Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 3: Norma. Iloczyn skalarny

Norma. Iloczyn skalarny. Ćwiczenia

Ćwiczenie

W przestrzeni wektorowej $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}$ definiujemy:

$\displaystyle \|x\|_{2}{\stackrel {df}{=}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}},\qquad \|x\|_{1}{\stackrel {df}{=}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,\qquad \|x\|_{\infty }{\stackrel {df}{=}}\max _{1\leq i\leq N}|x_{i}|\quad$ dla $\displaystyle \ x\in \mathbb {R} ^{N}.$

Pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{2},\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ są normami (nazywamy je odpowiednio normą euklidesową, normą taksówkową oraz normą maksimową).

Wskazówka

(1) Pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{2}$ jest normą wprost z definicji normy. Przy dowodzie subaddytywności wykorzystać nierówność Cauchy'ego (patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|.
(2)--(3) Pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ i $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ są normami, korzystając z definicji normy.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{2}$ jest normą.
Dla $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2=0 \ \Longleftrightarrow\ \sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2}=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{i=1}^N x_i^2=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_2 \ =\ \sqrt{\sum_{i=1}^N (\lambda x_i)^2} \ =\ \sqrt{\lambda^2\sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ |\lambda|\sqrt{\sum_{i=1}^N x_i^2} \ =\ |\lambda|\|x\|_2 }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{N},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_2 \ =\ \sum_{i=1}^N(x_i+y_i)^2 \ =\ \sum_{i=1}^N (x_i^2+2x_iy_i+y_i^2) \ =\ \sum_{i=1}^Nx_i^2+ 2\sum_{i=1}^Nx_iy_i +\sum_{i=1}^Ny_i^2. }

Korzystając z nierówności Cauchy'ego (która była udowodniona na Analizie Matematycznej 1; patrz Lemat AM1.Uzupelnic l.new.am1.w.03.080|)

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\ \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_iy_i\bigg)^2 \ \le\ \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2\bigg) \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N y_i^2\bigg) }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_2^2 \ \le\ \sum_{i=1}^Nx_i^2+ 2\bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i^2\bigg) \bigg(\displaystyle \sum_{i=1}^N y_i^2\bigg) +\sum_{i=1}^Ny_i^2 \ =\ \bigg(\sum_{i=1}^Nx_i^2+\sum_{i=1}^Ny_i^2\bigg) \ =\ \big(\|x\|_2+\|y\|_2\big)^2, }

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\ \|x+y\|_2 \ \le\ \|x\|_2+\|y\|_2. }

co kończy dowód.

(2) Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ jest normą.
Dla $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1=0 \ \Longleftrightarrow\ \sum_{i=1}^N |x_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N |\lambda x_i| \ =\ |\lambda|\sum_{i=1}^N |x_i| \ =\ |\lambda|\|x\|_1 }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{N},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i+y_i| \ \le\ \sum_{i=1}^N\big(|x_i|+|y_i|\big) \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i| +\sum_{i=1}^N|y_i| \ =\ \|x\|_1+\|y\|_1. }

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności, co kończy dowód.

(3) Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ jest normą.
Dla $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty}=0 \ \Longleftrightarrow\ \max_{i=1,\ldots,N} |x_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ x_1=\ldots=x_N=0 \ \Longleftrightarrow\ x=\Theta. }

Dla $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots,N} |\lambda x_i| \ =\ |\lambda|\max_{i=1,\ldots,N} |x_i| \ =\ |\lambda|\|x\|_{\infty} }

zatem pokazaliśmy warunek jednorodności.

W końcu dla dowolnych $\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{N},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots,N} |x_i+y_i| \ \le\ \max_{i=1,\ldots,N}\big(|x_i|+|y_i|\big) \ \le\ \max_{i=1,\ldots,N}|x_i| +\max_{i=1,\ldots,N}|y_i| \ =\ \|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}. }

zatem pokazaliśmy warunek subaddytywności, co kończy dowód.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Pokazać, że norma euklidesowa zadaje metrykę euklidesową, norma taksówkowa zadaje metrykę taksówkową, a norma maksimowa zadaje metrykę maksimową.

