Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 4: Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora

Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Taylora. Ćwiczenia

Ćwiczenie

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągów funkcyjnych:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {\sin x}{n}}$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)=(1-x)^{n}$ w przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,1].$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Zbadać (bezpośrednio z definicji), czy ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do swojej granicy punktowej.
(2) Wyznaczyć granicę punktową tego ciągu funkcyjnego. Czy na podstawie postaci tej granicy punktowej można wnioskować o zbieżności jednostajnej?

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego ustalonego $\displaystyle x\in \mathbb {R} ,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\frac{\sin x}{n}\bigg| \ \le\ \frac{1}{n} \ \longrightarrow\ 0. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in\mathbb{R}:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ 0 }

to znaczy $\displaystyle f_{n}\longrightarrow f,$ gdzie $\displaystyle f\equiv 0.$

Aby sprawdzić, czy funkcja $\displaystyle f\equiv 0$ jest granicą jednostajną, obliczamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \sup_{x\in \mathbb{R}} \bigg|\frac{\sin x}{n}\bigg| \ =\ \frac{1}{n} \ \longrightarrow\ 0, }

zatem $\displaystyle f\rightrightarrows f\equiv 0$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$
{ Rysunek AM2.M04.C.R01 (stary numer AM2.2.10a)}
{ Rysunek AM2.M04.C.R02 (stary numer AM2.2.10b) animacja}
(2) Dla dowolnego $\displaystyle x\in (0,1]$ mamy, $\displaystyle 1-x\in [0,1),$ zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (1-x)^n \ =\ 0, }

gdyż jest to ciąg geometryczny. Dla $\displaystyle x=0,$ mamy $\displaystyle 1-x=1,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} f_n(0) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1 \ =\ 1. }

Zatem $\displaystyle f_{n}\longrightarrow f,$ gdzie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 1 & \textrm{dla} \displaystyle & x=0,\\ 0 & \textrm{dla} \displaystyle & x\in(0,1]. \end{array} \right. }

Ponieważ funkcje $\displaystyle f_{n}$ są ciągłe dla $\displaystyle n\in \mathbb {N}$ oraz ich granica punktowa $\displaystyle f$ nie jest funkcją ciągłą, więc $\displaystyle f_{n}\not \rightrightarrows f$ (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.130|).
{ Rysunek AM2.M04.C.R03 (stary numer AM2.2.11a)}
{ Rysunek AM2.M04.C.R04 (stary numer AM2.2.11b) animacja}

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Zbadać zbieżność (oraz rodzaj zbieżności) ciągu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle f_{n}(x)={\frac {nx}{n^{2}+x^{2}}}$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$

Wskazówka

Obliczyć punktową granicę $\displaystyle f$ ciągu funkcyjnego. W celu zbadania zbieżności jednostajnej (z definicji) wyznaczyć największą wartość funkcji $\displaystyle |f_{n}-f|.$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Dla dowolnego $\displaystyle x\in \mathbb {R} ,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big|f_n(x)\big| \ =\ \bigg|\frac{nx}{n^2+x^2}\bigg| \ \le\ \bigg|\frac{nx}{n^2}\bigg| \ =\ \bigg|\frac{x}{n}\bigg| \ \xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}\ 0. }

Zatem $\displaystyle f_{n}\longrightarrow f\equiv 0.$

W celu zbadania czy funkcja $\displaystyle f\equiv 0$ jest granicą jednostajną należy obliczyć

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \sup_{x\in \mathbb{R}} \bigg|\frac{nx}{n^2+x^2}\bigg|. }

W tym celu wyznaczmy wartość największą funkcji $\displaystyle |f_{n}|.$ Zauważmy, że funkcje $\displaystyle f_{n}$ są nieparzyste. Aby wyznaczyć ekstrema obliczamy pochodną

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f_n'(x) \ =\ \frac{n(n^2+x^2)-2nx^2}{(n^2+x^2)^2} \ =\ \frac{n^3-nx^2}{(n^2+x^2)^2} \ =\ \frac{n(n-x)(n+x)}{(n^2+x^2)^2}. }

