Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Ćwiczenie 7.1.

Zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe i różniczka w punkcie $\displaystyle (0,0)$ funkcji

$\displaystyle {\text{a) }}f(x,y)={\sqrt {|xy|}},$

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \text{b) } f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt {x^2+y^2}} & \text {jeśli }(x,y)\neq 0, \\ 0, & \text {jeśli } (x,y)=0. \end{array} }

Wskazówka

Wykorzystać definicję różniczki i pochodnych cząstkowych.

Rozwiązanie

a) Obliczmy pochodną cząstkową $\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)$. Mamy

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x,0)-f(0,0)}{x}}=0.$

Podobnie obliczmy

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=\lim _{y\to 0}{\frac {f(0,y)-f(0,0)}{y}}=0.$

Tak więc w punkcie $\displaystyle (0,0)$ istnieją pochodne cząstkowe i są równe zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,0)$. Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka funkcji $\displaystyle f$ istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo $\displaystyle 0$, czyli $\displaystyle d_{(0,0)}f=0$. Z tego wynika, że następująca granica jest równa

$\displaystyle 0=\lim _{(k,h)\to (0,0)}{\frac {f(0+k,0+h)-f(0,0)-\partial _{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt {k^{2}+h^{2}}}}=\lim _{(k,h)\to (0,0)}{\frac {\sqrt {|kh|}}{\sqrt {k^{2}+h^{2}}}}.$

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu $\displaystyle x_{n}=0,y_{n}={\frac {1}{n}}$ dostajemy wartość graniczną $\displaystyle 0$, natomiast dla podciągu $\displaystyle x_{n}=y_{n}={\frac {1}{n}}$ dostajemy $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,0)$ było fałszywe.

b) Rozumujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie. Obliczmy pochodną cząstkową $\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)$. Mamy

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x,0)-f(0,0)}{x}}=0.$

Podobnie obliczmy

$\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=\lim _{y\to 0}{\frac {f(0,y)-f(0,0)}{y}}=0.$

Tak więc w punkcie $\displaystyle (0,0)$ istnieją pochodne cząstkowe i są równe zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,0)$. Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka funkcji $\displaystyle f$ istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo $\displaystyle 0$, czyli $\displaystyle d_{(0,0)}f=0$. Z tego wynika, że następująca granica jest równa $\displaystyle 0$

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {f(0+k,0+h)-f(0,0)-d_{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt {k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\frac {kh}{\sqrt {k^2+h^2}}}{\sqrt {k^2+h^2}} \\ &=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {kh}{k^2+h^2}. \end{align} }

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu $\displaystyle x_{n}=0,y_{n}={\frac {1}{n}}$ dostajemy wartość graniczną $\displaystyle 0$, natomiast dla podciągu $\displaystyle x_{n}=y_{n}={\frac {1}{n}}$ dostajemy $\displaystyle {\frac {1}{2}}$. Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje

różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,0)$ było fałszywe.

Ćwiczenie 7.2.

Obliczyć różniczkę funkcji

a) $\displaystyle f(x,y)=x^{2}y+\cos(x+y)$ w punkcie $\displaystyle ({\frac {\pi }{2}},0),$

b) $\displaystyle f(x,y,z)=(x^{3}y^{2}z,x+y+z,{\frac {xy}{z}})$ w punkcie $\displaystyle (1,-1,1),$

c) $\displaystyle f(x,y,z)=(x^{y},y^{z})$ w punkcie $\displaystyle (1,1),$

d) $\displaystyle f(x)=(\ln x,{\frac {1}{x^{2}}},\arcsin x)$ w punkcie $\displaystyle {\frac {1}{2}},$

e) $\displaystyle f(x,y,z)=\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ w punkcie $\displaystyle (1,1,1)$.

Wskazówka

Wykorzystać związek różniczki z pochodnymi cząstkowymi.