Wskazówka

Wykorzystać jedynie definicje potrzebnych norm i metryk.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Dla dowolnych $\displaystyle x,y\in \mathbb {R}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_2 \ =\ \sqrt{\sum_{i=1}^N(x_i-y_i)^2} \ =\ d_2(x,y) }

więc norma euklidesowa $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{2}$ zadaje metrykę euklidesową $\displaystyle d_{2}.$

Dla dowolnych $\displaystyle x,y\in \mathbb {R}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i-y_i| \ =\ d_1(x,y) }

więc norma taksówkowa $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ zadaje metrykę taksówkową $\displaystyle d_{2}.$ Dla dowolnych $\displaystyle x,y\in \mathbb {R}$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x-y\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots,N}|x_i-y_i| \ =\ d_{\infty}(x,y) }

więc norma maksimowa $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ zadaje metrykę maksimową $\displaystyle d_{\infty }.$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Wykazać bezpośrednio równoważność norm $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ (taksówkowej), $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{2}$ (euklidesowej) i $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ (maksimowej) w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N},$ znajdując optymalne stałe $\displaystyle m_{i},M_{i}>0$ ($\displaystyle i=1,2,3$) w następujących nierównościach:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \textbf{(1)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_1\|x\|_{2} \ \le\ \|x\|_{\infty} \ \le\ M_1\|x\|_{2},\\ \textbf{(2)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_2\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_{\infty} \ \le\ M_2\|x\|_{1},\\ \textbf{(3)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_3\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_2 \ \le\ M_3\|x\|_1. \endaligned}

Wskazówka

(1) Skorzystać jedynie z definicji norm $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{2}$ i $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty },$ dla pokazania nierówności i wyznaczenia stałych. Aby pokazać "optymalność" stałych, wskazać wektor $\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{N},$ dla którego zachodzą równości.

(2)--(3) Podobnie jak (1).

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego wektora $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2^2 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \ \le\ \sum_{i=1}^N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2 \ =\ N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k|^2 \ =\ N\|x\|_{\infty}^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_2 \ \le\ \|x\|_{\infty} }

czyli $\displaystyle \displaystyle m_{1}={\frac {1}{\sqrt {N}}}.$ Aby pokazać, że stała $\displaystyle m_{1}$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych) zauważmy, że dla wektora $\displaystyle x_{0}=(1,1,\ldots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_2 \ =\ \frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{N} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_{\infty}. }

Z kolei dla dowolnego wektora $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty}^2 \ =\ \bigg(\max_{i=1,\ldots, N}|x_i|\bigg)^2 \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i|^2 \ \le\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \ =\ \|x\|_2^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_{\infty} \ \le\ \|x\|_2 }

czyli $\displaystyle M_{1}=1.$ Aby pokazać, że stała $\displaystyle M_{1}$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $\displaystyle x_{0}=(1,0,\ldots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_{\infty} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_2. }

(2) Dla dowolnego wektora $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i| \ \le\ \sum_{i=1}^N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k| \ =\ N \max_{k=1,\ldots, N}|x_k| \ =\ N\|x\|_{\infty} }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{N}\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_{\infty} }

czyli $\displaystyle \displaystyle m_{2}={\frac {1}{N}}.$ Aby pokazać, że stała $\displaystyle m_{2}$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych) zauważmy, że dla wektora $\displaystyle x_{0}=(1,1,\ldots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{N}\|x_0\|_1 \ =\ \frac{1}{N}\cdot N \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_{\infty}. }

Z kolei dla dowolnego wektora $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty} \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i| \ \le\ \sum_{i=1}^N |x_i| \ =\ \|x\|_1 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_{\infty} \ \le\ \|x\|_1 }

czyli $\displaystyle M_{1}=1.$ Aby pokazać, że stała $\displaystyle M_{1}$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $\displaystyle x_{0}=(1,0,\ldots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_{\infty} \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_1. }

(3) Dla dowolnego wektora $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \ =\ \bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2 \ =\ \sum_{i,j=1}^N|x_i||x_j| \ =\ \sum_{i=1}^N|x_i|^2 +2\sum_{i<j}|x_i||x_j|. }

Korzystając teraz z oczywistej nierówności liczbowej

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall a,b\in\mathbb{R}:\ 2ab \ \le\ a^2+b^2, }

mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \ \le\ \sum_{i}^N|x_i|^2 +\sum_{i<j}\big(|x_i|^2+|x_j|^2\big). }

Zauważmy, że po prawej stronie powyższej nierówności każdy składnik postaci $\displaystyle |x_{i}|^{2}$ występuje dokładnie $\displaystyle N$ razy (raz w pierwszej sumie i $\displaystyle N-1$ razy w drugiej sumie). Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_1^2 \ \le\ N \sum_{i=1}^N|x_i|^2 \ =\ N\|x\|_2^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \frac{1}{\sqrt{N}}\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_2 }

czyli $\displaystyle \displaystyle m_{3}={\frac {1}{\sqrt {N}}}.$ Aby pokazać, że stała $\displaystyle m_{3}$ jest "optymalna" (to znaczy największa z możliwych) zauważmy, że dla wektora $\displaystyle x_{0}=(1,1,\ldots ,1)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{\sqrt{N}}\|x_0\|_1 \ =\ \frac{1}{\sqrt{N}}\cdot N \ =\ \sqrt{N} \ =\ \|x_0\|_2. }

