Tekst źródłowy strony Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 7: Różniczka. Różniczki wyższych rzędów. Wzór Taylora

==Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych==

{{cwiczenie|7.1.||
Zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe
i różniczka w punkcie <math>(0,0)</math>  funkcji

<math>
\text{a) } f(x,y)=\sqrt {|xy|}</math>,

<math>\text{b) } f(x,y)=\begin{cases}{ll}\frac{xy}{\sqrt {x^2+y^2}} & \text
{jeśli }(x,y)\neq 0, \\
0, & \text {jeśli } (x,y)=0.
\end{cases}
</math>

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Wykorzystać definicję różniczki i pochodnych cząstkowych.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Obliczmy pochodną cząstkową <math>\frac
{\partial f}{\partial x}(0,0)</math>. Mamy

<center><math>\frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac
{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0</math></center>

Podobnie obliczmy

<center><math>\frac {\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac
{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0</math></center>

Tak więc w punkcie <math>(0,0)</math> istnieją pochodne cząstkowe i są równe
zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji <math>f</math> w
punkcie <math>(0,0)</math>. Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka
funkcji <math>f</math> istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o
pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo
<math>0</math>, czyli <math>d_{(0,0)}f=0</math>. Z tego wynika, że następująca granica
jest równa

<center><math>0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {f(0+k,0+h)-f(0,0)-\partial
_{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt {k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\sqrt
{|kh|}}{\sqrt {k^2+h^2}}</math></center>

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu
<math>x_n=0,y_n=\frac 1n</math> dostajemy wartość graniczną <math>0</math>, natomiast
dla podciągu <math>x_n=y_n=\frac 1n</math> dostajemy <math>\frac {1}{\sqrt 2}</math>.
Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje
różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(0,0)</math> było fałszywe.<br>

b) Rozumujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie. Obliczmy
pochodną cząstkową <math>\frac {\partial f}{\partial x}(0,0)</math>. Mamy

<center><math>\frac {\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac
{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0</math></center>

Podobnie obliczmy

<center><math>\frac {\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac
{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0</math></center>

Tak więc w punkcie <math>(0,0)</math> istnieją pochodne cząstkowe i są równe
zero. Wykażemy teraz, że nie istnieje różniczka funkcji <math>f</math> w
punkcie <math>(0,0)</math>. Przypuśćmy, dla dowodu nie wprost, że różniczka
funkcji <math>f</math> istnieje. Wtedy na podstawie tego, co wiemy o
pochodnych cząstkowych, różniczka ta musi być równa tożsamościowo
<math>0</math>, czyli <math>d_{(0,0)}f=0</math>. Z tego wynika, że następująca granica
jest równa <math>0</math>

<center><math>\begin{align} &0=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac
{f(0+k,0+h)-f(0,0)-d_{(0,0)}f(k,h)}{\sqrt
{k^2+h^2}}=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {\frac
{kh}{\sqrt {k^2+h^2}}}{\sqrt {k^2+h^2}} \\
&=\lim_{(k,h)\to (0,0)}\frac {kh}{k^2+h^2}.
\end{align}
</math></center>

Zauważmy, że ostatnia granica nie istnieje, gdyż dla podciągu
<math>x_n=0,y_n=\frac 1n</math> dostajemy wartość graniczną <math>0</math>, natomiast
dla podciągu <math>x_n=y_n=\frac 1n</math> dostajemy <math>\frac {1}{2}</math>.
Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli nasze przypuszczenie, że istnieje
różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(0,0)</math> było fałszywe. </div></div>