Rozwiązanie

Różniczka funkcji $\displaystyle f$ jest reprezentowana przez macierz pochodnych cząstkowych tej funkcji.

a) Obliczmy pochodne cząstkowe. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=2xy-\sin(x+y),\qquad \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac {\pi}{2},0\right)=-1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=x^2-\sin(x+y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} \left(\frac {\pi}{2},0\right)=\frac {\pi^2}{4}-1. \\ \end{align} }

Tak więc różniczka funkcji jest równa

$\displaystyle d_{({\frac {\pi }{2}},0)}f(k,h)=\left[{\begin{array}{cc}-1&{\frac {\pi ^{2}}{4}}-1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k\\h\end{array}}\right]=-k+\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-1\right)h.$

b) Postępujemy jak w poprzednim przykładzie. Funkcję $\displaystyle f$ możemy zapisać jako zestawienie $\displaystyle f(x,y,z)=(f^{1}(x,y,z),f^{2}(x,y,z),f^{3}(x,y,z))$, gdzie $\displaystyle f^{1}(x,y,z)=x^{3}y^{2}z$, $\displaystyle f^{2}(x,y,z)=x+y+z$, $\displaystyle f^{3}(x,y,z)={\frac {xy}{z}}$. Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f^{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f^{1}}{\partial y}}&{\frac {\partial f^{1}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f^{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f^{2}}{\partial y}}&{\frac {\partial f^{2}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f^{3}}{\partial x}}&{\frac {\partial f^{3}}{\partial y}}&{\frac {\partial f^{3}}{\partial z}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}3x^{2}y^{2}z&2x^{3}yz&x^{3}y^{2}\\1&1&1\\{\frac {y}{z}}&{\frac {x}{z}}&-{\frac {xy}{z^{2}}}\end{array}}\right].$

Mamy

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}3&-2&1\\1&1&1\\-1&1&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k\\h\\l\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}3k-2h+l\\k+h+l\\-k+h+l\end{array}}\right].$

Tak więc różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,-1,1)$ jest równa

$\displaystyle d_{(1,-1,1)}f(k,h,l)=(3k-2h+l,k+h+l,-k+h+l).$

c) Funkcję $\displaystyle f$ możemy zapisać jako zestawienie $\displaystyle f(x,y,z)=(f^{1}(x,y,z),f^{2}(x,y,z))$, gdzie $\displaystyle f^{1}(x,y,z)=x^{y}$, $\displaystyle f^{2}(x,y,z)=y^{z}$. Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f^{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f^{1}}{\partial y}}&{\frac {\partial f^{1}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f^{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f^{2}}{\partial y}}&{\frac {\partial f^{2}}{\partial z}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}yx^{y-1}&x^{y}\ln x&0\\0&zy^{z-1}&y^{z}\ln y\end{array}}\right].$

Mamy

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k\\h\\l\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}k\\h\end{array}}\right].$

Tak więc różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,1,1)$ jest równa

$\displaystyle d_{(1,1,1)}f(k,h,l)=(k,h).$

d) Funkcję $\displaystyle f$ możemy zapisać jako zestawienie $\displaystyle f(x)=(f^{1}(x),f^{2}(x),f^{3}(x))$, gdzie $\displaystyle f^{1}(x)=\ln x$, $\displaystyle f^{2}(x)={\frac {1}{x^{2}}}$, $\displaystyle f^{3}(x)=\arcsin x$. Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\frac {\partial f^{1}}{\partial x}}\\{\frac {\partial f^{2}}{\partial x}}\\{\frac {\partial f^{3}}{\partial x}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{\frac {1}{x}}\\-{\frac {2}{x^{3}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{array}}\right].$

Mamy

$\displaystyle \left[{\begin{array}{c}2\\-16\\{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2k\\-16k\\{\frac {2}{\sqrt {3}}}k\end{array}}\right].$

Tak więc różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle {\frac {1}{2}}$ jest równa

$\displaystyle d_{\frac {1}{2}}f(k,h,l)=\left(2k,-16k,{\frac {2}{\sqrt {3}}}k\right).$

e) Macierz pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{\frac {2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\frac {2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\end{array}}\right].$

Tak więc różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,1,1)$ jest równa

$\displaystyle d_{(1,1,1)}f(k,h,l)=\left[{\begin{array}{ccc}{\frac {2}{3}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k\\h\\l\end{array}}\right]={\frac {2}{3}}k+{\frac {2}{3}}h+{\frac {2}{3}}l.$

Ćwiczenie 7.3.