Z kolei dla dowolnego wektora $\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})\in \mathbb {R} ^{N}$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_2 \ =\ \sum_{i=1}^N |x_i|^2 \ \le\ \bigg(\sum_{i=1}^N |x_i|\bigg)^2 \ =\ \|x\|_1^2 }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in \mathbb{R}^N:\ \|x\|_2 \ \le\ \|x\|_1 }

czyli $\displaystyle M_{3}=1.$ Aby pokazać, że stała $\displaystyle M_{3}$ jest "optymalna" (to znaczy najmniejsza z możliwych), zauważmy, że dla wektora $\displaystyle x_{0}=(1,0,\ldots ,0)$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x_0\|_2 \ =\ 1 \ =\ \|x_0\|_1. } {}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ będą dwiema przestrzeniami wektorowymi. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe? (Dla każdego podać dowód lub kontrprzykład).
(1) Jeśli zbiory $\displaystyle A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $\displaystyle A\cap B$ jest wypukły.
(2) Jeśli zbiory $\displaystyle A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $\displaystyle A\cup B$ jest wypukły.
(3) Jeśli zbiory $\displaystyle A,B\subseteq X$ są wypukłe, to zbiór $\displaystyle A\setminus B$ jest wypukły.
(4) Jeśli zbiory $\displaystyle A\subseteq X$ i $\displaystyle B\subseteq Y$ są wypukłe, to zbiór $\displaystyle A\times B$ jest wypukły w $\displaystyle X\times Y.$

Wskazówka

(1) Wykorzystać jedynie definicję wypukłości.
(2) Kontrprzykład łatwy do znalezienia.
(3) Kontrprzykład łatwy do znalezienia.
(4) Wykorzystać jedynie definicję wypukłości i iloczynu kartezjańskiego.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Stwierdzenie to jest prawdziwe. Niech $\displaystyle A,B\subseteq X$ będą dowolnymi zbiorami wypukłymi. Aby pokazać, że zbiór $\displaystyle A\cap B$ jest wypukły, wybierzmy dwa dowolne punkty $\displaystyle x,y\in A\cap B$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in (0,1).$ Ponieważ $\displaystyle x,y\in A$ i zbiór $\displaystyle A$ jest wypukły, więc także $\displaystyle \displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in A.$ Analogicznie, ponieważ $\displaystyle x,y\in B$ i zbiór $\displaystyle B$ jest wypukły, więc także $\displaystyle \displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in B.$ Zatem $\displaystyle \displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in A\cap B.$ Dowodzi to wypukłości zbioru $\displaystyle A\cap B.$

(2) Stwierdzenie to nie jest prawdziwe. Dla przykładu niech $\displaystyle X=\mathbb {R} ,\displaystyle A=[0,2]$ oraz $\displaystyle B=[4,6].$ Zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są wypukłe, ale zbiór $\displaystyle A\cup B=[0,2]\cup [4,6]$ nie jest wypukły, gdyż na przykład dla $\displaystyle x=1,\displaystyle y=5$ i $\displaystyle \displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}},$ mamy $\displaystyle x,y\in A\cup B,\displaystyle \displaystyle \lambda \in (0,1),$ ale $\displaystyle \displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y=3\not \in A\cup B.$
{ Rysunek AM2.M03.C.R01 (stary numer AM2.4.9)}

(3) Stwierdzenie to nie jest prawdziwe. Dla przykładu niech $\displaystyle X=\mathbb {R} ,\displaystyle A=[0,6]$ oraz $\displaystyle B=(2,4).$ Zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są wypukłe, ale zbiór $\displaystyle A\cup B=[0,2]\cup [4,6]$ nie jest wypukły (patrz (2)).
{ Rysunek AM2.M03.C.R02 (nowy)}

(4) Stwierdzenie to jest prawdziwe. Niech $\displaystyle A\subseteq X$ i $\displaystyle B\subseteq Y$ będą dowolnymi zbiorami wypukłymi. Aby pokazać, że zbiór $\displaystyle A\times B$ jest wypukły, wybierzmy dwa dowolne punkty $\displaystyle \displaystyle (a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})\in A\times B$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in (0,1).$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \lambda(a_1,b_1)+(1-\lambda)(a_2,b_2) \ =\ \big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big). }

Ponieważ zbiory $\displaystyle A$ i $\displaystyle B$ są wypukłe odpowiednio w przestrzeniach $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y,$ zatem mamy

$\displaystyle \lambda a_{1}+(1-\lambda )a_{2}\ \in \ A,\quad \lambda b_{1}+(1-\lambda )b_{2}\ \in \ B.$

Z definicji iloczynu kartezjańskiego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big(\lambda a_1+(1-\lambda)a_2,\lambda b_1+(1-\lambda)b_2\big) \ \in\ A\times B. }

Zatem pokazaliśmy, że zbiór $\displaystyle A\times B$ jest wypukły.