{{cwiczenie|7.2.||
Obliczyć różniczkę funkcji

a) <math>f(x,y)=x^2y+\cos (x+y)</math> w punkcie <math>(\frac {\pi}{2},0)</math>

b) <math>f(x,y,z)=(x^3y^2z,x+y+z,\frac {xy}{z})</math> w punkcie <math>(1,-1,1)</math>

c) <math>f(x,y,z)=(x^y,y^z)</math> w punkcie <math>(1,1)</math>

d) <math>f(x)=(\ln x,\frac {1}{x^2},\arcsin x)</math> w punkcie <math>\frac 12</math>

e) <math>f(x,y,z)=\ln (x^2+y^2+z^2)</math> w punkcie <math>(1,1,1)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Wykorzystać związek różniczki z pochodnymi cząstkowymi.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Różniczka funkcji <math>f</math> jest reprezentowana przez macierz pochodnych cząstkowych tej funkcji.

a) Obliczmy pochodne cząstkowe. Mamy

<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=2xy-\sin(x+y),\qquad
\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac {\pi}{2},0\right)=-1; \\
&\frac {\partial f}{\partial y}=x^2-\sin(x+y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}
\left(\frac {\pi}{2},0\right)=\frac {\pi^2}{4}-1. \\
\end{align}
</math></center>

Tak więc różniczka funkcji jest równa

<center><math>d_{(\frac {\pi}{2},0)}f(k,h)=\left[\begin{array} {cc}-1&\frac
{\pi^2}{4}-1
\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k\\h
\end{array} \right]=-k+\left(\frac {\pi^2}{4}-1\right)h</math></center>

b) Postępujemy jak w poprzednim przykładzie. Funkcję <math>f</math> możemy zapisać jako zestawienie
<math>f(x,y,z)=(f^1(x,y,z),f^2(x,y,z),f^3(x,y,z))</math>,
gdzie <math>f^1(x,y,z)=x^3y^2z</math>, <math>f^2(x,y,z)=x+y+z</math>, <math>f^3(x,y,z)=\frac {xy}{z}</math>. Macierz pochodnych
cząstkowych funkcji <math>f</math> ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial f^1}{\partial x}&\frac
{\partial f^1}{\partial y}&\frac {\partial f^1}{\partial z}\\\frac
{\partial f^2}{\partial x}&\frac {\partial f^2}{\partial y}&\frac
{\partial f^2}{\partial z}\\\frac {\partial f^3}{\partial x}&\frac
{\partial f^3}{\partial y}&\frac {\partial f^3}{\partial z}
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}3x^2y^2z&2x^3yz&x^3y^2\\1&1&1\\
\frac {y}{z}&\frac {x}{z}&-\frac {xy}{z^2}
\end{array} \right]</math></center>

Mamy

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}3&-2&1\\1&1&1\\
-1&1&1\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k\\h\\l
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {c}3k-2h+l\\k+h+l\\-k+h+l
\end{array} \right]</math></center>

Tak więc różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(1,-1,1)</math> jest równa

<center><math>d_{(1,-1,1)}f(k,h,l)=(3k-2h+l,k+h+l,-k+h+l)</math></center>

c) Funkcję <math>f</math> możemy zapisać jako zestawienie
<math>f(x,y,z)=(f^1(x,y,z),f^2(x,y,z))</math>, gdzie
<math>f^1(x,y,z)=x^y</math>, <math>f^2(x,y,z)=y^z</math>. Macierz pochodnych
cząstkowych funkcji <math>f</math> ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial f^1}{\partial x}&\frac
{\partial f^1}{\partial y}&\frac {\partial f^1}{\partial z}\\\frac
{\partial f^2}{\partial x}&\frac {\partial f^2}{\partial y}&\frac
{\partial f^2}{\partial z}
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}yx^{y-1}&x^y\ln x&0\\0&zy^{z-1}&y^z\ln y
\end{array} \right]</math></center>

Mamy

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}1&0&0\\0&1&0\end{array} \right]
\left[\begin{array} {c}k\\h\\l
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {c}k\\h
\end{array} \right]</math></center>

Tak więc różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(1,1,1)</math> jest równa