Obliczyć różniczkę funkcji złożonej $\displaystyle h=g\circ f$, gdy

a) $\displaystyle f(x,y)=(x+y,xy)$, $\displaystyle g(x,y)=(\sin(x+y),{\frac {x}{y+1}})$ w punkcie $\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}}),$

b) $\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2$, $\displaystyle g(x)=(\mathrm {tg} \,x,\arccos x^{2})$ w punkcie $\displaystyle (1,1),$

c) $\displaystyle f(x,y,z)=(\sin(x-y),\cos(x+y+z),-1)$, $\displaystyle g(x,y,z)={\frac {x-y}{y-z}}$ w punkcie, $\displaystyle (0,0,0)$

d) $\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}$, $\displaystyle g(x)=(\ln x,{\frac {x}{x+1}},x^{3})$ w punkcie $\displaystyle (1,1)$.

Wskazówka

Różniczkę funkcji złożonej można przedstawić za pomocą macierzy, która powstanie przez pomnożenie odpowiednich macierzy pochodnych cząstkowych funkcji składowych.

Rozwiązanie

Jeżeli $\displaystyle h=g\circ f$, to macierz reprezentująca różniczkę funkcji $\displaystyle h$ powstaje z pomnożenia macierzy pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle g$ przez macierz pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$.

a) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}1&1\\y&x\end{array}}\right]\quad {\rm {i}}\quad \left[{\begin{array}{cc}\cos(x+y)&\cos(x+y)\\{\frac {1}{y+1}}&-{\frac {x}{(y+1)^{2}}}\end{array}}\right]$

Różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}})$ jest reprezentowana przez macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}1&1\\{\frac {\pi }{2}}&0\end{array}}\right].$

Różniczka funkcji $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle f(0,{\frac {\pi }{2}})=({\frac {\pi }{2}},0)$ jest reprezentowana przez macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}0&0\\1&-{\frac {\pi }{2}}\end{array}}\right].$

Zatem różniczka funkcji $\displaystyle h$ w punkcie $\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}})$ ma macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}0&0\\1&-{\frac {\pi }{2}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&1\\{\frac {\pi }{2}}&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\1-{\frac {\pi ^{2}}{4}}&1\end{array}}\right].$

b) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}2x&2y\end{array}}\right]\quad {\rm {i}}\quad \left[{\begin{array}{c}{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\\-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\end{array}}\right].$

Różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,1)$ jest reprezentowana przez macierz $\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}2&2\end{array}}\right].$ Różniczka funkcji $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle f(1,1)=0$ jest reprezentowana przez macierz $\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right].$ Zatem macierzą różniczki funkcji $\displaystyle h$ w punkcie $\displaystyle (1,1)$ jest

$\displaystyle \left[{\begin{array}{c}1\\-1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}2&2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}2&2\\-2&-2\end{array}}\right].$

c) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}\cos(x-y)&-\cos(x-y)&0\\-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)&-\sin(x+y+z)\\0&0&0\end{array}}\right]\quad {\rm {i}}\quad \left[{\begin{array}{ccc}{\frac {1}{y-z}}&{\frac {z-x}{(y-z)^{2}}}&{\frac {x-y}{(y-z)^{2}}}\end{array}}\right].$

Różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,0,0)$ jest reprezentowana przez macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right].$

Różniczka funkcji $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle f(0,0,0)=(0,1,-1)$ jest reprezentowana przez macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{4}}\end{array}}\right].$

Zatem macierzą różniczki funkcji $\displaystyle h$ w punkcie $\displaystyle (0,0,0)$ jest

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{4}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right].$

d) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$:

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}{\frac {y^{3}-x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}&{\frac {x^{3}-xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\end{array}}\right]\quad {\rm {i}}\quad \left[{\begin{array}{c}{\frac {1}{x}}\\{\frac {1}{(x+1)^{2}}}\\3x^{2}\end{array}}\right].$

Różniczka funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,1)$ jest reprezentowana przez macierz $\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}0&0\end{array}}\right].$ Różniczka funkcji $\displaystyle g$ w punkcie $\displaystyle f(1,1)={\frac {1}{2}}$ jest reprezentowana przez macierz

$\displaystyle \left[{\begin{array}{c}2\\{\frac {4}{9}}\\{\frac {3}{4}}\end{array}}\right].$

Zatem macierzą różniczki funkcji $\displaystyle h$ w punkcie $\displaystyle (1,1)$ jest

$\displaystyle \left[{\begin{array}{c}2\\{\frac {4}{9}}\\{\frac {3}{4}}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\0&0\end{array}}\right].$

Ćwiczenie 7.4.

Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

a) $\displaystyle f(x,y)=2x^{2}+y^{2}$ w punkcie $\displaystyle (1,-1),$

b) $\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$ w punkcie $\displaystyle (1,1),$

b) $\displaystyle f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2})$ w punkcie $\displaystyle (0,1)$.