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

W przestrzeni wektorowej $\displaystyle C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )},$ funkcji ciągłych na przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ definiujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty} \ =\ \sup_{x\in[0,1]}|f(x)| \quad\forall f\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big) }

(1) Pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ jest normą w $\displaystyle C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )}.$ Nazywamy ją normą supremową.
(2) Obliczyć normę supremową dla funkcji: $\displaystyle \displaystyle f_{1}(x)=\sin(2\pi x)$ oraz $\displaystyle \displaystyle f_{2}(x)=6x^{2}-5x+1.$
(3) Udowodnić, że zbieżność w normie supremowej pokrywa się ze zbieżności jednostajną dla funkcji ciągłych na przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,1].$

(4) Pokazać, że $\displaystyle C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )}$ z normą supremową jest przestrzenią Banacha. (Punkt (4) jest nadobowiązkowy. Potrzebne są tu pewne pojęcia z następnego wykładu. Do zadania można wrócić po następnym wykładzie).

Wskazówka

(1) Udowodnić kolejno trzy warunki występujące w definicji normy.
(2) Wyznaczyć największą wartość funkcji $\displaystyle |f_{1}|$ i $\displaystyle |f_{2}|$ na przedziale $\displaystyle \displaystyle [0,1].$
(3) Wynika wprost z obu rozważanych definicji.
(4) Wykorzystać punkt (3) i twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.060|).

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Pokażemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty}=0 \ \Longleftrightarrow\ f\equiv 0 }

Implikacja "$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$" jest oczywista. W celu udowodnienia implikacji "$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$" załóżmy, że $\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty }=0.$ Wówczas $\displaystyle \displaystyle \sup _{x\in [0,1]}|f(x)|=0.$ To oznacza, że $\displaystyle |f(x)|=0$ dla każdego $\displaystyle x\in [0,1],$ czyli $\displaystyle f(x)=0$ dla każdego $\displaystyle x\in [0,1],$ zatem $\displaystyle f\equiv 0,$ co należało pokazać.

W celu pokazania jednorodności, niech $\displaystyle f\in C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in \mathbb {R} .$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\lambda f\|_{\infty} \ =\ \sup_{x\in [0,1]}|\lambda f(x)| \ =\ \sup_{x\in [0,1]}|\lambda| |f(x)| \ =\ |\lambda|\sup_{x\in [0,1]}|f(x)| \ =\ |\lambda|\|f\|_{\infty}, }

co należało pokazać.

Aby pokazać subaddytywność, niech $\displaystyle f,g\in C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \|f+g\|_{\infty} &= \sup_{x\in [0,1]}\big|(f+g)(x)\big| \ =\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)+g(x)\big| \ \le\ \sup_{x\in [0,1]}\big[\big|f(x)\big|+\big|g(x)\big|\big]\\ & \stackrel{\star}{\le} & \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big| +\sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big| \ =\ \|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}. \endaligned}

Aby uzasadnić powyższą nierówność $\displaystyle \displaystyle \star ,$ zauważmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in [0,1]:\ \big|f(x)\big|+\big|g(x)\big| \ \le\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f(x)\big| + \sup_{x\in [0,1]}\big|g(x)\big|, }

zatem biorąc supremum po lewej stronie nierówność nadal jest zachowana i dostajemy $\displaystyle \displaystyle \star .$

(2) Ponieważ $\displaystyle \displaystyle f_{1}{\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}=\sin {\frac {\pi }{2}}=1$ oraz $\displaystyle |f_{1}(x)|=|\sin(2\pi x)|\leq 1$ dla dowolnego $\displaystyle x\in [0,1],$ zatem $\displaystyle \displaystyle \|f_{1}\|_{\infty }=1.$
{ Rysunek AM2.M03.C.R03 (stary numer AM2.4.10.a)}

Funkcja kwadratowa na odcinku domkniętym może przyjmować wartość największą i najmniejszą jedynie w wierzchołku lub na końcu przedziału. Należy zatem zbadać te trzy punkty.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne $\displaystyle \displaystyle (p,q)={\bigg (}{\frac {-b}{2a}},{\frac {-\Delta }{4a}}{\bigg )}={\bigg (}{\frac {5}{12}},-{\frac {1}{24}}{\bigg )}.$ Na końcach przedziału mamy wartości $\displaystyle f_{2}(0)=1,\displaystyle f_{2}(1)=2,$ zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f_2\|_{\infty} \ =\ \max\bigg\{\bigg|-\frac{1}{24}\bigg|,|1|,|2|\bigg\} \ =\ 2. }