<center><math>d_{(1,1,1)}f(k,h,l)=(k,h)</math></center>

d) Funkcję <math>f</math> możemy zapisać jako zestawienie
<math>f(x)=(f^1(x),f^2(x),f^3(x))</math>,
gdzie <math>f^1(x)=\ln x</math>, <math>f^2(x)=\frac {1}{x^2}</math>, <math>f^3(x)=\arcsin x</math>. Macierz pochodnych
cząstkowych funkcji <math>f</math> ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {c}\frac {\partial f^1}{\partial x}\\\frac
{\partial f^2}{\partial x}\\\frac {\partial f^3}{\partial x}
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}\frac 1x\\-\frac {2}{x^3}\\
\frac {1}{\sqrt {1-x^2}}
\end{array} \right]</math></center>

Mamy

<center><math>\left[\begin{array} {c}2\\-16\\
\frac {2}{\sqrt 3}\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {c}2k\\-16k\\\frac {2}{\sqrt 3}k
\end{array} \right]</math></center>

Tak więc różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>\frac 12</math> jest równa

<center><math>d_{\frac 12}f(k,h,l)=\left(2k,-16k,\frac {2}{\sqrt 3}k\right)</math></center>

e) Macierz pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial f}{\partial x}&\frac
{\partial f}{\partial y}&\frac {\partial f}{\partial z}
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}\frac {2x}{x^2+y^2+z^2}&\frac {2y}{x^2+y^2+z^2}&
\frac {2z}{x^2+y^2+z^2}
\end{array} \right]</math></center>

Tak więc różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(1,1,1)</math> jest równa

<center><math>d_{(1,1,1)}f(k,h,l)=\left[\begin{array} {ccc}\frac 23&\frac
23&\frac 23\end{array} \right] \left[\begin{array} {c}k\\h\\l
\end{array} \right]=\frac 23k+\frac 23h+\frac 23l</math></center>

</div></div>

{{cwiczenie|7.3.||
Obliczyć różniczkę funkcji złożonej
<math>h=g\circ f</math>, gdy

a) <math>f(x,y)=(x+y,xy)</math>, <math>g(x,y)=(\sin (x+y), \frac {x}{y+1})</math> w
punkcie <math>(0,\frac {\pi}{2})</math>,

b) <math>f(x,y)=x^2+y^2-2</math>, <math>g(x)=(\mathrm{tg}\, x,\arccos x^2)</math> w punkcie
<math>(1,1)</math>,

c) <math>f(x,y,z)=(\sin (x-y),\cos (x+y+z),-1)</math>, <math>g(x,y,z)=\frac
{x-y}{y-z}</math> w punkcie, <math>(0,0,0)</math>

d) <math>f(x,y)=\frac {xy}{x^2+y^2}</math>, <math>g(x)=(\ln x,\frac {x}{x+1},x^3)</math>
w punkcie <math>(1,1)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Różniczkę funkcji złożonej można przedstawić za pomocą macierzy, która powstanie przez pomnożenie odpowiednich macierzy pochodnych cząstkowych funkcji składowych.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Jeżeli <math>h=g\circ f</math>, to macierz reprezentująca różniczkę funkcji <math>h</math> powstaje z pomnożenia macierzy pochodnych cząstkowych funkcji <math>g</math> przez macierz
pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math>.
<br>

a) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> i <math>g</math>:

<center><math>\left[\begin{array} {cc}1&1\\y&x\end{array} \right]\quad {\rm
i}\quad \left[\begin{array} {cc}\cos (x+y)&\cos (x+y)\\\frac
{1}{y+1}&-\frac {x}{(y+1)^2}\end{array} \right]
</math></center>

Różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(0,\frac {\pi}{2})</math> jest
reprezentowana przez macierz

<center><math>\left[\begin{array} {cc}1&1\\\frac {\pi}{2}&0\end{array} \right]</math></center>

Różniczka funkcji <math>g</math> w punkcie <math>f(0,\frac {\pi}{2})=(\frac
{\pi}{2},0)</math> jest reprezentowana przez macierz

<center><math>\left[\begin{array} {cc}0&0\\1&-\frac {\pi}{2}\end{array} \right]</math></center>

