Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ćwiczenie 4.1.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągów funkcyjnych:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {\sin x}{n}}$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ,$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)=(1-x)^{n}$ w przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,1].$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Zbadać (bezpośrednio z definicji), czy ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do swojej granicy punktowej.
(2) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Czy na podstawie postaci tej granicy punktowej można wnioskować o zbieżności jednostajnej?

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego ustalonego $\displaystyle x\in \mathbb {R}$ mamy

$\displaystyle {\bigg |}{\frac {\sin x}{n}}{\bigg |}\leq {\frac {1}{n}}\ \longrightarrow 0.$

Zatem

$\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)=0,$

to znaczy $\displaystyle f_{n}\longrightarrow f,$ gdzie $\displaystyle f\equiv 0.$

Aby sprawdzić, czy funkcja $\displaystyle f\equiv 0$ jest granicą jednostajną, obliczamy

$\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }{\big |}f_{n}(x)-f(x){\big |}=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\bigg |}{\frac {\sin x}{n}}{\bigg |}={\frac {1}{n}}\ \longrightarrow 0,$

zatem $\displaystyle f\rightrightarrows f\equiv 0$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$

Wykresy funkcji $f_{n}(x)={\frac {\sin x}{n}}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

Plik:Am2.m04.c.r02.svg Wykresy funkcji $f_{n}(x)={\frac {\sin x}{n}}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

(2) Dla dowolnego $\displaystyle x\in (0,1]$ mamy $\displaystyle 1-x\in [0,1),$ zatem:

$\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(x)=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }(1-x)^{n}=0,$

gdyż jest to ciąg geometryczny. Dla $\displaystyle x=0$ mamy $\displaystyle 1-x=1,$ zatem

$\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }f_{n}(0)=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }1=1.$

Zatem $\displaystyle f_{n}\longrightarrow f,$ gdzie

$\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}1&{\text{dla}}\displaystyle &x=0,\\0&{\text{dla}}\displaystyle &x\in (0,1].\end{array}}\right.$

Ponieważ funkcje $\displaystyle f_{n}$ są ciągłe dla $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ oraz ich granica punktowa $\displaystyle f$ nie jest funkcją ciągłą, więc $\displaystyle f_{n}\not \rightrightarrows f$ (patrz twierdzenie 4.13.).

Wykresy funkcji $f_{n}(x)=(1-x)^{n}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

Plik:Am2.m04.c.r04.svg Wykresy funkcji $f_{n}(x)=(1-x)^{n}$ dla $n=1,2,3,...$ oraz funkcji granicznej

Ćwiczenie 4.2.

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle f_{n}(x)={\frac {nx}{n^{2}+x^{2}}}$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$

Wskazówka

Obliczyć punktową granicę $\displaystyle f$ ciągu funkcyjnego. W celu zbadania zbieżności jednostajnej (z definicji) wyznaczyć największą wartość funkcji $\displaystyle |f_{n}-f|.$

Rozwiązanie

Dla dowolnego $\displaystyle x\in \mathbb {R}$ mamy

$\displaystyle {\big |}f_{n}(x){\big |}={\bigg |}{\frac {nx}{n^{2}+x^{2}}}{\bigg |}\leq {\bigg |}{\frac {nx}{n^{2}}}{\bigg |}={\bigg |}{\frac {x}{n}}{\bigg |}\ \rightarrow [n\rightarrow +\infty ]{}\ 0.$

Zatem $\displaystyle f_{n}\longrightarrow f\equiv 0.$

W celu zbadania, czy funkcja $\displaystyle f\equiv 0$ jest granicą jednostajną, należy obliczyć

$\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }{\big |}f_{n}(x)-f(x){\big |}=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\bigg |}{\frac {nx}{n^{2}+x^{2}}}{\bigg |}.$

W tym celu wyznaczmy wartość największą funkcji $\displaystyle |f_{n}|.$ Zauważmy, że funkcje $\displaystyle f_{n}$ są nieparzyste. Aby wyznaczyć ekstrema, obliczamy pochodną

$\displaystyle f_{n}'(x)={\frac {n(n^{2}+x^{2})-2nx^{2}}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}={\frac {n^{3}-nx^{2}}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}={\frac {n(n-x)(n+x)}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}.$