{ Rysunek AM2.M03.C.R04 (stary numer AM2.4.10.b)}

(3) Zbieżność $\displaystyle f_{n}\xrightarrow {\|\cdot \|_{\infty }} f$ oznacza z definicji:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \|f_n-f\|_{\infty}<\varepsilon. }

Rozpisując normę supremową otrzymujemy równoważne sformułowanie:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \sup_{x\in [0,1]}\big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon. }

Z kolei korzystając z definicji supremum, mamy równoważną postać

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N\ \forall x\in X \big|f_n(x)-f(x)\big|<\varepsilon, }

a to oznacza, że $\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f$ w $\displaystyle \displaystyle [0,1]$ (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.04.010|(2)), co należało dowieść.

(4) Należy wykazać, że przestrzeń $\displaystyle C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )}$ jest zupełna. W tym celu weźmy dowolny ciąg Cauchy'ego $\displaystyle \displaystyle \{f_{n}\}\subseteq C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )}.$ Należy pokazać, że ma on granicę w normie supremowej (a zatem z punktu (3), że jest jednostajnie zbieżny). Zauważmy, że dla dowolnego $\displaystyle x\in [0,1],$ ciąg liczbowy $\displaystyle \displaystyle \{f_{n}(x)\}$ jest ciągiem Cauchy'ego (w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$), a zatem jest zbieżny, powiedzmy do $\displaystyle f(x)$ (korzystamy z zupełności $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R}$). Zatem $\displaystyle f$ jest granicą punktową ciągu funkcyjnego $\displaystyle \displaystyle \{f_{n}\}.$

Ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z warunku Cauchy'ego wynika, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall m>n>N:\ \sup_{x\in[0,1]}\big|f_n(x)-f_m(x)\big| \ <\ \varepsilon, }

zatem dla $\displaystyle m>n>N$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in[0,1]:\ \big|f_n(x)-f_m(x)\big| \ <\ \varepsilon. }

Dla ustalonego $\displaystyle x\in [0,1]$ i ustalonego $\displaystyle n>N,$ możemy przejść do granicy z $\displaystyle m\rightarrow +\infty$ otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big| f_n(x)-f(x)\big| \ \le\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że $\displaystyle f\rightrightarrows f,$ czyli ciąg $\displaystyle \displaystyle \{f_{n}\}$ jest zbieżny w normie supremowej. W końcu korzystając z twierdzenia o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.04.060|) mamy, że $\displaystyle f\in C{\big (}[0,1];\mathbb {R} {\big )}.$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ i $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$ Pokazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\square} \ =\ 2\|\cdot\|_1+\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$ Dla $\displaystyle N=2$ narysować kulę $\displaystyle K{\big (}(0,0),1{\big )}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ w tej normie.

Wskazówka

Korzystając z definicji norm $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ i $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ pokazać, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\square }$ jest normą.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Niech $\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}.$ Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\square }=0\Longleftrightarrow x=\Theta .$

Implikacja "$\displaystyle \displaystyle \Longleftarrow$" jest oczywista. W celu udowodnienia implikacji "$\displaystyle \displaystyle \Longrightarrow$" załóżmy, że $\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\square }=0.$ Wówczas $\displaystyle 2\|x\|_{1}+\|x\|_{\infty }=0,$ czyli $\displaystyle \displaystyle \|x\|_{1}=0$ i $\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\infty }=0.$ Ponieważ $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ i $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ są normami więc $\displaystyle x=\Theta .$

W celu pokazania jednorodności niech $\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in \mathbb {R} .$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\lambda x\|_{\square} \ =\ 2\|\lambda x\|_1 +\|\lambda x\|_{\infty} \ =\ 2|\lambda| \|x\|_1 +|\lambda| \|x\|_{\infty} \ =\ |\lambda|\big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big) \ =\ |\lambda| \|x\|_{\square}, }

co należało pokazać.