Zatem różniczka funkcji <math>h</math> w punkcie <math>(0,\frac {\pi}{2})</math> ma
macierz

<center><math>\left[\begin{array} {cc}0&0\\1&-\frac
{\pi}{2}\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}1&1\\\frac
{\pi}{2}&0\end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}0&0\\1-\frac
{\pi^2}{4}&1\end{array} \right]</math></center>

b) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> i <math>g</math>:

<center><math>\left[\begin{array} {cc}2x&2y\end{array} \right] \quad {\rm i}\quad
\left[\begin{array} {c}\frac {1}{\cos^2 x}\\-\frac {1}{\sqrt
{1-x^4}}\end{array} \right]</math></center>

Różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(1,1)</math> jest reprezentowana przez
macierz
<math>
\left[\begin{array} {cc}2&2\end{array} \right]</math>
Różniczka funkcji <math>g</math> w punkcie <math>f(1,1)=0</math> jest reprezentowana
przez macierz
<math>
\left[\begin{array} {c}1\\-1\end{array} \right]</math>
Zatem macierzą różniczki funkcji <math>h</math> w punkcie <math>(1,1)</math> jest

<center><math>\left[\begin{array} {c}1\\-1\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2&2\end{array} \right]=
\left[\begin{array} {cc}2&2\\-2&-2\end{array} \right]</math></center>

c) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> i <math>g</math>:

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}\cos (x-y)&-\cos (x-y)&0\\-\sin
(x+y+z)&-\sin (x+y+z)&-\sin (x+y+z)\\0&0&0\end{array} \right] \quad
{\rm i}\quad \left[\begin{array}{ccc} \frac {1}{y-z}&\frac
{z-x}{(y-z)^2}&\frac {x-y}{(y-z)^2}\end{array} \right]</math></center>

Różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(0,0,0)</math> jest reprezentowana
przez macierz

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}1&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array} \right]</math></center>

Różniczka funkcji <math>g</math> w punkcie <math>f(0,0,0)=(0,1,-1)</math> jest
reprezentowana przez macierz

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}\frac {1}{2}&-\frac {1}{4}&-\frac
{1}{4}\end{array} \right]</math></center>

Zatem macierzą różniczki funkcji <math>h</math> w punkcie <math>(0,0,0)</math> jest

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}\frac {1}{2}&-\frac {1}{4}&-\frac
{1}{4}\end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}1&-1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array} \right]=
\left[\begin{array} {ccc}\frac {1}{2}&-\frac
{1}{2}&0\end{array} \right]</math></center>

d) Wyznaczamy macierze pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> i <math>g</math>:

<center><math>\left[\begin{array} {cc}\frac {y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2}&\frac
{x^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}\end{array} \right] \quad {\rm i}\quad
\left[\begin{array} {c}\frac {1}{x}\\\frac
{1}{(x+1)^2}\\3x^2\end{array} \right]</math></center>

Różniczka funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(1,1)</math> jest reprezentowana przez
macierz <math>\left[\begin{array} {cc}0&0\end{array} \right]</math>. Różniczka
funkcji <math>g</math> w punkcie <math>f(1,1)=\frac 12</math> jest reprezentowana przez
macierz

<center><math>\left[\begin{array} {c}2\\\frac {4}{9}\\\frac 34\end{array} \right]</math></center>

Zatem macierzą różniczki funkcji <math>h</math> w punkcie <math>(1,1)</math> jest

<center><math>\left[\begin{array} {c}2\\\frac {4}{9}\\\frac
34\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}0&0\end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}0&0\\
0&0\\0&0\end{array} \right]</math></center>

</div></div>

{{cwiczenie|7.4.||
Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do
wykresu funkcji

a) <math>f(x,y)=2x^2+y^2</math> w punkcie <math>(1,-1)</math>,

b) <math>f(x,y)=\frac {x^2-y^2}{x^2+y^2}</math> w punkcie <math>(1,1)</math>,

b) <math>f(x,y)=\ln (x^2+y^2)</math> w punkcie <math>(0,1)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji <math>f(x,y)</math> w punkcie <math>(x_0,y_0)</math> ma równanie