Zatem $\displaystyle f_{n}'(x)=0$ dla $\displaystyle x=n$ oraz $\displaystyle x=-n.$ Ponieważ $\displaystyle f_{n}(x)\geq 0{\text{dla}}\displaystyle x\geq 0,\displaystyle \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f_{n}(x)=0,$ więc funkcja $\displaystyle f_{n}$ ma maksimum globalne dla $\displaystyle x=n$ (i ponieważ jest nieparzysta, więc ma minimum globalne dla $\displaystyle x=-n$). Ponadto $\displaystyle \displaystyle f_{n}(n)={\frac {n^{2}}{n^{2}+n^{2}}}={\frac {1}{2}}.$ Zatem

$\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }{\big |}f_{n}(x)-f(x){\big |}={\frac {1}{2}}\not \longrightarrow 0,$

czyli $\displaystyle f_{n}\not \rightrightarrows f.$

Wykresy funkcji $f_{n}(x)={\frac {nx}{n^{2}+x^{2}}}$ dla $n=1,2,3,...$

Plik:Am2.m04.c.r06.svg Wykresy funkcji $f_{n}(x)={\frac {nx}{n^{2}+x^{2}}}$ dla $n=1,2,3,...$

Ćwiczenie 4.3.

Zbadać zbieżność (zbieżność jednostajną) szeregu funkcyjnego w podanym obszarze:
(1) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2+3n^{3}x^{2}}},\displaystyle x\in [a,+\infty )$ (gdzie $\displaystyle a>0,$)
(2) $\cdot$

Wskazówka

(1)-(2) Skorzystać kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.).

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

$\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ x\in [a,+\infty ):{\bigg |}{\frac {1}{2+3n^{3}x^{2}}}{\bigg |}\leq {\frac {1}{3n^{3}x^{2}}}\leq {\frac {1}{3a^{2}n^{3}}}$

oraz szereg liczbowy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3a^{2}n^{3}}}={\frac {1}{3a^{2}}}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \displaystyle \alpha =3>1$; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2+3n^{3}x^{2}}}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $\displaystyle \displaystyle [a,+\infty ).$
Odpowiedź: Szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2+3n^{3}x^{2}}}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $\displaystyle \displaystyle [a,+\infty ).$

(2) Ponieważ

$\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R} :{\bigg |}{\frac {\cos nx}{\sqrt[{3}]{n^{4}+x^{2}}}}{\bigg |}\leq {\frac {1}{\sqrt[{3}]{n^{4}+x^{2}}}}\leq {\frac {1}{n^{\frac {4}{3}}}}$

oraz szereg liczbowy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\frac {4}{3}}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \displaystyle \alpha ={\frac {4}{3}}>1$; patrz Analiza matematyczna 1 przykład 6.15.), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz twierdzenie 4.15.) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos nx}{\sqrt[{3}]{n^{4}+x^{2}}}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$
Odpowiedź: Szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos nx}{\sqrt[{3}]{n^{4}+x^{2}}}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$

Ćwiczenie 4.4.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx}{e^{nx}}}.$

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.), dla szeregu liczbowego przy ustalonym $\displaystyle x\in \mathbb {R} .$

Rozwiązanie

(1) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

$\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(n+1)x}{e^{(n+1)x}}}{\frac {e^{nx}}{nx}}={\frac {n+1}{n}}e^{-x},$

zatem

$\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n+1}{n}}e^{-x}=e^{-x}.$

Gdy $\displaystyle e^{-x}<1,$ czyli $\displaystyle x>0,$ to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest zbieżny.

Gdy $\displaystyle e^{-x}>1,$ czyli $\displaystyle x<0,$ to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz wniosek 7.2.) jest rozbieżny.

Pozostaje do sprawdzenia przypadek $\displaystyle x=0.$ Wówczas otrzymujemy szereg zerowy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }0,$ który jest zbieżny.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx}{e^{nx}}}$ jest przedział $\displaystyle \displaystyle [0,+\infty ).$

Ćwiczenie 4.5.

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+x^{n}}}.$

Wskazówka

Rozważyć osobno przypadki: $\displaystyle |x|>1,\displaystyle |x|<1,\displaystyle x=1$ i $\displaystyle x=-1.$ Skorzystać z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) oraz sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

Dla $\displaystyle |x|>1$ mamy

$\displaystyle |1+x^{n}|>|x|^{n}-1>|x|^{n}-{\frac {|x|^{n}}{2}}={\frac {|x|^{n}}{2}},$

zatem

$\displaystyle {\bigg |}{\frac {1}{1+x^{n}}}{\bigg |}<{\frac {2}{|x|^{n}}}.$

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{|x|^{n}}}=2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|x|^{n}}}$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (gdyż $\displaystyle |x|>1$), zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.), szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+x^{n}}}$ jest w tym przypadku zbieżny.