W celu pokazania subaddytywności, niech $\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{N}.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \|x+y\|_{\square} &= 2\|x+y\|_1 +\|x+y\|_{\infty} \ \le\ 2\big(\|x\|_1+\|y\|_1\big) +\big(\|x\|_{\infty}+\|y\|_{\infty}\big)\\ &= \big(2\|x\|_1+\|x\|_{\infty}\big) \big(2\|y\|_1+\|y\|_{\infty}\big) \ =\ \|x\|_{\square}+\|y\|_{\square}. \endaligned}

Co kończy dowód, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\square }$ jest norma w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$

Aby narysować kulę $\displaystyle K{\big (}(0,0),1{\big )}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ w tej normie rozpiszmy wzór na tę normę:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(x_1,x_2)\|_{\square} \ =\ 2|x_1|+2|x_2|+\max\big\{|x_1|+|x_2|\big\} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 3|x_1|+2|x_2| & } jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & |x_1|\ge |x_2|,\\ 2|x_2|+3|x_2| & } jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle & |x_1|<|x_2|. \end{array} \right. }

Zbiór punktów $\displaystyle \displaystyle (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ spełniających nierówność $\displaystyle \displaystyle \|(x_{1},x_{2})\|_{\square }<1$ dostajemy rozpisując nierówności w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych, dostajemy ośmiokąt, jak na rysunku:
{ Rysunek AM2.M03.C.R05 (stary numer AM2.4.11)}

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

Niech $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{1}$ i $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\infty }$ oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{N}.$ Sprawdzić, czy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\circ} \ =\ 2\|\cdot\|_1-\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$

Wskazówka

Pokazać brak subaddytywności dla $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\circ }.$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

Pokażemy, że $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\circ }$ nie spełnia warunku subaddytywności. Dla wektorów $\displaystyle x=(1,0)$ i $\displaystyle y(0,1)$ w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_{\circ} \ =\ 2\|(1,1)\|_1-\|(1,1)\|_{\infty} \ =\ 2\cdot 2-1 \ =\ 3 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|x\|_{\circ}+\|y\|_{\circ} \ =\ 2\|(1,0)\|_1-\|(1,0)\|_{\infty} +2\|(0,1)\|_1-\|(0,1)\|_{\infty} \ =\ 2-1+2-1 \ =\ 2. }

Zatem $\displaystyle \displaystyle \|x+y\|_{\circ }\not \leq \|x\|_{\circ }+\|y\|_{\circ }.$

Jako ciekawostkę proponujemy sprawdzenie, że dwa pierwsze warunki w definicji normy zachodzą dla $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\circ }.$

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

W $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ wprowadzamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1y_1+5x_2y_2 \quad } dla $\displaystyle \ \ (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}.$

(1) Pokazać, że $\displaystyle \displaystyle {\big (}\cdot |\cdot {\big )}_{\triangle }$ jest iloczynem skalarnym w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$
(2) Jak wygląda $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\triangle },$ norma zadana przez ten iloczyn skalarny? Obliczyć $\displaystyle \displaystyle \|(4,5)\|_{\triangle }.$
(3) Dane są dwa wektory $\displaystyle x=(1,7)$ i $\displaystyle y=(3,a).$ Dobrać parametr $\displaystyle a\in \mathbb {R}$ tak, aby $\displaystyle x\perp y$ (oczywiście w rozważanym iloczynie skalarnym).
(4) Narysuj kulę $\displaystyle K_{\triangle }{\big (}(0,0),1{\big )}$ w metryce zadanej przez ten iloczyn skalarny.

Wskazówka

(1) Sprawdzić zachodzenie wszystkich czterech warunków w definicji iloczynu skalarnego (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.03.160|).
(2) Skorzystać ze wzoru na normę zadaną przez iloczyn skalarny (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.03.180|).
(3) Co to znaczy, że wektory są ortogonalne? (patrz Definicja Uzupelnic d.new.am2.w.03.240|).
(4) Kule w przestrzeni unormowanej są to kule w przestrzeni metrycznej zadanej przez normę.

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

(1) Dla dowolnego $\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1^2+5x_2^2, }

zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} \ \ge\ 0 }

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}=0 \ \Longleftrightarrow\ (x_1,x_2)=\Theta, }

pokazaliśmy więc punkt (1) definicji iloczynu skalarnego.

Niech $\displaystyle x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2})\in X$ oraz $\displaystyle \displaystyle \lambda \in \mathbb {R} .$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big(\lambda(x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ \big((\lambda x_1,\lambda x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3\lambda x_1y_1+5\lambda x_2y_2 \ =\ \lambda\big(3x_1y_1+5x_2y_2\big) \ =\ \lambda\big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle}, }

pokazaliśmy więc punkt (2) definicji iloczynu skalarnego.

Niech teraz $\displaystyle x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2}),z=(z_{1},z_{2})\in X.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \big((x_1,x_2)+(y_1,y_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle} &= \big((x_1+y_1,x_2+y_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3(x_1+y_1)z_1+5(x_2+y_2)z_2\\ &= 3x_1z_1+3y_1z_1+5x_2z_2+5y_2z_2 \ =\ \big(3x_1z_1+5x_2z_2\big) +\big(3y_1z_1+5y_2z_2\big)\\ &= \big((x_1,x_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle} \big((y_1,y_2)|(z_1,z_2)\big)_{\triangle}, \endaligned}

pokazaliśmy więc punkt (3) definicji iloczynu skalarnego.