<center><math>z-f(x_0,y_0)=\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac
{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)</math></center>

a) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>(1,-1)</math>. Mamy

<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=4x, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,-1)=4; \\
&\frac {\partial f}{\partial y}=2y, \qquad \frac {\partial
f}{\partial y}(1,-1)=-2.
\end{align}
</math></center>

Skoro <math>f(1,-1)=3</math>, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(1,-1)</math> ma postać

<center><math>z-3=4(x-1)-2(y+1)</math>,</center>

czyli

<center><math>4x-2y-z=3</math></center>

b) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>(1,1)</math>. Mamy

<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {4xy^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad \frac {\partial f}{\partial x}(1,1)=1; \\
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {-4x^2y}{(x^2+y^2)^2},
\qquad \frac {\partial f}{\partial y}(1,1)=-1.
\end{align}
</math></center>

Skoro <math>f(1,1)=0</math>, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(1,1)</math> ma postać

<center><math>z=(x-1)-(y-1)</math>,</center>

czyli

<center><math>x-y-z=0</math></center>

c) Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji <math>f</math> w punkcie
<math>(0,1)</math>. Mamy

<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=\frac {2x}{x^2+y^2},
\qquad \frac {\partial f}{\partial x}(0,1)=0; \\
&\frac {\partial f}{\partial y}=\frac {2y}{x^2+y^2}, \qquad \frac
{\partial f}{\partial y}(0,1)=2.
\end{align}
</math></center>

Skoro <math>f(0,1)=0</math>, to równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji <math>f</math> w punkcie <math>(0,1)</math> ma postać

<center><math>z=0(x-0)+2(y-1)</math>,</center>

czyli

<center><math>2y-z=2</math></center>

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">Jaka jest interpretacja geometryczna różniczki?

</div></div>

{{cwiczenie|7.5.||
Wykazać, że wykresy funkcji
<math>f(x,y)=xy-x^2+8x-5</math> i <math>g(x,y)=e^{2y+x+4}</math> są styczne w punkcie
<math>(2,-3)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Wykorzystać definicję pochodnych cząstkowych. Dlaczego różniczka istnieje?

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Najpierw sprawdźmy, czy w punkcie <math>(2,-3)</math> wartości obu funkcji są takie same. Mamy
<math>f(2,-3)=-6-4+16-5=1</math> oraz <math>g(2,-3)=e^{-6+2+4}=1</math>, zatem punkt <math>(2,-3,1)</math> jest punktem wspólnym obu wykresów. Aby sprawdzić, czy wykresy funkcji <math>f</math> i <math>g</math> są styczne w tym punkcie należy wykazać, że płaszczyzny styczne do wykresów <math>f</math> i <math>g</math> w tym punkcie są identyczne. Obliczmy teraz wartości pochodnych cząstkowych

<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}=y-2x+8, &\quad& \frac
{\partial f}{\partial x}(2,-3)=1;
\\
&\frac {\partial f}{\partial y}=x,&& \frac
{\partial f}{\partial y}(2,-3)=2; \\
&\frac {\partial g}{\partial x}=e^{2y+x+4},&& \frac
{\partial g}{\partial x}(2,-3)=1;\\
&\frac {\partial g}{\partial y}=2e^{2y+x+4},&& \frac {\partial
g}{\partial y}(2,-3)=2.
\end{align}
</math></center>

Wynika stąd, że wykresy obu funkcji są styczne do siebie w naszym
punkcie, a ich wspólna płaszczyzna styczna ma równanie
<math>x+2y-z=-5</math>.

</div></div>

{{cwiczenie|7.6.||
Niech <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> będzie funkcją
ciągłą. Obliczyć różniczkę funkcji

<center><math>f(x,y)=\int_x^yg(t)dt</math></center>

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Wykorzystać definicję pochodnych cząstkowych. Dlaczego różniczka istnieje?

