2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\
 
-2\frac{z^2}{y^3},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}= -2\frac{1}y-2\frac1{z^3},\\
 
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0
 
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}= 2\frac{z}{y^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}= 0
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
 
i budujemy macierz drugiej  różniczki
 
i budujemy macierz drugiej  różniczki
Linia 745: Linia 745:
 
x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]=
 
x_2...x_np(x')[(a+x_1)(x_1+x_2)-x_1(x_1+x_2+a+x_1)]=
 
x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2),
 
x_2...x_np(x')(ax_2-x_1^2),
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 777: Linia 777:
 
\sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\=
 
\sqrt[n+1]{ab})...\sqrt[n+1]{b^n}(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b})}=\\=
 
\frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}.
 
\frac{1}{(\sqrt[n+1]{a}+\sqrt[n+1]{b} )^{n+1}}.
\endaligned
+
\end{align}
 
</math></center>
 
</math></center>
  

Wersja z 12:31, 9 cze 2020

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ćwiczenia

Ćwiczenie 8.1.

a) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

b) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

c) Wyznaczyć wielomian Taylora rzędu drugiego funkcji w punkcie .

d) Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b)

c) .
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.3.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.4.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b)
w zbiorze .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.5.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) .
Czy otrzymane ekstrema są też globalne?

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.6.

a) Pokazać, że funkcja ma nieskończenie wiele minimów, natomiast nie ma żadnego maksimum.

b) Pokazać, że funkcja nie ma minimum w punkcie , ale jej zacieśnienie do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma silne minimum w tym punkcie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.7.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

a) ,

b) ,

c) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.8.

a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

b) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

w zbiorze

.
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8.9.

(Zadanie Huygensa) Pomiędzy liczby dodatnie i () wstawić liczby dodatnie tak, aby ułamek

miał największą wartość.

Wskazówka
Rozwiązanie