W końcu niech $\displaystyle x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2})\in X.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1y_1+5y_1y_2 \ =\ 3y_1x_1+5y_2x_2 \ =\ \big((y_1,y_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle} }

pokazaliśmy więc symetrię. Kończy to dowód faktu, że $\displaystyle \displaystyle (\cdot |\cdot )_{\triangle }$ jest iloczynem skalarnym w $\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$

(2) Ponieważ $\displaystyle \displaystyle (\cdot |\cdot )_{\triangle },$ więc norma $\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|_{\triangle }$ zadana przez ten iloczyn skalarny dla dowolnego $\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2},$ wynosi:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(x_1,x_2)\|_{\triangle} \ =\ \sqrt{\big((x_1,x_2)|(x_1,x_2)\big)_{\triangle}} \ =\ \sqrt{3x_1^2+5x_2^2}. }

Zatem

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|(4,5)\|_{\triangle} \ =\ \sqrt{3\cdot 4^2+5\cdot 5^2} \ =\ \sqrt{173}. }

(3) Wektory $\displaystyle x$ i $\displaystyle y$ są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle \displaystyle (x|y)_{\triangle }=0.$ Zatem musimy rozwiązać równanie

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((1,7)|(3,a)\big)_{\triangle} \ =\ 0, }

czyli

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle 3\cdot 1\cdot 3+5\cdot 7\cdot a \ =\ 0, }

skąd $\displaystyle \displaystyle a=-{\frac {9}{35}}.$

(4) Kulą jest następujący zbiór:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned K_{\triangle}\big((0,0),1\big) &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ \|(x_1,x_2)\|_{\triangle}<1\big\} \ =\ \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ \sqrt{3x_1^2+5x_2^2}<1\big\}\\ &= \big\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:\ 3x_1^2+5x_2^2<1\big\}. \endaligned}

przypomnijmy, że zbiór punktów $\displaystyle \displaystyle (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ spełniających równanie $\displaystyle \displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{b^{2}}}=1$ jest elipsą o półosiach wielkich $\displaystyle a$ i $\displaystyle b.$ Zatem w naszym przypadku, zbiór punktów $\displaystyle \displaystyle (x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ spełniających nierówność $\displaystyle \displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\frac {1}{3}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\frac {1}{5}}}<1$ jest wnętrzem elipsy o półosiach wielkich $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}$ oraz $\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}.$
{ Rysunek AM2.M03.C.R06 (stary numer AM2.4.12)}

{}$\displaystyle \Box$

Ćwiczenie

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Niech $\displaystyle X,Y$ będą dwiema przestrzeniami unormowanymi oraz $\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ odwzorowaniem liniowym. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
(i) $\displaystyle f$ jest ciągła;
(ii) $\displaystyle \displaystyle \exists x_{0}\in X$: $\displaystyle f$ jest ciągła w $\displaystyle x_{0}$;
(iii) $\displaystyle f$ jest ciągła w $\displaystyle \displaystyle \Theta \in X$ ($\displaystyle \Theta$ oznacza wektor zerowy przestrzeni wektorowej $\displaystyle X$);
(iv) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists M\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \|x\|_X\le 1\ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M} (to znaczy odwzorowanie $\displaystyle f$ jest ograniczone na domkniętej kuli o promieniu $\displaystyle 1$);
(v) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X} (warunek ten nazywa się ograniczonością dla odwzorowania liniowego);
(vi) $\displaystyle f$ jest jednostajnie ciągła.

Wskazówka

Udowodnić kolejno implikacje $\displaystyle \displaystyle (i)\Longrightarrow (ii)\Longrightarrow (iii)\Longrightarrow (iv)\Longrightarrow (v)\Longrightarrow (vi)\Longrightarrow (i).$

{}$\displaystyle \Box$

Rozwiązanie

"$\displaystyle \displaystyle (i)\Longrightarrow (ii)$"
Implikacja jest oczywista (z ciągłości funkcji wynika jej ciągłość w każdym punkcie).