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Ustalmy punkt <math>(x_0,y_0)</math> i policzmy
pochodne cząstkowe funkcji <math>f</math> w tym punkcie. Niech <math>G(t)</math> oznacza
dowolną funkcję pierwotną funkcji <math>g(t)</math> tzn. <math>G'(t)=g(t)</math>. Mamy

<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{x\to
x_0}\frac {f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to
x_0}\frac{1}{x-x_0}\left(\int_x^{y_0}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt\right)
\\
&=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_x^{x_0}g(t)dt =\lim_{x\to
x_0}\frac{G(x_0)-G(x)}{x-x_0}=-G'(x_0)=-g(x_0).
\end{align}
</math></center>

Podobnie obliczamy

<center><math>\begin{align} &\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{y\to
y_0}\frac {f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to
y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{x_0}^{y}g(t)dt-\int_{x_0}^{y_0}g(t)dt
\\
&=\lim_{y\to y_0}\frac{1}{y-y_0}\int_{y_0}^yg(t)dt =\lim_{y\to
y_0}\frac{G(y)-G(y_0)}{y-y_0}=G'(y_0)=g(y_0).
\end{align}
</math></center>

Zauważmy, że z ciągłości funkcji <math>g</math> wynika ciągłość pochodnych
cząstkowych <math>\frac {\partial f}{\partial x}</math> i <math>\frac {\partial
f}{\partial y}</math>, a w szczególności różniczkowalność funkcji <math>f</math>.
Na mocy powyższych zależności różniczka funkcji <math>f</math> jest równa

<center><math>d_{(x_0,y_0)}f(k,h)=\left[\begin{array} {cc}-g(x_0)&g(y_0)\end{array} \right]
\left[\begin{array} {c}k\\h\end{array} \right]=-g(x_0)k+g(y_0)h</math></center>

</div></div>

{{cwiczenie|7.7.||
a) Wyznaczyć jakobian odwzorowania
<center><math>
\Psi: (0,\infty)\times \mathbb{R}\ni (r,\phi)\mapsto (r\cos\phi,
r\sin\phi)\in\mathbb{R}^2
</math></center>

w dowolnym punkcie jego dziedziny.

b) Obliczyć jakobian odwzorowania
<center><math>
f:\mathbb{R}^n\ni (x_1,\ldots,x_n)\mapsto \left(\frac12x_1^2,
x_1x_2,x_1x_3,\ldots,x_1x_n\right)\in\mathbb{R}^n
</math></center>

w punkcie <math>(1,1,\ldots,1)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Wyznaczyć macierz Jacobiego danego odwzorowania i policzyć jego wyznacznik.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
a) Macierz Jacobiego odwzorowania <math>\Psi</math> w dowolnym punkcie <math>(r,\phi)</math> ma postać
<center><math>
\left[\begin{array} {cc}\cos\phi& -r\sin\phi\\
\sin\phi& r\cos\phi\end{array} \right]</math></center>

Zatem jac<math>_{(r,\phi)}\Psi=r\cos^2\phi+r\sin^2\phi=r</math>.

b) Macierz Jacobiego odwzorowania <math>f</math> ma postać
<center><math>
\left[\begin{array} {ccccccc}x_1& 0&0&0&\cdots&0&0\\
x_2& x_1&0&0&\cdots&0&0\\
x_3&0&x_1&0&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\x_{n-1}&
0&0&0&\cdots&x_{1}&0\\ x_n&
0&0&0&\cdots&0&x_{1}\end{array} \right]</math></center>

Jest to macierz trójkątna, czyli jej wyznacznik jest ilorazem
wyrazów z przekątnej. Zatem jac<math>_{(x_1,x_2,\ldots,x_n)}f=(x_1)^n</math>, a
w szczególności jac<math>_{(1,1...,1)}f=1</math>.

