Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "<div class="thumb"><div style="width:(.*);"> <flash>file=(.*)\.swf\|width=(.*)\|height=(.*)<\/flash> <div\.thumbcaption>(.*)<\/div> <\/div><\/div>" na "$3x$4px|thumb|center|$5")
 
Linia 40: Linia 40:
  
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
|[[File:AM2_C_5.10.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(a)]]
<flash>file=AM2_C_5.10.swf|width=375|height=375</flash>
+
|[[File:AM2_C_5.20.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(b)]]
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(a)</div>
 
</div></div>
 
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 
<flash>file=AM2_C_5.20.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(b)</div>
 
</div></div>
 
 
|}
 
|}
  
Linia 63: Linia 57:
  
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
|[[File:AM2_C_5.30.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(c)]]
<flash>file=AM2_C_5.30.swf|width=375|height=375</flash>
+
|[[File:AM2_C_5.40.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(d)]]
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(c)</div>
 
</div></div>
 
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 
<flash>file=AM2_C_5.40.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(d)</div>
 
</div></div>
 
 
|}
 
|}
  
Linia 89: Linia 77:
  
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
|[[File:AM2_C_5.50.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(e)]]
<flash>file=AM2_C_5.50.swf|width=375|height=375</flash>
+
|[[File:AM2_C_5.60.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(f)]]
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(e)</div>
 
</div></div>
 
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 
<flash>file=AM2_C_5.60.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(f)</div>
 
</div></div>
 
 
|}
 
|}
  
Linia 112: Linia 94:
  
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
|[[File:AM2_C_5.70.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(g)]]
<flash>file=AM2_C_5.70.swf|width=375|height=375</flash>
+
|[[File:AM2_C_5.80.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(h)]]
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(g)</div>
 
</div></div>
 
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
 
<flash>file=AM2_C_5.80.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(h)</div>
 
</div></div>
 
 
|}
 
|}
  
Linia 128: Linia 104:
  
 
<center>
 
<center>
<div class="thumb"><div style="width:375px;">
+
[[File:AM2_C_5.90.svg|375x375px|thumb|center|Rysunek do ćwiczenia 6.1.(i)]]
<flash>file=AM2_C_5.90.swf|width=375|height=375</flash>
 
<div.thumbcaption>Rysunek do ćwiczenia 6.1.(i)</div>
 
</div></div>
 
 
</center>
 
</center>
  

Aktualna wersja na dzień 10:55, 3 paź 2021

Funkcje wielu zmiennych. Ciągłość. Pochodne cząstkowe

Ćwiczenie 6.1.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) ,

h) ,

i) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.2.

Obliczyć granice iterowane i granice funkcji (o ile istnieją)

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.3.

Zbadać ciągłość funkcji

Wskazówka
Rozwiązanie


Ćwiczenie 6.4.

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.5.

Udowodnić zależność między pochodną kierunkową a pochodnymi cząstkowymi

o ile one wszystkie istnieją i o ile pochodne cząstkowe są ciągłe. Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji

w kierunku wektora w punkcie ,

b) w kierunku wektora w punkcie ,

c) w kierunku wektora w punkcie .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.6.

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji złożonych

a) , gdzie jest funkcją różniczkowalną,

b) , gdzie jest funkcją różniczkowalną,

c) , gdzie jest funkcją różniczkowalną.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.7.

Sprawdzić, czy funkcja

a) spełnia równanie

b) spełnia równanie

c) , gdzie jest funkcją różniczkowalną, spełnia równanie

d) , gdzie funkcja ma pochodne cząstkowe, spełnia równanie

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.8.

Obliczyć

a) , gdzie ,

b) , gdzie ,

c) , gdzie

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6.9.

Dane równanie zapisać w nowych współrzędnych

Wskazówka
Rozwiązanie