Zatem $\displaystyle f_{n}'(x)=0$ dla $\displaystyle x=n$ oraz $\displaystyle x=-n.$ Ponieważ $\displaystyle f_{n}(x)\geq 0$ dla $\displaystyle x\geq 0,\displaystyle \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f_{n}(x)=0,$ więc funkcja $\displaystyle f_{n}$ ma maksimum globalne dla $\displaystyle x=n$ (i ponieważ jest nieparzysta, więc ma minimum globalne dla $\displaystyle x=-n$). Ponadto $\displaystyle \displaystyle f_{n}(n)={\frac {n^{2}}{n^{2}+n^{2}}}={\frac {1}{2}}.$ Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \sup_{x\in \mathbb{R}} \big|f_n(x)-f(x)\big| \ =\ \frac{1}{2} \not\longrightarrow 0, }

czyli $\displaystyle f_{n}\not \rightrightarrows f.$
{ Rysunek AM2.M04.C.R05 (stary numer AM2.2.12a)}
{ Rysunek AM2.M04.C.R06 (stary numer AM2.2.12b) animacja}

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Zbadać zbieżność (zbieżność jednostajną) szeregu funkcyjnego w podanym obszarze:
(1) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2+3n^{3}x^{2}}},\displaystyle x\in [a,+\infty )$ (gdzie $\displaystyle a>0$)
(2) $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos nx}{\sqrt[{3}]{n^{4}+x^{2}}}},\displaystyle x\in \mathbb {R}$

Wskazówka

(1)--(2) Skorzystać kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.150|).

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in[a,+\infty):\ \bigg|\frac{1}{2+3n^3x^2}\bigg| \ \le\ \frac{1}{3n^3x^2} \ \le\ \frac{1}{3a^2n^3} }

oraz szereg liczbowy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3a^{2}n^{3}}}={\frac {1}{3a^{2}}}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \displaystyle \alpha =3>1$; patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.06.150|), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.150|) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2+3n^{3}x^{2}}}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $\displaystyle \displaystyle [a,+\infty ).$
Odpowiedź: Szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2+3n^{3}x^{2}}}$ jest zbieżny jednostajnie w obszarze $\displaystyle \displaystyle [a,+\infty ).$

(2) Ponieważ

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ x\in\mathbb{R}:\ \bigg|\frac{\cos nx}{\sqrt[3]{n^4+x^2}}\bigg| \ \le\ \frac{1}{\sqrt[3]{n^4+x^2}} \ \le\ \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}} }

oraz szereg liczbowy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\frac {4}{3}}}}$ jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem $\displaystyle \displaystyle \alpha ={\frac {4}{3}}>1$; patrz Przykład AM1.Uzupelnic p.new.am1.w.06.150|), więc na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów funkcyjnych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.150|) wnioskujemy, że szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos nx}{\sqrt[{3}]{n^{4}+x^{2}}}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$
Odpowiedź: Szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos nx}{\sqrt[{3}]{n^{4}+x^{2}}}}$ jest zbieżny jednostajnie w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx}{e^{nx}}}.$

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium d'Alemberta (patrz Wniosek AM1.Uzupelnic w.new.am1.w.07.020|), dla szeregu liczbowego przy ustalonym $\displaystyle x\in \mathbb {R} .$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \frac{(n+1)x}{e^{(n+1)x}}\frac{e^{nx}}{nx} \ =\ \frac{n+1}{n}e^{-x}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n+1}{n}e^{-x} \ =\ e^{-x}. }

Gdy $\displaystyle e^{-x}<1,$ czyli $\displaystyle x>0,$ to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz Wniosek AM1.Uzupelnic w.new.am1.w.07.020|) jest zbieżny.

Gdy $\displaystyle e^{-x}>1,$ czyli $\displaystyle x<0,$ to szereg na mocy kryterium d'Alemberta (patrz Wniosek AM1.Uzupelnic w.new.am1.w.07.020|) jest rozbieżny.

Pozostaje do sprawdzenia przypadek $\displaystyle x=0.$ Wówczas otrzymujemy szereg zerowy $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }0,$ który jest zbieżny.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx}{e^{nx}}}$ jest przedział $\displaystyle \displaystyle [0,+\infty ).$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Zbadać obszar zbieżności szeregu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+x^{n}}}.$

Wskazówka

Rozważyć osobno przypadki: $\displaystyle |x|>1,\displaystyle |x|<1,\displaystyle x=1$ i $\displaystyle x=-1.$ Skorzystać z kryterium porównawczego (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|) oraz sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregów.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Dla $\displaystyle |x|>1,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle |1+x^n| \ >\ |x|^n-1 \ >\ |x|^n-\frac{|x|^n}{2} \ =\ \frac{|x|^n}{2}, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \bigg|\frac{1}{1+x^n}\bigg| \ <\ \frac{2}{|x|^n}. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{|x|^{n}}}=2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|x|^{n}}}$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym (gdyż $\displaystyle |x|>1$), zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz Twierdzenie AM1.Uzupelnic t.new.am1.w.06.090|), szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+x^{n}}}$ jest w tym przypadku zbieżny.