</div></div>

{{cwiczenie|7.8.||
Obliczyć różniczkę rzędu drugiego
funkcji

a) <math>f(x,y)=x^2y^3</math>,

b) <math>f(x,y,z)=4x^2+5x^3+xyz</math>,

c) <math>f(x,y)=(xy,x^3+y^4)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Jaki jest związek między różniczką drugiego rzędu a pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu?

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Różniczkę rzędu drugiego funkcji
<math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> możemy utożsamić z macierzą utworzoną z
pochodnych cząstkowych rzędu drugiego tej funkcji.

a) Macierz pochodnych
cząstkowych rzędu drugiego funkcji <math>f</math> ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {cc}\frac {\partial^2 f}{\partial x^2}&\frac
{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\\\frac {\partial^2
f}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y
\end{array} \right]</math></center>

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji <math>f</math> jest równa

<center><math>\begin{align} &d^2
_{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2
\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}2y^3&6xy^2\\6xy^2&6x^2y
\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1
\end{array} \right] \\
&=2y^2k_1k_2+6xy^2k_2h_1+6xy^2k_1h_2+6x^2yh_1h_2.
\end{align}
</math></center>

b) Macierz pochodnych
cząstkowych rzędu drugiego funkcji <math>f</math> ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {ccc}\frac {\partial^ f}{\partial x^2}&\frac
{\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 f}{\partial
z\partial x}\\\frac {\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\frac
{\partial^2 f}{\partial y^2}&\frac {\partial^2 f}{\partial
y\partial z}\\\frac {\partial^2 f}{\partial z\partial x}&\frac
{\partial^2 f}{\partial z\partial y}&\frac {\partial^2 f}{\partial
z^2}\end{array} \right]=\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0
\end{array} \right]</math></center>

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji <math>f</math> jest równa

<center><math>\begin{align} &d^2
_{(x,y,z)}f((k_1,h_1,l_1),(k_2,h_2,l_2))=\left[\begin{array} {ccc}k_2&h_2&l_2
\end{array} \right]\left[\begin{array} {ccc}8+30x&z&y\\z&0&x\\y&x&0
\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1\\l_1
\end{array} \right] \\
& =(8+30x)k_1k_2+zk_1h_2+zk_2h_1+yk_1l_2+yk_2l_1+xh_1l_2+xh_2l_1.
\end{align}
</math></center>

c) Funkcję <math>f</math> możemy zapisać jako zestawienie <math>f=(g,h)</math>, gdzie
<math>g(x,y)=xy</math> a <math>h(x,y)=x^3+y^4</math>. Macierz pochodnych
cząstkowych rzędu drugiego funkcji <math>g</math> ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {cc}\frac {\partial^2 g}{\partial x^2}&\frac
{\partial^2 g}{\partial y\partial x}\\\frac {\partial^2
g}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 g}{\partial y^2}
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}0&1\\1&0
\end{array} \right]</math></center>

Tak więc różniczka rzędu drugiego funkcji <math>g</math> jest równa

<center><math>d^2 _{(x,y)}g((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2
\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}0&1\\1&0
\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1
\end{array} \right]=k_1h_2+k_2h_1</math></center>

Podobnie macierz pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji <math>h</math>
ma postać

<center><math>\left[\begin{array} {cc}\frac {\partial^2 h}{\partial x^2}&\frac
{\partial^2 h}{\partial y\partial x}\\\frac {\partial^2
h}{\partial y\partial x}&\frac {\partial^2 h}{\partial y^2}
\end{array} \right]=\left[\begin{array} {cc}6x&0\\0&12y^2
\end{array} \right]</math></center>

Stąd różniczka rzędu drugiego funkcji <math>f</math> jest równa

<center><math>d^2 _{(x,y)}g((k_1,h_1),(k_2,h_2))=\left[\begin{array} {cc}k_2&h_2
\end{array} \right]\left[\begin{array} {cc}6x&0\\0&12y^2
\end{array} \right]\left[\begin{array} {c}k_1\\h_1
\end{array} \right]=6xk_1k_2+12y^2h_1h_2</math></center>