Dla $\displaystyle |x|<1$ mamy

$\displaystyle {\frac {1}{1+x^{n}}}>{\frac {1}{1-|x|}},$

a zatem szereg liczbowy nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Więc w tym przypadku szereg jest rozbieżny.

Dla $\displaystyle x=-1$ szereg nie jest określony.

Dla $\displaystyle x=1$ mamy szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}},$ który jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu jest $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} \setminus [-1,1].$

Ćwiczenie 4.6.

Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{3}+5x^{2}+13x+1$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)=\sin ^{2}x$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0.$
(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=0$:

$\displaystyle {\begin{array}{rlrl}f(x)&=x^{3}+5x^{2}+13x+1,&f(0)&=1,\\f'(x)&=3x^{2}+10x+13,&f'(0)&=13,\\f''(x)&=6x+10,&f''(0)&=10,\\f'''(x)&=6,&f'''(0)&=6,\\f^{(n)}(x)&=0,&f^{(n)}(0)&=0\quad {\text{dla}}\displaystyle \ n\geq 4.\end{array}}$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=f(0)+{\frac {1}{1!}}f'(0)x+{\frac {1}{2!}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{3!}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{4!}}f^{(4)}(0)x^{4}+\ldots \\&=1+13x+{\frac {10}{2}}x^{2}+{\frac {6}{6}}x^{3}=1+13x+5x^{2}+x^{3}.\end{aligned}}$

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest skończony oraz jest równy wyjściowemu wielomianowi, to znaczy $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla każdego $\displaystyle x\in \mathbb {R} .$ Nie jest to przypadek, jak zobaczymy na następnym wykładzie.

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$:

$\displaystyle {\begin{array}{rl}f(x)&=\sin ^{2}x,\\f'(x)&=2\sin x\cos x=\sin 2x,\\f''(x)&=2\cos 2x,\\f'''(x)&=-4\sin 2x,\\f^{(4)}(x)&=-8\cos 2x,\\f^{(5)}(x)&=16\sin 2x,\end{array}}$

oraz ogólnie dla $\displaystyle n\geq 1$ mamy

$\displaystyle f^{(n)}(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-2^{n-1}\cos 2x&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k,\\2^{n-1}\sin 2x&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k+1,\\2^{n-1}\cos 2x&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k+2,\\-2^{n-1}\sin 2x&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k+3,\\\end{array}}\right.$
$f^{(n)}(0)=\left\{{\begin{array}{lll}-2^{n-1}&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k,\\0&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k+1,\\2^{n-1}&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k+2,\\0&{\text{dla}}\displaystyle &n=4k+3,\\\end{array}}\right.$

lub krócej

$\displaystyle f^{(n)}(0)=\left\{{\begin{array}{lll}(-1)^{k+1}2^{2k-1}&{\text{dla}}\displaystyle &n=2k\\0&{\text{dla}}\displaystyle &n=2k+1.\\\end{array}}\right.$

Zatem szereg Maclaurina jest postaci

$\displaystyle S(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n)}}{n!}}x^{n}=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}2^{2k-1}}{(2k)!}}x^{2k}.$

Można dodatkowo sprawdzić, że obszarem zbieżności tego szeregu jest $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$ Na kolejnym wykładzie dowiemy się, że sumą tego szeregu jest wyjściowa funkcja $\displaystyle f(x)=\sin ^{2}x.$

Ćwiczenie 4.7.

Rozwinąć funkcję $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}$ w szereg Maclaurina.

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=0$:

$\displaystyle {\begin{array}{cclccl}f(x)&=\displaystyle {\frac {1}{1-x}},&f(0)&=1,\\\\f'(x)&=\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}},&f'(0)&=1!,\\\\f''(x)&=\displaystyle {\frac {1\cdot 2}{(1-x)^{3}}},&f''(0)&=2!,\\\\f'''(x)&=\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3}{(1-x)^{4}}},&f'''(0)&=3!,\\\\f^{(n)}(x)&=\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n}{(1-x)^{n}}},&f^{(n)}(0)&=n!\quad {\text{dla}}\displaystyle \ n\geq 1.\end{array}}$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=f(0)+{\frac {1}{1!}}f'(0)x+{\frac {1}{2!}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{3!}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{4!}}f^{(4)}(0)x^{4}+\ldots \\&=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots =\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}.\end{aligned}}$

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest szeregiem geometrycznym (dla każdego $\displaystyle x\in \mathbb {R}$) oraz jego obszarem zbieżności jest przedział $\displaystyle \displaystyle (-1,1).$ Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, widzimy także, że $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla $\displaystyle x\in (-1,1)$

Ćwiczenie 4.8.