Dla $\displaystyle |x|<1,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{1+x^n} \ >\ \frac{1}{1-|x|} }

a zatem szereg liczbowy nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów. Więc w tym przypadku szereg jest rozbieżny.

Dla $\displaystyle x=-1$ szereg nie jest określony.

Dla $\displaystyle x=1$ mamy szereg $\displaystyle \displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}},$ który jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów.
Odpowiedź: Obszarem zbieżności szeregu jest $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} \setminus [-1,1].$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{3}+5x^{2}+13x+1$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)=\sin ^{2}x$

Wskazówka

(1) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0.$
(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=0$:

$\displaystyle {\begin{array}{cclccl}f(x)&=x^{3}+5x^{2}+13x+1&f(0)&=1,\\f'(x)&=3x^{2}+10x+13&f'(0)&=13,\\f''(x)&=6x+10&f''(0)&=10,\\f'''(x)&=6&f'''(0)&=6,\\f^{(n)}(x)&=0&f^{(n)}(0)&=0\quad {\textrm {dla}}\displaystyle \ n\geq 4.\end{array}}$

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)x +\frac{1}{2!}f''(0)x^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 +\ldots\\ &= 1+13x+\frac{10}{2}x^2+\frac{6}{6}x^3 \ =\ 1+13x+5x^2+x^3. \endaligned}

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest skończony oraz jest równy wyjściowemu wielomianowi, to znaczy $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla każdego $\displaystyle x\in \mathbb {R} .$ Nie jest to przypadek, jak zobaczymy na następnym wykładzie.

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$:

$\displaystyle {\begin{array}{ccl}f(x)&=\sin ^{2}x,\\f'(x)&=2\sin x\cos x=\sin 2x,\\f''(x)&=2\cos 2x,\\f'''(x)&=-4\sin 2x,\\f^{(4)}(x)&=-8\cos 2x,\\f^{(5)}(x)&=16\sin 2x,\end{array}}$

oraz ogólnie dla $\displaystyle n\geq 1,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f^{(n)}(x) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -2^{n-1}\cos 2x & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k,\\ 2^{n-1}\sin 2x & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k+1,\\ 2^{n-1}\cos 2x & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k+2,\\ -2^{n-1}\sin 2x & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k+3,\\ \end{array} \right. \qquad f^{(n)}(0) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -2^{n-1} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k,\\ 0 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k+1,\\ 2^{n-1} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k+2,\\ 0 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=4k+3,\\ \end{array} \right. }

lub krócej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f^{(n)}(0) \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} (-1)^{k+1}2^{2k-1} & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=2k\\ 0 & } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & n=2k+1.\\ \end{array} \right. }

Zatem szereg Maclaurina jest postaci

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}x^n \ =\ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}2^{2k-1}}{(2k)!}x^{2k}. }

Można dodatkowo sprawdzić, że obszarem zbieżności tego szeregu jest $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$ Na kolejnym wykładzie dowiemy się, że sumą tego szeregu jest wyjściowa funkcja $\displaystyle f(x)=\sin ^{2}x.$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozwinąć funkcję $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}$ w szereg Maclaurina.

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w $\displaystyle 0$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=0$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x) &= \displaystyle\frac{1}{1-x}, & f(0) &= 1,\\ \\ f'(x) &= \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}, & f'(0) &= 1!,\\ \\ f''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{(1-x)^3}, & f''(0) &= 2!,\\ \\ f'''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot 3}{(1-x)^4}, & f'''(0) &= 3!,\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot\ldots \cdot n}{(1-x)^n}, & f^{(n)}(0) &= n!\quad } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ n\ge 1. \end{array} }

Podstawiając do wzoru na szereg Maclaurina, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)x +\frac{1}{2!}f''(0)x^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)x^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)x^4 +\ldots\\ &= 1+x+x^2+x^3+\ldots \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n. \endaligned}