Zatem różniczka rzędu drugiego funkcji <math>f</math> jest postaci

<center><math>d^2
_{(x,y)}f((k_1,h_1),(k_2,h_2))=(k_1h_2+k_2h_1,6xk_1k_2+12y^2h_1h_2)</math></center>

</div></div>

{{cwiczenie|7.9.||
Obliczyć wartość różniczki
<math>d_{(1,1)}^3f</math> na trójce jednakowych wektorów <math>h=(h_1,h_2)</math>, jeśli

a) <math>f(x,y)=5x^3+x^2y+3xy^2-y^3</math>,

a) <math>f(x,y)=(2x+e-2)^y</math>,

b) <math>f(x,y)=x\mathrm{arctg}\,{y}-9y\sqrt[3]{x}</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Jak można wyrazić wartość różniczki <math>n</math>-tego rzędu na <math>n</math>-tce takich samych wektorów?

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Niech <math>z=(z_1,z_2)=(x,y)</math>. Zastosujemy
wzór
<center><math>\begin{align}
&d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)
=\sum_{|\alpha|=3} \binom{3}{\alpha} \frac{\partial ^3}{\partial
z^\alpha} f(1,1)h^\alpha =\\&=
\frac{\partial
^3f}{\partial x^3} (1,1)h_1^3+3 \frac{\partial
^3f}{\partial x^2\partial y} (1,1)h_1^2h_2+3
\frac{\partial ^3f}{\partial x\partial y^2}
(1,1)h_1h_2^2+ \frac{\partial ^3f}{\partial y^3}
(1,1)h_2^3.
\end{align}</math></center>

a) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
<math>f(x,y)=5x^3+x^2y+3xy^2-y^3</math>:
<center><math>\begin{align}
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=30, && \frac{\partial^3
f}{\partial x^2\partial y}=2, && \frac{\partial^3 f}{\partial
x\partial y^2}=6, && \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=-6
\end{align}
</math></center>

i wstawiamy ich wartości w punkcie <math>(1,1)</math> do wzoru, otrzymując
<center><math>
d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)= 30h_1^3+6h_1^2h_2+18h_1h_2^2-6h_2^3</math></center>

b) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
<math>f(x,y)=(2x+e-2)^y</math>:
<center><math>\begin{align}
\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=8y(y-1)(y-2)(2x+e-2)^{y-3}, \\
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=4(2x+e-2)^{y-2}\left[2y-1+y(y-1)\ln(2x+e-2)\right], \\
\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}=2(2x+e-2)^{y-1}\ln(2x+e-2)[2+y\ln(2x+e-2)], \\
\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=(2x+e-2)^y\ln^3(2x+e-2)
\end{align}
</math></center>

i wstawiamy ich wartości w punkcie <math>(1,1)</math> do wzoru, otrzymując
<center><math>
d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)= 0h_1^3+\frac{12}eh_1^2h_2+18h_1h_2^2+eh_2^3</math></center>

c) Liczymy pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji
<math>f(x,y)=x\mathrm{arctg}\,{y}-9y\sqrt[3]{x}</math>:
<center><math>\begin{align}
&\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=-\frac{10y}{3\sqrt[3]{x^8}}, &&
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}=\frac2{\sqrt[3]{x^5}}, \\
&\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial
y^2}=\frac{-2y}{(1+y^2)^2}, &\qquad& \frac{\partial^3 f}{\partial
y^3}=\frac{2x(3y^2-1)}{(1+y^2)^3}
\end{align}
</math></center>

i wstawiamy ich wartości w punkcie <math>(1,1)</math> do wzoru, otrzymując
<center><math>
d^3 _{(1,1)} f(h, h,  h)= -\frac{10}3h_1^3+6h_1^2h_2-\frac32h_1h_2^2+\frac12h_2^3</math></center>

</div></div>