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w punkcie $\displaystyle x_{0}$:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{3}+5x^{2}+13x+1,\displaystyle x_{0}=1,$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},\displaystyle x_{0}=3.$

Wskazówka

(1)-(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_{0}$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=1$:

$\displaystyle {\begin{array}{rlrl}f(x)&=x^{3}+5x^{2}+13x+1,&f(1)&=20,\\f'(x)&=3x^{2}+10x+13,&f'(1)&=26,\\f''(x)&=6x+10,&f''(1)&=16,\\f'''(x)&=6,&f'''(1)&=6,\\f^{(n)}(x)&=0,&f^{(n)}(1)&=0\quad {\text{dla}}\displaystyle \ n\geq 4.\end{array}}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=f(0)+{\frac {1}{1!}}f'(0)(x-1)+{\frac {1}{2!}}f''(0)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}f'''(0)(x-1)^{3}+{\frac {1}{4!}}f^{(4)}(0)(x-1)^{4}+\ldots \\&=20+26(x-1)+{\frac {16}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {6}{6}}(x-1)^{3}\\&=20+26(x-1)+8(x-1)^{2}+(x-1)^{3}.\end{aligned}}$

Zauważmy, że otrzymany szereg Taylora jest skończony (czyli jest wielomianem), więc jego obszarem zbieżności jest $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$ Oczywiście, gdybyśmy wykonali działania w powyższym wielomianie, to otrzymalibyśmy postać w jakiej podana była funkcja $\displaystyle f,$ zatem $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla $\displaystyle x\in \mathbb {R} .$

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=3$:

$\displaystyle {\begin{array}{cclccl}f(x)&=\displaystyle {\frac {1}{x}},&f'(3)&=\displaystyle {\frac {1}{3^{1}}}={\frac {0!}{3^{1}}},\\\\f'(x)&=\displaystyle {\frac {-1}{x^{2}}},&f''(3)&=\displaystyle {\frac {-1}{3^{2}}}={\frac {-1!}{3^{2}}},\\\\f''(x)&=\displaystyle {\frac {1\cdot 2}{x^{3}}},&f'''(3)&=\displaystyle {\frac {2!}{3^{3}}},\\\\f'''(x)&=\displaystyle {\frac {-1\cdot 2\cdot 3}{x^{4}}},&f^{(4)}(3)&=\displaystyle {\frac {-3!}{3^{4}}},\\\\f^{(n)}(x)&=\displaystyle {\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}},&f^{(n)}(3)&=\displaystyle {\frac {(-1)^{n}n!}{3^{n+1}}}\quad {\text{dla}}\displaystyle \ n\geq 0.\end{array}}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(3)}{n!}}(x-3)^{n}\\&=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{3^{n+1}n!}}(x-3)^{n}\\&=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(x-3)^{n}}{3^{n+1}}}\end{aligned}}$

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $\displaystyle \displaystyle (0,6).$

Ćwiczenie 4.9.

Rozwinąć funkcję $\displaystyle \displaystyle f(x)=\ln x$ w szereg Taylora o środku w punkcie $\displaystyle x_{0}=1.$

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_{0}$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=1$:

$\displaystyle {\begin{array}{cclccl}f(x)&=\displaystyle \ln x,&f(1)&=0,\\\\f'(x)&=\displaystyle {\frac {1}{x}},&f'(1)&=1=0!,\\\\f''(x)&=\displaystyle {\frac {-1}{x^{2}}},&f''(1)&=-1=-1!,\\\\f'''(x)&=\displaystyle {\frac {1\cdot 2}{x^{3}}},&f'''(1)&=2!,\\\\f^{(4)}(x)&=\displaystyle {\frac {-1\cdot 2\cdot 3}{x^{4}}},&f^{(4)}(1)&=-3!,\\\\f^{(n)}(x)&=\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}},&f^{(n)}(1)&=(-1)^{n-1}(n-1)!\quad {\text{dla}}\displaystyle \ n\geq 1.\end{array}}$

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

$\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}}(x-1)^{n}\\&=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}}(x-1)^{n}\\&=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(x-1)^{n}}{n}}\end{aligned}}$

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $\displaystyle \displaystyle (0,2].$