Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\endaligned" na "\end{align}")
m (Zastępowanie tekstu - "\aligned" na "\begin{align}")
Linia 76: Linia 76:
 
jest równa <math>\displaystyle 0</math>
 
jest równa <math>\displaystyle 0</math>
  
<center><math>\displaystyle \aligned &0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac
 
{f(0+k,0+h)-f(0,0)-d_{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt
 
{f(0+k,0+h)-f(0,0)-d_{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt
 
{k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\frac
 
{k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\frac
Linia 115: Linia 115:
 
a) Obliczmy pochodne cząstkowe. Mamy
 
a) Obliczmy pochodne cząstkowe. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=2xy-\sin(x+y),\qquad
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=2xy-\sin(x+y),\qquad
 
\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac {\pi}{2},0\right)=-1; \\
 
\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac {\pi}{2},0\right)=-1; \\
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=x^2-\sin(x+y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=x^2-\sin(x+y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}
Linia 382: Linia 382:
 
<math>\displaystyle (1,-1)</math>. Mamy
 
<math>\displaystyle (1,-1)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=4x, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,-1)=4; \\
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=4x, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,-1)=4; \\
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=2y, \qquad \frac {\partial
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=2y, \qquad \frac {\partial
 
f}{\partial y}(1,-1)=-2.
 
f}{\partial y}(1,-1)=-2.
Linia 402: Linia 402:
 
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
 
<math>\displaystyle (1,1)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {4xy^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=1; \\
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {4xy^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=1; \\
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-4x^2y}{(x^2+y^2)^2},
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-4x^2y}{(x^2+y^2)^2},
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,1)=-1.
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,1)=-1.
Linia 422: Linia 422:
 
<math>\displaystyle (0,1)</math>. Mamy
 
<math>\displaystyle (0,1)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {2x}{x^2+y^2},
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {2x}{x^2+y^2},
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,1)=0; \\
 
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,1)=0; \\
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {2y}{x^2+y^2}, \qquad \frac
 
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {2y}{x^2+y^2}, \qquad \frac
Linia 462: Linia 462:
 
<math>\displaystyle f(2,-3)=-6-4+16-5=1</math> oraz <math>\displaystyle g(2,-3)=e^{-6+2+4}=1</math>, zatem punkt <math>\displaystyle (2,-3,1)</math> jest punktem wspólnym obu wykresów. Aby sprawdzić, czy wykresy funkcji <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> są styczne w tym punkcie należy wykazać, że płaszczyzny styczne do wykresów <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> w tym punkcie są identyczne. Obliczmy teraz wartości pochodnych cząstkowych
 
<math>\displaystyle f(2,-3)=-6-4+16-5=1</math> oraz <math>\displaystyle g(2,-3)=e^{-6+2+4}=1</math>, zatem punkt <math>\displaystyle (2,-3,1)</math> jest punktem wspólnym obu wykresów. Aby sprawdzić, czy wykresy funkcji <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> są styczne w tym punkcie należy wykazać, że płaszczyzny styczne do wykresów <math>\displaystyle f</math> i <math>\displaystyle g</math> w tym punkcie są identyczne. Obliczmy teraz wartości pochodnych cząstkowych
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}=y-2x+8, &\quad& \frac
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=y-2x+8, &\quad& \frac
 
{\partial f}{\partial x}(2,-3)=1;
 
{\partial f}{\partial x}(2,-3)=1;
 
\\
 
\\
Linia 499: Linia 499:
 
dowolną funkcję pierwotną funkcji <math>\displaystyle g(t)</math> tzn. <math>\displaystyle G'(t)=g(t)</math>. Mamy
 
dowolną funkcję pierwotną funkcji <math>\displaystyle g(t)</math> tzn. <math>\displaystyle G'(t)=g(t)</math>. Mamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{x\to
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{x\to
 
x_0}\frac {f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to
 
x_0}\frac {f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to
 
x_0}\frac{1}{x-x_0}\left(\int_x^{y_0}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt\right)
 
x_0}\frac{1}{x-x_0}\left(\int_x^{y_0}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt\right)
Linia 510: Linia 510:
 
Podobnie obliczamy
 
Podobnie obliczamy
  
<center><math>\displaystyle \aligned &\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{y\to
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{y\to
 
y_0}\frac {f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to
 
y_0}\frac {f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to
 
y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{x_0}^{y}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt
 
y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{x_0}^{y}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt
Linia 612: Linia 612:
 
Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa
 
Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa
  
<center><math>\displaystyle \aligned &d^2
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &d^2
 
_{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2
 
_{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2
 
\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y
 
\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y
Linia 636: Linia 636:
 
Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa
 
Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa
  
<center><math>\displaystyle \aligned &d^2
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} &d^2
 
_{(x,y,z)}f((k_1,h_1,l_1),(k_2,h_2,l_2))=\left[\begin{array} {ccc}k_2&h_2&l_2
 
_{(x,y,z)}f((k_1,h_1,l_1),(k_2,h_2,l_2))=\left[\begin{array} {ccc}k_2&h_2&l_2
 
\end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0
 
\end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0
Linia 710: Linia 710:
 
Niech <math>\displaystyle z=(z_1,z_2)=(x,y)</math>. Zastosujemy
 
Niech <math>\displaystyle z=(z_1,z_2)=(x,y)</math>. Zastosujemy
 
wzór
 
wzór
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
&d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)
 
&d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)
 
=\sum_{|\alpha|=3} \binom{3}{\alpha} \frac{\partial ^3}{\partial
 
=\sum_{|\alpha|=3} \binom{3}{\alpha} \frac{\partial ^3}{\partial
Linia 724: Linia 724:
 
a) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
 
a) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
 
<math>\displaystyle f(x,y)=5x^3+x^2y+3xy^2-y^3</math>:
 
<math>\displaystyle f(x,y)=5x^3+x^2y+3xy^2-y^3</math>:
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=30, && \frac{\partial^3
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=30, && \frac{\partial^3
 
f}{\partial x^2\partial y}=2, && \frac{\partial^3 f}{\partial
 
f}{\partial x^2\partial y}=2, && \frac{\partial^3 f}{\partial
Linia 738: Linia 738:
 
b) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
 
b) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
 
<math>\displaystyle f(x,y)=(2x+e-2)^y</math>:
 
<math>\displaystyle f(x,y)=(2x+e-2)^y</math>:
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=8y(y-1)(y-2)(2x+e-2)^{y-3}, \\
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=8y(y-1)(y-2)(2x+e-2)^{y-3}, \\
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=4(2x+e-2)^{y-2}\left[2y-1+y(y-1)\ln(2x+e-2)\right], \\
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=4(2x+e-2)^{y-2}\left[2y-1+y(y-1)\ln(2x+e-2)\right], \\
Linia 753: Linia 753:
 
c) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
 
c) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
 
<math>\displaystyle f(x,y)=x\mathrm{arctg}\,{y}-9y\sqrt[3]{x}</math>:
 
<math>\displaystyle f(x,y)=x\mathrm{arctg}\,{y}-9y\sqrt[3]{x}</math>:
<center><math>\displaystyle \aligned
+
<center><math>\displaystyle \begin{align}
 
&\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=-\frac{10y}{3\sqrt[3]{x^8}}, &&
 
&\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=-\frac{10y}{3\sqrt[3]{x^8}}, &&
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=\frac2{\sqrt[3]{x^5}}, \\
 
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=\frac2{\sqrt[3]{x^5}}, \\

Wersja z 12:42, 9 cze 2020

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Ćwiczenie 7.1.

Zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe i różniczka w punkcie funkcji

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \text{b) } f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt {x^2+y^2}} & \text {jeśli }(x,y)\neq 0, \\ 0, & \text {jeśli } (x,y)=0. \end{array} }

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.2.

Obliczyć różniczkę funkcji

a) w punkcie

b) w punkcie

c) w punkcie

d) w punkcie

e) w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.3.

Obliczyć różniczkę funkcji złożonej , gdy

a) , w punkcie

b) , w punkcie

c) , w punkcie,

d) , w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.4.

Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

a) w punkcie

b) w punkcie

b) w punkcie .

Rozwiązanie
Wskazówka

Ćwiczenie 7.5.

Wykazać, że wykresy funkcji i są styczne w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.6.

Niech będzie funkcją ciągłą. Obliczyć różniczkę funkcji

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.7.

a) Wyznaczyć jakobian odwzorowania

w dowolnym punkcie jego dziedziny.

b) Obliczyć jakobian odwzorowania

w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.8.

Obliczyć różniczkę rzędu drugiego funkcji

a)

b)

c)

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7.9.

Obliczyć wartość różniczki na trójce jednakowych wektorów , jeśli

a)

a)

b)

Wskazówka
Rozwiązanie