Zauważmy, że otrzymany szereg Maclaurina jest szeregiem geometrycznym (dla każdego $\displaystyle x\in \mathbb {R}$) oraz jego obszarem zbieżności jest przedział $\displaystyle \displaystyle (-1,1).$ Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, widzimy także, że $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla $\displaystyle x\in (-1,1)$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozwinąć następujące funkcje w szereg Taylora o środku w punkcie $\displaystyle x_{0}$:
(1) $\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{3}+5x^{2}+13x+1,\displaystyle x_{0}=1$
(2) $\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},\displaystyle x_{0}=3$

Wskazówka

(1)--(2) Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_{0}$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=1$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x) &= x^3+5x^2+13x+1 & f(1) &= 20,\\ f'(x) &= 3x^2+10x+13 & f'(1) &= 26,\\ f''(x) &= 6x+10 & f''(1) &= 16,\\ f'''(x) &= 6 & f'''(1) &= 6,\\ f^{(n)}(x) &= 0 & f^{(n)}(1) &= 0\quad } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ n\ge 4. \end{array} }

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned S(x) &= f(0) +\frac{1}{1!}f'(0)(x-1) +\frac{1}{2!}f''(0)(x-1)^2 +\frac{1}{3!}f'''(0)(x-1)^3 +\frac{1}{4!}f^{(4)}(0)(x-1)^4 +\ldots\\ &= 20+26(x-1)+\frac{16}{2}(x-1)^2+\frac{6}{6}(x-1)^3\\ &= 20+26(x-1)+8(x-1)^2+(x-1)^3. \endaligned}

Zauważmy, że otrzymany szereg Taylora jest skończony (czyli jest wielomianem), więc jego obszarem zbieżności jest $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} .$ Oczywiście gdybyśmy wykonali działania w powyższym wielomianie to otrzymalibyśmy postać w jakiej podana była funkcja $\displaystyle f,$ zatem $\displaystyle S(x)=f(x)$ dla $\displaystyle x\in \mathbb {R} .$

(2) Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=3$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x) &= \displaystyle\frac{1}{x}, & f'(3) &= \displaystyle\frac{1}{3^1}\ =\ \frac{0!}{3^1},\\ \\ f'(x) &= \displaystyle\frac{-1}{x^2}, & f''(3) &= \displaystyle\frac{-1}{3^2}\ =\ \frac{-1!}{3^2},\\ \\ f''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{x^3}, & f'''(3) &= \displaystyle\frac{2!}{3^3},\\ \\ f'''(x) &= \displaystyle\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4}, & f^{(4)}(3) &= \displaystyle\frac{-3!}{3^4},\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}, & f^{(n)}(3) &= \displaystyle\frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}}\quad } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ n\ge 0. \end{array} }

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^n\\ \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}n!}(x-3)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-3)^n}{3^{n+1}} }

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $\displaystyle \displaystyle (0,6).$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Rozwinąć funkcję $\displaystyle \displaystyle f(x)=\ln x$ w szereg Taylora o środku w punkcie $\displaystyle x_{0}=1.$

Wskazówka

Wyznaczyć kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle x_{0}$ oraz wyprowadzić ogólny wzór na $\displaystyle f^{(n)}(0).$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji $\displaystyle f$ oraz pochodne dla $\displaystyle x_{0}=1$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{array}”): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {cclccl} f(x) &= \displaystyle\ln x, & f(1) &= 0,\\ \\ f'(x) &= \displaystyle\frac{1}{x}, & f'(1) &= 1\ =\ 0!,\\ \\ f''(x) &= \displaystyle\frac{-1}{x^2}, & f''(1) &= -1\ =\ -1!,\\ \\ f'''(x) &= \displaystyle\frac{1\cdot 2}{x^3}, & f'''(1) &= 2!,\\ \\ f^{(4)}(x) &= \displaystyle\frac{-1\cdot 2\cdot 3}{x^4}, & f^{(4)}(1) &= -3!,\\ \\ f^{(n)}(x) &= \displaystyle\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}, & f^{(n)}(1) &= (-1)^{n-1}(n-1)!\quad } dla Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \ n\ge 1. \end{array} }

Podstawiając do wzoru na szereg Taylora, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle S(x) \ =\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n\\ \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}(x-1)^n \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n} }

Łatwo sprawdzić, że obszarem zbieżności powyższego szeregu jest przedział $\displaystyle \displaystyle (0,2].$

{}$\displaystyle \Box$