Rozwiązanie

Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji $\displaystyle f(x,y)$ w punkcie $\displaystyle (x_{0},y_{0})$ ma równanie

$\displaystyle z-f(x_{0},y_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).$

a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,-1)$. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=4x, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,-1)=4; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=2y, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,-1)=-2. \end{align} }

Skoro $\displaystyle f(1,-1)=3$, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,-1)$ ma postać

$\displaystyle z-3=4(x-1)-2(y+1),$

czyli

$\displaystyle 4x-2y-z=3.$

b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,1)$. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {4xy^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-4x^2y}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,1)=-1. \end{align} }

Skoro $\displaystyle f(1,1)=0$, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (1,1)$ ma postać

$\displaystyle z=(x-1)-(y-1),$

czyli

$\displaystyle x-y-z=0.$

c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,1)$. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {2x}{x^2+y^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,1)=0; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {2y}{x^2+y^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial y}(0,1)=2. \end{align} }

Skoro $\displaystyle f(0,1)=0$, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle (0,1)$ ma postać

$\displaystyle z=0(x-0)+2(y-1),$

czyli

$\displaystyle 2y-z=2.$

Wskazówka

Jaka jest interpretacja geometryczna różniczki?

Ćwiczenie 7.5.

Wykazać, że wykresy funkcji $\displaystyle f(x,y)=xy-x^{2}+8x-5$ i $\displaystyle g(x,y)=e^{2y+x+4}$ są styczne w punkcie $\displaystyle (2,-3)$.

Wskazówka

Wykorzystać definicję pochodnych cząstkowych. Dlaczego różniczka istnieje?

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, czy w punkcie $\displaystyle (2,-3)$ wartości obu funkcji są takie same. Mamy $\displaystyle f(2,-3)=-6-4+16-5=1$ oraz $\displaystyle g(2,-3)=e^{-6+2+4}=1$, zatem punkt $\displaystyle (2,-3,1)$ jest punktem wspólnym obu wykresów. Aby sprawdzić, czy wykresy funkcji $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$ są styczne w tym punkcie należy wykazać, że płaszczyzny styczne do wykresów $\displaystyle f$ i $\displaystyle g$ w tym punkcie są identyczne. Obliczmy teraz wartości pochodnych cząstkowych

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=y-2x+8, &\quad& \frac {\partial f}{\partial x}(2,-3)=1; \\ &\frac {\partial f}{\partial y}=x,&& \frac {\partial f}{\partial y}(2,-3)=2; \\ &\frac {\partial g}{\partial x}=e^{2y+x+4},&& \frac {\partial g}{\partial x}(2,-3)=1;\\ &\frac {\partial g}{\partial y}=2e^{2y+x+4},&& \frac {\partial g}{\partial y}(2,-3)=2. \end{align} }

Wynika stąd, że wykresy obu funkcji są styczne do siebie w naszym punkcie, a ich wspólna płaszczyzna styczna ma równanie $\displaystyle x+2y-z=-5$.

Ćwiczenie 7.6.

Niech $\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą. Obliczyć różniczkę funkcji

$\displaystyle f(x,y)=\int _{x}^{y}g(t)dt.$

Wskazówka

Wykorzystać definicję pochodnych cząstkowych. Dlaczego różniczka istnieje?

Rozwiązanie

Ustalmy punkt $\displaystyle (x_{0},y_{0})$ i policzmy pochodne cząstkowe funkcji $\displaystyle f$ w tym punkcie. Niech $\displaystyle G(t)$ oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji $\displaystyle g(t)$ tzn. $\displaystyle G'(t)=g(t)$. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\left(\int_x^{y_0}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt\right) \\ &=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_x^{x_0}g(t)dt =\lim_{x\to x_0}\frac{G(x_0)-G(x)}{x-x_0}=-G'(x_0)=-g(x_0). \end{align} }

Podobnie obliczamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{y\to y_0}\frac {f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{x_0}^{y}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt \\ &=\lim_{y\to y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{y_0}^yg(t)dt =\lim_{y\to y_0}\frac{G(y)-G(y_0)}{y-y_0}=G'(y_0)=g(y_0). \end{align} }

