Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 3: Norma. Iloczyn skalarny

Z Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 2
Wersja z dnia 21:56, 22 sie 2006 autorstwa Arek (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Norma. Iloczyn skalarny. Ćwiczenia

Ćwiczenie

W przestrzeni wektorowej definiujemy:

dla

Pokazać, że oraz są normami (nazywamy je odpowiednio normą euklidesową, normą taksówkową oraz normą maksimową).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Pokazać, że norma euklidesowa zadaje metrykę euklidesową, norma taksówkowa zadaje metrykę taksówkową, a norma maksimowa zadaje metrykę maksimową.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Wykazać bezpośrednio równoważność norm (taksówkowej), (euklidesowej) i (maksimowej) w znajdując optymalne stałe () w następujących nierównościach:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \textbf{(1)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_1\|x\|_{2} \ \le\ \|x\|_{\infty} \ \le\ M_1\|x\|_{2},\\ \textbf{(2)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_2\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_{\infty} \ \le\ M_2\|x\|_{1},\\ \textbf{(3)} && \forall x\in \mathbb{R}^N:\ m_3\|x\|_1 \ \le\ \|x\|_2 \ \le\ M_3\|x\|_1. \endaligned}
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech i będą dwiema przestrzeniami wektorowymi. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe? (Dla każdego podać dowód lub kontrprzykład).
(1) Jeśli zbiory są wypukłe, to zbiór jest wypukły.
(2) Jeśli zbiory są wypukłe, to zbiór jest wypukły.
(3) Jeśli zbiory są wypukłe, to zbiór jest wypukły.
(4) Jeśli zbiory i są wypukłe, to zbiór jest wypukły w

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

W przestrzeni wektorowej funkcji ciągłych na przedziale definiujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|f\|_{\infty} \ =\ \sup_{x\in[0,1]}|f(x)| \quad\forall f\in C\big([0,1];\mathbb{R}\big) }

(1) Pokazać, że jest normą w Nazywamy ją normą supremową.
(2) Obliczyć normę supremową dla funkcji: oraz
(3) Udowodnić, że zbieżność w normie supremowej pokrywa się ze zbieżności jednostajną dla funkcji ciągłych na przedziale

(4) Pokazać, że z normą supremową jest przestrzenią Banacha. (Punkt (4) jest nadobowiązkowy. Potrzebne są tu pewne pojęcia z następnego wykładu. Do zadania można wrócić po następnym wykładzie).

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech i oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w Pokazać, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\square} \ =\ 2\|\cdot\|_1+\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w Dla narysować kulę w tej normie.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

Niech i oznaczają odpowiednio normę taksówkową i maksimową w Sprawdzić, czy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \|\cdot\|_{\circ} \ =\ 2\|\cdot\|_1-\|\cdot\|_{\infty} }

jest normą w

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

W wprowadzamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \big((x_1,x_2)|(y_1,y_2)\big)_{\triangle} \ =\ 3x_1y_1+5x_2y_2 \quad } dla

(1) Pokazać, że jest iloczynem skalarnym w
(2) Jak wygląda norma zadana przez ten iloczyn skalarny? Obliczyć
(3) Dane są dwa wektory i Dobrać parametr tak, aby (oczywiście w rozważanym iloczynie skalarnym).
(4) Narysuj kulę w metryce zadanej przez ten iloczyn skalarny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

(Zadanie nadobowiązkowe.)
Niech będą dwiema przestrzeniami unormowanymi oraz odwzorowaniem liniowym. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
(i) jest ciągła;
(ii) : jest ciągła w ;
(iii) jest ciągła w ( oznacza wektor zerowy przestrzeni wektorowej );
(iv) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists M\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \|x\|_X\le 1\ \Longrightarrow\ \big\|f(x)\big\|_Y\le M} (to znaczy odwzorowanie jest ograniczone na domkniętej kuli o promieniu );
(v) Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle\exists c\ge 0\ \ \forall x\in X:\ \ \big\|f(x)\big\|_Y\le c\|x\|_X} (warunek ten nazywa się ograniczonością dla odwzorowania liniowego);
(vi) jest jednostajnie ciągła.

Wskazówka
Rozwiązanie