"$\displaystyle \displaystyle (ii)\Longrightarrow (iii)$"
Załóżmy, że funkcja $\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła w pewnym punkcie $\displaystyle x_{0}\in X.$ Pokażemy, że jest ciągła w $\displaystyle \displaystyle \Theta \in X.$

Ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Z definicji Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[\|x-x_0\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(x)-f(x_0)\|_Y\le\varepsilon\bigg]. }

Dla dowolnego $\displaystyle z\in X$ takiego, że $\displaystyle \displaystyle \|z\|_{X}\leq \delta$ niech $\displaystyle x=z+x_{0}.$ Wówczas $\displaystyle \displaystyle \|x-x_{0}\|_{X}=\|z\|_{X}\leq \delta ,$ a zatem korzystając z powyższej implikacji dostajemy, że $\displaystyle \displaystyle \|f(z)\|_{Y}=\|f(x-x_{0})\|_{Y}=\|f(x)-f(x_{0})\|_{Y}\leq \varepsilon .$ Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0:\ \bigg[\|z\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(z)\|_Y\le\varepsilon\bigg], }

a to oznacza ciągłość funkcji $\displaystyle f$ w punkcie $\displaystyle \displaystyle \Theta .$

"$\displaystyle \displaystyle (iii)\Longrightarrow (iv)$"
Załóżmy, że funkcja $\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y$ jest ciągła w punkcie $\displaystyle \displaystyle \Theta .$ Ustalmy $\displaystyle \displaystyle \varepsilon =1.$ Wówczas

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists \delta>0:\ \bigg[\|z\|_X\le\delta \ \Longrightarrow\ \|f(z)\|_Y\le 1\bigg]. }

Niech $\displaystyle M:={\frac {1}{\delta }}.$ Wówczas dla $\displaystyle x\in X\setminus \{\Theta \}$ takich, że $\displaystyle \displaystyle \|x\|_{X}\leq 1,$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f(x)\|_Y \ =\ \bigg\|f\bigg(\frac{\delta x}{\delta}\bigg)\bigg\|_Y \ =\ \frac{1}{\delta}\|f(\delta x)\|_Y. }

Korzystając z faktów, że $\displaystyle \displaystyle \|x\|_{X}\leq 1$ oraz $\displaystyle \displaystyle \|\delta x\|_{X}=\delta \|x\|_{X}\leq \delta$ i z powyższej implikacji dostajemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f(x)\|_Y \ \le\ \frac{1}{\delta} \ =\ M. }

Oczywiści dla $\displaystyle x=\Theta$ implikacja także zachodzi. Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall x\in X:\ \bigg[ \|x\|_X\le 1 \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg] }

co należało dowieść.

"$\displaystyle \displaystyle (iv)\Longrightarrow (v)$"
Zakładamy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists M>0\ \forall x\in X:\ \bigg[ \|x\|_X\le 1 \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M\bigg]. }

Niech $\displaystyle c:=M.$ Wówczas dla dowolnego $\displaystyle x\in X\setminus \{\Theta \},$ mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)\big\|_X \ =\ \bigg\|f\bigg(\|x\|_X\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X \ =\ \|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X. }

Ponieważ $\displaystyle \displaystyle {\bigg \|}{\frac {x}{\|x\|_{X}}}{\bigg \|}_{X}=1,$ więc możemy skorzystać z założenia, otrzymując

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)\big\|_X \ =\ \|x\|_X\bigg\|f\bigg(\frac{x}{\|x\|_X}\bigg)\bigg\|_X \ \le\ \|x\|_X\cdot M \ =\ c\|x\|_X. }

Oczywiście dla $\displaystyle x=\Theta$ implikacja także jest prawdziwa. Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X, }

co należało dowieść.

"$\displaystyle \displaystyle (v)\Longrightarrow (vi)$"
Zakładamy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X. }

W celu pokazania jednostajnej ciągłości funkcji $\displaystyle f,$ ustalmy dowolne $\displaystyle \displaystyle \varepsilon >0.$ Niech $\displaystyle \displaystyle \delta :={\frac {\varepsilon }{c}}.$ Wówczas dla dowolnych $\displaystyle x,z\in X$ takich, że $\displaystyle \displaystyle \|x-z\|_{X}\leq \delta ,$ korzystając z założenia, mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big\|f(x)-(z)\big\|_Y \ =\ \big\|f(x-z)\big\|_Y \ \le\ c\|x-z\|_X \ \le\ c\delta \ =\ \varepsilon. }

Zatem pokazaliśmy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall x,z\in X:\ \bigg[ \|x-z\|_X\le \delta \ \Longrightarrow\ \big\|f(x)-f(z)\big\|_Y\le\varepsilon \bigg], }

co oznacza jednostajną ciągłość funkcji $\displaystyle f.$

"$\displaystyle \displaystyle (vi)\Longrightarrow (i)$"
Implikacja ta jest oczywista, gdyż jednostajna ciągłość zawsze implikuje ciągłość (patrz Twierdzenie Uzupelnic t.new.am2.w.02.370|)

{}$\displaystyle \Box$