Zauważmy, że z ciągłości funkcji $\displaystyle g$ wynika ciągłość pochodnych cząstkowych $\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}$ i $\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}$, a w szczególności różniczkowalność funkcji $\displaystyle f$. Na mocy powyższych zależności różniczka funkcji $\displaystyle f$ jest równa

$\displaystyle d_{(x_{0},y_{0})}f(k,h)=\left[{\begin{array}{cc}-g(x_{0})&g(y_{0})\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k\\h\end{array}}\right]=-g(x_{0})k+g(y_{0})h.$

Ćwiczenie 7.7.

a) Wyznaczyć jakobian odwzorowania

$\displaystyle \Psi :(0,\infty )\times \mathbb {R} \ni (r,\phi )\mapsto (r\cos \phi ,r\sin \phi )\in \mathbb {R} ^{2}$

w dowolnym punkcie jego dziedziny.

b) Obliczyć jakobian odwzorowania

$\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\ni (x_{1},...,x_{n})\mapsto \left({\frac {1}{2}}x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{1}x_{3},...,x_{1}x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$

w punkcie $\displaystyle (1,1,...,1)$.

Wskazówka

Wyznaczyć macierz Jacobiego danego odwzorowania i policzyć jego wyznacznik.

Rozwiązanie

a) Macierz Jacobiego odwzorowania $\displaystyle \Psi$ w dowolnym punkcie $\displaystyle (r,\phi )$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}\cos \phi &-r\sin \phi \\\sin \phi &r\cos \phi \end{array}}\right].$

Zatem jac$\displaystyle _{(r,\phi )}\Psi =r\cos ^{2}\phi +r\sin ^{2}\phi =r$.

b) Macierz Jacobiego odwzorowania $\displaystyle f$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccccc}x_{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\x_{2}&x_{1}&0&0&\cdots &0&0\\x_{3}&0&x_{1}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n-1}&0&0&0&\cdots &x_{1}&0\\x_{n}&0&0&0&\cdots &0&x_{1}\end{array}}\right].$

Jest to macierz trójkątna, czyli jej wyznacznik jest ilorazem wyrazów z przekątnej. Zatem jac$\displaystyle _{(x_{1},x_{2},...,x_{n})}f=(x_{1})^{n}$, a w szczególności jac$\displaystyle _{(1,1...,1)}f=1$.

Ćwiczenie 7.8.

Obliczyć różniczkę rzędu drugiego funkcji

a) $\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{3},$

b) $\displaystyle f(x,y,z)=4x^{2}+5x^{3}+xyz,$

c) $\displaystyle f(x,y)=(xy,x^{3}+y^{4}).$

Wskazówka

Jaki jest związek między różniczką drugiego rzędu a pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu?

Rozwiązanie

Różniczkę rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ możemy utożsamić z macierzą utworzoną z pochodnych cząstkowych rzędu drugiego tej funkcji.

a) Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}2y^{3}&6xy^{2}\\6xy^{2}&6x^{2}y\end{array}}\right].$

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$ jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &d^2 _{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1 \end{array} \right] \\ &=2y^2k_1k_2+6xy^2k_2h_1+6xy^2k_1h_2+6x^2yh_1h_2. \end{align} }

b) Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}{\frac {\partial ^{f}}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0\end{array}}\right].$

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$ jest równa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &d^2 _{(x,y,z)}f((k_1,h_1,l_1),(k_2,h_2,l_2))=\left[\begin{array} {ccc}k_2&h_2&l_2 \end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0 \end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1\\l_1 \end{array} \right] \\ & =(8+30x)k_1k_2+zk_1h_2+zk_2h_1+yk_1l_2+yk_2l_1+xh_1l_2+xh_2l_1. \end{align} }

c) Funkcję $\displaystyle f$ możemy zapisać jako zestawienie $\displaystyle f=(g,h)$, gdzie $\displaystyle g(x,y)=xy$ a $\displaystyle h(x,y)=x^{3}+y^{4}$. Macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $\displaystyle g$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y\partial x}}\\{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y^{2}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right].$

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji $\displaystyle g$ jest równa

$\displaystyle d_{(x,y)}^{2}g((k_{1},h_{1}),(k_{2},h_{2}))=\left[{\begin{array}{cc}k_{2}&h_{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k_{1}\\h_{1}\end{array}}\right]=k_{1}h_{2}+k_{2}h_{1}.$

Podobnie macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji $\displaystyle h$ ma postać

$\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}h}{\partial y\partial x}}\\{\frac {\partial ^{2}h}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}6x&0\\0&12y^{2}\end{array}}\right].$

Stąd różniczka rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$ jest równa

$\displaystyle d_{(x,y)}^{2}g((k_{1},h_{1}),(k_{2},h_{2}))=\left[{\begin{array}{cc}k_{2}&h_{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}6x&0\\0&12y^{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}k_{1}\\h_{1}\end{array}}\right]=6xk_{1}k_{2}+12y^{2}h_{1}h_{2}.$

Zatem różniczka rzędu drugiego funkcji $\displaystyle f$ jest postaci

$\displaystyle d_{(x,y)}^{2}f((k_{1},h_{1}),(k_{2},h_{2}))=(k_{1}h_{2}+k_{2}h_{1},6xk_{1}k_{2}+12y^{2}h_{1}h_{2}).$

Ćwiczenie 7.9.

Obliczyć wartość różniczki $\displaystyle d_{(1,1)}^{3}f$ na trójce jednakowych wektorów $\displaystyle h=(h_{1},h_{2})$, jeśli

a) $\displaystyle f(x,y)=5x^{3}+x^{2}y+3xy^{2}-y^{3},$

a) $\displaystyle f(x,y)=(2x+e-2)^{y},$

b) $\displaystyle f(x,y)=x\mathrm {arctg} \,{y}-9y{\sqrt[{3}]{x}}.$

Wskazówka

Jak można wyrazić wartość różniczki $\displaystyle n$-tego rzędu na $\displaystyle n$-tce takich samych wektorów?

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle z=(z_{1},z_{2})=(x,y)$. Zastosujemy wzór

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &d^3 _{(1,1)} f(h, h, h) =\sum_{|\alpha|=3} \binom{3}{\alpha} \frac{\partial ^3}{\partial z^\alpha} f(1,1)h^\alpha =\\&= \frac{\partial ^3f}{\partial x^3} (1,1)h_1^3+3 \frac{\partial ^3f}{\partial x^2\partial y} (1,1)h_1^2h_2+3 \frac{\partial ^3f}{\partial x\partial y^2} (1,1)h_1h_2^2+ \frac{\partial ^3f}{\partial y^3} (1,1)h_2^3. \end{align}}

a) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji $\displaystyle f(x,y)=5x^{3}+x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=30, && \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=2, && \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=6, && \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=-6 \end{align} }

i wstawiamy ich wartości w punkcie $\displaystyle (1,1)$ do wzoru, otrzymując

$\displaystyle d_{(1,1)}^{3}f(h,h,h)=30h_{1}^{3}+6h_{1}^{2}h_{2}+18h_{1}h_{2}^{2}-6h_{2}^{3}.$

b) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji $\displaystyle f(x,y)=(2x+e-2)^{y}$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=8y(y-1)(y-2)(2x+e-2)^{y-3}, \\ \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=4(2x+e-2)^{y-2}\left[2y-1+y(y-1)\ln(2x+e-2)\right], \\ \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=2(2x+e-2)^{y-1}\ln(2x+e-2)[2+y\ln(2x+e-2)], \\ \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=(2x+e-2)^y\ln^3(2x+e-2) \end{align} }

i wstawiamy ich wartości w punkcie $\displaystyle (1,1)$ do wzoru, otrzymując

$\displaystyle d_{(1,1)}^{3}f(h,h,h)=0h_{1}^{3}+{\frac {12}{e}}h_{1}^{2}h_{2}+18h_{1}h_{2}^{2}+eh_{2}^{3}.$

c) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji $\displaystyle f(x,y)=x\mathrm {arctg} \,{y}-9y{\sqrt[{3}]{x}}$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned &\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=-\frac{10y}{3\sqrt[3]{x^8}}, && \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=\frac2{\sqrt[3]{x^5}}, \\ &\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=\frac{-2y}{(1+y^2)^2}, &\qquad& \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=\frac{2x(3y^2-1)}{(1+y^2)^3} \end{align} }

i wstawiamy ich wartości w punkcie $\displaystyle (1,1)$ do wzoru, otrzymując

$\displaystyle d_{(1,1)}^{3}f(h,h,h)=-{\frac {10}{3}}h_{1}^{3}+6h_{1}^{2}h_{2}-{\frac {3}{2}}h_{1}h_{2}^{2}+{\frac {1}{2}}h_{2}^{3}.$